Solución PR1 A2 03II

7/21/2019 Solución PR1 A2 03II

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UNIVERSIDAD DE PIURA

Facultad de Ingeniería

Curso: Análisis Matemático II

Práctica !

"unes# !$ de Agosto de %&!' (ora ) am

Duraci*n: % ( Sin li+ros ni a,untes# solo calculadoras no ,rograma+les

! De-inir la Eli,se . (acer un estudio com,leto de ella cuando su centro está en el origen . su

e/e trans0erso en el e/e 11 . su e/e con/ugado so+re el e/e 22 # semie/es a . +

res,ecti0amente3 45,6

% De-inir el límite de una -unci*n 0ectorial r4t6 . luego demuestre 7ue dic(o límite es igual

al 0ector 7ue tiene como com,onentes los límites de sus com,onentes 45,6

Sea r4t6 una -unci*n 0ectorial . to un ,unto de acumulaci*n del dominio Dr4t6# se dice 7ue

el 0ector " es el límite de r4t6 cuando t tiende a to . se e8,resa como sí .

s*lo sí# ,ara todo 9&# e8iste un n;mero <& tal 7ue ==r4t6>"==? 9 siem,re 7ue &?=t>to=? <#

t9 Dr4t63

Es decir:lℑt → t 0

r ( t )= L

Si∀∈>0

existe unδ >0 talque‖r ( t )− L‖<∈ siempre que 0<⌊ t −t 0 ⌋<δ

@EREMA

Sea la -unci*n 0ectorial r4t6B4 r

1(t ) ,

r2 (t )

# # rn (t ) ¿

de 0aria+le real t#

entonceslim ¿ t →70

ri ( t )= Li

¿ sí . s*lo sílℑt → t 0

r (t )= L ,ara todo i B

!# %# '# # n3 Donde " B L

1, L

2, … … .. , Ln

¿ 6

Nuestra tesis sería: lim ¿ t →70 ri ( t )= Li

¿

Si∀∈>0existe unδ >0 talque|ri(t )− Li|<∈ siempre que0<⌊ t −t 0 ⌋<δ

4!6

Demostración:

Por (i,*tesis sa+emos 7ue e8istelℑt → t 0

r ( t )= L

Si ∀∈>0existe unδ >0 talque‖r ( t )− L‖<∈ siempre que 0<⌊ t −t 0 ⌋<δ 4%6



tiene 7ue: ‖r (t )− L‖ B

r¿r¿r¿

¿¿¿¿√ ¿

Ele0ando al cuadrado:

r¿r¿

r¿¿¿¿

‖r (t )− L‖2=¿

¿∈2 4'6

Por la tesis tenemos 7ue :lim ¿ t →70

ri ( t )= Li

¿

Si∀

∈>0

existe unδ >0 ta lque

|r

i(t )− L

i|<∈ siempre que0<⌊ t −t

0 ⌋<δ

r¿¿

|ri(t )− Li|2=¿

,ara todo iB !# %# 33# n 456

Com,arando 4'6 . 456# se ,uede a-irmar 7ue:

r

¿¿|ri(t )− Li|

2=¿

Sacandoraiz cuadradase tiene que:|ri(t )− Li|≤‖r ( t )− L‖<∈

Por tanto existe un∈>0 talque 0<⌊t −t 0 ⌋<δ

,or tanto:

lim ¿ t →70ri ( t )= Li

¿ l77d



M1P

VdVM

Eje

N

Esfera

M2 (canto)

M3 (canto)

C

=−

=−=

03:

02:

5

4

2 z x M

y x M L

x

yy

' Se ,ide determinar la ecuaci*n de una su,er-icie c*nica de re0oluci*n# cu.o 0rtice se

encuentra so+re la recta "! . dista del ,lano M ! una distancia d B11

112

3 Asimismo se sa+e

7ue su secci*n recta es el círculo ma.or de la es-era 7ue es tangente a los ,lanos M % . M '

. su centro se encuentra en la intersecci*n de los ,lanos M 5 . M 33 Se tiene 7ue:

"! B 4%# &# 56 G t4!# !# !6H M !: '8 G . G J B ) M %: 8 G . G J K ' B &

M ': 8 G . G J K $ B & M 5: %8 K . B & M : '8 > J B & 45,6

Solución:

Cálculo del Vértice:

Como M1 : 3x + y + z = 7 entonces N1 = (3, 1, 1) y // N1 // =

11

PV B V K P B 4 % G t# t# 5 G t6 > 4 %# !# &6 B 4 t# t K !# t G 56

PV 3 N ! B 4 t# t K !# t G 56 3 4 '# !# !6 B 't G t K ! G t G 5 B t G '

Reem,laJando en 4!6 : d VM B

11

35 +t

B11

112

De donde : = t G ' = B % :

Resol0iendo: t G ' B L %

−=

−=

51

1

t

t

"uego tenemos dos soluciones3

Tomando t = - 1: V = ( 1, - 1, 3)

N1

Como V ε L1 : V = ( 2 + t, t, 4 + t)

