Solucionario 2010 -II TEMA P Matemát Matemáticacloud.vallejo.com.pe/MATEt4THPpXnBUCM.pdf · Tema:...

Matemát

Solucionario

2010 -IIExamen de admisión

Matemática

1

TEMA P

Pregunta N.º 1Se tienen dos lingotes de plata, el primero de ley 0,750 y el segundo de ley 0,950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0,900?

A) 400 g, 1400 g B) 450 g, 1350 g C) 500 g, 1300 g D) 550 g, 1250 g E) 600 g, 1200 g

ResoluciónTema: Regla de mezcla (aleación)

Análisis y procedimiento

L1=0,750 L2=0,950

W1= gN W2=(1800– ) gN 1800 g

ley=0,900

ingredientes mezcla

Ley media = ++

L W L WW W1 1 2 2

1 2

→ = + −

+ −0 900

0 750 0 950 18001800

,( , ) ( , )( )

( )N NN N

Luego

N=450

\ W1=450 g; W2=1350 g

Respuesta

450 g; 1350 g

AlternAtivA B

Pregunta N.º 2Sean E un espacio muestral, A y B subconjuntos

de E y P: P (E) → [0, 1] una función de probabi-

lidad tal que P(A)=0,5, P(B)=0,4. Si A y B son

independientes, halle P(A ∪ BC).

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3

D) 0,8 E) 0,9

ResoluciónTema: Probabilidad

Análisis y procedimientoDel enunciado, A y B son subconjuntos del espa-

cio muestral, además,

P(A)=0,5

P(B)=0,4

También sabemos que A y B son eventos inde-

pendientes, entonces, se cumple que

P(A ∩ B)=P(A) · P(B)

Reemplazando tenemos

P(A ∩ B)=(0,5) · (0,4)

P(A ∩ B)=0,2

2

unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO

Recordemos que si el evento coincide con el espacio muestral, a este evento se le llama evento seguro; entonces, E=Ω y la probabilidad de todo evento seguro es igual a 1.

Gráficamente, tendríamos

P B( )=0,4P A( )=0,5

0,2

0,2 0,3

P A B( )C

P ( )=1

0,3

Del gráfico, se observa que P(A ∪ BC)=0,5+0,3=0,8.

Respuesta0,8

AlternAtivA D

Pregunta N.º 3Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respec-tivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como a 13, 17 y 19. Determine n.

A) 390 B) 650 C) 910 D) 1170 E) 1430

ResoluciónTema: Magnitudes proporcionales

Análisis y procedimientoDado que A; B y C están en relación DIRECTA a 5; 7 y 11, tenemos que

A=5K B=7K C=11K

Luego de sumar 130; 260 y n a cada uno de ellos, respectivamente, tenemos que

5 13013

7 26017

1119

K K K n+ = + = +(*)

K= –195

Reemplazando en (*)

7 195 260

1711 195

19( ) ( )− + = − + n

Efectuando

n=910

Respuesta910

AlternAtivA C

Pregunta N.º 4El número 5α10β en base 10 es divisible por 72;

entonces el valor de αβ

es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

ResoluciónTema: Teoría de divisibilidad

Recordemos algunos criterios de divisibilidad.

• Siabcd=8o → bcd=8

o

4 2 1

→ 4 2 8b c d+ + =o

• Siabcd=9o → a b c d+ + + = 9

o

3

unI 2010 -IISolucionario de Matemática

Análisis y procedimientoPor dato, tenemos que

5α10β= 728

9

oo

o

• Usandoel criteriodedivisibilidadpor8 setiene que

10 8 4 8421β β= → + =

o o

→ β=4

• Usandoel criteriodedivisibilidadpor9 setiene que

5 104 9 5 1 0 4 9α α= → + + + + =o o

→ α=8

Luego, el valor de αβ= =84

2.

Por lo tanto, αβ

es igual a 2.

Respuesta2

AlternAtivA C

Pregunta N.º 5Al multiplicar un número de cinco cifras por 99 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 18 828. Calcule la diferencia entre el mayor y el menor número formado con las cifras del número original.

A) 72 349 B) 74 394 C) 74 943 D) 79 342 E) 79 472

ResoluciónTema: Operaciones fundamentales en Z+

Análisis y procedimientoSea el número original abcde.

Del dato

abcde×99=...18828

abcde×(100 – 1)=...18828

Entonces

abcde00 – abcde=...18828

abcde00=...18828+abcde

→ abcde

abcde00

...18828+1111 analizando la adición

e b=2; =8

d a

c

=7; =1

=3

Formando el mayor y el menor numeral con las cifras del número original y restando tenemos

mayor 87321menor

→ −→ 12378

74943

Respuesta74 943

AlternAtivA C

Pregunta N.º 6El plazo (en meses) al que debe imponerse un

capital a una tasa de interés del 10% bimestral,

capitalizable cuatrimestralmente, para que se

incremente en un 72,8%, es

A) 3 B) 4 C) 6

D) 9 E) 12

4


ResoluciónTema: Regla de interés

Análisis y procedimientoSea C el capital depositado

Por dato

• r%=10% bimestral <> 20% cuatrimestral

• ComoC es capitalizable cuatrimestralmente, entonces cada 4 meses los intereses se acumulan al capital.

Gráficamente

4 meses 4 meses 4 meses

C 120%C 144%C 172,8%C+ + +

20%C

24%C20%(120% )C

28,8%C

20%(144% )C

el capitalse incrementóen el 72,8%

Del gráfico, observe que en el tercer periodo el

monto es 172,8% del capital, entonces en 12

meses el capital se incrementa en 72,8%.

