EjercitaciónCálculo I

Carola Muñoz R.1

Ejercicios• Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:

1)Si a + b = 0 a + c = 0 b = c

Demostración:

Asociatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( b + a ) + c

Conmutatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( a + b ) + c

utilizando las hipótesis dadas: Neutro aditivo ---------- > b + 0 = 0 + c b = c

2

Ejercicios• Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:

3) ( x ) = x

Demostración:

Se tiene que x + ( x) = 0, esta ecuación dice que x es el inverso aditivo de x.

x = ( x )3

Ejercicios• Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:

3)( x ) y = ( x y ) = x ( y )

Demostración:

a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a

Previamente se demostrará que ( 1) a = ( a)

= ( 1 + ( 1)) a ---------- > Distributividad = 0 a ---------- > Inverso aditivo

a + ( a) = 0 ---------- > Inverso aditivo

4

entonces:a + ( a) = a + ( 1) a

a + ( a) + ( a) = a + ( 1) a + ( a) --> Inverso aditivo de ( a )

0 + ( a) = 0 + ( 1) a

( a) = ( 1) a

Teniendo en cuenta lo demostrado anteriormente se tiene que:

( x ) y = [ ( 1 ) x ] y

= x [ ( 1 ) y ] --> Conmutatividad

= x ( y )

= ( 1 ) x y --> Conmutatividad

= ( x y )

( x ) y = ( x y ) = x ( y )

5

Ejercicios• Si a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, demostrar que a c + b d 1

Demostración:

( a c )2 0 -------> a2 2ac + c2 0

( b d )2 0 -------> b2 2bd + d2 0

a2 + b2 2ac 2bd + c2 + d2 0

1 2ac 2bd + 1 0

2 2ac 2bd 0

2 ( 1 ac bd ) 0 / 2 1 ac + bd

------------->

6

Ejercicios• Si a b c , a, b, c, + . Demostrar

que

6b

caa

cbc

ba

abc)c(b a)b(a c)c(a b 222222

abcc)ac(ac)bc(bb)ab(a

bca

acb

cba

abcaccabccbabba 222222

7

Ejercicios• Si a b c , a, b, c, + . Demostrar

que

6b

caa

cbc

ba

( a c )2 > 0 -------> a2 + c2 > 2ac

( a b )2 > 0 -------> a2 + b2 > 2ab

( b c )2 > 0 -------> b2 + c2 > 2bc

a2 + c2 > 2ac / b

a2 + b2 > 2ab / c

b2 + c2 > 2bc / a

------->

------->

------->

b (a2 + c2) > 2abc

c (a2 + b2) > 2abc

a (b2 + c2) > 2abc

b (a2 + c2) + c (a2 + b2) + a (b2 + c2) > 6abc

6abc

)ca(b)bc(a)cb(a 222222

8

Ejercicios• Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b

Demostración:

2

1ab

b1

a1

2

a > b / + a

a + a > b + a

2 a > a + b / 2

a > ( a + b ) 2

1

( a b )2 > 0

a2 2ab + b2 > 0 / + 2ab

a2 2ab + 2ab+ b2 > 0 + 2aba2 + b2 > 2ab / + 2ab

a2 + 2ab + b2 > 2ab + 2ab / + 2ab

( a + b)2 > 4ab /

a + b > 2 / 1/2 ab

( a + b ) > ab2

1

a > b / + a

a + a > b + a

2 a > a + b / (a+b)

/.bbba

2ab

b

b1

a1

2

9

Ejercicios• Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b

Demostración:

2

1 abb1

a1

2

( a + b)2 > 4ab / (ab)2

22

2

(ab)4ab

(ab)b)(a

/ab4

b1

a1 2

21/ab2

b1

a1

1()/ab1

2b1

a1

ab

b1

a1

2

a > ( a + b ) 2

1

( a + b ) > 2

1ab

TRANSITIVIDAD

a > (a + b ) > > > b

2

1ab

b1

a1

2

ab

b1

a1

2

b

b1

a1

2

10

Ejercicios• Si a, b, c , demostrar que: b2c2 + c2a2+ a2b2 abc ( a + b + c )

Demostración:

Como ( a b )2 0 -------> a2 + b2 2ab

Como ( b c )2 0 -------> b2 + c2 2bc

Como ( c a )2 0 -------> c2 + a2 2ca

a2 + b2 2ab / c2

( a2 + b2 ) c2 2abc2

b2 + c2 2bc / a2

( b2 + c2 ) a2 2bca2

c2 + a2 2ca / b2

( c2 + a2 ) b2 2cab2

a2c2 + b2c2 2abc2 b2a2 + c2a2 2bca2 c2b2 + a2b2 2cab2

a2c2 + b2c2 + b2a2 + c2a2 + c2b2 + a2b2 2abc2 + 2bca2 + 2cab2

2 a2c2 + 2b2c2 + 2c2a2 2abc2 + 2bca2 + 2cab2

2 (b2c2 + c2a2 + a2b2 ) 2bca ( a + b + c )

b2c2 + c2a2 + a2b2 abc ( a + b + c ) 11

EjerciciosDemuestre que :

1c)c)(bb)(a(a

2abcb)a)(c(c

aba)c)(b(b

acc)b)(a(a

bc

Se busca el mínimo común denominador que es el mínimo común múltiplo

1c)(bc)(ab)(a

bc ( b + c ) + ac (a + c ) + ab ( a + b ) + 2abc

Se desarrolla el denominador

1c)(bc)(ab)(a

b2c + bc2 + a2c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc

Se desarrolla el numerador

12abcabbaaccabccb 222222

b2 c + bc2 + a2 c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc12