Solucionario ecuaciones1

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

v APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO

ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)

Escuela Superior Politécnica del Litoral

Solucionario de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Primer parcial (3ra versión) Roberto Cabrera

09

Ecuaciones diferenciales de primer orden

ESPOL 2009

2

Ecuaciones Diferenciales separables Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: ��

Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera: ��

Donde �� se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: ��

� ��

Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: �� 1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:

00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )c4xln5x3yln5y

4xdx5dx

3ydy5

dy

4xdx5

4xdx4x

3ydy5

)3y(dy)3y(

4xdx1x

3ydy2y

ecuación la de lados ambos a Integramos4xdx1x

3ydy2y

);x(g)y(f4)2)(x-(y1)-3)(x(y

dxdy

2)-4(y2)-x(y3)(y-3)x(y

dxdy

8-4y2x-xy3-y-3xxy

dxdy

++−=+−

+−=

+−

+−

++

=+

−+

+

+−

=+

−

⇒+−

=+

−

=+

+=

+++

=

++

=

∫∫∫ ∫

∫∫∫ ∫

∫∫


ESPOL 2009

3

[ ]

( )[ ]

[ ];)e(2arctany

:es particularsolución La

1;KK;4$tan

arctan(K);$/4;Ke2arctan$/4

$/4; y(0)si;K)e(2arctany

:es generalsolución LaK;)e(2tan(y)

;ee

c;e23lntan(y)ln

: v yu doReemplazan

3x

0

3x

3x

ce23lntan(y)ln

x

x

−=

=⇒=

=

−=

⇒

=

−=

−=

=

+−=

+−

;ce1ln2eln2e

2eye

:es general implicitasolución La

;)e(1e

dxeye

;ce1ln2eln2e

2)e(1e

dx

;cu1ln2uln2u2

)u(1udu2

;u1

du2u

du2udu2

)u(1udu2

;duu1

1u1

u12

)u(1udu2

1;C 1;- B 1; A:son CB,A, de valoreslos Donde

;u1

CuB

uA

)1u(u1

:obtenemos parciales fracciones por Integrando

x/2x/2x/2

yy

x/2x/2yy

x/2x/2x/2x/2x/2

2

22

22

22

+++−−=−⇒

+=−

+++−−=+

⇒

+++−−=+

⇒

++−=

+⇒

+

+−=+

⇒

===

+++=

+

∫

∫

∫

∫ ∫∫∫

∫∫

2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial:

Si Si Si Si ;)(y4

0π

=

3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:

0000))))eeee(1(1(1(1eeee

dxdxdxdxydyydyydyydyeeee

x/2x/2x/2x/2yyyyx/2x/2x/2x/2 =

+−

∫∫∫

∫

∫∫

+=

+=

+⇒

=⇒=

=⇒=

=+

+=

=

+=

=+

=

+=

)u(1udu2

)uu(1udu2

)e(1edx

;udu2dxudx

21du

;dxe21dueu

?)e(1e

dx

;)e(1e

dxdyye

;ye

1)y(g

;)e(1e

1)x(f

);y(g).x(f)yee(1e

1dxdy

;)e(1e

dxydye

2x/2x/2

2/x2/x

x/2x/2

x/2x/2y

y

x/2x/2

yx/2x/2

x/2yx/2

c;v3lnuln

;v

3dvu

du:doReemplazan

dx;edve2v

(y);secdutan(y)u

;)e(2

dx3etan(y)

(y)dysec

;)e(2

dx3etan(y)

(y)dysec

f(x).g(y);(y))sece(2

tan(y)3edxdy

tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2

0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e

xx

2

x

x2

x

x2

2x

x

x2x

2xx

+=

=

⇒

−=⇒−=

=⇒=

−−=

−−=

=−−

=

−=−

=−+

∫∫

∫∫


ESPOL 2009

4

4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:

0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy ====++++−−−−−−−− −−−−

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( );

!1n21n2y

dy!1n2

y

dy!1n2

y

;dx)xln(1x

)xln(dy!1n2

y

:emplazandoRe

;!1n2

yy

)y(senh!1n2

y)y(senhSi

dyy

)y(senh

;dx)xln(1x

)xln(dy

y)y(senh

)y(senh2

)ee(

;dx)xln(1x

)xln(dy

y2)ee(

;dx)xln(1x

)xln(dy

y2)ee(

)xln(1x)ee()xln(y2

dxdy

;)xln(1x

)xln()ee(

y2)y(f

);x(g).y(f)xln(1x)ee(

)xln(y2dxdy

;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee(

0n

1n2

0n

n2

0n

n2

0n

n2

0n

n2

0n

1n2

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

∑∫∑

∑

∫∫∑

∑∑

∫∫

∫∫

∞+

=

+∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

+

−

−

−

−

−

−

−

++=

+

+

+=

+

+=⇒

+=

+=

=−

+=

−

+=

−

+−=

+=∧

−=

=+−

=

=+−

:que obtenemos Integrando

:potencias de series usar debemos integrar Para

:siguiente lo tenemos entonces que observamos Si

:obtiene se ecuación la de lados ambos a Integrando

g(x)


ESPOL 2009

5

( )

( )

( )( )( )

C3

2!1n21n2

y

;C3

2dx

C3

2

;Cz3z2

z

;z

;duzdz2u1

;dx

Si

?dx

dx

31n2

3

3

3

+

+−

+=

++

+

+−

+=

+⇒

+

+−

+=

+⇒

+

−==⇒

=+

⇒

=⇒+=

+=

+⇒

=⇒=

=+

+

∑

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫

∞+

=

+

ln(x)1ln(x)1

:es implícita forma de general solucion La

ln(x)1ln(x)1

ln(x)1xln(x)

u1u1

u1udu

21)dz-(z1)2zdz-(z

1)2zdz-(zu1

udu

z Ahora

u1udu

ln(x)1xln(x)

xdx

duln(x)u

ln(x)1xln(x)

:ln(x)1x

ln(x) integrando Ahora

0n

22

2

2


ESPOL 2009

6

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:

g(x);p(x)yy' =+

Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:

Ø El método del factor integrante. Ø Método de variación de parámetros

El método del factor integrante:

[ ]

[ ]

[ ]

;u(x)g(x)dxu(x)

1y

;u(x)g(x)dxu(x)y

;u(x)g(x)dxu(x)yd

u(x)g(x);u(x)ydxd

u(x)g(x);p(x)yy'u(x);eu(x) p(x)dx

∫

∫∫∫

=

=

=

=

=+

∫=

=+ g(x);p(x)yy'

Método de variación de parámetros

v(x);y'v'(x)yy'

v(x);yy

Asumir:

ey

p(x)dx;y

p(x)dx;y

dy

;p(x)ydxdy

;p(x)y'y

;p(x)y'y

hh

h

p(x)dx;h

h

h

h

hh

hh

hh

++++====

====

====

−−−−====

−−−−====

−−−−====

−−−−====

====++++

====++++

∫∫∫∫ −−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

ln

0

g(x);p(x)yy'

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫====

====

====

====

====

====

====++++

====++++

====++++++++

====++++++++

====++++

−−−−dx;

yg(x)

ey

v(x);yy

dx;y

g(x)v(x)

dx;y

g(x)dv

g(x);ydxdv

g(x);yv'(x)

g(x);v(x)yv'(x)

s:, entoncep(x)yPero y'

g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x)

g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y

g(x);p(x)yy'

:emplazando

h

p(x)dx

h

h

h

h

h

h

hh

hhh

hhh

0

0

Re


ESPOL 2009

7

1) ;ctg(x)(x)sen

xyxy'42

3

=−2

[ ]

;C3

)X(ctg4xy

;C3

)X(ctg4y

x1

;C3

)X(ctg4C

3)X(ctg4

dxctg(x)

)x(csc

3u4

4/3uduu

ududx

ctg(x))x(csc

;dx)x(cscdu)x(ctguSi

;dxctg(x)

)x(cscdx

ctg(x)(x)sen1

;dxctg(x)(x)sen

1yx1

;dxctg(x)(x)sen

1yx1d

;ctg(x)(x)sen

1yx1

dxd

;ctg(x)(x)sen

xx1y

x2y'

x1

;x1xeee)x(u

;ctg(x)(x)sen

xyx2y'

4 32

4 3

2

4 34/3

4

2

4/34/34/1

44

2

2

4

2

42

422

422

422

42

2

22

22)xln()xln(2dx

x2

42

2

2

+−=

+−=⇒

+−=+−=⇒

−=

−=−=

−=⇒

−=⇒=

=

⇒

=⇒

=

⇒

=

=

−

====∫=

∫=

=+

=−

∫

∫∫∫

∫∫

∫

∫∫

−

−−− −

:esl diferencia ecuacion la degeneral soluciónLa

:ecuación la de lados ambos a u(x) integrante factorel emosMultipliqu

eu(x)

:u(x) integrante factorel sEncontremo:integrante factordel métodoel aplicar podemos tanto lo Por

g(x);p(x)yy' forma la Tiene

p(x)dx


ESPOL 2009

8

2)

≥

<≤===+

2x ;2x -2x0 ;

p(x) 1;y(0) 1;p(x)yy'1

Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= :

( )

( )

( )

( )2;x para

:potencias de seriesusar snecesitamo integrar para Pero

lineal) dif. (Ec. 1;y'-2xy-2x;p(x) 2,x para Ahora

>++

−=⇒

++

−=⇒

−=⇒

=⇒=

=

=

=∫=

=

=≥

∑

∑

∫∑

∫∫∫

∞+

=

+

∞+

=

+−

∞+

=

−

−

−−−−

−−

−−

−−

;ke!n)1n2(

x1ey

;k!n)1n2(

x1ye

;dx!nx1ye

dxe

;dxeye;dxe)ye(d

;edx

)ye(d

);1(exy2y'-e

;ee)x(u

20n

x1n2n

x2

0n2

1n2nx

0n

n2nx

x

xxxx

xx

xx

xxdx2

22

2

2

2

2222

2

2

22

2

2x0 para

); separabledif. (Ec.

<≤=⇒

=⇒−=

=

−=

=−

=

+−=−

+=−−

=−

⇒=−

−=⇒=+

=+

−

−

+−−

∫∫

1y;0k;ek11

;1)0(yPero;ek1y

;eky1

;ee

Kxy1ln

;Cxy1ln

;dxy1

dydx

y1dy

;y1dxdy

;1ydxdy

;1y'y

1

10

1

x11

x1

Kxy1ln

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

;!n1n2

212

e1

k

;!n1n2221

e1

k;ke!n1n2221

e1

;ke!n1n2221

e1;ke!n1n2

21e1

;ke!n1n2

x1e1

;yy

);x(f)x(f

0n

n2n

42

0n

n2n

4224

0n

n2n4

24

0n

n2n4

22

0n

1n2n2

2x

0n

1n2nx

2x2x

22x

12x

axax

22

22

limlim

limlimlimlim

∑

∑∑

∑∑

∑

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

+

∞+

=

+

→→

→→

→→

+−

−=⇒

+−

−=⇒=+

−−⇒

++

−=⇒+

+−

=⇒

+

+−

=⇒

=⇒

=

+−

+−

+−

:dice condición Esta:funciones dos ded continuida de condición

la usaremos k encontrar para Ahora 2

( ) ( )( )

≥

+−

−++

−

<≤

=∑∑∞+

=

∞+

=

+

2x

2x0 ;

:enciacorrespond de regla siguientela con expresada queda soluciónLa

;!n1n2

212e1e

!n)1n2(x1e

1

y

0n

n2n

40n

x1n2n

x 22


ESPOL 2009

9

3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:

xey

dxdy

y 2+=

Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = . ( )( )

[ ]

[ ] [ ] [ ]

∫∫∫∫

=⇒=

=⇒=⇒=

=

−⇒=−

=

=⇒==∫

=−=

∫=

=+

=+

=−⇒=−−⇒

=−−≡=−−

=+

=+

−

−−−

−−

−

dyyeydy

yexy

dyyexydy

yexy

yexy

.ye

yx2'x

ye

yx2'x

e;y2)y(p

;

;g(y)p(y)xx'

;ye

yx2

'x;0yx2

ye

'x

;0x2e'yx;0x2edydxy

;dydxyx2e

;ydxdyx2e

3

y2

3

y2

3

y2

3

y2

3

y2

y

xy

y

yln2

yy

yy

y

y

2

x

d d dyd

y y

:ldiferencia ecuaciónla de lados ambos ayu(y) integrante factor elndoMultiplica

yu(y) yeu(y) s entonce

eu(y)

: yde depende ahoraintegrante factor El*

:integrante factor del método elApliquemos:nteindependie variablela y esAhora

g(y);p(y)xx' forma la Tiene

2-

dyd

2-

2-

2-2-dy

y2

p(y)dy

4434421

+

−++−−==

+++=

=⇒=

∑∫

∫ ∫ ∑∑

∑∑

∞+

=

−

∞+

=

−∞+

=

−

∞+

=

−∞+

=

;C!n)2n(

y)yln(

21

y1

y21

dye

y)y(x

!ny

y!21

y!11

y!01

dy!n

y

!ny

ye

!ny

e

dye

3n

2n

2

y2

3n

3n

23

0n

3n

0n

3n

0n

3

yny

y

23

3

yy

:potencias de series usamos y

integrar Para

La solución es:

+

−++−−= ∑

+∞

=

2

3n

n2 yC

2)n!(ny

ln(y)y21y

21x


ESPOL 2009

10

4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

;0==− y(1) ;sen(ln(x))xyxy' 2

Utilizando el método del factor integrante:

;x)x(u

;eee)x(u

;x1e)x(u

e)x(u

;(x))lnxsen(xy

y'

;(x))lnsen(xyxy'

1

)xln(dxx1

dx)x(p

dx)x(p

;dx)x(p

2

−

−∫−∫

∫

∫

=⇒

===⇒

−==⇒

=

=+

=−

=−

p(x) donde ;

: entoncesg(x),p(x)y y'forma siguiente la Tiene

[ ]

[ ] [ ] [ ]

∫∫

∫∫

=

=

=⇒=⇒=

=−

−

−−−

−−−

−

(x))dxlnsen(xy

(x))dxlnsen(yx

(x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yxdxd

;(x))lnxsen(xxy

xy'x

1

111

1

yxdxd

11

1

:obtiene se ldiferencia ecuaciónla de lados ambos aintegrante factor elndoMultiplica

4434421

[ ]

[ ]

[ ]

[ ];Cx

2))xcos(ln())x(ln(senx

y

C2

))xcos(ln())x(ln(senxxy

;C2

))xcos(ln())x(ln(senxdx))x(ln(sen

;C2

)zcos()z(senedze)z(sen

dze)z(sen

;dze)z(sendx))x(ln(sen

;dzedx

;;xdzdx

;x

dxdz);xln(z

?dx))x(ln(sen

2

zz

z

z

z

+−

=

+−

=⇒

+−

=⇒

+−

=

=

=

==

=⇒=

=

∫∫∫

∫∫

∫

:que obtenemos partes por integrando ,

ex Pero

z

[ ]

[ ]

[ ]

;21C;C

210

;C2

)0cos()0(sen0

);1(C2

))1cos(ln())1(ln(sen10

;0)1(y

;Cx2

))xcos(ln())x(ln(senxy

2

2

=⇒+−=⇒

+−

=⇒

+−

=⇒

=

+−

=

= 0; y(1)si particular solución la ahorasEncontremo

[ ]2x

2cos(ln(x))sen(ln(x))xy

: essolución La2

+−

=


ESPOL 2009

11

Ecuaciones diferenciales Exactas

Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:

0;y)F(x,:es soluciónla Donde

h(x);y)H(x,y)F(x,

:obtiene seforma, misma la de procedemos y elige seSi

:es solucíonLa

:Entoncesy).F(x, de constante La

y);N(x,y

y)F(x, con igualando Luego

:y a respecto con y)F(x, derivando Luego

:obtiene sey),M(x, escogemos Si

:quetal y)F(x,:existe Entonces

xy)(x,

yy)M(x,

: siexacta Es0;y)y'N(x,y)M(x,

=

+=

=∂

∂

=+

=

+=

=

−=

=+

=∂

∂

+=∂

∂

+=

∂=∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂=

∂∂

=+

∫∫

,N(x,y)y

F(x,y);0h(y)G(x,y)

;0F(x,y)

h(y);G(x,y)F(x,y)

)y(hG'(x,y);N(x,y)h'(y)N(x,y);h'(y)G'(x,y)

);y('h)y,x('Gy

)y,x(F

h(y);G(x,y)F(x,y)

;xM(x,y)F(x,y)

M(x,y)x

F(x,y)x

)y,x(F

N(x,y);y

F(x,y)

M(x,y);x

F(x,y)

;NM

;N

xy


ESPOL 2009

12


( ) 0dyxxln(x)y

exdx4xxyln(x)

xe

y4xxy

43xy

3 =

−+−+

−++−

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

);x(hxy)xln(yx!nn

yx)yln(yx)y,x(F

;!nn

yx)yln(y

!nyx

y1

yy

e

;!nyx

y1

!nyx

!nxy

y1

ye

yy

e

);x(hxy)xln(yxyy

eyx)y,x(F

;yx(x)lnxy

ex(F(x,y))

y;x(x)lnxy

ex(F(x,y))

x;(x)lnxy

exy

(F(x,y))

x;(x)lnxy

exFy

Si

Existe

NxMy;(x)lnex4Nx

)y,x(N

;(x)lnex4M

;4xx(x)lnyx

eyx4M(x,y)

1n

nn4

1n

nn

1n

1nnxy

1n

1nn

0n

1nn

0n

nxy

xy

xy4

xy4

xy4

xy4

xy4

xy3

xy3y

3xy

3

+−+−−=

+=∂

+=∂

+===

∂

+−+∂

−=

∂

−+−=∂

∂

−+−=∂

−+−=∂

∂

−+−=

=

=

=⇒

=

+−=

−+−=

+−=

−++−=

=

−+−+

−++−

∑

∑∫ ∑∫

∑∑∑

∫

∫∫

∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

∞+

=

−∞+

=

−∞+

=

:potencias de seriesusa se integrar Para

:ecuación la de lados ambos a integrando Entonces

: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy

y)N(x,Fyy)M(x,Fx

donde y),F(x, función una

exacta; esl diferencia ecuacion la entonces ;

x;xln(x)y

ex

0y'xxln(x)y

ex4xxyln(x)

xe

y4x

xy4

xy43

xy3


ESPOL 2009

13

( )( ) ( )( )( )

[ ]

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ;0C4x7

4x3xy)xln(yx

!nnyx

)yln(yx

;C4x7

4x3xy)xln(yx

!nnyx

)yln(yx)y,x(F

;C4x7

4x3)x(h

;Cz7

z3)z(h

;dzz4z3)z(h

;dzz3z4z)z(h

;4zx

4xz

;dxdzz3;4xz

;dx4xx)x(h

;4xx)x('h

;4xx(x)lnyx

eyx4)x('h)xln(yx

eyx4

:

);x('h)xln(yx

eyx4Fx

);x('hy)xln(yy!nyx

yx4Fx

);x('hy)xln(1y!nnyxn

yx4Fx

;4xx(x)lnyx

eyx4Fx

43

73

1n

nn4

43

73

1n

nn4

43

73

47

36

23 33

3

3

23

3

3

3xy

3xy

3

xy3

1n

n1n3

1n

n1n3

3xy

3

=

+−+

−+−+−−

=

+−+

−+−+−−=

+−+

−=

++=

+=

+=

+=

−=

=⇒−=

−=

−=

−++−=++−

++−=

+−++−=

+−++−=

−++−=

==

∑

∑

∫∫

∫

∑

∑

∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

∞+

=

−

:decir es 0,y)F(x, simplicitae soluciónLa

:Entonces

:h(x) Obteniendo

:términos Eliminando

Fx doreemplazan Entonces

y);M(x,Fx: siguientelo obtiene seentonces M,Fx siAhora


ESPOL 2009

14


0y'2y

yyx1)ln(xx2xyxy

1xxy

y 8

3222 =

−++++−+

++

− ;

2yy

yx1xlnxxy2N(x,y)

xy1x

xyyM(x,y)

8

32

22

−++++−=

++

−=

);y('hyx1xlnxxy2Fy

);y(h2yx

1xlnyxyxy)y,x(F

);y(h2yx

x1x

1yxyxy)y,x(F

);y(h2yx

x1x

11xyxy)y,x(F

);y(h2yx

x1x

xyxy)y,x(F

x;xy1x

xyy(F(x,y))

xy1x

xyy

x(F(x,y))

;xy1x

xyyM(x,y)Fx

Si

Existe

;NxMy

;xy21x

xy2Nx

;xy21x

1x1y2Nx

;xy21x

11y2Nx

xy21x

xy2My

2

222

222

222

222

22

22

22

++++−=

=

=

++++−=

++∂+

+∂−=

++∂+−+

−=

++∂+

−=

∂

+

+−=∂

++

−=∂

∂

++

−==

=

=

=⇒

=

++

−=

++−−

+=

++

+−=

++

−=

∫ ∫

∫

∫

y);N(x,Fy: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy siAhora

: siguientelo obtiene seentonces y),M(x,Fx

y)N(x,Fyy)M(x,Fx


exacta. esl diferencia ecuación la


ESPOL 2009

15

( )

;0C2y2y

ln28

12yx

1xlnyxyxy

;C2y2y

ln28

12yx

1xlnyxyxy)y,x(F

;C2y2y

ln28

1)y(h

;C2z2zln

281)z(h

;K2z2z

ln22

141

2zdz

41

)z(h

;dyy4dz;yz

;dy2y

y)y(h

;dy2y

y)y(h

;2y

y)y('h

2yy

yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2

:

4

4222

4

4222

4

4

2

34

24

3

8

3

8

3

8

322

=++

−++++−

=

++

−++++−=

++

−=

++−

=

+

+

−=

−=

=⇒=

−=

−=

−=

−++++−=++++−

∫

∫

∫


:Entonces

:h(y) Obteniendo


Fy doreemplazan Entonces

3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:

0y)dyN(x,dxyx

xxy 21/21/2 =+

++−

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx

( )

( )

( );x

yxxxy

21)y,x(N

;yx

xxy21

x)y,x(N

;yx

xxy21Nx

;MyNx

22

2/12/1

22

2/12/1

22

2/12/1

∂

+−=∂

+−=

∂∂

+−=

=

−−

−−

−−


ESPOL 2009

16

( )

( )

( ) ;Cyx2

1xy)y,x(N

;Cu21

xy)y,x(N

;uu

21xy)y,x(N

;xx2u;yxu

;xyx

xxy)y,x(N

;xyx

xxy

21

)y,x(N

22/12/1

2/12/1

22/12/1

2

22

2/12/1

22

2/12/1

++

+=

++=

∂−=

∂=∂

+=

∂

+−=

∂

+−=∂

−

−

−

−

−−

∫

∫

∫∫

( ) 0dyCyx2

1xydx

yxx

xy 22/12/1

22/12/1 =

+

+++

++ −−

Ahora como My = Nx;

);y('h)yx(2

1yxFy

h(y);yxln21xy2F(x,y)

;uu

21xy2F(x,y)

x;x2uy;xu

x;yx

xxy2F(x,y)

x;yx

xxyF(x,y)

x;yx

xxy(F(x,y))

yxxxy

x(F(x,y))

;yx

xxyM(x,y)Fx

Si

Existe

22/12/1

22/12/1

2/12/1

2

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

++

+=

=

=

+++=

∂+=

∂=∂

+=

∂+

+=

∂

++=

∂

++=∂

++=

∂∂

++==

=

=

=⇒

−

−

−

−

−

∫

∫

∫

y);N(x,Fy: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy siAhora

: siguientelo obtiene seentonces y),M(x,Fx

y)N(x,Fyy)M(x,Fx



ESPOL 2009

17

( )

;0;KCxyxln21

xy2

K;Cxyxln21

xy2F(x,y)

h(y);yxln21

xy2F(x,y)

;KCx)y(h

;C)y('h

;Cyx2

1xy);y('h

)yx(21

yx

:

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

=++++

=

++++=

+++=

+=

=

++

+=++

+ −−


:Entonces

:h(y) Obteniendo


Fy doreemplazan Entonces


ESPOL 2009

18

Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante

exacta. esl diferencia ecuación la Ahora

:y de depende que integrante factor Unexacta. esl diferencia ecuación la

:esx de depende soloque integrante factor Un:integrante factor un necesita setanto lo por exacta, nol diferencia ecuación una es Entonces

Nx;My Si

;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y);eu(y)

Ahora;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y)

;eu(x)

;0'y)y,x(N)y,x(M

dxN(x,y)Nx-My

dxN(x,y)My-Nx

=+

∫=

=+

∫=

≠

=+

1) ( ) 1;y(1) Si 0;dy203y2xxydx 22 ==−++

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

;4

;2032),(

;4

;),(

;02032

02032

;)(

;)(

4

2032

3

3532

3

4

35324

2233

3

3

22

xyNx

yyyxyxN

xyMy

xyyxM

dyyyyxdxxy

;dyyxyxydxy

yyu

yyu

x;Nx

;yxN(x,y)

x;My

xy;M(x,y)

dyy

dyxy

dy

====

−−−−++++====

====

====

====−−−−++++++++

====−−−−++++++++

====

====∫∫∫∫

====∫∫∫∫

====

∫∫∫∫====

≠≠≠≠

====

−−−−++++====

====

====

:ecuación la de lados ambos a u(y) andomulitiplic Luego

ee

eu(y)

:integrante factor suencontrar debemos tantoloPor

exacta; es no ldiferencia ecuación la entonces Nx;My

3x-4x

y)M(x,My-Nx


ESPOL 2009

19

(((( ))))

;Cyyyx

C;yyyx

F(x,y)

Cyy

yh

dyyyyh

;yyh'(y)

;yyyxh'(y)yx

yhyx

yxF

xxyyxF

xyx

yxF

0522

522

;52

)(

;203)(

203

20322

);(2

),(

;),(

;)),((

4642

4642

46

35

35

353232

42

4

4

====++++−−−−++++

++++−−−−++++====

++++−−−−====

−−−−====

−−−−====

−−−−++++====++++

====

++++====

∂∂∂∂====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

====

====∃∃∃∃

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

:Entonces

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx: talquey))(F(x,

:exacta es ldiferencia ecuación la tantolopor Nx,My

2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3 =++

( )( ) ( ) ( )