Tomando un punto P cualquiera de M1 :

aciendo ! = 2 e " = 1 entonce# $ = %, lue&o dic'o punto

#er P = ( 2, 1, %)

i unimo# P con V, como #e mue#tra en la *i&ura

podemo# o#erar que #u di#tancia al plano M1 dVM

coincide con la norma de la pro"ecci-n del ector PV

#ore .1 , por tanto:

V

d V1

Cálculo de la Esfera: Coo el centro

se encuentra en la intersección de los

!lanos M" y M#$$y esta es una recta %2

teneos &ue 'aciendo x t

entonces y 2t y 3t * lue+o:

Sa,eos ta,i-n &ue los radios de la

esfera son !er!endiculares a los

!lanos tan+entes* en consecuencia la

distancia del centro a cada uno de

ellos será i+ual al radio .$



"% B 4&# &# &6 G t4!# %# '6H

Por tanto C B 4t# %t# 't6

@omando distancias del centro C a los ,lanos M % . M ':

Necesitamos un ,unto cual7uiera de cada ,lano# ,or e/em,lo ,ara M % tenemos P % B 4&# &3

'6 . ,ara M ' P ' B 4%# '# 56

d CM% B d CM' B R B

3

33

2

22 ..

N

N C P

N

N C P =

P % C B C K P % B 4t# %t# 't6 > 4&# &3 '6 B 4 t# %t# 't K ' 6

P ' C B C K P ' B 4t# %t# 't6 > 4%# '# 56B 4 t K %# %t K '# 't K 5 6

P % C 3 N % B 4 t# %t# 't K ' 634!# !# !6 B t G %t G 't K ' B t K ' B '4 %t K !6

P ' C 3 N ' B 4 t K %# %t K '# 't K 5 634 !# !# !6 B t K % G %t K ' G 't K 5 B t > $ B '4%t K '6

332 == N N

Reem,laJando : R B

3

)32(3

3

)12(3 −=

− t t

De donde: = %t K ! = B = %t K ' = ele0ando al cuadrado:

5t % K 5t G ! B 5t % > !%t G $ sim,li-icando . ordenando t B luego t B !

De modo 7ue C B 4 !# %# '6 . R B

3

tra -orma de cálculo sería# interce,tando "% con los ,lanos M % . M ' # el centro se encontrará

en el ,unto medio de dic(os ,untos# luego tomando distancia del centro a uno de los dos

,lanos determinamos el radio3

"uego la es-era será: 4 8 K !6 % G 4 . K %6 % G 4 J K '6 % B '



/irectri

De-inici*n de la Secci*n Recta * DirectriJ del cono:

Como la secci*n recta es un círculo ma.or de la es-era# el ,lano 7ue la de-ine ,asa ,or el

centro de la es-era# ,or tanto el e/e del cono de re0oluci*n estará de-inido ,or el Vrtice . el

Centro3

E/e4 C# CV6 B 4 !# %# '6 G t O 4 !# >!# '6 K 4!# %# '6H B 4!# %# '6 G t4 &# >'# &6H B 4!# %# '6 G t4&#

!# &6H

El ,lano como de+e ser ,er,endicular al E/e# su 0ector normal será N B 4&# !# &6 . su ,unto

de ,aso será el centro de la es-era C 4!# %# '6# ,or tanto:

Q

41 K C6 3 N B & M: . B %

Por tanto la DirectriJ será B

==−+−+−

2

3)3()2()1( 222

y

z y x

Cálculo de la eneratriJ:

De lo anterior se deduce 7ue:

+−

=

−+

=

+−

=

33

11

11

0

0

0

t

z z

t

y y

t

x x

4!6

Cálculo de la ecuaci*n del cono:

Como la eneratriJ ,asa ,or el Vrtice . se

a,o.a so+re la DirectriJ en el ,unto 1o# sta

0endrá de-inida ,or V . 1o:

B V G t V1o H 7ue en -orma cartesiana

es:

B

t z

z

y

y

x

x=

−−

=++

=−−

3

3

1

1

1

1

000



0 (1* 2) Ee

C 2c

c c

%(C* N)

Pará,ola

Como /o ε 0 :

==−+−+−

)3(2

)2(3)3()2()1(

0

20

20

20

y

z y x

eempla$ando (1) en ():

3

1

21

1 +=→=−

+ y

t t

y

3liminando t5 en (1):

+

−+=+

+

−=

=+

−+=+

+

−=

1

6333

1

93

2

1

231

1

33

0

0

0

y

y z

y

z z

y

y

y x

y

x x

(4)

eempla$ando (4) en (2):

331

63311

23 22

=

−+

−++

−+

−+ y

y z

y

y x

6ue iene a #er la ecuaci-n del cono pedido7

4 0eterminar la ecuaci-n de la parola " lo# elemento# m# importante# #i un e!tremo

del lado recto =(4, 8) " el punto de inter#ecci-n entre el e9e " la directri$ L e# =(1, 2)7

(p)

L(C;)=< (5

2,4)+ t (4,−3)} portanto F =(5

2+4 t , 4−3 t )

= (4 t −3

2 ,−2−3 t ) y IF =(

3

2+4 t ,2−3 t )

(a)

7= 25 t

2−25

4 =0→ t =±

1

2 =% do# #olucione# tomando t = 1>2 " re#oliendo:

empla$ando t en (a): =(

1

2 ,−

7

2 ¿=

1

2 (1,−7) y IF =(

7

2 ,

1

7 )=

1

2 (7,1)

aciendo un e#quema con lo# dato# del

prolema, emo# que >>>> e# el

dimetro de un trin&ulo rectn&ulo

i#-#cele#, deido a que: >>>>=>>>>=2c

Como el L ⟘ 39e " como " e#tn

#ore el e9e lue&o: ⟘

3n donde ? L C,.)

