1. Para cada una de las siguientes ecuaciones determine si es ordinaria o parcial, además para las ecuaciones ordinarias calcule el orden y el grado si es posible.

a. (1−x ) y ' '−4 xy y '+5 y=cosxED lineal ordinaria de segundo orden

b. ( d3 yd x3

)2

=( d2 yd x2

)6

+3e3 xy

c.d2ud r2

=−k /r2

d2ud r2

+k /r2=0 ED no lineal ordinaria de segundo orden

d. ln ( x ) y(5)−4 x ( y ')7=5 ye.

2. Compruebe que la función y=e3 xcos2 x es una solución explícita de la ecuación y ' '−6 y '+13 y=0

y '=−2e3x sen2 x+3e3 xcos2 xy ' '=−4 e3 xcos2 x−6 e3 xsen 2x−6 e3 x sen2x+9e3x cos2 xy ' '=5e3 xcos 2x−12e3x sen2 xy ' '−6 y '+13 y=05e3x cos2x−12e3x sen2 x−6 (−2e3x sen 2x+3e3xcos 2x )+13 (e3x cos2 x )=0

5e3x cos2x−12e3x sen2 x+12e3x sen2 x−18e3x cos2 x+13e3x cos2 x=0

0=0

3. Verifique que la función y=−cosxln(secx+tanx) es una solución explícita de la ecuación y ' '+ y=tanx

y '=−cosx secxtanx+sec2 x

secx+tanx+senxln ( secx+tanx )

y '=−cosxsecx(tanx+secx)secx+tanx

+senxln (secx+ tanx )

y '=−cosxsecx+senxln (secx+ tanx )

y '=−1+senxln (secx+ tanx )

y ' '=senxln (secx+ tanx )

y ' '=senxsecx+cosxln ( secx+tanx )

y ' '=senx 1cosx

+cosxln (secx+tanx )

y ' '=tanx+cosxln ( secx+tanx )

y ' '+ y=tanx

tanx+cosxln ( secx+tanx )−cosxln(secx+tanx)=tanx

tanx=tanx

4. Compruebe que la expresión ln (2 x−1x−1 )=t es una solución implícita de la ecuación

dxdt

=( x−1 ) (1−2x )

dxdtln( 2 x−1x−1 )=dxdt t

2 ( x−1 )−(2 x−1)(x−1)2

2 x−1x−1

dxdt

=1

2 x−2−2x+1(x−1)2

2x−1x−1

dxdt

=1

−1(x−1)2

2 x−1x−1

dxdt

=1

−1(x−1)(2 x−1)(x−1)2

dxdt

=1

−1(2 x−1)(x−1)

dxdt

=1

−1(2 x−1)(x−1)

dxdt

=1

dxdt

=−(2 x−1)(x−1)

dxdt

=(−2 x+1)(x−1)

5. compruebe que P=c et

1+e t es una solución general de la ecuación P'=P (1−P )

P'−P (1−P )=0

P= c et

1+e t

P'=c et (1+et )−c e t(e t)

(1+e t)2= ce

t+ce2 t−ce2 t

(1+et)2= c e t

(1+e t)2

ce t

(1+e t)2− c et

1+et (1− c et

1+et )=0ce t

(1+e t)2− c et

1+et ( 1+et−ce t

1+e t )=0ce t

(1+e t)2− ce

t+c e2t−c e2t

(1+e t)2=0

ce t

(1+e t)2− c et

(1+e t)2=0

0=0

6. compruebe que y=e−x2

∫0

x

et2

dt+ce− x2

es una solución general de la ecuación

y '+2xy=1

Por teorema ddx

∫a

x

f (t)d t=F (x)

y '=e− x2 ddx

∫0

x

e t2

dt−2 xe− x2

∫0

x

e t2

dt−2cx e−x2

y '=e− x2

ex2

−2 x e−x2

∫0

x

et2

dt−2cx e−x2

y '=1−2x e−x2

∫0

x

et2

dt−2cx e− x2

1−2 x e−x2

∫0

x

et2

dt−2cx e−x2

+2 xe− x2

∫0

x

e t2

dt+2x ce−x2

=1

1=1

7. Determine los valores de m para que la función y=emx sea una solución de la ecuación diferencial y ' '−5 y '+6 y=0

y=emx

9. Verifique que y=1

1+c e−x es solución general de la ecuación diferencial y '= y− y2.