;08y10yyx

;04y52y

2yx

;4C;15C

;0C521

21

;0C1521

211

;0Cy52y

2yx

4642

4642

4642

4642

=+−+

=+−+

=−=

=+−+

=+−+

=+−+

=

: soluciónLa

1;y(1) Si


ESPOL 2009

20

( )[ ]( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )[ ] ( )

( )

( )

( )

( )

C)y(h;0h'(y)

;y

x2h'(y)

yx2

);y(h4x

)xln(2x

2x

yx

)y,x(F

;x(x)ln1xy1)y,x(F

;(x)ln1xy1

x))y,x(F(

;y2Nx

;y

x2)y,x(N

;y2My

;(x)ln1xy1)y,x(M

;0dyy

x2dx(x)ln1xy1

;0xdy2y1

dx-(x)ln1xyyy1

;y1

ee)y(u

ee)y(u

;e

)y,x(N(x);lnxy3xy31My

;(x)ln1xyyM(x,y)

33

222

2

2

2

3

3

3

2

32

33

3

3

dyy3dy

)xln(1xy1y)xln(1xy13

dy)xln(1xy1y(x);lnxy3xy33

dy(x)ln1xyy

(x);lnxy3xy312

dy)y,x(M

MyNx

22

3

2

2

2

22

3

22

=

=

−=+−

=

+−++=

∂

++=

++=∂

∂

=

==

∃

=

−=

−=

−=

++=

=

−

++

=++

=∫∫

=

∫=

∫=

∫=

==

++=

++=

=++

∫

−

++

++−

++

−−−

++

−−−−

−

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx

y);N(x,Fyy);M(x,Fx

:talque y))(F(x,

:exacta es e.d. la tanto lo por Nx,My

:ecuación la de lados ambos a u(y) andomulitiplic Luego

u(y)

-2;Nx-2x;

0;2xdy-dxln(x)1xyy 3

;0C4x)xln(

2x

2x

yx

;C4

x)xln(2x

2x

yx)y,x(F

222

2

222

2

=+−++

+−++=

:Entonces


ESPOL 2009

21

3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222 −=++

[ ]

[ ][ ]

[ ]

( ) [ ]

[ ]

( )

;Cuu31Cu

32

21duu

21)y(h

;ydy2du;1yu

;dy1yy)y(h

;1yyh'(y)

;1yyyxh'(y)

yx

);y(h)yln(x)y,x(F

;x(y)lnx2)y,x(F

;;(y)lnx2x

))y,x(F(

;yx2Nx

;1yyyx)y,x(N

;yx2My

;(y)lnx2)y,x(M

;0y'1yyyx(y)lnx2

;0y'1yyxy1(y)lnxy2

y1

;y1)y(u

;eee)y(u

;e)y(u

;x2Nx;1yyx)y,x(N

;)yln(1x2My;(y)lnxy2)y,x(M

;0y'1yyx(y)lnxy2

2/3

2

2

2

222

2

22

22

222

dyy1dy

)yln(xy2)yln(x2

dy(y)lnxy2

)yln(1x2x2

dy)y,x(M

MyNx

222

222

+=

+==

=

+=

+=

+=

++=+

=

+=

∂=

=∂

∂

=

=

=∃

=

=

++=

=

=

=

+++

=+++

=

∫=

∫=

∫=

∫=

=

++=

+=

=

=+++

∫

∫

∫

−

−

+−

−

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx

y);N(x,Fyy);M(x,Fx

:talque y))(F(x,

:exacta es e.d. la tanto lo por Nx,My

:ecuación la de lados ambos a u(y) multiplica seLuego

( )

( )

( ) ;0C1y1y)yln(x

;C1y1y)yln(x)y,x(F

C;1y1y31h(y)

222

222

22

=++++

++++=

+++=

31

31

:Entonces


ESPOL 2009

22

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) { (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

.integrante factor del método elpor resolver puede se que

Lineal, ldiferencia ecuación una es Esto

:siguiente lo obtiene Se

:Bernoulli de ecuación la de lados ambos a factor el rámultiplica Se

:e variablde cambio siguiente el haciendo

lineal en convierte la se que lineal, no ldiferencia ecuación una es Esta

0,1.n donde Bernoulli, de ldiferencia ecuación una

: es Esto

−−−−====−−−−++++

−−−−====−−−−++++−−−−

−−−−====−−−−++++−−−−

−−−−

−−−−========

====

≠≠≠≠====++++

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

)(1)(1

)(1)(11

)(1)(11

1

1.

:

)()(

1

1

xgnvxpndxdv

xgnyxpndxdy

yn

yxgynyxpyndxdy

yn

yn

dxdy

yndxdy

dydv

dxdv

Donde

yv

yxgyxpdxdy

Sea

v

n

dxdv

n

nnnn

n

n

n

n

4434421


ESPOL 2009

23

La solución general es:

;xK

92x

32xln(x)x

32

1y

2++−−=

( )[ ]( )

( )

( )

( )

( )

( )

[ ] ( )

( )

( )

( )∫

∫∫

−−=

+−=

+−=

+−=

+−=+

=∫=

+−=+

+−=+−

+−=+−

−

−==

=

=

=+=−

=

++−

=++

−−

−−−

−

−

−

−

;dx)xln(x2x32vx

;dx)xln(xx2vx

;dx(x)ln1x2vx

;(x)ln1x2dx

vxd

;(x)ln1x2xv2x'vx

;xe)x(u

;(x)ln12xv2'v

;(x)ln12x

y2y'y2

;(x)ln1yy2xy

y2y'y2

y2

;dxdy

y2dxdv'v

;yv

;(x)ln1yxy

y'

;0(x)ln1yxy

y'

;0dx(x)ln1xyyxdy-

232

222

22

22

222

2dxx2

23

3333

3

3

2

3

3

3

:integrante factor por oResolviend

:v' y v doReemplazan

:ecuación la de ambos a multiplica seLuego

;yv sustituyeSe

3;n

n1

1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3 =++

.

(((( ))))

(((( ))))

;92

3)ln(2

32

:

;92

3)ln(2

32

;9

23

)ln(232

;93

)ln()ln(

;3

;);ln(

?)ln(

22

2

3332

332

32

2

xKxxx

xy

xKxxx

xv

Kxxx

xvx

Cxxx

dxxx

xv dx; xdv

xdx

duxu

dxxx

++++++++−−−−−−−−====

====

++++++++−−−−−−−−====

++++++++−−−−−−−−====

++++−−−−====

====⇒⇒⇒⇒====

====⇒⇒⇒⇒====

====

−−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫

y vdoReemplazan

:solución la Despejando

2-


ESPOL 2009

24

2) 1;y(1) siln(x);yyxy' 2 ==+

∫=

=

=−

=∫=

=−

−=−−

−

−=

==

==+

−

−−−

−

−

−−

;dxx

)xln(v

x1

;x

)xln(dx

vx1d

;x

)xln(xv'v

x1

;x1e)x(u

;x

)xln(xv'v

;x

)xln(yy

xy

y'yy

y

;dxdy

ydxdv

;yyv

;x

)xln(y

xy

'y

2

2

22

xdx

2222

2

2

1n1

2

:integrante factordel métodoel por oResolviend

:ecuación la en v' y v doReemplazan

:ecuación la de lados ambos a multiplica seLuego

2;n

;Cx1)xln(

1y

;Cx1)xln(y

;Cx1)xln(v

C;x1

x)xln(

-vx1

;xdx

x)xln(

-vx1

;x1- v;

xdxdv

;x

dx du(x); lnu

?dxx

)xln(

1

2

2

2

+−−=

+−−=

+−−=

+−=

+=

=⇒=

=⇒=

=

−

∫

∫ Integrando

;2C;11C

1C-11

=

=−

=

= :entonces 1,y(1) Si

;2x1ln(x)

1y

:es soluciónLa

+−−=

Ecuaciones Diferenciales

ESPOL 2009 25

3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2 =++++

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ;x1Cx143

x14y

;Cx143

x14v

;Cx143

x14v

x11

;Cx143

x14dx

x1x2

;Cz43z4

dz1z4

;dz1z4z

zdz21z2dx

x1x2

;1zx

;dxzdz2;x1z

?;dxx1

x2

;dxx1

x2vx1

1

;x1

x2dx

vx1

1d

;x1

x2x)1(4

v2x1

1'v

x11

;x1

1ee)x(u

;x2x)1(4

v2'v

;xyy2x)1(4yy2

'yy2

;dxdy

y2dxdv

;yyv

;xyx)1(4

y'y

0xyx)1(4

1y'y

22

2

3

3

32

22

2

2

x1ln21dx

)x1(21

333

3

3

2n1

3

2

+++−+

=

++−+

=

++−+

=+

++−+

=+

+−=−

−=−

=+

−=

=⇒+=

=+

+=

+

+=

+

+=

++−

+

+==

∫=

=+

−

=+

−+−

−=

==

=−=+

+

=

+

++

−

+−+−

−−

−

−

−−

∫

∫

∫∫∫

∫

∫

:ecuación la de lados ambos a 2y- multiplica seLuego

3;n

3-

( ) ( );

x1Cx143

x14

1y2

+++−+

=

La solución general es:


ESPOL 2009 26

4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2−=+

[ ]

( )

;4

1C

;C4

1

;C4

;)x(Cctg)x(xctgy

);x(Cctg)x(xctgy

);x(Cctg)x(xctgv;Cxv)xtan(

;dxv)xtan(

;dxv)xtan(

;1dx

v)xtan(d);x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan(

);xtan()xcos()x(sen

)x(sen

2)x2(sen

2)x2cos(1

)x2(sen)x2cos(1

)x(u

;)x2(sen)x2cos(

)x2(sen1)x(u

);x2(ctg)x2csc()x(uee)x(u

);x(ctgv)x2csc(2'v

);x(ctgy32y

23y)x2csc(

34y

23'yy

23

y23

;'yy23'v

;yyv

;21);x(ctgy

32y)x2csc(

34'y

3

2

3 2

2/3

2

)x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2

2/12/12/12/1

2/1

2/1

2/3n1

2/1

π−=

+π

=

+π

=

=π

+=

+=

+=

+=

=

=

=

=+

==

−

=−

=

−=

−=

=∫=

=+

=+

=

==

−==+

∫∫

−

−

−

−

1

1;/4)y( Si

:ecuación la de lados ambos a multiplica Se

n


ESPOL 2009 27

;)x(ctg4

1)x(xctgy 3

2

π−+=

:es particular soluciónLa

Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma

=xy

f'y

);x(xy

);x(xy

);x(v

;x

dxv)v(f

dv

;v)v(fdxdvx

);v(fdxdvxv

;xy

fdxdy

;dxdvxv

;

;xy

fdxdy

φ=

φ=

φ=

=−

−=

=+

=

+=

==

=

=

:ecuación la en y' y v, doReemplazandxdy

vx;y entonces xy

v

:ón sustituci siguientela hace Se

:como ecuación esta expresar

puede se sihomogénea es y)f(x,dxdy

ecuación la que dice Se


ESPOL 2009 28

1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:

;y

xy

sec

xy

dxdy

2

2

+=

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )sen(2v)

81-cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6v

vsecdvv

sen(2v)81-cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6vdv cos(2v)

41cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6v

vsecdvv

dv cos(2v)41

cos(2v)4v

2sen(2v)v

6v

vsen(2v)dv4

sen(2v)v6v

vsecdvv

cos(2v)21

n sen(2v)dvdn

dv.dm vm

vsen(2v)dv4

sen(2v)v6v

vsecdvv

dv2

2vsen(2v)2

sen(2v)v6vdvcos(2v)v

21dv

2v

vsecdvv

;2

sen(2v)n cos(2v)dvdn

2vdv;dm vm

dv2

cos(2v)v dv2v dv

2cos(2v)v

2v

vsecdvv

dv2

cos(2v)v2v dv

2cos(2v)1 v(v)dvcos v

vsecdvv

?vsec

dvv

;xdx

vsecdvv

:rando Integxdx

vsecdvv

separable. ldiferencia Ecuaciónv

vsecdxdvx

vxvsec

dxdvx

;vxvsecvv

dxdvx

yxy

sec

xy

dxdy

:obtiene se v,dxdvx

dxdy ,

xy

vxv, y, ldiferencia ecuaciónla endoReemplazan

v;dxdv

xdxdy

xv; y xy

v

:que Asumiendo

23

2

2

2323

2

2

2323

2

2

23

2

2

232

2

2

2

2

2222

2

2

22222

2

2

2

2

32

2

32

2

2

23

22

2

22

2

2

2

++=

++=

+−−+=

+−−+=−+=

−=⇒=

=⇒=

−+=

−+=+

=

=⇒=

=⇒=

+

=

+=

+=

+==

=

==⇒

=⇒=⇒

+=+⇒

+=

+===

+=⇒

=⇒=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

21

21

21


ESPOL 2009 29

( )

;

C

C

xy

vdoReemplazan

x1sen(2v)

81-cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6v

x1

sen(2v)81

-cos(2v)4v

4sen(2v)v

6v

xdx

vsecdvv

2

23

2

23

32

2

=

+−=++

+−=++⇔= ∫∫

2) ( ) ( ) /2;y(1) si0;dyxdx2xyxy 222 24 ==−++

C

La

+−=

+

+

2

23

x1

xy

2sen81-

xy

2cos4v

4xy

2senxy

6xy

:por expresadaqueda implícita forma de solución

( )

