Solucionario Cuadernillo Ejercitación Funciones de comportamiento exponencial y logarítmico 2015...

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SOLUCIONARIO Funciones de

comportamiento exponencial

y logarítmico

SC

UA

CA

C04

4M

T2

2-A

15V

1

2

TABLA DE CORRECCIÓN

GUÍA PRÁCTICA

EJERCITACIÓN FUNCIONES DE COMPORTAMIENTO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

Ítem Alternativa Habilidad

1 E ASE

2 C ASE

3 C ASE

4 C ASE

5 C ASE

6 D Aplicación

7 A ASE

8 D Comprensión

9 A ASE

10 B Comprensión

11 B ASE

12 A ASE

13 D Aplicación

14 C Aplicación

15 E ASE

16 D ASE

17 A Aplicación

18 C ASE

19 D ASE

20 E ASE

21 B ASE

22 D ASE

23 C ASE

24 C ASE

25 B ASE

3

1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada

Habilidad ASE

Analicemos las afirmaciones según la función f(x) = 3 · 2x

I) Verdadera, ya que f(0) = 3 · 20 = 3 · 1 = 3

II) Falsa, f(– 1) = 3 · 2–1

= 3 · 2

1=

2

3

III) Verdadera, ya que

2

1f = 3 · 2

1

2 = 3 · 2 = 29 = 18

Por lo tanto, solo III es verdadera.

2. La alternativa correcta es C.


Habilidad ASE

I) Falsa, ya que el recorrido de la función son los reales positivos.

II) Falsa, ya que la función es creciente.

III) Verdadera, ya que es asintótica al eje X.

Por lo tanto, solo I y II son falsas.



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que f(0) = 5 · 40 = 5 · 1 = 5

II) Falsa, ya que f(1) = 5 · 41 = 5 · 4 = 20 y f(– 1) = 5 · 4

–1 = 5 ·

4

1 =

4

5


2

3f = 5 · 2

3

4 = 5 ·3)4( = 5 · 2

3 = 5 · 8 = 40

Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.

4



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que f(0) = 8 • 20 = 8 • 1 = 8

II) Verdadera, ya que f(1) = 8 • 2-1

= 8 • 0,5 = 4 y 4 – 4 = 0

III) Falsa, ya que f(– 1) = 8 •21= 8 • 2 = 16

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Habilidad ASE

Analicemos las afirmaciones según la función f(x) = – 2 · 5x

I) Falsa, ya que f(2) = – 2 · 52 = – 2 · 25 = – 50

II) Falsa, ya que f(– 1) = – 2 · 5–1

= – 2 · 5

1 =

5

2


2

1f = – 2 · 2

1

5 = – 2 · 5 = 54 = 20

Por lo tanto, solo III es verdadera.

6. La alternativa correcta es D.


Habilidad Aplicación

Evaluemos la función f(x) = k · ax, en 0 y 3:

f(0) = k · a0 = k · 1 = k = 5

f(3) = 5 · a3 = 40

a3 = 8

a = 3 8 = 2

Luego los valores de k y a, respectivamente son 5 y 2.

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7. La alternativa correcta es A.


Habilidad ASE

Como la base de la función exponencial es mayor

que 1, se trata de una función creciente; además si

x = 0, f(0) = 1.

La única gráfica que cumple con ambas está en A.



Habilidad Comprensión

La única afirmación FALSA es la letra D ya que intersecta al eje de las ordenadas en

(0, 1)



Habilidad ASE

Evaluemos la función

x

xf

3

1)( en los puntos 0 y 1:

13

1)0(

0

f

33

1)1(

1

f

Luego, la gráfica que mejor representa a la función está en A).

2

1

y

x

A)

1

6

10. La alternativa correcta es B.


Habilidad Comprensión

La gráfica de una función f(x) siempre intersecta al eje Y en el punto (0, f(0)), si existe f (0).

Por lo tanto, si f(x) = 3x – 9, entonces:

f(0) = 30 – 9

f(0) = 1 – 9

f(0) = – 8

Luego, la gráfica de la función f(x) = 3x – 9 intersecta al eje Y en el punto (0, – 8).



Habilidad ASE

Construyendo la función exponencial que modela el problema, tenemos:

f(x) = 20 · 42

x

,donde

20 = cantidad inicial de ratones.

x = tiempo en meses.

Reemplazando x = 36, tenemos f(36) = 20 · 92 ratones



Habilidad ASE

Construyendo la función exponencial que modela el problema, tenemos:

f(x) = 100 · 153

x

, donde:

100 = cantidad inicial de hongos.

x = tiempo en minutos.