Respuesta12

AlternAtivA e

Pregunta N.º 7Dos fracciones que tienen denominadores 13 y por numeradores dos números enteros conse-cutivos comprenden entre ellas la fracción cuyo valor decimal es 0 1545, . Halle la menor de las fracciones.

A) 2/13 B) 3/13 C) 4/13 D) 5/13 E) 6/13

ResoluciónTema: Números racionales (fracciones y decimales)

Análisis y procedimientoObservaciónEl número decimal 0, 5451

equivalente a 0,15454545... está incorrectamente representado, pues la forma correcta de representarlo es 0, 541

.

Por dato del problema, tenemos

• n13

< < +AB

n 113

(I)

• AB

= 0 154, (II)

De (II) tenemos

AB= = − =0 154

154 1990

17110

, → AB

= 17110

Reemplazando en (I) tenemos

n n13

17110

113

< < +

→ n n< × ∧ × < +13 17110

13 17110

1

\ n=2

Entonces, la menor fracción es 2/13.

Respuesta2/13

AlternAtivA A

Pregunta N.º 8Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8 personas que afirman pueden terminar la obra en 10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar el quinto día de trabajo se decide incrementar la jornada a 10 horas diarias y contratar más per-sonas para culminar el resto de la obra en 2 días. Calcule la cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional.

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

5


ResoluciónTema: Magnitudes proporcionales


obra

8 personas / 10 días / 8 h/dInicialmente:

Se hizo así: 8 personas

5 días

8 h/d

(8+ ) personas

2 días

10 h/d

x

se contratarán

personas adicionales

x

Se observa que las 8 personas han trabajado la mitad del tiempo indicado para concluir la obra, por lo tanto, solo han hecho la mitad del trabajo. En consecuencia, ahora todos los obreros con el grupo que se incorpora deberán terminar la obra, es decir, deberán realizar la mitad del trabajo.

Además, recordemos que

(N.º de obreros)(N.º de días)(N.º h/d)=cte.

Reemplazando valores, tenemos que

8×5×8=(8+x)×2×10

\ x=8

Respuestax=8

AlternAtivA A

Pregunta N.º 9Dadas las funciones f, g: R → R, definidas por f(x)=|x – 2|+2 y g(x)=– (x2+2). Determine f+g.

A) − −

− ≥

− +

+ <

x x

x x

12

74

2

12

94

2

2

2

,

,

B) − −

+ ≥

− +

− <

x x

x x

12

14

2

12

54

2

2

2

,

,

C) x x

x x

+

− ≥

−

+ <

12

94

2

12

74

2

2

2

,

,

D) x x

x x

−( ) + ≥

− +( ) − <

174

2

114

2

2

2

,

,

E) − −

− ≥

− +

+ <

x x

x x

12

14

2

12

74

2

2

2

,

,

ResoluciónTema: Álgebra de funciones

Recuerde

Sean las funciones

f: A → B y g: C → D

Se define

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Dom(f+g)=Domf ∩ Domg

Análisis y procedimientoNos piden determinar f+g.

Datos

f(x)=|x – 2|+2; Domf=R

g(x)=– x2 – 2; Domg=R

Entonces

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

6


Reemplazando los datos

(f+g)(x)=|x – 2|– x2

y además

Dom(f+g)= Domf ∩ Domg=R ∩ R=R

Redefiniendo la función

f g

x x x

x x xx+( ) =

− + − ≥

− − + <

( )

2

2

2 2

2 2

;

;

Completando cuadrados, obtenemos lo siguiente.

f gx x

x xx+( ) =

− −

− ≥

− +

+ <

( )

12

74

2

12

94

2

2

2

;

;

Respuesta

− −

− ≥

− +

+ <

x x

x x

12

74

2

12

94

2

2

2

;

;

AlternAtivA A

Pregunta N.º 10Sean los números complejos z=x+iy y

u x iy x= + >, 0 y los conjuntosA=z/1 ≤ |z+4i| ≤ 2,

B u x iy u i= = − + ≥ / 4 0

¿Cuál de las siguientes gráficas representa a A ∩ B?

A) 4

B) 4

C) 4

D) 4

E) 4

ResoluciónTema: Números complejos

En la resolución de este problema utilizaremos algunas propiedades de módulo de un com-plejo y luego graficaremos regiones generadas por conjuntos cuyos elementos son números complejos.

Análisis y procedimientoHallamos las regiones determinadas por los conjuntos A y B.

A z x yi z i= = + ≤ + ≤ 1 4 2

1 4 2≤ + ≤z i

↔ ≤ + ≤1 4 2z i

↔ 1 4 2≤ − ≤z i

7


Se observa que el conjunto A es una corona centrada en z0=4i, de radios r=1 ∧ R=2. Es decir

4

2

3

4

3

2

B u x yi u i x= = − + ≥ ∧ > 4 0 0

Como |u+4i| ≥ 0 siempre se cumple ∧ x>0, entonces, B es un semiplano de puntos (x; y), tal que x>0. Es decir

Por lo tanto, A ∩ B es

4

RespuestaNinguna alternativa coincide.

no hAy ClAve

Pregunta N.º 11Señale cuál de las figuras representa adecuada-mente la gráfica de la función

f(x)=log(|x|+1)+log(|x| – 1)

0

Y

X

1

2

–1

–2

–1–2 1 2

A)

0

Y

X

1

2

–1

–2

–1–2 1 2

B)

0

Y

X

1

2

–1

–2

–1–2 1 2

C)

8


0

Y

X

1

2

–1

–2

–1–2 1 2

D)

0

Y

X

1

2

–1

–2

–1 1 2

E)

–2

ResoluciónTema: Función logarítmica

Recuerde que f es una función par si y solo si f(x)=f(– x) ; ∀– x ∧ x ∈ Dom(f), y que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y.