;4

K

;Ktan2

12

;K2

xln4tan

2xy

;K2

xln4tan

21

xy

;K2

xln4tan

21

v

;K2

xln4tanv2

π=

=

=

+=

+=

+=

+=

2

;22 y(1)Si

:obtiene se lados ambos atan Aplicando

;42

xln4tan

2xy

π+=

: esparticular solución La

( )

( )

( )( )

( ) ;K2xln4

v2arctan

;Cxln4v2arctan2

;xdx4

2/1vdv

;x

dx2/1v4

dv

;x

dx2v4

dv

;2v4dxdv

x

;2v4vdxdv

xv

;dxdv

xvdxdy

;xvy

;xy

v

;2xy4

xy

dxdy

;x

x2y4xydxdy

2

2

2

2

2

2

2

2

22

+=

+=

=+

=+

=+

+=

++=+

+=

=

=

++=

++=

∫∫


ESPOL 2009 30

3) 0;x donde 0;)y(x ;yxydxdy

x 0022 >=−+=

>/4;y(1)====

;'xvv'y;xvy

;xy

v

;xy

1xy

dxdy

;x

yxxy

dxdy

;x

yxxy

dxdy

2

2

2

22

22

+=

=

=

−+=

−+=

−+=

:asume Se

4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−−

( )( )

( )

;

xy

lnx

ydxdy

;(x)ln(y)lnx

ydxdy

;0ydxdy(x)ln(y)lnx;0ydxdy(y)ln(x)lnx

−=

−−=

=+−

=−−

;'xvv'y;xvy

;xy

v

+=

=

=

:asume Se

La solución general de forma implícita es:

C;xlnxy

ln1lnxy

ln +−=

+−

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

;2

ln

;2

);(1

;ln

;ln

;ln

;ln)(

;;1

;1

;1'

;1'

2

2

2

2

++++====

====

====

====

++++====

++++====

++++====

++++====

====−−−−

−−−−====

−−−−====

−−−−++++====++++

ππππ

ππππ

xxseny

C

Csen

Cxxseny

Cxsenxy

Cxsenv

Cxvarcsen

xdx

v

dv

vdxdv

x

vxv

vvxvv

:espaticular solución La

1;y(1) Si

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

;ln)ln(1lnln

;ln1ln

;ln11

;ln1

;

);ln(

;)ln(1

)ln(

;ln

)ln(1

;ln

'

;ln

'

Cxvv

Cxuu

Cxduu

du

Cxduu

uv

dvdu

vu

xdx

dvvv

v

vvv

dxdv

x

vv

vxv

vv

xvv

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====

++++−−−−

++++−−−−====

++++

====

====

−−−−====

++++

++++−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−====++++

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫


ESPOL 2009 31

Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales

1) ( )( ) ;

4y2x5x2y

dxdy

−−+−

=

( )

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

;zz21z2

dudz

u

;z21z2

dudz

uz

;dudzuz

dudv

;zuv

;uv

z

;

uv2

1uv2

dudv

;vu2uv2

dudv

;3h;1-k

;04kh2;05hk2

4kh2vu25hk2uv2

dudv

;4kvhu25hukv2

dudv

;dudv

dxdy

;kvy;hux

;41);2(2)1)(1(

;baba;0dy4yx2dx)5y2x(

1221

−−−

=

−−

=+

+=

=

=

−

−=

−−

=

=

=

=−−

=+−−−+−+−+−

=

−+−+++−+

=

=

+=

+=

≠−−≠

≠

=−−−−−

:homogéneal diferencia ecuación una como oResolviend

:homogénea ecuación una obtener poder para u, para oDivivdiend

:Entonces

:el sistema oResolviend

;

obtiene seecuación, la en y'y,x, doReemplazan

:asume Se


ESPOL 2009 32

( )( ) ;

udu

1zdz2z

;z2

zz21z2dudzu

2

2

−=−

−−

+−−=

( )( )

( )( )

;Culn1z1z

ln1zln21

;u

du1z

dz21z

dzz

2

22

+−=+−

−−

−=−

−− ∫∫∫

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

;C3xln13x1y

ln211

3x1y

ln23

;3xu;hxu;1yv;kyv

;Culn1uvln

211

uvln

23

;Culn1zln211zln

23

;Culn1zln1zln1zln21

1zln21

;Culn1z1zln1z1zln

21

;Culn1z1zln1zln

21 2

+−−=

−−+

−

+−+

−=⇒−=

+=⇒−=

+−=

−−

+

+−=−−+

+−=++−−++−

+−=+−

−+−

+−=+−

−−

:es implícita forma de soluciónLa

2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+−

( )

( )( )

;3y7x37y3x7

dxdy

;dudv

dxdy

;kvy;hux

;949);3(3)7)(7(

;baba 1221

++−++−

=

=

+=

+=

−≠−

−≠−

≠

:Usando


ESPOL 2009 33

( ) ( )( ) ( )

=++−

=++−++−+−++−+−

=

++++−++++−

=

;03k7h3;07k3h7

3k7h3v7u37k3h7v3u7

dudv

3kv7hu37kv3hu7

dudv ;

:y' y yx, doReemplazan

;uv

z

;

uv73

uv37

dudv

;v7u3v3u7

dudv

;1h;0k

=

+−

+−=

+−+−

=

=

=


;zz73z37

dudz

u

;z73z37

dudz

uz

;dudz

uzdudv

;zuv

−+−+−

=

+−+−

=+

+=

=

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))));

17

16

17

;1ln71

61

7ln

;ln767ln

;ln767ln

;ln2

767ln

;ln767

614147

;767

614147

;33614147

37

;614;767

;767

37

;37

767

;73

7337

2

2

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

−−−−====++++

−−−−−−−−

−−−−

++++−−−−−−−−====++++−−−−

−−−−

−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

−−−−====

++++−−−−

++++−−−−====−−−−

====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====

−−−−====

++++−−−−−−−−

−−−−++++−−−−

−−−−====

++++−−−−−−−−++++++++−−−−

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

xC

xy

xy

Kxx

yx

y

Kuuv

uv

Kuzz

Cuzz

Cuzzdzz-

udu

zz

dzz-

z-z

z-duzzuudu

zzdzz

zzz

dudz

u

zzzz

dudz

u

:es implícita formade solución La


ESPOL 2009 34

3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−− ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

;5xyyx1

dxdy

;kvy;hux

;11;1111

;baba;0y'5xy-x-y1

1221

−−−−

=

+=

+=

−≠

−≠−−

≠

=−−−

Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación: ( ) ( )

( ) ( )

;5khvu1khvu

dudv

;5hukv

kv-hu-1dudv

−+−+−+−−−−

=

−+−+++

=

;dudzuz

dudv

;zuv

;uvz

;

uv1

uv1

dudv

vuvu

dudv

;3k;2-h

;05kh;01kh

+=

=

=

+−

−−=

+−−−

=

=

=

=−+−

=+−−

:ecuaciones de el sistema oResolviend

;z1

zzz1dudz

u

;zz1z1

dudzu

;z1z1

dudz

uz

2

+−−+−−

=

−+−−−

=

+−−−

=+


ESPOL 2009 35

( )( )

;C2xln2x3y

arctan12x3y

ln21

;Culnuvarctan1

uvln

21

;Culn)zarctan(1zln21

;u

du1zdz1z

;1z1z

dudzu

2

2

2

2

2

++−=

+−

−+

+−

+−=

−+

+−=−+

−=+

−−+

−=

∫∫

:esl diferencia ecuación la de implicita soluciónLa

Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by) �� Se asume el siguiente cambio de variable � � �� Despejando y: � � ��

�� Reemplazando y, y’ en: �� Se obtiene una ecuación diferencial de la forma: �� Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma: ��


ESPOL 2009 36

1. ( ) ( ) 7/4;y(0) si;1yx1yxy' 22 =−+−++=

( ) ( )

( ) ( )

( )

;x41e2y

;2k

;41k

47

;

;x41key

;41keyx

;41kez

;ke1z4

;Cx41z4ln

;Cx1z4ln41

;dx1z4

dz

;1z4dxdz

;11z2z1z2zdxdz

;1z1z1dxdz

;1yx1yxy'

;1dxdz

dxdy

;xzy;yxz

x4

x4

x4

x4

x4

2

1

22

22

22

−−=

=

−=

=

−−=

−=+

−=

=+

+=+

+=+

=+

+=

++−−++=

−−+=−

−+−++=

−=

−=

+=

∫∫


47

y(0) Si

: sustituyeSe


ESPOL 2009 37

2. ;y(0) siy);(xtany' 2 π=+=

;2x4)y2x2(seny2x2

;2k;K)2(sen2

;Kx4)y2x2(seny2x2

;Cx4

)y2x2(sen2

yx

;Cx4

)z2(sen2z

;Cxdz2

)z2cos(1

;Cxdz)z(cos

;dx)z(sec

dz

);z(secdxdz

);z(tan1dxdz

);z(tan1dxdz

);yx(tan'y

;1dxdz

dxdy

;xzy;yxz

2

2

2

2

2

2

π+=+++

π=

=π+π

π=

+=+++

+=+

++

+=+

+=

+

+=

=

=

+=

=−

+=

−=

−=

+=

∫

∫

∫∫


;y(0) Si


ESPOL 2009 38

3. 5;52y-10xy' −+=

;Cx105y2x10ln105y2x10

;y2x10z

;Cx105zln105z

;105zln105z5220

dz

;10uln10uu10

udu

;10u

du10du10u

udu

;10u

101

;10u

uduu10

udu

;u10

uduu220

udu25220

dz;dzudu2

;5zu

;dx5220

dz

;5220dxdz

;1052dxdz10

5dxdz

215

;dxdz

215

dxdy

;2z

2x10y

;y2x10z

2

+=−+−−+−−

−=

+=−+−+−

−+−+−=+−

−−−=−

−−−=

−−

−+=

−−=

−

−=

−=

+−

=

+=

=+−

+−=

−+=−

−+=−

−=

−=

−=

−+=

∫

∫

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫

:es explicita forma de solucionLa

:integrales las oeemplazandRz

10-uu

10;-u para u Dividiendo

z

z

z

z

5;z

5;52y-10xy'


ESPOL 2009 39

4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ;Cx2yx25ln251yx2

52

;Cx2z5ln251z

52

;dx2z55

dz5dz2

;2z55

152

;dx2z5dz1z2

;1z2

1z22zdxdz

;21z2

zdxdz

;1z2

z2dxdz

;2dxdz

dxdy

;x2zy;yx2z

;1yx22

yx2dxdy

;441422

baba 1221

+=−+−+

+=−−

=−

−

−−=

=−−

−−+

=

+−

=

−=−

−=

−=+=

−++

=

−=−

−=−=

∫∫∫

:es implícita forma de soluciónLa

2-5z1-2z Dividiendo

:doReemplazan


ESPOL 2009 40

Ecuaciones de Primer Orden Aplicaciones

1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a 80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 50ºC.

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) min67.200453.07429

ln502174

º50min

2174minº

0453.057459

ln8021745

º80min5

2174

74219595210

º950

21

º21

ln

10453.0

1

1

0453.0

5

0

1 =−

=→=+=

∴=

+=

−=

=→=+=

∴=

+=

=−=→=+=

∴=

+=

∴

+=

+=−

=−

−=

−

−

∫∫

tetT

Caestácaféeltten

etT

CkeT

Caestácaféelten

etT

CCeT

Caestácaféelten

CetT

Cescuartodelatemperaturlaquesabemos

TCetT

CktTT

kdtTT

dT

TTkdtdT

t

t

k

kt

k

kt

akt

a

a

a

2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico

encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte?

( )

( )

( )( )aula del aTemperatur

cuerpo del aTemperatur

tiempo al respecto con atemperatur la de Variación :dtdTdtdT

:Newton de toenfriamien deLey

:T:T

TTK

a

c

ac −−=


ESPOL 2009 41

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ;5.1t

9924.1k9924.15.1tk11

5.1ln5.1tk

;11

5.1e5.1e115.2726e11)5.1

;t

7047.1k7047.1kt112lnkt

;112e2e112826e11)

C28)Si26e11)t(T

26C

s: C entonce37ir era de tes de moreratura anSi la temp26Ce)t(T

26Ce)t(TCe26Te

CKt26TlKdt 26T

dTKdt 26T

dT

;26TKdtdT

C5.27)5.1T(t

111

5.1tK5.1tK5.1tK

111

KtKtKt

Ktc

Ktc

Ktc

Ktc

CKt26Tl

ccc

c

1

111

111

c

2) (ecuación

T(t

C 27.51.5)T(t Si

1) (ecuación

T(t

T(t

11C 37

C; 37T(0)

;

; e

n

1.5.t :entonces seráC 27.5 de es atemperatur la que en tiempo El

C. 27.5 a desciende cuerpo del atemperatur la mediay hora una de Después

C 28)T(t

.t es C 28 de es atemperatur la que en tiempo El

C. 28 es hallado es cuando cuerpo del atemperatur La

C 26T

horas. en tiempo :t

1

1

1

1

n

1

1

1

a

+=⇒=+⇒

=+−⇒

=⇒=⇒=+=+⇒

°=+

=⇒=⇒

=−⇒

=⇒=⇒=+=⇒

°=

+=⇒

=⇒+=

°=

°

+=⇒

+=⇒=−⇔=

+−=−⇔−=−

⇔−=−

−−=

°=+⇒

+°

°

°=⇒

°

°

°=

+−+−+−

−−−

−

−

−−+−−

∫∫

( )

22h06. las A

decir. es encontrado serde antes horas 8.89 murio estudiante el tanto lo Por

horas .55705

t

:2y 1 ecuación iguala seSi

1 89.87047.19924.1

255705.2t7047.1t9924.1

t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t5.1t

9924.1t

7047.1

11

111111

=−

=⇒=−⇒

=+⇒=+⇒+

=


ESPOL 2009 42

3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50.