Calcule además la solución particular si

a. y (0 )=−1/3 b.y (−1 )=2

y '= c e−x

(1+ce− x)2

c e−x

(1+c e−x )2= 11+c e−x

− 1(1+c e−x )2

c e−x

(1+c e−x )2=1+c e

−x−1(1+ce− x)2

c e−x

(1+c e−x )2= ce− x

(1+c e− x)2

a. y= 1

1+c e−x= 1

1+ce0= 11+c

−13

= 11+c

−3=1+c c=−4

10. Verifique que y2 (1−x2 )−cos2 x=c es solución general de la ecuación diferencial

y '= x y2−cosxsenxy (1−x2)

. Calcule además la solución particular si

a. y (0 )=2 b. y (π )=0

y2 (−2x )+(1−x2 )2 y dydx

+2cosxsenx=0

y2 (−2x )+(1−x2 )2 y dydx

=−2cosxsenx

(1−x2 )2 y dydx

=−2cosxsenx+2x y2

dydx

=−2cosxsenx+2 x y2

(1−x2 )2 y

dydx

=2 (−cosxsenx+x y2)

(1−x2 )2 y

dydx

=−cosxsenx+x y2

(1−x2 ) y

11. Resuelva cada una de las siguientes ED por separación de variables.

a. dx+e3x dy=0

dy=−dxe3x

∫ dy=∫ dx

e3 x

y=∫ e−3 xdx

por cambio de variable

u=−3x u=−3dx dx=−du3

y=−13 ∫ eudu

y=−13eu+c

y=−13e−3 x+c

b. dy−( y−1)2dx=0

dx= dy

( y−1)2

∫ dx=∫ dy

( y−1)2

u= y−1 d u=dy

∫ dx=∫ du

u2

∫ dx=∫ u−2du

x=u−1

−1+c

x=−1u

+c

x= −1y−1

+c

c. ex ydydx

=e− ye−2x− y

ydye− y

= e−2 xe− y

e xdx

ye−2 y

dy= e−2x

exdx

y e2 ydy=e−x e−2x dx

y e2 ydy=e−3x dx

∫ y e2 y dy=∫ e−3x dx

∫ y e2 y dy

Por partes

∫udv=uv−∫vdu

u= y du=dy

dv=e2 y dy v=12e2 y

por sustitución

u=2 y du=2dy du2

=dy

∫ e2 y dy=12∫eudu

12∫ e

udu=12eu+c=1

2e2 y

∫ e2 y ydy=e2 y y2

2−∫ y2

22e2 y

∫ e2 y ydy=12 e2 y y2−∫ y2e2 y

∫ y e2 y dy= y 12 e2 y−1

2∫e2 y dy

∫ y e2 y dy= y 12 e2 y−1

4e2 y+c

∫ e−3 xdx

por cambio de variable

u=−3x d u=−3 dx d u=−du3

−13 ∫eudu

−13eu+c

−13e−3x+c

y12e2 y− 1

4e2 y=−1

3e−3 x+c

12e2 y ( y−1

2)=−1

3e−3 x+c

d. x2 dydx

= y−xy

x2dydx

= y (1−x)

dyy

=(1−x )x2

dx

∫ dyy

=∫ (1− x)x2

dx

lny=∫ 1

x2dx−∫ x

x2dx

lny=∫ x−2dx−∫ 1xdx

ln ( y )= x−1

−1−ln (x )

ln ( y )=−1x

− ln (x )+c

e.dNdt

+N=Nt e t+2

dNdt

=Nt e t+2−N

dNdt

=N (t e t+2−1)

dNN

=(t e t+2−1)dt

∫ dNN =∫(t e t+2−1)dt

lnN=∫ t et+2dt−t

∫ t et+2dt

Por partes

∫udv=uv−∫vdu

u=t du=dt

dv=et+2dt v=e t+2+c

∫ et+2dt

∫ et e2dt

e2∫ etdt

e2 et=e t+2

∫udv=uv−∫vdu

∫ t et+2dt=t et+2−∫ et+2dt=t e t+2−e t+2+c

lnN=t et+2−et+2−t+c

f. ydy=x (1+x2 )−12 ¿

ydy¿¿

∫ y¿¿ ¿

Sean

u=1+ y2 du=2 ydy du2

= ydy

v=1+x2 dv=2xdx dv2

=xdx

∫ du

2u12

=∫ dv

2v12

12∫ u

−12 du=1

2∫ v

−12 dv

12u

−12 =12v

−12 +c

1

2u12

= 1

2v12

+c

1

2√u= 1

2√v+c

1

2√1+ y2= 1

2√1+x2+c

g. dPdt

=P−P2

dP

P−P2=dt

∫ dP

P−P2=∫dt

∫ dPP(1−P)

=∫dt

∫ 11−P

dt=∫ dt

ln (1−P )=t+c

h.dydx

= xy+2 y−x−2xy−3 y+ x−3

dydx

=x ( y−1 )+2( y−1)x ( y+1 )−3 ( y+1)

dydx

=( y−1 )(x+2)( y+1 )( x−3)

( y+1 )( y−1 )

dy=(x+2)(x−3)

dx

∫ ( y+1 )( y−1 )

dy=∫ (x+2)(x−3)

dx

u= y−1 y=u+1 v=x−3 x=v+3

du=dy dv=dx

∫ u+1+1udu=∫ v+2+3v

dv

∫ u+2u du=∫ v+5v dv

∫(1+ 2u)du=∫(1+ 5

v)dv

u+2 lnu+c1=v+5 lnv+c2

y−1+2 ln ( y−1 )+c1=x−3+5 ln (x−3)+c2

y−1+2 ln ( y−1 )=x−3+5 ln ( x−3 )+c

12. Verifique que cada una de las siguientes ecuaciones es lineal, determine la solución general para cada una y calcule el mayor intervalo en el cual está definida esta solución

a. x2 y '+xy=1

y'+ xx2y= 1

x2

y '+ 1xy= 1

x2

P ( x )=1x

f ( x )= 1

x2

FI=e∫ 1x dx=e lnx=x

ddx

( xy )=x 1x2

ddx

( xy )=1x

xy=∫ 1x dx

xy=lnx+c

y= lnx+cx

b. y '=2 y+x2+5

y '−2 y=5+x2

P ( x )=−2

f ( x )=5+ x2

FI=e∫−2dx=e−2x

ddx

(e−2 x y )=x (5+ x2)

e−2x y=∫(5x+x3)dx

e−2x y=5 x2

2+ x

4

4+c

y=

5x2

2+ x

4

4+c

e−2x

y= 1e−2x

(5 x2

2+ x

4

4+c )

c. xdydx

− y=x2 senx

dydx

−1xy=xsenx

P ( x )=−1x

f ( x )=xsenx

FI=e∫−1xdx=e−lnx=−x

ddx

(e−lnx y )=−x . xsenx

e−lnx y=∫−x2 senxdx

e−lnx y=−∫ x2 senxdx∫ x2 senxdx

Por partes

∫udv=uv−∫vduu=x2 du=2 xdx

du2

=xdx

d v=senxdx v=−cosx

−∫ x2 senxdx=−x2 cosx+∫2 xcosxdx

−∫ x2 senxdx=−x2 cosx+2∫ xcosxdx

2∫ xcosxdx

u=x du=dx

d v=cosxdx v=senx

∫ xcosxdx=xsenx−∫ sendx∫ xcosxdx=xsenx+cosx

−∫ x2 senxdx=−x2 cosx+2(xsenx+cosx )

e−lnx y=x2 cosx−2 xsenx−2cosx+c

y= x2 cosx−2 xsenx−2cosx+c

e−lnx

d. ( x+1 ) dydx

−xy=x+x2

dydx

− xx+1

y= x+x2

x+1dydx

− xx+1

y=x (1+x )x+1

dydx

− xx+1

y=x

P ( x )= xx+1

f ( x )=x

FI=e∫ xx +1

dx

u=x+1 x=u−1 du=dx

∫ xx+1

dx=∫ u−1u du=∫( uu−1u)du=∫(1−1

u)du=u−lnu+c=x+1−ln (x+1 )+c

FI=ex+1−ln ( x+1 )

ddxex+1−ln ( x+1 ) y=ex+1−ln ( x+1 ) x

ex +1−ln (x +1) y=∫ ex+1−ln ( x+1 ) xdx

∫udv=uv−∫vduu=x dv=ex+1−ln ( x+1 )dxdu=dx v=ex+1− ln ( x+1 )

∫ x ex+1−ln ( x+1 )dx=x ex+ 1−ln ( x+1 )−∫ex+ 1−ln ( x+ 1) dx

∫ x ex+1−ln ( x+1 )dx=x ex+1−ln ( x+1 )−ex +1−ln (x+1)

