Solucion Tercera Practica Calificada de Matematica II Ucv 2015.2

8/17/2019 Solucion Tercera Practica Calificada de Matematica II Ucv 2015.2

1/5

SOLUCION TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMATICA II

PREGUNTA Nº 1 ( 6 PUNTOS)

A) Utilizando el método de las trayectorias, compruebe que el siguientelímite no existe

lim( x, y ) →(0,0)

xy

x2+ y2

Solución:

El dominio de esta función es D !" # {(0,0) } $ %ara comprobar que le límite

no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento alpunto &',')$

∎ (obre el ee * (y = 0) cada punto es de la forma &x,') y el límite en esta

dirección es+

lim( x, y ) →(0,0)

xy

x2+ y2

lim( x, y ) →( x , 0)

xy

x2+ y2

x (0)

x2+(0)2

= 0

x2=0

∎(obre la trayectoria y=x cada punto es de la forma &x,x) y el límite en esta

dirección es

lim( x, y ) →(0,0)

xy

x2+ y2

lim( x, y ) →( x , x)

xy

x2+ y2

x ( x)

x2+( x )2

= x

2

x2+ x2

= x

2

2 x2=

1

2

Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en &',') existenpuntos &x,y) en los cuales f ale -." y ' $ /uego f no puede tener límite

cuando &x,y) → &',').

0) 1alcule el límite siguiente+lim

( x, y ) →(1,1)

x− y

x3− y3

(olución

Ealuando d2+1−1

(1)3−13=

0

0 la cual es una indeterminación, entonces

factorizando el denominador, recordando que+ A3 4 03 &A # 0)&A" 5 A0 5 0"),luego+


2/5

x2+ xy+ y2

¿( x− y ) ¿

x− y¿

lim( x, y ) →(1,1)

x− y x

3− y3= lim

( X ,Y ) →(1,1)¿

c) Utilizando coordenadas polares calcule el siguiente límite+

lim( x, y ) →(0,0)

xy

√ x2+ y2

(olución

Ealuando d2+(0 )(0)

√ (0)2+(0)2

=0

0 la cual es una indeterminación, luego usando

coordenadas polares, cuando &x,y) → &',') entonces r →0 , luego el

r . cosθ. senθ=0.cosθ.senθ=¿

lim

( x, y ) →(0,0)

xy

√ x2

+ y2= lim

r → 0

(r .cosθ )(r.senθ)

r

=limr → 0

¿ '

%ues, |cosθ .senθ|≤1 para cualquier alor de θ .

PREGUNTA Nº ( ! PUNTOS)

Determine si la función g es continua en (0,0), si

g&x,y) x

4+2 x2+2 y2+ y 4

x2+ y2 si &x,y) 6 &',')

" si &x,y) &',')

Solución:

(i) g (0,0)=2 . %or tanto, se cumple la primera condición$

&ii) 7eremos silim

( x, y ) →(0,0)g ( x , y ) Existe

, para ello calculemos el límite+


3/5

lim( x, y ) →(0,0)

x4+2 x2+2 y2+ y4

x2+ y2 , ealuando da+

0

0

∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m 6 ',

tenemos+

lim( x, y ) →(0,0)

x4+2 x2+2 y2+ y4

x2+ y2

= lim( x ,mx )→(0,0)

x4+2 x2+2(mx)2+(mx)4

x2+(mx )

2 =¿

¿ lim( x, mx ) →(0,0)

x4+2 x2+2m2 x2+m4 x4

x2+m2 x2

= lim( x , mx )→ (0,0)

x2( x2+2+2m2+m4 x2)

x2(1+m2)

=¿

¿ (0)2+2+2m2+m4(0)2

(1+m2

)

=2+2m2

1+m2 =

2(1+m2)

1+m2 =2

∎ Usando como trayectoria la par2bola yx", luego tenemos que+

lim( x, y ) →(0,0)

x4+2 x2+2 y 2+ y4

x2+ y2

= lim( x , x2) →(0,0)

x4+2 x2+2( x2)2+( x2)4

x2+ ( x2 )

2 =¿

x

x2

(¿¿2+2+2 x2

+ x6

) x

2 (1+ x2 ) = lim

( x, x2) → (0,0 )

x2

+2+2 x2

+ x6

1+ x2 =¿

¿ lim( x , x2) →( 0,0)

¿

¿ (0)2+2+2(0)2+(0)6

1+(0)2 =

2

1=2

Luego lim( x , y ) →(0,0)

g ( x , y ) Existe y es2

(iii) lim( x, y ) →(0,0)

g ( x , y )=g (0,0 )=2

%or tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que

cumple con las tres condiciones de continuidad$

PREGUNTA Nº ( ! PUNT"#)

Dada f&x,y) x e x

2 y

, 8allar f x y f y, y ealuar cada una en el punto &-,ln")$

#oluci$n


4/5

∎ f&x,y) x e x

2 y

f x&x,y) x . e x

2 y.2 xy+e x

2 y=e x

2 y [2 xy+1 ]

f x&-,ln") e(1)2 ln 2 [2 (1 ) ln2+1 ]=2 [2ln2+1 ]=4ln2+2

∎ f&x,y) x e x

2 y

f y&x,y) x . e x

2 y

. x2= x3. e x

2 y

f y&-,ln") (1)3

. e

(1)2 ln2

=eln 2

=2

PREGUNTA Nº % (% PUNT"#)

A) 7erificar que si

222 2 z y xw −+=, se cumple

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

z

w

y

w

x

w

0) (i

zx yz xyu

++= , donde t x

1=

,

t e y =

,

t

e z −

=

, calculardt

du

(9/U1:9;

dt

dz

z

u

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

du⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

u

( ) ( ) ( ) ( )t t e y xe z xt

z y −−++++

−+

2

1

PREGUNTA Nº & ( % PUNT"#)

A)


5/5

Solucion Tercera Practica Calificada de Matematica II Ucv 2015.2

Documents

Transcript of Solucion Tercera Practica Calificada de Matematica II Ucv 2015.2