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) infectados

infectados

35350506x

50txetx20000

50lnk50e4x

50x4ten

etx1

etx

49991C1

Ce1Ce50000x

1x0tenCe1

Ce5000tx

Ckt50005000xxln

Ckt5000xxln

50001kdt

x5000xdxx5000kx

dtdx

sanosde:#x5000de:#x

5.16*25.0

t25.050lnt25.0

k20000

kt5000kt5000

0

0

kt5000

kt5000

===∴

=→=

=→==∴

==

=→=

−=→=−

−=∴

==−

−=

+=

−

+=

−⇔=

−⇔−=

−

∫∫

4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad

existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento?

( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) 0044

16

0

40

42ln

0

04

0

0

000

0

322216

2

42ln

24

x2 x4en t

0

x x0en t

ln

existente cantidad :x

xxxx

xtxextx

kxexx

xCxCex

Cetx

Cktx

kdxdx

kxdtdx

tt

k

kt

===

=→=

=→==

==

=→==

==

=

+=

=

=

∫ ∫


ESPOL 2009 43

5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.

( ) ( )

( ) ( )

+=→

+=

+−=−→+−=−→−=−

=−

=−

−−

∫∫300Ce

k1

tvmgCek1

tv

Ctmk

mgkvlnCtmgkvlnkm

dtmgkv

dvm

dtdv

mkvmg

dtdv

mfmg

t30k

tmk

r

( ) [ ]

( ) [ ]( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ]( )

( ) ( )( ) 148t40e148tx

148C0C040e1480x

Ct40e148tx

Ct40e148Cdt40e37tx

Cdttvtxdtdx

tv

40e37tv

5.277C5.7k40k

30040300Ce

k1

v

0

300k3C3300Cek10v

t25.0

0

t25.0

t25.0t25.0

t25.0

0

−+=

−=→=++=

==++=

++=++−=

+=→=

+−=

−=∴=→=→=+=∞

=∞=

−=−→=+=

==

−

−

−−

−

∞−

∫∫

0mx ,0t en

m/s4v ,t en

3m/sv ,0t en

6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20la resistencia es de 40 constante de 50Newtonsuna masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg

a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo.

b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: . a)

(((( ))))

(((( ))))

kev

ke v- ee

Cdt

vdv

dt

vdv

dv v

dtdv

dif. sepaEcuación , vdtdv

, kdtdv

kv

kg. kgkg m

istemaotal del sm: masa tdtdv

mkv

ma;Fr Fmma F

m/seg

NewtonsEntonces k

Newtons. tencia de a de resisy la fuerz

m/seg de locidad esComo la ve

kvFr

NewtonsFm

aguaencia del de resistFr: Fuerza

del motorFm: fuerza

t-

-Ct

-v-

x

250

25025ln

25

25

ln25025

500252

50250500

502500

250050

50080420

50

220

40

40

20

50

++++====⇒⇒⇒⇒

====⇔⇔⇔⇔====

⇔⇔⇔⇔++++−−−−====−−−−

−−−−====−−−−

⇔⇔⇔⇔

−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====

====++++

========−−−−⇒⇒⇒⇒

====++++====

====−−−−

====−−−−⇒⇒⇒⇒====

========

====

====

++++

∫∫∫∫∫∫∫∫

∑∑∑∑

maFx =∑


ESPOL 2009

La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza

Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg.

Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo.

la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.

Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:

Ct

-v-

dt

vdv

rabledif. sepa

ma;

k

Newtons.

m/seg

agua

t-250

25025ln

5002

2

++++====

====−−−−

====⇒⇒⇒⇒

ev

b)

)e(t x(t)

miento es:n del moviLa ecuació

CC )(

;)x(el reposo Si parte d

)e(t x(t)

dte x(t)

edtdx

Entonces:

dx/dtComo v

e v

locidad:n de la veLa ecuació

- kk

por partiial es cidad inicSi la velo

t-

t

t

t

t-

t-

t-

252525lim

2502525

25250250

00

2502525

252525

2525

2525

25250

0

250max

250

250

250

250

250

====

−−−−====

++++====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====

====

++++++++====

====

−−−−====

−−−−====

====

−−−−====

====⇒⇒⇒⇒++++====

∞∞∞∞→→→→

−−−−

−−−−

∫∫∫∫

máxima o limite velocidadLa

44

La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg

ejerce una fuerza . En la dirección del movimiento. El bote tiene

Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier

la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.

pies/seg

)(

miento es:

)(

;

C

C)e(t

locidad:

;)s v(so entoncer del repo por parti

t

25

25025

25025

2502525

00

250

250

−−−−

++++++++

====

−−−−

:es máxima


ESPOL 2009 45

7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30

ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical. Hallar la corriente para t=1/5 segundos.

( )

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ] ( )

( ) ampieti

etieti

CCei

Ceti

Cti

Cti

dtidi

dtdi

i

dtdi

LiRv

tt

t

301.0)5/1(3.07.0

5/1en t

3.07.0921301

219301

0

0i 0en t

9301

30930

930ln301

930

309

6

3030

0

30

=→+=

=

+=→+=

=→+=

==

+=

+−=−

+−=−

−=−

+=

+=

−

−−

−

∫∫

8. Una Fem. de t5e200 − voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier instante de tiempo.

5t-200efem

F 0.01C iacapacitanc :C

carga :q

ohmios 20R aresistenci

RC. circuito el para ldiferencia Ecuación

=

=⇒

=⇒=+

:R

femCq

dtdq

R


ESPOL 2009 46

( )

( ) cetecteq(t)

ctedtedteeeq(t)

dteu(t)u(t)1

q(t)

eeu(t)

lineal. ldiferencia Ecuación

5t5t5t

5t5t5t5t5t

5t

5t5dt

−−−

−−−−

−

−

−

−

+=+=

+===⇒

=⇒

=∫=

=+⇒

=+⇒

=+

∫∫∫

;eq5dtdq

;e20q100dtdq

20

;e2001.0q

dtdq

20

t5

t5

t5

5t5t

5t5t

5t5t5t

5t5t-

5t

5t

e251

e5t

i(t)

0;i(o)

:cero es inicial corriente la entonces cero, es inicial carga la Si

e251

e5t

i(t)

dte51

e5t

tdtei(t)

e51

v dtedv

dt;du t;u

tdteq(t)dti(t)

t;eq(t)

c0

0;q(0)

:entonces capacitor, el en cargahay no teinicialmen Si

−−

−−

−−−

−

−

−

−−=⇒

=

+−−=

+−==

−==

=⇒=

==⇒

=⇒

=

=

∫∫

∫∫

C

;

;


ESPOL 2009 47

Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y”

1) ( ) ;y'x'y'y'3x 231 =+

−+ x

;''

;'

2

ydx

yddxdv

ydxdy

v

========

========

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

;2

;1

;1

;1

311

;1

311

;1113

1

11

13

1

11

'1

1

;1

111

)(

;)(

;1

131

'

;131'

;01'13

013

13

13

2

2

3

2

3

2

2/1

11

ln21

11

2

3

2

32

23

23

23

23

22

ududx

ux

xu

xxdx

vxx

x

xdx

vxx

d

xxxx

x

xx

xx

x

xx

vv

x

x

x

xxx

xu

eeexu

xxx

xv

v

xxvxv

xvvxx

;v'v'-xvxx

v';xvvxx

y'';xy''y'xx

xx

x

dx

x

dx

'

====

++++====

−−−−====

−−−−====

++++−−−−

−−−−====

++++−−−−

++++−−−−++++−−−−

++++

−−−−====

−−−−++++−−−−

++++

−−−−====

−−−−−−−−

++++

−−−−

++++

−−−−====

++++−−−−

====

====∫∫∫∫

====∫∫∫∫

====

−−−−++++−−−−

====−−−−

−−−−

++++−−−−====−−−−−−−−

====−−−−++++−−−−++++

====++++−−−−++++

====++++

−−−−++++

====++++

−−−−++++

∫∫∫∫

++++−−−−

−−−−−−−−−−−−

:ecuación la en doReemplazan


ESPOL 2009 48

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ;ln

;ln

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

/

/

/

/

KxCxxCxxxy

KxCxxCzzxy

x

dxxC

x

dxCdzzzxy

x

dxxCzdzzzxy

zx

zx

dxzdz

xz

xz

dxx

xCdxxxdxxy

x

xCxxx

dxdy

dxdy

v

x

xCxxxv

xx

Cxxxv

Cxxvx

x

Cxxx

xdx

Cuuduu

uuduu

xxdx

+−−−+++−+++=

+−−−+++−+=

−+

−+−−+=

−

++−−+=

−=−

−=

=

+=

+=

−

++−+++=

−

++−+++=

=

−

++−+++=

−

++−+++=

+−+−=+

−

+−+−=−

++=+

+=

−

∫ ∫∫

∫∫

∫∫∫

∫

∫

∫∫

11154

138

14

1138

54

14

112414

1

122214

21

1

2

1

1

11

11216

1

111216

1

111216

11

11216

12161

1

12161

3

2616

2131

3

225323

223523

22

2423

2

223

2

2

2

3

3

32

2


ESPOL 2009 49

2) ( )2

-1 y'x y'+ =y'';

x

( )

( )

( )

[ ]

;xC

xv

;x

xCxC

1v

;xC

1z

;Cxdxxz

;1dx

z.xd

;x1

xzxx'xz

;xe)x(u

;x1

zx'z

;x

vvvxv'vv

;dxdv

vdxdz

;

;

;xv

vx'v

v';x

vvx

;''ydx

yddxdv

'v

;'ydxdy

v

1

1

dxx

1

22122

2

21

21

2

2

1

−=

−=+−=

+−=

+−=−=

−=

−=+

=∫=

−=+

−=−−−

−=

=

==

=−

=+

=+

===

==

−

−

−

−−−−

−

−

−

∫

−

1-

n1-

21-

vz

2;n vz

:Bernoulli del diferencia E.una Es

;'y'x

y'y'x

:ecuación la en doReemplazan

;KCxlnxy

;Cx

CdxdxCxCxy

;Cx

xdxy

;Cx

xxC

xdxdy

+−−−=−

−−−

−=

−−=

−−=

−=

∫∫

∫


ESPOL 2009 50

Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x”

Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable:

;dydv

vdxdy

dydv

dxdv

v;dxdy

========

====

3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22 =+ (HACE FALTA X)

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

;

;2

;

;;

;1

;1

;

;

;1

;2

;)(

;12

;2.2.2

2

;2

;

;

;2

2

2

22

22

2

2

2

2

2

222

22

2

2

1

2

)1(1

2

1

Cuy

dyzdz

Cyu

dxdyCy

yy

Cydxdy

yCy

vy

Cyv

yC

yv

yC

yz

Cyzy

Cydyzy

dyzyd

yy

yz

ydydz

y

yeyu

yyz

dydz

yvv

yvv

v

dydv

vdydv

dvdz

dydz

vz

vz

yv

yv

dydv

v

dyy

−−−−====

====

++++====

====++++

++++====

++++====⇒⇒⇒⇒

++++====

++++====⇒⇒⇒⇒++++====

++++====

++++========

====

====++++

====∫∫∫∫

====

====++++

====++++

========

====

====

========++++

====++++

====++++

∫∫∫∫

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

es variablseparando entonces

dydv

:ecuación la de lados ambos a 2v ndoMultiplica

-1.n Bernoulli, de ldiferencia Ecuacion dydv

1;v2y2y

:ecuación la en'y' ,y' doReemplazan

1;y'2y'y'2y

22

22


ESPOL 2009 51

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) 212

3

21

3

22

23

2

23

2

22

CyCCy

Kx

:es f(y)x forma la de solución la tanto lo Por

Cy u Pero

Cuu

Kx :Entonces

,duCuKx entonces ,u

uduCudx

dxdyCy

y

: en emplazandoRe

++++−−−−++++

====++++

====

++++====

−−−−====++++

−−−−====++++−−−−

====

====++++

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

4) ( ) 0;y''yy'yy' 22 =−+

( )

( )

;Cyyv

;Cyvy1

;dyvy1

;1dy

vy1d

;y1y

yv

y1

dydv

y1

;y1e)y(u

;yyv

dydv

;0yv

dydvy

;0vdydvyvvy

;dydvv

dxdy

dydv

dxdv

;dxdy

v

2

ydy

22

+−=

+−=

−=

−=

−=−

=∫

=

−=−

=−+

=−+

=−+

==

=

∫

−

0;y''yy'yy'

:ecuación la en doReemplazan22

dyy Cy;

dxdy dy dy

x ;Cy y Cy C(C y)

= − +

= = +− −∫ ∫ ∫

2

2

x ln y ln C y K;C C

La solución es:

= − − +1 1

Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes

1) Resuelva: 2y3y''y' ++


ESPOL 2009


);sen(e2y x=

52



ESPOL 2009 53

2) Resuelva:


ESPOL 2009

si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;

54

si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;

( )(

;41

CC

81

021

CC165

165

)0('y

;CC163

;163

)0(y

xtan21

eCeC'y

21

21

21

2x2

x1

=−

++−=

=

+=

=

+−= −


ESPOL 2009

( ) ))x(secxsec 3+

e321

e327

y

;32

1C

;327C

:solviendoRe

xx

2

1

+−=

−=

=

−

55

2)xsec()xtan(

+


ESPOL 2009 56

3) Resuelva ;xe6y5y''y' x=+−

[ ]

( )( )

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]( )

;xe21e

43eCeCy

;yyy

;xe21e

43y

;xeaeay

;21a;

43a

;1a2;0a3a2

;xexea2ea3a2

;xexeaea6exeaea5e2xeaea

;xey6'y5''y

;e2xeaea''y

;exeaea'y

;xeaeay

;exaay

;0s

;exaaxy

;xey6'y5''y

;eCeCy

;ey

;ey

;2; r3r;02r3r

;06r5r

;06r5re

;er''y;re'y;ey

;0y6'y5''y

xxx22

x31

ph

xxp

x1

x0p

10

1

10

xx1

x10

xx1

x0

xx1

x0

xx1

x0

x

xx1

x0p

xx1

x0p

x1

x0p

x10p

x10

Sp

x

ogéneahomSolución

x22

x31h

x22

x31

21

ticaCaracterísEcuación

2

2rx

rx2rxrx

+++=

+=

+=

+=

==

==−

=+−

=++++−++

=+−

++=

++=

+=

+=

=α=

+=

=+−

+=

=

=

===−−

=+−

=+−

===

=+−

α


:homogénea nol diferencia ecuación la en doReemplazan

1;

:particular soluciónla sEncontremo

:'y',y'y, doReemplazan

44 344 21

43421


ESPOL 2009 57

4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x=++

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

;21

b

;0a;1b2

;0a2);xcos(excose2bsenxe2a

);xcos(ey2'y2''y

''y,'y,y

;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y

;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y

;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y

;senxxebxcosxeay

;senxebxcoseaxy

1s

;senxebxcoseay

;esenxbxcosay

1;0s

;esenxbxcosaxy

);xcos(ey2'y2''y

;senxeCxcoseCy

;senxey

;xcosey

;1

;i12

)2(442r

;02r2r

;02r2re

;er''y;re'y;ey

;0y2'y2'y

0

0

0

0

xx0

x0

x

ppp

xxx0

xxx0p

xxx0

xxx0p

xxx0

xxx0p

x0

x0p

x0

x0p

x0

x0p

x00p

x00

Sp

x

ogéneahomSolución

x2

x1h

x2

x1

2,1

ticaCaracterísEcuación

2

2rx

rx2rxrx

=

=

=

=−

=+−

=++

+−−+−−=

+−++−−=

+−++−−=

+=

+=

=

+=

+=

=α=

+=

=++

+=

=

=

=β−=λ

±−=−±−

=

=++

=++

===

=++

−−−

−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−

−−

−−

−

α

−

−−

−

−

:homogénea nol diferencia ecuación la en ando simplificy doReemplazan

homogénea. soluciónmi a respecto con edependient elinealmenttérminos contiene que ya particular soluciónesta asumir puede seNo

;-


1;

:'y',y'y, doReemplazan

4444 34444 21

43421


ESPOL 2009 58

);x(senxe21

senxeCxcoseCy

;yyy

);x(senxe21

xx2

x1

ph

x

−−−

−

++=

+=

=py

1;x3ecosxy2y''y' 2x −++=+−

[ ]

( )

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

;senx21

;21b;0

xcos2bsenx2

;senxbxcosabsenxxcosa''y

;xcosbsenxaxcosbasenx'y

;bsenxxcosay;0s

;bsenxxcosaxy

;xeCeCy

;xey

;ey

;1r;01r

;01r2

01r2r

;er''y

;re'y

;ey

0

1p

1p

1p

s1p

x2

x1h

x2

x1

2,1

2

2rx

rx2

rx

rx

−=

−==

=

=

=−+

−+−=−−=

+−=+−=

+=

=

+=

=+−

−++=+−

+=

=

=

==−

=+−

=+−

=

=

=

=+−

p1

p1p1p1

2x

2

y

a oResolviend 1;2b-

0;2a

cosx;a

1; ecuacion la en y,y','y' doReemplazan

1. n Ecuaciócosx;y2y''y':particular soluciónprimera la oEncontrand

1;x3ecosxy2y''y'

:particular soluciónla oEncontrand

r

;e

:homogénea ecuación la en 'y' ,y' y, doReemplazan

;y2y''y':homogénea soluciónla oEncontrand


ESPOL 2009 59

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ]

;ex23

;23

a

;e3ae2

;e2xe4exa''y

;xe2exa'y

;eaxy

;eaxy

;eaxy

;eay

;0s

;eaxy

x2

xx

xxx22p

xx22p

x22p

x22p

x2p

x2p

xs2p

=

=

=

=+−

++=

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

=+−

p2

x

p2p2p2

x

y

:es particular solución segundaLa

3ey2y''y'

2. ecuación la en y,y','y' doReemplazan

homogénea soluciónla arespecto nte,independie elinealment es soluciónesta caso, este En

2;santerior. razón misma la por

solución,esta asumir puede seTampoco

1;shomogénea. soluciónla a respecto con edependient elienalment

es que ya ,particular soluciónesta asumir puede seNo

2. n Ecuació;3ey2y''y'

:particular solución segundala oEncontrand

[ ]

c;2''y

cx;2b'y

;cxbxay

;0s

;cxbxaxy

3p

3p

23p

2s3p

2

=

+=

++=

=

++=

=+− 3. n Ecuació1;-xy2y''y'

:particular solucióntercera la oEncontrand

[ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2

122

2

−=++++−

−=+− xy2y''y'

2. ecuación la en y,y','y' doReemplazan p3p3p3


ESPOL 2009 60

[ ] [ ] [ ]

p

p p p p

xp

h p

c b a c b x c x x ;

c b ac b

c

c ;b ;a ;

y x x ;

y y y y ;

y sen(x) x e x x ;

y y y ;

y C

Resolviendo el sistema:

La tercera solución particular:

La solución general:

− + + + + = −

− + = −− + = =

===

= + +

= + +

= − + + + +

= +

=

2 2

23

1 2 3

2 2

2 2 2 1

2 2 14 0

1

145

5 4

1 3 5 42 2

x x xe C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 21 2

1 3 5 42 2


ESPOL 2009 61

Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy

1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβ donde 0,βyxy''y'x 2 ∈α=+α+ , , se la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable zex = , y luego resuelva:

;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2 +=++

(((( )))) ;βydzdy

αdz

yd

;βydzdy

αdzdy

dzyd

;βydzdy

xαx

dzdy

xdzyd

xx

;dzdy

xdzyd

xdxyd

y''

;xdz

dyx

xdzyd

xdxyd

;dxdz

dzdy

dzdx

xdzyd

xdxyd

;dxdz

dxdy

dzd

dxyd

;dxdy

dxd

dxyd

;dzdy

xdxdy

y'

;xdz

dydxdz

dzdy

dxdy

xdxdz

xz

Si z

01

0

0111

11

111

11

1

1

;1);ln(;

2

2

2

2

22

2

22

22

2

22

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

====++++−−−−++++

====++++++++−−−−

====++++

++++

−−−−

====++++++++

−−−−========

−−−−====

−−−−====

====

====

========

========

====

========

0;βyxy''y'x

ldiferencia ecuación la en doReemplazan

:'y' luego necesita Se

:Ahora

e x

2 αααα

(((( )))) ;ydzdy

dzyd

0412

0

2

2

====++++−−−−++++

====++++++++

++++====++++++++

;4y2xy''y'x

:homogénea solución la primero oEncontrand

;e4sen(lnx)4y2xy''y' xecuación la oResolviend

2

2ln(X)2


ESPOL 2009 62

( )

( )

[ ] [ ][ ] [ ]

( )[ ] [ ]

2. n Ecuació

:particular soluciónla segundala oEncontrand

:obtiene seel sistema oResolviend

1. Ecuación

:1 ecuación la en y ,y' ,'y' doReemplazan

:forma siguientela tiene soluciónprimera La1. Ecuación

:esparticular s solucione2 tiene seDonde

:obtiene se,e4sen(lnx)4y2xy''y'x ecuación la en

reemplazaral ln(x),z y ex que asume seComo

:particular soluciónla sencontremo Ahora

ppp

2ln(X)2

z

ticacaracterís Ecuación

;e5y4y'y''

));x(ln(sen56))xcos(ln(

52y

);z(sen56

)zcos(52

y

;56b;

52a

4b3a0ba3

);z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a;zsen4y4y'y''

;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y

;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y

);z(bsen)zcos(ay

;zsen4y4y'y''

;e5zsen4y4y'y''

5

;2

)xln(15senxC

2)xln(15

cosxCy

;2

z15seneC2

z15coseCy

;2

z15seney

;2

z15cosey

;i215

21

21611r

;04rr

;04rre

;0y4'y''y

z2

1p

1p

p

p

p

z2

21h

2/z2

2/z1h

2/z2

2/z1

2,1

2

2rz

=++

+−=

+−=

=−=

=+−

=+

=++−

=++

−+−=−−=

+−=+−=

+=

=++

+=++

+=++

==

+

=

+

=

=

=

±−=−±−

=

=++

=

++

=++

−−

−

−

43421


ESPOL 2009 63

;2

x))x(ln(sen56))xcos(ln(

52

2)xln(15

senxC2

)xln(15cosxCy

;yyy

;2

x))x(ln(sen56))xcos(ln(

52y

;yyy

;2

xe21y

;e21y

;21a

;e5ae10

;e5ae4ae2ae4

;e5y4y'y''

;ae4

;ae2

;ae

2

21

ph

2

p

2p1pp

2)xln(2

2p

z22p

z2z2

z2z2z2z2

z2

z2

z2

z2

++−

+

=

+=

++−=

+=

==

=

=

=

=++

=++

=

=

=

2. n Ecuació

:2 ecuación la en y ,y' ,'y' doReemplazan

'y'

y'

y

: solución siguientela asume Se

p2p2p2

p2

p2

p2

2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22 +−−−=+−+−

( );

dxdz

dzdy

dzdx

2x1

dzyd

2x1

dxyd

;dxdz

dxdy

dzd

dxyd

;dxdy

dxd

dxyd

;dzdy

2x1

dxdy

y'

;2x

1dzdy

dxdz

dzdy

dxdy

;2x

1dxdz

);1xln(z;Si

22

2

2

2

2

2

2

2

z

−−

−=

=

=

−==

−==

−=

−==

:'y' luego necesita Se

:Ahora

entonces e2-x


ESPOL 2009 64

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( );6z5zyy'2y''

;2x

2xlnC2x

Cy

;e2xlnCeCy

;zeCeCy

;2xlnz;zeCeCy

;zey

;ey

;1r;01r

;01r2r

;01r2r

;er''y

;re'y

;ey

;0ydzdy

2dz

yd

0

;0ydzdy

13dz

yd

;0ydzdy

3dzdy

dzyd

;0ydzdy

2x12x3

dzdy

2x1

dzyd

2x12x

3

;dzdy

2x1

dzyd

2x1

dxyd

y''

;2x

1dzdy

2x2x

1dz

yd2x

1dx

yd

2

21h

2xln2

2xln1h

z2

z1h

z2

z1h

z2

z1

2,1

2

2

2

rz2

rz

rz

2

2

2

2

2

2

22

2

22

22

2

22

2

22

2

2

2

+−=++

+−−−=++

==

−−

+−

=

−+=

+=

−=

+=

=

=

−==+

=++

=

++

=

=

=

=++

=++

=+−+

=++−

=+

−

−+

−−

−−

=++

−−

−==

−

−

−−

−=

−−−−

−−

−−

−

−

:obtiene se,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-x ecuación la en

reemplazaral 2),-ln(xz y e2-x que asume seComo

:particular soluciónla sencontremo Ahora

e

:homogénea ecuación la en 'y',y'y, doReemplazan

;y2y''y' ecuación la oResolviend

0;yy'2-x'y'2-x

:homog{eneal diferencia ecuación la en doReemplazan

22

z

ticaCaracterís Ecuación

rz

2

43421


ESPOL 2009 65

[ ]

[ ]

( ) ( )

( ));2x(ln)2xln(922

2x2xlnC

2xC

y

;yyy

);2x(ln)2xln(922y

;zz922y

;22a;9-b

;1c

1c5-bc4

6ab2c2

;6z5zczbzacz2b2c2

;c2''y

;cz2b

;czbza

;0s

;czbzax

221

ph

2p

2p

22

p

2

2S

−+−−+−−

+−

=

+=

−+−−=

+−=

==

=

==+

=++

+−=+++++

+−=++

=

+=

++=

=

++=


6;5zzy2y''y' ecuación la en y,y','y' doReemplazan

y'

y

y

:forma siguientela tiene particular soluciónla Donde

2ppp

p

p

p


ESPOL 2009 66

3) ( )

ln(x);z entonces ex Si

;3ln(x)3tan9yxy''y'xz

2

==

=++

,

( )

( )

[ ]