∫ x ex+1−ln ( x+1 )dx=ex+1−ln ( x+1 ) ( x−1 )+c

ex +1−ln (x +1) y=ex+1−ln ( x+1 ) ( x−1 )+c

y=ex +1−ln (x +1) ( x−1 )+c

ex+1−ln ( x+1)

y=x−1+ c

e x+1−ln ( x+1)

e.dPdt

+2tP=P+4 t−2

dPdt

+2tP−P=4 t−2

dPdt

+P (2 t−1)=4 t−2

P ( t )=2t−1f ( t )=4 t−2

FI=e∫ (2 t−1 )dt=e t2−t

ddte t

2−t P=et2−t (4 t−2)

e t2−t P=∫ et

2−t(4 t−2)

f. ydx=( y ey−2x )dyy

( y e y−2x )=dydx

0=dydx

− y

( y e y−2 x )

P ( x )= 1

( y ey−2x )f ( x )=0

FI=e∫( 1

ye y−2x )dx

g. ( x+1 ) dydx

+ y=lnx

dydx

+ yx+1

= lnxx+1

P ( x )= 1x+1

f ( x )= lnxx+1

FI=e∫ ( 1x+1 )dx=e ln ( x+1)=x+1

ddx

(x+1) y= ( x+1) lnxx+1

ddx

(x+1) y= lnx

(x+1) y= ∫ lnx( x+1 ) y=xlnx−x+c

y= xlnx−x+cx+1h. cos2 x senxdy+ ( y cos3 x−1 )dx=0

cos2 x senxdy=−( y cos3 x−1 )dxdydx

=− ycos3 x−1cos2 x senx

dydx

= − y cos3 xcos2 x senx

+ 1cos2 x senx

dydx

+ cosxsenx

y= 1

cos2 x senxcosxsenx

=cotx 1senx

=cscx 1

cos2 x=sec2 x

dydx

+(cotx) y=sec2 xcscx

P ( x )=cotxf ( x )=sec2 xcscxFI=e∫cotxdx=e ln (senx )=senx

ddx

(senx) y=senx sec2 xcscx

senxcscx=1ddx

(senx) y=sec 2 x

(senx) y=∫ sec2 x( senx ) y=tanx+c

y= tanx+csenx

y= tanxsenx

+ 1senx

c

tanxsenx

=secx

y=secx+c(cscx)

13. determine si la ecuación es exacta, en caso de serlo, resuélvala

a. (x2− y2 )dx+(x2−2 xy )dy=0

M=(x2− y2 )

N= (x2−2xy )

ddyM= d

dy(x2− y2)=−2 y

ddxN= d

dx(x2−2xy )=−2 y

df (x , y)dx

=x2− y2

f (x , y )=∫ (x2− y2 )dx+g ( y )= x3

3− y2 x+g ( y )

df (x , y)dy

=−2 yx+g' ( y )

−2 yx+g' ( y )=x2−2xy

g' ( y )=x2−2 xy+2 yx

g' ( y )=x2

∫ g' ( y )=∫ (x2 )dy

g ( y )=x2 y+c

b. (3 x2 y+ey )dx+(x3+x ey−2 y )dy=0M=3 x2 y+ey

N=x3+x e y−2 ydMdy

=3 x2+e y

dNdx

=3 x2+e y

ddxf (x , y )=3 x2 y+e y

f ( x , y )=∫(3x¿¿2 y+e y)dx+g( y )¿

f ( x , y )=x2 y+x e y+g ( y )ddyf ( x , y )=x2+ xe y+g' ( y )

x2+ xe y+g' ( y )=x3+x e y−2 yg' ( y )=x3+ xe y−2 y−x2−x e y

g' ( y )=x3−2 y−x2

g ( y )=∫(x3−2 y−x2)dy

g ( y )=x3 y− y2−x2 y+cf ( x , y )=x2 y+x e y+x3 y− y2−x2 y+cf ( x , y )=x ey+x3 y− y2+c

c. (5 y−2 x ) y '−2 y=0

(5 y−2 x ) dydx

−2 y=0

(5 y−2 x ) dydx

=2 y

(5 y−2 x )dy=2 ydx(5 y−2 x )dy−2 ydx=0M=−2 yN=5 y−2xdMdy

=−2

dNdx

=−2

ddxf ( x , y )=−2 y

f ( x , y )=∫(−2 y )dx+g ( y )

f ( x , y )=−2 yx+g( y )ddyf ( x , y )=−2 x+g ' ( y )