Análisis y procedimientoI. La existencia de la función está garantizada

cuando |x|– 1 > 0.

→ |x| > 1

→ x ∈ ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩

Luego, Dom(f)= ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩

II. La función es par.

En efecto, sea x ∈ Dom(f)

→ f(x)=log(|x|+1)+log(|x|– 1)

=log(|– x|+1)+log(|– x|– 1)

=f(– x)

III. Si x ∈ ⟨1; +∞⟩ → f(x)=log(x+1)+log(x– 1)

=log(x2 – 1)

además, x=1 es una asíntota y f2

0( ) = también es fácil de ver que f(2) < 1.

Entonces, la gráfica de f es dada por

Y

X1 22

1

Finalmente, como la función es par, su gráfica es dada por

Y

X–1–2 1 2

1

Respuesta

Y

X–1–2 1 2

1

AlternAtivA A

Pregunta N.º 12Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)I. Si A es una matriz de orden n×n, entonces

A – AT=0.

II. Si

A =

1 10 1

, entonces Ann =

10 1

donde n es un número natural.

9


III. Si

a

bab

21 1

1 31

2 51 4

=

++

,

entonces a – b=0

A) VVV B) VVF C) FFV D) FVV E) FFF

ResoluciónTema: Matrices

Debemos tener en cuenta la siguiente definición.

• A1=A

• A A A A An

n

= × × × ×...veces

Análisis y procedimientoI. Falso Porque si A ∈ Rn×n, no necesariamente

A=AT

Por ejemplo

Si A AT=

→ =

0 10 0

0 01 0

∧

A AT− =−

≠

0 11 0

O

II. Verdadero En efecto, induciendo el resultado

A =

1 10 1

A2 1 10 1

1 10 1

1 20 1

=

=

A3 1 20 1

1 10 1

1 30 1

=

=

. .

.

Ann =

10 1

III. Verdadero En efecto, operando tenemos

ab

a b ab

21 1

1 31

2 3 21 4

=

+ ++

Igualando con el dato, obtenemos

a b ab

ab

+ ++

=

++

2 3 21 4

2 51 4

↔ a+2b=2+a ∧ 3a+2=5

b=1 ∧ a=1

Entonces,

a – b=0

RespuestaFVV

AlternAtivA D

Pregunta N.º 13Halle el valor de a ∈ R, para que la inecuación

a x x a2 214 4 4 0−( ) − + ≤ , tenga como solución

el conjunto [– 2; 4].

A) – 6 B) – 4 C) – 2 D) –1 E) –1/2

ResoluciónTema: Inecuación cuadrática

Para resolver el problema vamos a utilizar las siguientes propiedades.

1.o Dada la ecuación ax2+bx+c; a ≠ 0 de raíces x1; x2, se cumple que

x xba

x xca1 2 1 2+ = − ∧ =

2.o En una inecuación cuadrática ax2+bx+c><0; a ≠ 0, los puntos críticos son las raíces.

10


Análisis y procedimientoPiden el valor de a ∈ R, tal que

(a2 – 14)x2 – 4x+4a ≤ 0; CS=[– 2; 4]

Entonces, a2 – 14 > 0; – 2 ∧ 4 son los puntos críticos.

Aplicando la propiedad anterior

− + = − −

−2 4

4

142( )

a ∧ − =

−( )( )2 4

4

142a

a

Se tiene

2 14 4 2 142 2a a a−( ) = ∧ − −( ) =

a2=16 ∧ 2a2+a – 28=0

(a=4 ∨ a=– 4) ∧ (2a – 7)(a+4)=0

a a a a= ∨ = −( ) ∧ = ∨ = −

4 472

4,

Por lo tanto, a=– 4.

Respuestaa=– 4

AlternAtivA B

Pregunta N.º 14Dados los conjuntos A=(a1, a2) ∈ R2/(a1, a2) ∈ [3, 4]×[4, 5] y B=(b1, b2) ∈ R2 / b2

1+b22 ≤ 1.

Si se define A+B=a+b / a ∈ A, b ∈ B,determine el área de A+B.

A) 1+p B) 2+p C) 3+p D) 5+p E) 6+p

ResoluciónTema: Gráfica de relaciones

Utilizaremosladefinicióndelproductocartesianoy la suma de pares ordenados en R2.

Análisis y procedimientoDe la definición de (A+B), la circunferencia se va ha trasladar hacia la derecha y hacia arriba, entonces tendremos una gráfica aproximada:

A

2 3 4

2

3

4

5

1 2 3 4 5

2

3

4

5

1

sumando

6

cuarto de

circunferencia

B

–1 X

Y Y

X

Es decir un elemento de A+B es (a1+b1, a2+b2)entonces el área de A+B es

= + + + + +

1 1 1 1 1 44π

=5+p

Respuesta(5+p)

AlternAtivA D

Pregunta N.º 15El conjunto solución del sistema x2 – 2x – y=–1 x2+y2=1es:

A) (1, 1), (2, –1), (1, 0) B) (1, 2), (2, 1), (1, –1) C) (1, 0), (–1, –1) D) (1, 0), (0, 1) E) (–1, 1), (1, –1)

ResoluciónTema: Sistema de ecuaciones no lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales se pueden graficar las ecuaciones y evaluar los puntos de corte que serían las soluciones del sistema.

11



x x y

x y

2

2 2

2 1

1

− − = −

+ =

Completando cuadrados en la primera ecuación se tiene

( )x y

x y

− =

+ =

1

1

2

2 2

Graficando se obtiene

(0; 1)

x y2 2+ =1

y x=( –1)2

X

Y

1

(1; 0) 1

Se observa que los puntos de corte son (0; 1) y (1; 0), y estas son las soluciones del sistema no lineal.

Respuesta(1; 0), (0; 1)

AlternAtivA D

Pregunta N.º 16Determine el valor mínimo que toma la función objetivo, P(x, y)=10x+20y sujeta a las restric-ciones:

x yx yy x

+ ≥− ≤≤

22 2

A) – 70 B) – 20 C) 0 D) 20 E) 30

Resolución

Tema: Programación lineal

Para resolver el problema, vamos a graficar el

conjunto de restricciones para hallar la región

factible, luego, evaluamos en los vértices y elegi-

mos el menor valor.

Análisis y procedimientoPiden el valor mínimo que toma la función

P(x; y)=10x+20y

sujeta a las restricciones

x yx yy x

+ ≥− ≤≤

22 2

Reordenando el conjunto de restricciones

y x

yx

y x

≥ − +

≥ −

≤

22

2

I

II

III

Ahora, graficamos el conjunto de restricciones.

1 2

–1

1

región

factible

Y

X

I

II

III

(2;0)

(1;1)

Luego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x; y) se encontrará en un vértice o dos vértices consecutivos. En este caso, los vértices son (1; 1) ∧ (2; 0).

12


Evaluando en P(x; y)=10x+20y, se obtienen P(1; 1)=30 P(2; 0)=20

RespuestaLuego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x; y) es 20.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 17Determine la gráfica que corresponde a la función

f(x)=(x+2)(x+1)3(x – 3)6(x – 6)5

A) –1–2 63

B) –1–2 63

C) –1–2 63

D) –1–2 63

E) –1–2 63

ResoluciónTema: Gráfica de funciones polinomiales

Recuerde que

1.º Las raíces reales de la función polinomial intersecan al eje X.

2.º Si la raíz es de multiplicidad impar o simple, interseca al eje X; si la raíz es de multiplicidad par, es tangente al eje X.

Análisis y procedimientoSe observa que: 6 es raíz de multiplicidad impar.

– 1 es raíz de multiplicidad impar.

3 es raíz de multiplicidad par.

– 2 es raíz simple.

Además si x > 6 → f(x) > 0

Entonces, tenemos que la gráfica aproximada es

– 1 1 2 4 5 63

raíz de multiplicidad impar

(punto de inflexión)

raíz simple

raíz de multiplicidad par

raíz de multiplicidad impar

(punto de inflexión)

Y

X– 2

Respuesta

–1 6–2 3

AlternAtivA D

13


Pregunta N.º 18La ecuaciones de segundo grado:

x2+bx+c=0 y x2+b’ x+c’=0

tienen raíz común si

(c – c’)2+(b – b’)(bc’ – b’ c)=0

Determínese la condición para que las ecuaciones

x3+px+q=0 y x2+x+r=0

tengan una raíz común.

A) (r – p – r)(r2 – pr+q)=0

B) (r+q)2+(r – p –1)(r2 – pr+q)=0

C) (r+q)2+(r2 – pr+q)=0

D) (r+q)2+(r – p –1)=0

E) (r+q)2 – (r+p+1)(r2 – pr+q)=0

ResoluciónTema: Ecuación cuadrática y cúbica

Recuerde que si r es una raíz del polinomio

P(x)=a0xn+a1xn –1+...+an; a0 ≠ 0,

entonces

P(r)=0;

es decir

a0rn+a1rn – 1+...+an=0

Análisis y procedimientoComo las ecuaciones x3+px+q=0 y x2+x+r=0

tienen una raíz en común que sea x0, luego se

tiene que

x px q03

0 0+ + = (I)

x x r02

0 0+ + = (II)

En (II), multiplicando por x0, tenemos que

x x rx x x r03

02

0 02

00+ + = = − −y

↔ − − + =x x r rx03

0 0 0

Luego se tiene el sistema

x r x r

x px q

03

0

0

1 0

0

+ − − =

+ + =

( ) (III)

(I)03

Restando (III) y (I) , tenemos

(r – p – 1)x0= r + q

x

r qr p0 1

= +− −

Reemplazando en (II), se tiene

r qr p

r qr p

r+

− −

++

− −

+ =

1 10

2

Multiplicando por (r – p – 1)2, se tiene

(r+q)2+(r+q)(r – p – 1)+r(r – p – 1)2=0

( ) ( )r q r p r q r rp r+ + − − + + − −( ) =2 21 0

(r+q)2+(r – p – 1)(r2 – pr+q)=0

Respuesta

(r+q)2+(r – p – 1)(r2 – pr+q)=0

AlternAtivA B

Pregunta N.º 19Sean p, q, r proposiciones lógicas.Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. (p →q) → r ≡ p → (q → r)II. (p → q) ∨ p ≡ qIII. q ∧ (p → ∼ q) ≡∼(q → p)

A) VVV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF

ResoluciónTema: Lógica proposicional

Análisis y procedimientoPara determinar el valor de verdad, utilizaremos las leyes lógicas.