Reemplazando x = 75, tenemos f(75) = 100 · 53 = 100 · 243 = 24.300

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Cantidad inicial ∙ ónreproduccideciclo

pedidotiempo

entoComportami

Observación: El tiempo pedido y el ciclo de reproducción deben estar en la misma unidad

de tiempo (ejemplo: ambos en horas o ambos en minutos). El comportamiento se refiere a

si se duplica, triplica, etc.

6 horas = 360 minutos, entonces: minutos20

minutos360

ónreproduccideciclo

pedidotiempo = 18

Por lo tanto, el número de bacterias al cabo de 6 horas será:

Cantidad inicial ∙ ónreproduccideciclo

pedidotiempo

entoComportami = 5.000 ∙ 218




f(x) = log4 x (Evaluando 1 en la función)

f(1) = log4 1

f(1) = 0, ya que 40 = 1

f(x) = log4 x (Evaluando 256 en la función)

f(256) = log4 256

f(256) = 4, ya que 44 = 256

Entonces:

f(1) – f(256) = 0 – 4 = – 4

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Habilidad ASE

Analicemos las afirmaciones:

I) Verdadera, ya que:

f(x) = log11 x + log 100 (Evaluando 11 en la función)

f(11) = log11 11 + log 100 (Resolviendo)

f(11) = 1 + 2

f(11) = 3

II) Verdadera, por definición.

III) Verdadera, ya que la imagen de 121 es 4.

f(x) = log11 x + log 100 (Evaluando 121 en la función)

f(121) = log11 121 + log 100 (Resolviendo)

f(121) = 2 + 2

f(121) = 4

Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que 64log2

1

2

1

f . Como 64 = 2

6, entonces 64 = .

2

16

Luego, .664log2

1

II) Falsa, ya que 64log)2( 2f . Como 64 = 26, entonces 664log2 , y no 8.

III) Verdadera, ya que 64log)4( 4f . Como 64 = 43, entonces 364log4 .

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.

9




Evaluando la función g(x) = 2log x , tenemos:

g (32) = log 2 32 = 5

g (16) = log 2 16 = 4

g (32) – g (16) = 5 – 4 = 1



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que calculando f(9) = log 3

9 + 1 = 2 + 1 = 3

II) Falsa, ya que el dominio es IR+.

III) Verdadera, ya que si 0 pertenece al recorrido, debe tener preimagen. Luego:

0 = log3 x + 1 – 1 = log3 x x = 3 – 1

x = 3

1.

Como 3

1 es preimagen de 0, entonces 0 pertenece al recorrido.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

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Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que f( –1

2) = )1

2

1(log 2 = log 2

1

2= – 1

II) Falsa, para saber si corta al eje Y se hace x = 0; en este caso f (0) = log 2 1 = 0, luego

intersecta al eje de las ordenadas en (0, 0).

III) Verdadera, ya que la base es mayor que 1.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que f(0,25) = log 4 0,25 = log 4 4– 1

= – 1.

II) Verdadera, ya que f(1) = log 4 1 = 0

III) Verdadera, ya que un logaritmo puede dar como resultado un número positivo, negativo

o cero.

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.

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Habilidad ASE


I) Verdadera, ya que si f(x) = log2 x + 2, entonces f(2) = log2 2 + 2 = 1 + 2 = 3.

II) Falsa, ya que el dominio son los reales positivos.


4

1f = log2

4

1 + 2 = − 2 + 2 = 0.

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.



Habilidad ASE

Como la base de la función logarítmica es positiva

menor que 1, se trata de una función decreciente.

La única función decreciente está en D.



Habilidad ASE


I) Verdadera.

II) Verdadera.

III) Falsa, ya que f(1)= loga 3, distinto de cero.

Por lo tanto, solo I y II son verdaderas.

-1

1 2

y

x

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Habilidad ASE

(1) El valor de a es mayor que cero. Con esta información, no es posible determinar que la

función f(x) = xa es decreciente, ya que además a debe ser menor que uno.

(2) El valor de a es menor que uno. Con esta información, no es posible determinar que la

función f(x) = xa es decreciente, ya que además a debe ser mayor que cero.

Con ambas informaciones, es posible determinar que la función f(x) = xa es decreciente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas.



Habilidad ASE

(1) a + b = 200. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de

g(a), ya que, despejando, resulta: a = 200 – b. Reemplazando en la expresión:

bb

bb 200log

200log

En esa expresión no es posible determinar su valor numérico sin conocer el valor de b.

(2) 99b

a. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de g(a), ya

que, despejando, resulta: a = 99· b. Reemplazando en la expresión:

2100log100

log99

log

b

b

b

bb.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

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