−2 x+g ' ( y )=5 y−2xg' ( y )=5 y−2 x+2xg' ( y )=5 yg ( y )=∫5 ydyg ( y )=5

2y2+c

f ( x , y )=−2 yx+52y2+c

d. ( 1

1+ y2+cox−2xy ) dydx= y ( y+senx)

( 1

1+ y2+cox−2xy )dy= y ( y+senx)dx

( 1

1+ y2+cox−2xy )dy− y ( y+senx)dx=0

M=− y ( y+senx)

N= 1

1+ y2+cosx−2 xy

dMdy

=−2 y−senx

dNdx

=−senx−2 y

ddxf (x , y )=− y ( y+senx)

ddxf ( x , y )=− y2+ ysenx

f ( x , y )=∫ [− y2+ ysenx ]dx+g ( y)

f ( x , y )=− y2 x− ycosx+g( y)ddyf ( x , y )=−2 yx−cosx+g '( y)

−2 yx−cosx+g '( y)= 1

1+ y2+cosx−2 xy

g' ( y )= 1

1+ y2+cosx−2xy+2 yx+cosx

g' ( y )= 1

1+ y2

g ( y )=∫( 1

1+ y2 )dyg ( y )=ln (1+ y2)+cf ( x , y )=− y2 x− ycosx+ ln (1+ y2 )+c

e. (e x+ y )dx+(2+x+ y e y )d y=0(e x+ y )dx+(2+x+ y e y )d y=0M=ex+ yN=2+ x+ y e y

dMdy

=1

dNdx

=1

ddxf (x , y )=ex+ y

f ( x , y )=∫ (e x+ y )dx+g( y)f ( x , y )=ex+ yx+g( y)ddyf ( x , y )=x+g' ( y)

x+g' ( y)=2+x+ y ey

g' ( y )=2+x+ y ey−xg' ( y )=2+ y e y

g ( y )=∫ (2+ y e y )dyg ( y )=∫ (2+ y e y )dy∫ y e y dy∫udv=uv−∫vduu= y d v=e ydydu=dy v=e y

∫ y e y dy= y e y−∫e y dy∫ y e y dy= y e y−e y+cg ( y )=2 y+ y e y−e y+cf ( x , y )=ex+ yx+2 y+ y e y−e y+c

f. ( seny− ysenx )dx+( cosx+xcosy− y )dy=0M=seny− ysenxN=cosx+xcosy− ydMdy

=cosy−senx

dNdx

=−senx+cosy

ddxf (x , y )=seny− ysenx

f ( x , y )=∫ ( seny− ysenx )dx+g( y)f ( x , y )=xseny− ycosx+g( y )ddyf ( x , y )=xcosy−cosx+g' ( y )

g' ( y )=cosx+xcosy− y−xcosy+cosxg' ( y )=2cosx− yg ( y )=∫ (2cosx− y )dy

g ( y )=2 ycosx−12y2+c

f ( x , y )=xseny− ycosx+2 ycosx−12y2+c

f ( x , y )=xseny+ ycosx−12y2+c

g. (1+lnx+ yx )dx= (1−lnx )dy

(1+lnx+ yx )dx− (1−lnx )dy=0

M=1+lnx+ yx

N=−1+ lnxdMdy

=1/ x

dNdx

=1/ x

ddxf (x , y )=1+lnx+ y

x

f ( x , y )=∫(1+ lnx+ yx )dx+g ( y)f ( x , y )=x+xlnx−x+ ylnx+g ( y )f ( x , y )=xlnx+ ylnx+g( y )

ddyf ( x , y )=lnx+g' ( y )

lnx+g' ( y )=−1+lnxg ' ( y )=−1+lnx−lnxg ' ( y )=−1g ( y )=−1∫dyg ( y )=− y+cf ( x , y )=xlnx+ ylnx− y+cf ( x , y )=( x+ y ) lnx− y+c

h. (2 y−1x +cos 3x ) dydx + yx2

−4 x3+3 ysen 3x=0

(2 y−1x +cos 3x ) dydx=− yx2

+4 x3−3 ysen3 x

(2 y−1x +cos 3x )dy=(− yx2 +4 x3−3 ysen3 x)dx(2 y−1x +cos 3x )dy−(− yx2 +4 x3−3 ysen3 x)dx=0M= y

x2−4 x3+3 ysen3 x

N=2 y−1x+cos3 x

dMdy

= 1

x2+3 sen3 x

dNdx

=−1x2

−3 sen3 x