14


I. Falsa

( ) ( )

( )

p q r p q rp q

p q r

q r

p q r

→ → ≡ → →∨

∧ ∨

∨

∨ ∨

∼

∼

∼

∼ ∼

Por lo tanto, no son equivalentes.

II. Falsa

( )p q p qp q

→ ∨ ≡∨∼

verdadero

Por lo tanto, no son equivalentes.

III. Verdadera

q p q q pp q

q p

q p

q p

∧ → ≡ →∨

∧

∨

∧

( ) ( )∼

∼ ∼ ∼

∼

∼

∼

Por lo tanto, son equivalentes.

RespuestaFFV

AlternAtivA D

Pregunta N.º 20La longitud de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica de razón q > 1. Entonces q toma los valores

A) q > +1 52

B) 1 52

1 52

− < < +q

C) 11 52

< < +q

D) 1 52

1 62

+ < < +q

E) 1 62

1 72

+ < < +q

ResoluciónTema: Triángulo

Análisis y procedimientoSea q la razón geométrica y a la longitud del lado intermedio, entonces, los lados serán

A C

B

aaq

a q.

ABaq

=

BC=a

AC=a · q

Como todo lado es menor que la suma de los otros dos, el mayor de los lados debe ser menor que la suma de los menores lados.

Así aqaq

a< +

Luego, q2 – q – 1 < 0.

Completando cuadrados

q q2 14

54

− + <

q −

<12

54

2

− < − <52

12

52

q

1 52

1 52

− < < +q

Pero, según el dato, q > 1.

∴ < < 1+1

52

q

Respuesta

11 52

< < +q

AlternAtivA C

15


Pregunta N.º 21En un cuadrado ABCD se prolonga el lado AD

hasta el punto R. Desde un punto Q de BC se traza

QR que interseca a CD en P. Determine la medida

del ángulo APQ si PA=CR y m ∠ PAR=20º.

A) 55º

B) 60º

C) 65º

D) 70º

E) 75º

ResoluciónTema: Cuadrilátero


B

A

20º

D R

a

Px

Q

a

C

45º

45º

De la figura, ADP ≅ CDR.

Luego

DP=DR

Entonces

mPRD=45º

TAPR

x=45º+20º

Respuestax=65º

AlternAtivA C

Pregunta N.º 22En el paralelogramo ABCD se tiene AB=6 m y

BC=8 m. Se traza la bisectriz interior del ángulo

A la cual interseca a BC en E y a la prolongación

de DC en F; desde M, punto medio de EF, se traza

un rayo paralelo a CD que interseca al segmento

AD en N. Determine MN (en m).

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

ResoluciónTema: Cuadriláteros (paralelogramo)

Análisis y procedimientoPiden MN

1

1

1

66

A

B

N D

C

F

E

H

M

n

n

6

Del dato, AE es bisectriz del BAD, entonces

mBAE=mEAD=α.

Además, BC//AD, entonces

mAEB=mEAD=α.

Luego

ABE isósceles, AB=BE=6 y EC=2

También M es punto medio de EF y MN//FD

Entonces, EH=HC=1

Además, EHM es isósceles, entonces

EH=HM y ABHN es un paralelogramo,

entonces AB=HN=6.

16


Finalmente, MN=MH+HN

Reemplazando

∴ MN=7

RespuestaMN=7

AlternAtivA B

Pregunta N.º 23En la figura, se tiene una semicircunferencia con

diámetro BF, donde D es punto de tangencia. Si

AD=3 cm, EC=2 cm. Calcule AC (en cm).

A

B

C

F

ED

A) 6,0

B) 6,4

C) 6,8

D) 7,2

E) 7,6

ResoluciónTema: Semejanza de triángulos


Piden DE=.Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se

cumple que

AD=AB=3

DE=EF =

A

B

C

F

ED

3

3 2

Luego

ABC ∼ EFC

35 2+

=

6=(5+)1 1

Entonces, =1.

∴ DE=1

Respuesta6,0

AlternAtivA A

Pregunta N.º 24En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y D) sus diagonales se intersecan perpendicularmente en E. Si AD=3 m y AE=1 m. Determinar (en m) la proyección de BC sobre DC.

A) 21 24

B) 21 22

C) 9

D) 10

E) 11 2

17


ResoluciónTema: Relaciones métricas


3

26

1

1

8

A B

CSD 7mm

E

N

Piden SC.

Del gráfico

• SC: proyección de BC sobre DC

• ACD

(3)2=AC · 1

→ AC=9 y EC=8

• ADC

(DC)2+(3)2=(9)2

→ DC=6 2

• DAB ≅ DBS

→ SN=AE=1

• DNS ∼ DEC

DSDC

= 18

→ DS=m y CS=7m

• Luego

8m=6 2

m=34

2

∴ SC=7m=734

2214

2

=

Respuesta

La proyección de BC sobre DC es 214

2 .

AlternAtivA A

Pregunta N.º 25La figura muestra un semicircunferencia donde

GF=9 m y FD=7 m. Calcule la longitud del

segmento FE en metros.

A

B

C

D

E

F

G

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ResoluciónTema: Semejanza y relaciones métricas

Análisis y procedimientoSean AG=a y GC=b.