C=

R+ I

2 =(52 , 4) y IR= R− I =(3,4 )

L T =(4, 8)



Lue&o el 3@3=< (1, 2) + t (7,1) A

0irectri$ L=< (1, 2)+ t (1,−7)}

oco =

¿

(5

2

+2,4−3

2

)=(

9

2

,5

2

)

VBrtice V = I + F

2 =

(9

2+1 ,−2+

5

2)

2 =(

11

4 ,1

2)

L=2 ‖ RF ‖=‖ IR‖√ 22 =

5√ 22

3cuaci-n de la parola:

y−52¿2

¿

x−9

2 ¿2+¿

¿‖ RF ‖=d XL →√ ¿

7 x+ y−2¿2

¿2¿

y−52¿2=¿

x−9

2 ¿

2+¿

¿

0ada# la# *uncione# ectoriale#

r(t) = (ln(t+2),

ln2 t ,3 t 2−1,

5+5 t

2

et 2

+1 , 5t +1 ¿

y s ( t )=¿ )

a) La *unci-n r(t)!#(t) " #u dominio7 (1p)

r(t)!#(t)= | i !

ln ( t +2 ) et 2

+1 5

t +1

ln 2t 3 t 2−1

5+5 t

2

|=¿



= [( 5+5 t

2 ) ( et 2

+1)−(15 t 2−5

t +1 )] i−[(5+5 t

2 ) ln (t +2 )−(5ln2 t

t +1 )] 9+

e

(¿¿ t 2+1) ln2 t

(3 t 2−1) ln (t +2)−¿

¿¿

0ominio de r(t):ln(t+2),e

t 2+1 , 5

t +1 : t >−2" t ∈ R "t #−1=t >−2∪ t #−1

0ominio de #(t):ln 2 t ,3 t

2−1 ,

5+5 t

2 : t >0"

t ∈ R "

t ∈ R=t >0

Lue&o:rxs=¿

$¿

$r " $s=t >0

) Lo# lDmite# de r(t) " #(t) cuando t →1

(1>2p)

lim ¿ t →1 s ( t )=( ln2,2,5) %

lim ¿ t →1 r ( t )=

(ln3,e+1,

5

2

)%¿

¿

c) La# deriada# de la *unci-n r(t)7#(t) (1>2p)

r(t)7#(t)= ln(t+2) ln 2 t +( e

t 2+1) (3t 2−1)+( 5t +1 )( 5+5 t

2 )

r(t)7#(t)= ln(t+2) ln 2 t +( e

t 2+1) (3t 2−1)+( 252 )

d (r (t ) & s ( t ))dt

=ln2 t

t +2 +

ln(t +2)t +2t e

t 2

(3 t 2−1 )+6 t (et

2

+1 )

d) La# recta# tan&ente# a ama# cura# en el punto de inter#ecci-n7 (p)

Punto de inter#ecci-n: = (ln(t+2) ,

ln 2 t ' ,3 t

' 2−1,5+5 t '

2

et 2

+1, 5

t +1

¿=¿ )

Por i&ualdad de ectore#: 'a" que tener en cuenta que lo# parmetro# #on di#tinto#



ln(t+2) =ln 2 t →t +2=2 t '

(1)

et 2

+1 ¿3 t ' 2−1 (2)

5

t +1 =

5+5t '

2

→10=( t +1 ) (t ' +1 )5 (3)

$e (1 ) y (3) :

0e (1) t+1= 2tEF1

empla$ando en (): (2tEF1)(tE+1)=2 →2 t ' 2+ t

' −3=0

e#oliendo la ecuaci-n icuadrada: tE = 1 " tE = F>2

e#oliendo para tE = 1 en (1) t = %

empla$ando en (2): e0+1

¿3−1de donde2=2 cumple

Lue&o: tE = 1 " t = %

r(%) = (ln2,

ln2 ,2 ,5

2 ,5¿ y s (1 )=¿ )

Vectore# de direcci-n de la# tan&ente#;

rE(%) = (

1

2 0 ,−5¿

; #E(1) = ( 1 ,6 ,

5

2¿

La# recta# tan&ente#:

( r={ (ln2,

2 ,5¿+t (1

20 ,−5) }

( s={ (ln2,

2 ,5¿+t (1 ,6,5

2)}

Solución PR1 A2 03II

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