AUTOR:

SAÚL OLAF LOAIZA MELÉNDEZ

AGOSTO 2011

INTRODUCCIÓN

Universidad Politécnica de Tlaxcala ECUACIONES DIFERENCIALES

En general, es difícil –si no imposible– hallar soluciones diferenciales por medios analíticos. Cuando esto ocurre, nos apoyamos en la aproximación numérica de soluciones, y en este guía se estudiara cómo hallar soluciones numéricas a problemas de valor inicial de la forma:

Los esquemas numéricos que consideramos aproximan soluciones hasta una precisión especificada, en la sección ―Descripción de los métodos numéricos‖ se describirá las ideas básicas que sostienen la construcción de estos esquemas; así mismo, veremos que, en general, hay un error entre la aproxi-mación y la solución analítica del problema básico de valor inicial. Una de las principales tareas del análisis numérico en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) es deducir límites sobre este error y en la siguiente sección deduciremos el esquema numérico más sencillo, el ―método de Euler‖.

DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Por definición, las derivadas son límites de los cocientes de Newton; aproximar este límite es una de las ideas básicas en la construcción de métodos numéricos. Con más precisión, sea x la solución del problema de valor inicial:

La derivada de x en el tiempo t es el límite:

Por tanto, esperamos que:

(E1)

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Sea una buena aproximación de x en el tiempo t+h para una h pequeña. De hecho, por la forma de Taylor,

MÉTODO DE EULER

Con un 0 < θ < 1 apropiado. Así, el error cometido en la aproximación (E1) es del tamaño h2, mientras la segunda derivada de x(t) esté limitada. En consecuencia, si consecuencia, si conocemos el valor de la solución de x en el tiempo t, podemos usar el lado derecho de f de la ecuación diferencial para cal-cular una aproximación de la solución x en el tiempo t+h.

(E2)

Como f(t,x(t)) es la derivada de x en el tiempo t, hay una sencilla interpretación geométrica de (E1) (vea Fig. 1). Recordemos que la recta tangente a la gráfica de la función x(t) en el punto (t , x(t)) es la que pasa por el punto (t, x(t) ) cuya pendiente es x(t) = f(t, x(t) ). La aproximación de x en el tiempo t+h es la dada por el valor de la recta tangente en t + h. El método numérico que se basa en (E1) se denomina método de Euler. Parece evidente que los valores más pequeños de h debieran llevar a una aproximación más precisa de la solución x en el intervalo [t, t+h]. Por otra parte, advierta que la solu-ción en el intervalo [t, t+h] se contrae, al mismo tiempo que se hacen necesarias más aproximaciones para una solución en un periodo fijo.

(t+h,x(t)+hf(t,x(t))

(t+h,x(t+h))

(t,x(t))

t

x

Figura 1 Ilustración de un paso en el método de Euler para h = 0.2

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En concreto, el método de Euler rpduce una secuencia de aproximaciones a una solución de un pro-blema de valor inicial. Para comprender este punto, se realizan los siguientes pasos: 1. Comencemos la integración numérica en el valor inicial exacto (to, xo). 2. Se selecciona un tamaño de paso h > 0. 3. Utilice (E1) para obtener, después de una paso de integración, la aproximación x1(t) ≈ x1, don-

de: 4. Continúe con este proceso y construya una secuencia: Para k=0, 1, …, K-1, donde K es el número total de pasos que se dan en la aproximación numérica.

(E3)

EJEMPLO DEL MÉTODO DE EULER

Ilustremos el modo en que funciona el método de Euler para el ejemplo:

Usando MATLAB para calcular una aproximación a x(3). Suponga que fijamos el tamaño del paso en h = 0.2 Entonces, el número de pasos necesarios para llegar a t = 3 es K = 10. El código para calcu-lar la secuencia en (E3) es:

(E4)

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El resultado se encuentra en la figura 2(a). Note que el ‗o‘ del comando plot ( t, x, ‗o‘) del MATLAB pone letras ―o‖ en los 11 puntos calculados numéricamente, y la la marca ‗—‘ del comanto plot( t, x, ‗—‘) interpola líneas de guiones entre las letras ―o‖ sucesivas. Además, las instrucciones dentro del cilco for; es decir, las líneas de for k = 1: K a end, reproducen el procedimiento de iteración dado en (E3). (En este programa, no se permite que el índice de un vector sea 0. Por lo tanto , el ciclo for está programado para correr desde k = 1, …, K en lugar de k = 0, 1, …, K-1)

Comparación Solución Numérica con Solución Exacta

Ahora comparamos (Fig. 2(b)). La aproximación numérica con la solución exacta de (E4), que está dada por:

La segunda curva de la figura se obtiene usando los comandos adicionales

Figura 2 Aproximación de la solución de (E4) por el método de Euler. (a) Con círculos se marcan los puntos calculados; las líneas puntuadas son interpolaciones lineales entre las letras o. (b) Se hace una comparación con la solución exacta (línea continua)

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Conclusión

En este ejemplo vemos que después de sólo diez pasos, la solución numérica del problema de valor inicial por el método de Euler ha llevado a un error considerable (Fig. 2(b)). Hay dos formas de continuar: usar un tamaño más pequeño de paso en el método de Euler en un in-tento por mejorar la precisión o desarrollar métodos numéricos que den resultados más precisoso pa-ra el mismo tamaño de paso. Para ilustrar el primer método , en la figura 3 mostramos una aproxima-ción con el método de Euler y un tamaño de paso h = 0.05. Se puede ver que el error es mucho me-nor, pero que se necesitan unas cuantas iteraciones del método de Euler para producir este resultado. Por tanto, el último método resulta preferible en general y una idea para mejorar la precisión es susti-tuir f(tk, xk) en el lado derecho de (E3) por otra expresión ( Utilizar el Método de Euler modificado E2).

Figura 3 Aproximación de la solución (E4) por el método de Euler con tamaño de paso h = 0.05