F

x

E

D

B

A G Cba

7

9

18


Como m BAC=m GDC

AGF ∼ DGC

ab

ab16

99 16= → = ( ) ( )I

Para la circunferencia

(x+9)2=ab, entonces,

(x+9)2=9(16)

Respuesta x=3

AlternAtivA C

Pregunta N.º 26Sea el exágono regular ABCDEF inscrito en una

circunferencia, sobre DE se ubica el punto T, se

trazan los segmentos AT y DF que se cortan en

el punto M, siendo M el punto medio de DF. Si

MT=3 cm, determine (en cm) el valor del apo-

tema del exágono.

A) 19

B) 21

C) 23

D) 24

E) 27

ResoluciónTema: Polígonos regulares

Análisis y procedimientoPiden el apotema del exágono regular ABCDEF=x

Dato

• TM=3

• Mes punto medio DF .

O

x

60º60º

120º

2a

2a

30º

3a

120º

3

2a

2a

2a

7 N

A F

EB

C D

3a

7a

30º

7

T

M

Sea la longitud del lado del exágono igual a 2a.En el triángulo isósceles DEF, mDEF=120º,

entonces DF=2 3a ; pero M es punto medio de

DF, por lo tanto, DM=MF=a 3 .

En el AFM: teorema de Pitágoras,

(AM)2=(2a)2+ a 32( ) , AM=a 7

Por el teorema de las cuerdas,

a a a a3 3 7 3 7( )( ) = ( )( ) =,

Finalmente, en el ONC: notable 30º y 60º,

CN= 7

∴ =x 21

Respuestax = 21

AlternAtivA B

Pregunta N.º 27UntriánguloisóscelesABC encierra una región de 16 m2 de área. Por B se traza la altura BH relativa al lado desigual AC. Entonces el área (en m2) de la región triangular formada al unir los puntos medios de AH, BH y BC es:

19


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ResoluciónTema: Relación de áreas

Análisis y procedimientoPiden A MNQ=B

A

B

CHQ

B

NM

Al ser M y N puntos medios de BH y BC,

respectivamente, se cumple

MN // AC

Entonces

A MNQ=A MNH=B

Luego por relación de áreas

A

B

CH

B

NM

k

k 2B4B

B

A ABC=8B=16

Entonces B=2

∴ A MNQ=2

RespuestaEl área es 2.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 28Se tiene el cubo ABCDEFGH de arista 2 cm.

Se construye el cuadrilátero achurado como se

muestra en la figura; tal que a = 12cm, b = 3

2cm,

c = 13cm. Determine el área del cuadrilátero

(en cm2).

H

b

ca

d

CD

G

F

BA

E

A) 4,64

B) 5,34

C) 6,14

D) 6,64

E) 7,54

ResoluciónTema: Ángulo diedro

20


Análisis y procedimientoPiden S.

Del gráfico

H

CD

G

F

BA

E

3

2

1

2

d=5

3P

1

3

S

Q

R

S

M

N24

4

7 T

2 2

5

2

PAN ∼ SBN

BN

BN +=

21 31 2//

→ BN=4

MBS ∼ MFR

MB

MB +=

21 33 2//

→ MB = 47

MBN

1 1

4

1

47

2 2 2BT( )= +

→ =BT2 25

SBT

ST( ) =

+

22 2

13

2 25

→ =ST9715

A BAEF=A SPQR . cos q

2

2 259715

2 = S ·

S = 1943

∴ S=4,64

RespuestaS=4,64

AlternAtivA A

Pregunta N.º 29Unplanointersecaalasaristasdeuntriedroconvértice O en los puntos A, B y C de modo que:m∠AOB=m∠COB=60º ym∠AOC=m∠ABC=90º. Halle OB (en metros) si OA+OC=10 m.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

ResoluciónTema: Ángulo triedro

Análisis y procedimientoDato: a+b=10

C

B

A

O

60º

a

b

x

60º

21


T. cosenos

AOB: AB2=a2+x2 – ax

BOC: BC2=b2+x2 – bx

AOC: T. Pitágoras:

a2+x2 – ax+b2+x2 – bx=a2+b2

de donde 2x=a+b

Respuesta x=5

AlternAtivA C

Pregunta N.º 30Halle el volumen de una pirámide V – ABC (en cm3), cuyas caras laterales forman con la base un diedro de 30º, sabiendo que AB=13 cm, BC=15 cm y AC=14 cm.

A) 56 3 B) 112 3 C) 120 3

D) 127 3 E) 132 3

ResoluciónTema: Pirámide

Análisis y procedimientoPiden el volumen de la pirámide V – ABC.Datos

AB=13; BC=15 y AC=14

A

B

C

V

T I

13

1514

430º

2

4

Como los diedros entre una cara lateral y la base son iguales, entonces, el pie de la altura de la pirámide es el incentro de la base ABC.

Para hallar el área de la base ABC, aplicamos la fórmula de Herón, entonces,

A ABC= 21 8 7 6( )( )( ); A ABC=84

Como, IT es longitud del inradio, utilizamos la fórmula del inradio, entonces,

A ABC=(21)(IT); 84=21(IT)

IT=4

En el VIT notable 30º y 60º, IT=4,

entonces,

VI=43

Finalmente

v

AV ABC

ABC VI− =

( )( )3

v V ABC− =

( )8443

3

∴ v V ABC− = 1123

ObservaciónEn las alternativas no figura esta clave, por lo tanto, la

respuesta más cercana es 112 3.

Respuesta

112 3

AlternAtivA B

22


Pregunta N.º 31Untriánguloisóscelescuyabasemide2a unidades y cuya altura mide 3a unidades, gira alrededor de uno de sus lados. Calcule (en unidades cúbicas) el mayor volumen del sólido que de esta manera se genera.

A) 4 pa3 B) 5 pa3 C) 6 pa3

D) 7 pa3 E) 8 pa3

ResoluciónTema: Sólidos de revolución

Tenga en cuenta que

El volumen que genera la región

BP Q

Lsombreada al girar 360º en torno a la recta L se calcula como

VSG=B×2p(PQ)

De modo que P es centroide de dicha región.

Análisis y procedimientoPiden el mayor volumen del sólido que se genera al girar la región ABC en torno a uno de sus lados.Como el área es constante, entonces los volúme-nes dependen de PH y PQ siendo P centroide de dicha región.

10a

5

A H Ca a

P

Q

a

2a

37º

2

B

360º

Luego del gráfico, la mHBC = 372º

aa

105

<

PQ < PH

Entonces el mayor volumen se calcula como

V

a aaSG =

×( )× ×

2 3

22π

\ VSG=6pa3

RespuestaVSG=6pa3

AlternAtivA C

Pregunta N.º 32En un rectángulo ABCD la diagonal AC tiene una longitud de 2a unidades y forma con AB un ángulo de 30º. El rectángulo gira alrededor de una recta paralela a AC y que pasa por B. El área de la superficie total generada por el rectángulo es:

A) 2 3 32πa −( )

B) πa2 3 3+( )

C) 3 32pa

D) πa2 3 2 3+( )

E) 2 3 32πa +( )

ResoluciónTema: Teorema de Pappus-Guldin

Cuando nos piden calcular el área de una super-ficie generada por una rotación, es recomendable usar el teorema de Pappus, siempre que se pueda calcular la distancia del centroide al eje de giro.

23



30º30º

aa

a a

aa

3a

3a

H

BA

D C

O

30º

Ld

En un rectángulo, el centroide O es el punto de intersección de sus diagonales.

En ABCD

AC=2a → AO=OB=OC=OD=a

Como

L

// ºAC ABH→ =m 30

En AOB

m m OBA OAB= = 30º

→ =mOBH 60º

Sea d la distancia de O a L

.

En el BOH: da=2

3

La línea que gira tiene longitud .

→ = +( )2 3 1a

Aplicando el teorema de Pappus-Guldin

ASG=2pd ·

ASG

aa=

+( )( )22

3 2 3 1π

Respuesta2 3 32πa +( )

AlternAtivA e

Pregunta N.º 33Dada la función f, definida por:

f x x xx

( ) ( ) arccos( ) arctan= + ++

arcsen11

.

Determine el rango de f.

A) −

π π2 2;

B) − π π2 2;

C) π π2

12

34

+

arc tan ;

D) π π2

12

+

arc tan ;

E) π π2

34

;

Resolución

Tema: Funciones trigonométricas inversas

arcsen x+arccos x=p2

↔ –1 ≤ x ≤ 1


Piden el rango de f.

Dato

f(x)=arcsen(x)+arccos(x)+arctan 11x +

24


Entonces

f(x)=p2

+arctan 11x +

Como

–1 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ |x| ≤ 1

→ 1 ≤ |x|+1 ≤ 2

→ 111

12

≥+

≥x

Como la función arcotangente es creciente,

entonces

arctan( ) arctan arctan111

12

≥+

≥

x

π4

11

12

≥+

≥

arctan arctanx

34 2

11 2

12

π π π≥ ++

≥ +

arctan arctanx

34 2

12

π π≥ ≥ +

f x( ) arctan

Por lo tanto

Ran arctan ;f = +

π π2

12

34

Respuesta

π π2

12

34

+

arctan ;

AlternAtivA C

Pregunta N.º 34En la figura se muestra un paralelepípedo recto de lados a, b, c. Calcule el seno verso del ángulo g, si:

b c

a b c

2 2

2 2 2

13

+

+ +=

c

b

a

A) 16

B) 13

C) 12

D) 23

E) 1

Resolución

Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos

Teorema de cosenos

A

B

C

A

a

b

ca2=b2+c2 – 2bc cosA

Seno verso de un ángulo

versα=1 – cosα


Piden seno verso del ángulo g.

Dato

b c

a b c

2 2

2 2 2

13

+

+ +=

25


Tenemos

c

b

a

A B

C

Del paralelepípedo recto mostrado, analizamos el triángulo ABC.

aA B

C

b c2 2+a2

+ +b c2 2

Por teorema de cosenos

a a b c b c2 2 2 22

2 22

= + +( ) + +( ) −

− + + +2 2 2 2 2 2a b c b c· cos γ

Operando

cos γ = +

+ +

b c

a b c

2 2

2 2 2

Por referencia del dato, cos γ = 13

.

versg=1 – cosg

versγ = −1 1

3

\ versγ = 23

Respuesta23

AlternAtivA D

Pregunta N.º 35Si 16sen5x=Asenx+Bsen3x+Csen5x, determine el valor de (A+2B+C).

A) – 3 B) – 2 C) 1 D) 4 E) 6

ResoluciónTema: Identidades trigonométricas

• 2sen2x=1– cos2x

• 4sen3x=3senx – sen3x

• 2senacosb=sen(a+b)+sen(a – b)

Análisis y procedimientoPiden A+2B+C.