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

;)z3cos(

)z3(sen)z3(senz3senz3tan33

;z3sen3z3cos3z3cos3z3sen3

z3senz3cos'y'y

yy

;z3cos3)z(g

z3sen0

;yuyuy;z3tan3g(z)

;z3tan3y9y'',

;)xln(3senC)xln(3cosCy;z3senCz3cosCy

;senzy;zcosy

;i3r;09r

;09re

;er''y

;ey

;0y9''y

;0y9dz

yd

;0y9dzdy

11dz

yd

;0βydzdy

1αdz

yd

22

21

21

2211p

21h

21h

2

1

2

2rz

rz2

rz

2

2

2

2

2

2

−=−=

=

+=−

==

=

+=

=

=+

==

=++

+=

+=

=

=

±=

=+

=+

=

=

=+

=+

=+−+

=+−+

=++

3u'

y,yW

y,yW

y,yWu'

:obtiene seex y xlnz doReemplazan

;3ln(x)3tan9yxy''y'x


:obtiene Se

:Usando0;9yxy''y'x

:homogénea soluciónla oEncontrand

1

21

21

211

z

2

2


ESPOL 2009 67

( )

( )( )

( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos(31)z3cos(

3)z3(tg)z3sec(ln

3)z3(sen

z3senCz3cosCy

;yyy

;)z3(sen)z3cos(31)z3cos(

3)z3(tg)z3sec(ln

3)z3(sen

y

;yuyuy

)z3cos(31dz)z3(senu

);z3(sen'u

;)z3cos(

)z3(sen)z3cos('u

3)z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3

0z3cos

;3

)z3(tg)z3sec(ln3

)z3(senu

dz)z3sec()z3cos(u

);z3sec()z3cos('u

;)z3cos(

1)z3cos(

;)z3cos(

)z3(cos1)z3cos()z3(sen

21

ph

p

2211p

2

2

2

1

1

1

22

−

+−++=

+=

−

+−=

+=

−==

=

=

=−

=

+−=

−=

−=

−=

−−=−=

∫

∫

212

1

1

y,yWu'

u'

u'

( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos(31

)xln3cos(3

)xln3(tg)xln3sec(ln3

)xln3(senxln3senCxln3cosCy 21 −

+−++=


ESPOL 2009 68

4) Si senxxy cosx,xy 1/22

1/21

−− == forman un conjunto linealmente independiente y

son soluciones de 0;y41xxy''y'x 22 =

−++

Hallar la solución particular para ;xy41xxy''y'x 3/222 =

−++ si

( ) 0;>y' 0;2>

y ==

;)y,y(W

'y)x(gy0

'u

;xg(x)

;yuyuy

; xyx411

xy'

y''

;x

xyx41

xxy'

xxy''

xx

;

;senxxCxcosxCy

21

2

2

1

2/1

2211p

2/12

2

2/3

22

2

22

2

2/3

2/12

2/11h

=

=

+=

=

−++

=

−++

=

−++

+=

=

−++

==

−

−

−−

−−

:parámetros de variación aplica Se

xy41

xxy''y'x de soluciónla encontrar Para

:obtiene seentonces 0,y41

xxy''y'x

de s solucionesenx sonxy y cosx,xy Como

22

22

1/22

1/21


ESPOL 2009 69

( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ;2

102

111C12

101C0

;2

xsenxx

21

xcosxCxcosx21

senxxC'y

;1C

;02

)1(2

C

;2)1(2C02C0

;xsenxxCxcosxCy

;02

;xsenxxCxcosxCy

;yyy

;xy

;x1xxsenxcosxy

senxxsenxxcosxxcosy

;senxu

;xcosx

xcosx'u

;x

xxcosx21senxx

0xcosx

)y,y(W)x(g'y

0y

'u

;xcosdx)x(senu

);x(senxsenxx

x

senxx21xcosxxsenxx0

'u

;x)y,y(W

;x1xxsenxcosx)y,y(W

;xcossenxx21xsenxxcossenxx

21xcosx)y,y(W

;xcosx21

senxxsenxxsenxx21

xcosxxcosx)y,y(W

senxx21xcosxxcosx

21senxx

senxxxcosx

'y'yyy

)y,y(W

21

2/32/32/1

22/32/1

1

2

2

21

2/12/12

2/11

2/12/12

2/11

ph

2/1p

2/12/1222/1p

2/12/1p

2

1

1

2

1

2/12/32/1

2/1

21

1

1

2

1

1

1

1

2/32/12/1

2/1

1

121

1122121

22122121

2/32/12/12/32/12/121

2/32/12/32/1

2/12/1

21

2121

ππ−

ππ−−

π+

−

ππ−

π−=

−

−+

−−=

−=

=π

+π

π+

π+

π=

++=

=π=

π

++=

+=

=

==+=

+=

=

==

−−==

=−=

−=−=−

=

=

==+=

++−=

−−−

−=

−−−==

−−−−−

−−−

−−−

−

−−−

−−

−

−

−

−−−

−

−

−

−

−−−

−

−

−−−

−−−−

−−−−−−

−−−−

−−

∫

0;)(y' y y Si


ESPOL 2009 70

( ) ;xsenxxxcosx21y

;21C;2C1

;12

C2

1

;C2

C2

1

;2

11C2

1C0

2/12/12/1

1

1

1

21

21

−−− +−π−=

π−=

π+=π

+ππ

=ππ

π−

ππ=

ππ

ππ−

π

−

ππ

=


ESPOL 2009 71

Identidad de Abel

1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel: ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( );

1xdxxx212y

1x1

;1x

dxxx21y1x

1

;1x

xx21y1x

1dxd

;1x

xx211x

y'y

1x1

;1x

1e)x(u

;1x

xx211x

y'y

;xx21y'y1x

;ey'y1x

;dxx22du;xx21)x(u

;ey'y1x

;ey'y1x

;y'y1x'y

y

;'y'y

yy

;0yxx21

2y'-xx21

x12y''xx21xx21

)x(p

;

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

1xdx

22

2

222

xx21ln22

2

xx21dxx22

22

xx21dxx12

22

222

2

21

21

222

2

2

2

2

∫

∫

+−−−

=+

+−−

=+

+−−

=

+

+−−

=+

−+

+=∫=

+−−

=+

−

−−=−+

=−+

−−=

−−=

∫=−+

∫=−+

−+=+

=

=

=−−−−

++

−−−−

=++

∫=

+=

===−++−−

+−

−−

−−−−

−−+

−

−

:Entonces

11x

y,yW

y,yW

0;q(x)yy''y':forma siguientela tener debel diferencia ecuación la Donde

ey,yW

:abel deidentidad la usará Se1;xy es soluciónuna Si

1.(0)y'y(0) Si 0;2yy'x12'y'x2x1

21

21

p(x)dx21

1

2


ESPOL 2009 72

( )( ) ( )

;1x

dx21x

dx1xy1x

122

2

2 ∫ ∫ ++

++

−=+

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

;1xy

;1C;C21C

;0C

1C2C1CC

;1CC1

;2C1C1

;2xxC1xCy

;2xxy

;21xxy

;1x

2xy1x

1

;1x

2xy1x

1

;1x

dx2dxy1x

1

1

21

2

21

21

21

21

221

22

2

2

2

22

+=

=

+=

=

→

=−

=−

−+=

−−+=

=

−+=

=

−−−++=

−−−=

−+−=+

−−=+

+−−=

+

++−=

+ ∫ ∫

:es soluciónLa

12-1010

12-111-1


;12xCCy'1;(0)y' Si

1;y(0) Si

21


ESPOL 2009 73

Método de Reducción de Orden

2) Resuelva: ( )

;ey Si

0;yy'1x'xy'x

1−=

=+++

[ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ]

[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

;xe)x('u

;xe)x(v

;xlnx)x(vln

;dxx11

v(x)dv

;x11v(x)

dxdv

;exev(x)xedxdv

;0exev(x)xev'(x)

;0exeu'(x)xeu''(x)

;0exe)x('uxe)x(''u

;00)x(uexe)x('uxe)x(''u

;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u

;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u

;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex

;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y

;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y

;e)x('ue)x(u'y

;e)x(uy

;y)x(u

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx2

xxxx2

xx2

x2

1

=

=

−=

−=

−=

−=

=+−+

=+−+

=

=

=+−+

=++−+

=+−−++−+

=++−+++−+

=++−+++−

=+++

+−=

+−++−−=

+−=

=

=

∫∫

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−

−−−−

−−

−

:ldiferencia ecuación la en (x)v' y v(x) doReemplazan(x);'u'(x)v'

(x);u'v(x) :y Falta

:obtiene se0,yy'1x'xy'ldiferencia ecuación la en doReemplazan

y que asume Se:orden de reducción de métodoel Usando

2


ESPOL 2009 74

( )

( )

( ) ;!

ln

:es solución La

;!

ln

;)(

;!

ln)(

;!

)(

;!

)(

;)(

++=

+=

=

+=

+=

=

=

∑

∑

∑

∫ ∑

∫∑

∫

∞+

=

−

−∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

∞+

=

−

121

12

12

1

1

1

0

1

1

n

nx

x

n

n

n

n

n

n

n

n

x

nnx

xCeCy

enn

xxy

yxuynn

xxxu

dxn

xx

xu

dxn

xxu

xdxe

xu


ESPOL 2009 75

Ecuación homogénea de orden superior 1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una

cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con coeficientes constantes, son:

4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, Escriba la solución general.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2109822

76523

42

3214 33cos

:34

xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy

entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSexxx +++++++++=

2. 08y12y''6y'''y' =−+−

3. 032ydx

yd5

5

=+

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx

i

i

i

kii

k

eCexsenCxCexsenCxCxy

seniem

iseniem

iseniem

kemmm

25

618.043

618.121

3

53

5,1

54,0

52

5

902.1902.1cos175.1175.1cos

2cos22

902.1618.053

53

cos22

175.1618.155

cos22

4,3,2,1,0;2032

−−

+

++++=

−=+==

±−=

+

==

±=

+

==

==→=+=

ππ

ππ

ππ

φ

π

π

π

ππ

4. ( ) 0y52DD 22 =+−

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy

im

im

mmmmm

mmm

xx4321

4,3

2,1

22

22

22cos

21

212

1622

5.1.442

05252

052

+++=

±=

±=−±

=−±

=

=+−+−=

=+−=

φ

φ

( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2321

2

3213

2

23

202

0442

0441

882

281261

08126

xCxCCexy

mmmmm

mmmm

mmmm

x ++=

===→=−=

=+−−=

−

−

−−

=−+−=

φ

φ

φ


ESPOL 2009 76

Ecuaciones de Orden Superior

Ecuación no homogénea de orden superior

1. 84xx2y''3y'''y' 2 ++=++

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) Axy

BAxxy

CBxAxxy

CxBxAxxy

xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys

xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys

CBxAxxxyxxxg

particularsoluciónlaEncuentro

eCeCCxymmm

mmmm

mmmm

mmmmyyy

ariacomplementsoluciónlaEncuentro

xyxyxy

p

p

p

p

cp

cp

sp

xxc

pc

6'''

26''

23'

..1

0

84

:

2,1,0

021

023

0230'2''3'''

:

2

23

232

2

22

2321321

2

23

=

+=

++=

++=

++=++=→=

++=→=

++=→++=

++=→−=−==

=++=

=++=

=++=→=++

+=

−−

φφ

φ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) xxxeCeCCxy

generalSolución

xxxxy

decimosqueloPor

CBA

CCBA

BA

BBA

AA

xxCBAxBAxA

xxCBxAxBAxA

xxyyy

xx

p

ppp

411

41

61

:411

41

61

:

411

2668

8266

41

4184

4418

61

16

842664186

842322636

84'2''3'''

232321

23

22

22

2

+++++=

++=

=→+−

=→=++

=→−

=→=+

=→=

++=+++++

++=+++++

++=++

−−


ESPOL 2009 77

2. 2x2x2x22 e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−−

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy

CBxCBAxBAAxexy

CxCBxBAAxexy

CxBxAxexy

xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys

xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys

CBxAxexxyexeexxg

xxy

decimosqueloPor

CBA

CCBA

BA

BBA

AA

xxCBAxBAxA

xxCBxAxBAxA

xxyyyy

xy

Axy

BAxxy

CBxAxxy

xyconilessiCBxAxxys

CBxAxxxyxxxg

xgxgxg


eCeCeCxymmm

mmmmmm

mmmm

mmmmyyyy


xyxyxy

xp

xp

xp

xp

cxx

p

cx

p

xsp

xxx

p

pppp

p

p

p

p

cp

sp

xxxc

pc

12126824368368'''

424864124''

22232'

..1

0

52

21

:

04

4211442

0484

448

21

24

142442484

14242420

1424'4'''''

0'''

2''

2'

..0

142

:

2,2,1

22141

0141

04404'4'''''

:

232

232

232

232

23222

22

2222222

2

1

22

22

2

2

2

221

21

23

221321

2

2

23

++++++++=

+++++++=

+++++=

++=

++=++=→=

++=→=

++=→++=

=

=→++−

=→−=+−−

=→+−

=→−=+−

=→=

−−=+−−++−+

−−=++++−−

−−=+−−

=

=

+=

++=

++=→=

++=→−−=

+=

++=→−===

+−−=−−=

=−−−=

=+−−=→=+−−

+=

−

φ

φ

φ

( ) ( ) ( )( ) xxxx

xxxpppp

exeexCBAxBAxAe

exeexyyyy222222

2222

52410683012

524'4'''''

++=+++++

++=+−−


ESPOL 2009 78

( )

( ) xxxx

xp

exxeCeCeCxy

exxy

CBA

CCBA

BA

BBA

AA

23223

221

23

61

21

61

04

106114106

08305

5830

61

212

2

++++=

=

=→−−

=→=++

=→−

=→=+

=→=

−

3. ( )xcscy'''y' =+

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxxx

xsenCxCCxy

xsenxxxx

xy

xsenxxxx

y

xdxuxsenxxx

xsen

x

u

xdxxxuxxxsenx

x

xsen

u

xdxxux

xsenxx

xxsen

xsenx

u

xsenx

xsenx

xxsen

xsenx

xsenxW

yuyuyuxy


xsenCxCCxyimimm

mmm

mmmyy


xyxyxy

p

p

p

c

pc

−+

+++=

−+

=

−++

=

−=−=→−=−

−

=

=−=→−=−

=

==→=−−

−

=

=+=

−−

−=

++=

++=→−===

=+=

=+=→=+

+=

∫

∫

∫

csclncos2

tanlncos

csclncos2

tanln

coscscln12

tanln

1csc1

csccos0

00

0cos1

'

csclncoscsccoscsc1

csc0

cos00

01

'

2tanlncsc1csc

1

coscsc

cos0

cos0

'

1cos1

cos0

cos0

cos1

,cos,1

:

cos,,0

01

00''''

:

321

33

22

11

22

332211

321321

2

3

φ

φ


ESPOL 2009 79

4. ( )xxln''y' = ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )xxx

xCxCCxy

generalSolución

xxx

yilesnoxxx

y

xx

xxxxx

y

xdx

xx

ux

xxx

xx

x

u

xxdxxux

xxxx

xx

x

x

u

xx

dxxxux

xxxx

xx

x

xx

u

xxxx

xx

xsenxW

yuyuyuxy


xCxCCxymmm

mm

mmy


xyxyxy

pp

p

p

c

pc

ln6ln24

:

ln6ln24

..7ln6ln24

2ln

1ln2121

ln2

2lnlnlnln00

010

01

'

1ln2ln22.ln2ln0

200

01

'

21

ln2

lnln20ln

210

0

'

21

200

210

1

,cos,1

:

0,0,0

0

00'''

:

22

2321

22

22

222

2

3223

222

2

2

2

12

2

2

2

1

222

2

332211

2321321

3

3

−+++=

−=∴+−=

+−−+

−=

==→==

−−=−=→−==

−==→==

=−==

++=

++=→===

==

==→=

+=

∫

∫

∫

φ

φ


ESPOL 2009 80

Ecuación de Euler de orden n

1. 018ydxdy

6xdx

ydx

dxyd

x 2

22

3

33 =+−−

( )( ) ( )( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2

33

21

23

32

31

3212

2

23

23

321

321

2

2

12233

ln

233023

018'3''4'''

023

01834

0186121

:ln

:

ln

23

023

063

03631

0186121

0186121

0186121

:

−

−

−

−−−

++=

++=

−===→=+−=

=+−−

=+−

=+−−

=+−−−−−

=→=

°

++=

−===

=+−

=−−−

=−−−−

=+−−−−−

=+−−−−−

=+−−−−−

=

°

xCxxCCxy

eCteCeCty

mmmmmm

tenecuaciónyyyy

DD

DDD

DDDDDD

obtienesextexcambioelaplicando

Método2

xCxxCCxy

rrr

rr

rrr

rrrr

rrrrrr

xrrrrrr

xxrxxrrxxrrrx

:a reduce seescución la entoncessolucióncomoxyasumo

Método1

:métodosdosporosresolveremLa

ttt

t

r

rrrr

r

φ

2. 08ydxdy

10xdx

yd2x

dxyd

x 2

22

3

33 =−−+

( )( ) ( )( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( )( )

( ) 23

12

41

321

23

2

12233

214

0214

0810

04521

08101221

08101221

−−

−−−

++=

−=−==

=++−

=−−−

=+−−

=−−−+−−

=−−−+−−

=

xCxCxCxy

rrr

rrr

rrr

rrr

xrrrrrr

xxrxxrrxxrrrx


r

rrrr

r


ESPOL 2009 81

3. 4lnx8ydxdy

8xdx

yd4x

dxyd

x 2

22

3

33 =−+−

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )87

ln21

87

ln21

87

21

87

0814

21

48

48148

4814070

:Re

0'''''

'

0

48'14''7'''

:

4210421

08'14''7'''0421

0861

08421

0181421

0881421

:

:ln

43

221

43

221

43

221

321

2

+−++=

+−=→+−=

→==−

−==−

=−+−

=+−+−

==

=

+=

+=→=

+=

=−+−

++=→++=

===→=−−−=

=−+−→=−−−

=+−−

=+−−−

=−+−−−−

=−+−−−−

=→=

xxCxCxCxy

xxyttyBBA

AA

tBAtA

tBAtA

emplazando

yy

Ay

BAty

yconnteindependieelinealmentessiBAtys

BAtty

tyyyy


xCxCxCxyeCeCeCty

mmmmmmm

tenecuaciónyyyyDDD

DDD

DDDD

DDDDDD

DDDDDD


obtienesextexcambioelaplicando

pp

pp

p

p

cp

sp

cttt

c

t

φ


ESPOL 2009 82

4. 32

22

3

33 x2y

dxdy

2xdx

ydx

dxyd

x =−+−

( )( ) ( )( )( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4

ln

:4

ln22

3ln

2

1ln1ln10

01ln1

0ln

'

22210

201

0

'

23

ln2

1ln1lnln221

21ln0

ln0

'

2

ln1

2

21ln

20

21ln1

ln

,ln,

:

ln

21

021

0221

0221

012121

022121

022121

32

321

3

222

3

1

3

2

2

2

2

2

2

1

21

2

1

1

2

11

2

2

332211

2321

321

2

12233

xxCxxCCxy

generalSolución

xy

xxxxx

xxx

y

xdxux

xxxxx

x

x

xxx

u

xxdxu

xxxx

x

x

xx

u

xx

dxxxux

xxxxxx

x

xx

xxx

u

xx

xxxx

xxx

x

xx

xxxx

xxxxW

yuyuyuxy

particularsoluciónlaencuentro

xCxxCCy

rrr

rr

rrrr

rrrr

rrrrrr

xrrrrrr

xxrxxrrxxrrrx


p

p

p

c

r

rrrr

r

+++=

=

+−

−=

==→−+

=

+

=

−=−=→−

−==

−=−=→+−

=

+

=

=−+

=+=

++=

++=

===

=−−

=−−−−

=+−−−

=−+−−−−

=−+−−−−

=−+−−−−

=

∫

∫

∫

−

−

−−−

−−−


ESPOL 2009 83

Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables

Solución en serie alrededor de un punto ordinario

1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xydxdy

3xdx

yd1x 2

22 ===++−

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ...4

1133

1164

60'...8

1532

31...

85

2'

40...83

122...

861

....

883

2015

1323233

3

12128

1222222

2

2;12

20122

62036

002

0122362

03121

0311

0311

543

1

432

1

42

0

0

543

1

53

0

33

2210

0

0123235

112124

1212

013013

22

2120132

11

102

2

0

1

12

2

2

01

1

2

22

+++++=

==→

+++++

+++=

==→

+++++

+++=

++++==

+=+

=++++

=→=

=+

=++++

=→=

≥++++

=→=+++−+

+=→=++−

=→=−

=+++−++++−−

=++++−−

=++−−−

=++−−

∑

∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

−+−+

∞+

=−+

∞+

=−

∞+

=

∞+

=+

∞+

=

∞+

=

+∞+

=

∞+

=

−∞+

=

+∞

=

+∞

=

−+∞

=

−

xxxxxy

Cyxxx

Cxx

xCxy

Cyxxx

xCxx

Cxy

xCxCxCCxCxy

CCCCCCCn

CCCCCCn

nnn

CnnCCCnnCnnC

CCCCCC

CC

xCnnCnnCxCxCxCC

xCnxCxnnCxnnC

xCnxCxnnCxnnC

xCxnxCxxnnCx

n

nn

nnnnnn

n

nnnn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn


ESPOL 2009 84

2. 0xdealrededorexy''y' 0

x ==− −

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )

( )

( )

+−+−+

++++=

+

−++

−+++=

++++==

−=→−=++

−+

++=→=

=→+=++

−+

++=→=

−=→++

−+

++=→=

≥++

−+

++=→

−=−++

=→=

−+=−+++

−=−++

−=−−

−=−−

∑

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

++

∞+

=

∞+

=+

∞+

=

∞+

=

∞+

=+

∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

+∞

=

+∞

=

−+∞

=

−

....30862

....406

......301

4081

61

621

.....

301

401201

203

1323!31

13233

3

81

241

61222!21

12222

2

61

61121!11

11211

1

112!

112!

112

21

12

!11122

!112

!11

!11

543253

10

51431210

33

2210

0

14

33

35

42

2

24

13

1

13

22

22

1122

0102

012

2

01

1

2

2

xxxxxxxCCxy

xC

xxC

xxCCxy

xCxCxCCxCxy

CC

CCCn

CC

CCn

CCCCn

nnnnnn

nCC

nnCnnC

CC

nx

xnCnnCC

nx

nxCxnnC

nx

nxCxnnC

nx

nxCxxnnC

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnn

nnn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn


ESPOL 2009 85

3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto �� . Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros). ��

Desarrollo. �� ! �� "#$%#&"' �� ( � %) *% $+#$% �� "' ,# -,#$% %)./#+)/% Se asume:

� � 0 +1�� 1213� � -")% ��

� � 0 +1��1213� � �4 � 0 +1�#��1562

136 � �44� 0 +1�#��# � ��15�2

13� Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación: ��

�� 0 +1�#��# � ��15�213� � �� 0 +1�#��1562

136 � � 0 +1��1213� � �

Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias

0 +1�#��# � ��1213� � 0 +1�#��# � ��15�2

13� � 0 �+1�#��12136 � 0 �+1��12

13�� Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite que en este caso es n:

0 +1�#��# � ��1213� � 0 +1�#��# � ��15�2

13� � 0 �+1�#��12136 � 0 �+1��12

13��

Para la m = n – 2 Si n = 2, entonces m = 0 Pero n = m + 2 Luego m = n


ESPOL 2009 86

0 +1�#��# � ��1213� � 0 +17��# � ��# � ��12

13� � 0 �+1�#��12136� 0 �+1��12

13� � � Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2.

0 +1�#��# � ��1213� � �+� � 8+9� � 0 +17��# � ��# � ��12

13� � �+6�� 0 �+1�#��12

13� � �+� � �+6� � 0 �+1��1213� � �

��+� � 8+9� � �+6� � �+� � �+6�� 0:+1�#��# � �� +17��# � ��# � �� +1�#� � �+1;��12

13� � � Se igualan los coeficientes: ��+� � �+� � �� "#$%#&"' '" $/"#" <," +� � +� �8+9� � 8+6� � �� "#$%#&"' '" $/"#" <," +9 � +6 +1�#��# � �� +17��# � ��# � �� +1�#� � �+1 � � La fórmula de recurrencia es: +17� � +1�#��# � �� +1�#� � �+1�# � ��# � �� =# > �?

+17� � �#� � # � �# � ��# � ��# � �� +1 � �#� � @# � ��# � ��# � �� +1 � �#� � @# � ��# � ��# � �� +1� �# � ��# � ��# � ��# � �� +1 � +1

Por lo tanto: +17� � +1� =# > � Encontrando los coeficientes: A/ # � �� "#$%#&"' +B � +� � +� A/ # � @� "#$%#&"' +C � +9 � +6 A/ # � �� "#$%#&"' +D � +B � +� A/ # � E� "#$%#&"' +F � +C � +6 A/ # � 8� "#$%#&"' +G � +D � +� A/ # � H� "#$%#&"' +I � +F � +� Volviendo a la solución:

�� 0 +1�1213� � +� � +6� � +�� +9�9 � +B�B � +C�C � +D�D � J

�� +� � +6� � +�� +6�9 � +��B � +6�C � +��D � J La solución homogénea:

�� +� K� � ��B � �D � J � ��1 � JLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMOPQ�R� S� +6 K� � �9 � �C � J � ��176 � JLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMOPT�R� S


ESPOL 2009 87

� +� U �� V � +6�� B � J � ��1 � J � �W�X� � +� U �� V � +6 Y �� Z � �+ <," �� 9 � J

Ahora se encuentra la solución particular �[\ Normalizando la ecuación diferencial �� 6R, se obtiene:

��

Usando el método de variación de parámetros: �[ � ,6�6 � ,�� Encontrando el wronskiano: ]��6� �� ^ �6 ��64 ��4^

]��6� �� __ �� __ � ��

`%#." ,6� � a � �� 4a]��6� �� _ � �� _

��

,6� � �� "#$%#&"' ,6 � �

`%#." ,�� a �6 ��64 �� a]��6� ��

_ �� _��

,�� "#$%#&"' ,� � �bc �� Por lo tanto a solución particular es: �[ � ,6�6 � ,�� [ � � U �� V � bc ��

La solución general es: �� +� U �� V � +6 Y �� Z � � U �� V � bc ��

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

Solucionario ecuaciones1

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