Dato

16sen5x=Asenx+Bsen3x+Csen5x (I)

Entonces

16sen5x=2(2sen2x)(4sen3x)

=2(1– cos2x)(3senx – sen3x)

=6sen x – 6sen xcos2x – 2sen3x+

+2sen3xcos2x

Aplicamos transformaciones.

16sen5x=6senx – 3(sen3x – senx) – 2sen3x+

+(sen5x+senx)

16sen5x=10senx – 5sen3x +sen5x (II)

Comparamos (I) y (II)

→ A=10; B=– 5; C=1

∴ A+2B+C=10+2(– 5)+1=1

Respuesta

El valor de (A+2B+C) es 1.

AlternAtivA C

26


Pregunta N.º 36En la circunferencia trigonométrica mostrada

mAB P' = θ , determine el área de la región

triangular A’MT.

Y

X

T

A

M

B'

A'

P

A) − −[ ]12tanθ θsen

B) − +[ ]12tanθ θsen

C) 12tanθ θ−[ ]sen

D) 12tanθ θ+[ ]sen

E) − +[ ]12cotθ θcos

ResoluciónTema: Circunferencia trigonométrica

En la C. T.

AT=– tanq

Y

X

T

A

M

tan

sen


Y

X

T

A

M

A'

P

sen

O

–tan

S1: área de la región triangular OA’M

→ = ( )( )

S11

2senθ

S2: área de la región triangular OA’T

→ = ( ) −( )

S21

2tanθ

S: área de la región sombreada

S=S2 – S1

→ = ( ) −( ) − ( )( )

S1

21

2tan senθ θ

∴ = − +( )S12tanθ θsen

Respuesta

− +( )12tanθ θsen

AlternAtivA B

Pregunta N.º 37Calcule el valor de:

E = −12

2sen10

sen70ºº

.

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2

2 E)

32

27


ResoluciónTema: Transformaciones trigonométricas• 2senqsenα=cos(q– α) – cos(q+α)• α+q=90º → senα=cosq


E = −1

2 102 70

sen ºsen º

E = − ( )1 2 2 70 10

2 10sen º sen ºsen º

E = − −( )1 2 60 80

2 10cos º cos º

sen º

E =

− −

1 212

80

2 10

cos º

sen º

E = 2 80

2 10cos ºsen º

E = sen º

sen º1010

E=1

RespuestaE=1

AlternAtivA C

Pregunta N.º 38En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado, ADC es un sector circular con centro en D, m∠ABM=q y m∠ADM=φ. Calcule tanq en términos de φ.

BA

CD

M

A) 11++sencos

φφ B) 1

1++cossen

φφ

C) 22−−cossen

φφ

D) 11−−sencos

φφ

E) 11−−cossen

φφ

ResoluciónTema: Resolución de triángulos rectángulos

x

y

a

x=asen

y=acos

Análisis y procedimientoDatos: mABM=q y mADM=φ

BA

D C

Mrsen

r r– senEr r– cos

rrcos

L

Sea DM=r, entonces,

En el triángulo DLM:

LM=r senφ LD=r cosφ

En el triángulo BEM

tancossen

θ φφ

= −−

r rr r

→tancossen

θ φφ

= −−

11

Respuesta11−−cossen

φφ

AlternAtivA e

28


Pregunta N.º 39En la semicircunferencia de centro O del grá-fico mostrado, m y cmAB AC = =164 2 50º . Calcule el área de la región sombreada (en cm2).

C A

B

O

A) 58,5 B) 60,5 C) 62,5 D) 64,5 E) 66,5

ResoluciónTema: Cálculo del área de un sector circular

rad

r

r

S = 12

2· ·θ r

S: representa el área del sector circular q: número de radianes r: radio del sector circular

Análisis y procedimientoPiden calcular el área de la región sombreada.

Sea S el área de la región sombreada.

C A

B

O

164º

164º

5050

50

Entonces

S = ( ) −1

24145 50

50 502

1642· sen ºπ

S = −41 5

97

· ·π

Se sabe que

p=3,14

\ S=64,5 cm2

RespuestaS=64,5 cm2

AlternAtivA D

Pregunta N.º 40Si S y C representan los valores de un ángulo en

grados sexagesimales y centesimales, respectiva-

mente, y se cumple que

C2+S2=2C3 – 5SC2+4S2C – S3 – 2SC

Calcule el valor de C.

A) 36111

B) 311111

C) 361011

D) 367011

E) 368011

ResoluciónTema: Sistemas de medición angular

Siendo S=# de grados sexagesimales C=# de grados centesimales

→ S C9 10

=

→ S=9K

C=10K

29


Análisis y procedimientoPiden C

Del dato

C2+S2=2C3 – 5SC2+4S2C – S3 – 2SC

Ordenamos

C SC S C S C S C SP C

2 2 3 2 2 32 2 5 4+ + = ( ) − ( ) + ( ) −( )

(I)

P(C) es un polinomio que se anula para C=S.

Factorizamos P(C) por divisores binómicos

2 –5S +4S2 –S

3

2S –3S2

S3

2 –3S S2 0

C S=

Luego

P(C)=(C – S)(C – S)(2C – S)

En (I)

(C+S)2=(C – S)2(2C – S)

→ − = +

−

22

C SC SC S

→ ( ) − =

2 10 919 2

K KK

K

K = 361

11

Como C=10K

Entonces

C = 3610

11

Respuesta361011

AlternAtivA C

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