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Universidad de Guayaquil

PROYECTO

DE AULA

Solucionario

F.E.P (Formulación estratégica de problemas)

ALUMNA:

Srta. Ericka Gómez Moncada

PARALELO:

M14

AULA:

413

Msc. Ab. Victor vizueta

Guayaquil- Ecuador

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INTRODUCCIÓN

El presente portafolio es producto de los conocimientos adquiridos durante el

módulo de estudio “ FORMULACIÓN ESTRATÉGICA DE PROBLEMAS”, el cual está

compuesta por cinco unidades, cada una con lecciones que nos plantea diferentes

tipos de problema y nos enseñan diversas estrategias para darle solución para que

de ésta manera nosotros los estudiantes logremos las competencias requeridas para

aprender y para actuar como pensador analítico, crítico, constructivo y abierto al

cambio, capaz de monitorear nuestro propio desarrollo; entender y mejorar el

entorno personal, familiar y social que nos rodea.

En la Unidad 1 trataremos acerca de la “INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE

PROBLEMAS “y hablaremos de las características de un problema y su

procedimiento para las solución del problema.

En la Unidad 2 trataremos de “PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNAVARIABLE”.

Y hablaremos de los problemas de relaciones de parte-todo y familiares.

En la Unidad 3 presentaremos sobre “PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS

VARIABLES” dentro de cual también trataremos problemas de tablas numéricas,

lógicas y conceptuales o semántica.

En la Unidad 4 trataremos de “PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS” y

hablaremos de problemas de simulación concreta y abstracta, programa con

diagramas de flujos y de intercambio y problemas dinámicos. Estrategia menos-

fines.

En la Unidad 5 conoceremos sobre “SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA”

que comprenden problemas de tanteo sistemático por acotación el error, problemas

de construcción sistemático de soluciones y problemas de búsqueda exhaustiva.

Ejercicio de consolidación.

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AGRADECIMIENTO

Mi eterna gratitud primeramente a Dios que es el motor de mi vida, a

mis padres por su constante apoyo, consejos y amor, igualmente todas

las personas que de una u otra manera me han apoyado.

10

DEDICATORIA

A Dios y a mis padres; mi fuerza y pilar fundamental

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INDICE

CARÁTULA……………………………………………………………………………………………………………INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………………………………AGRADECIMIENTO……………………………………………………………………………………………….DEDICATORIA……………………………………………………………………………………………………… UNIDAD I “INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS” Lección 1 ”Características de un problema”………………………………………………………………………..13 Lección 2 “Procedimiento para la solución de problemas”……………………..........................................19 UNIDAD II “PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE” Lección 3 ”Problemas de relaciones de parte todo y familiares”…………………………………………..26 Lección 4 “Problemas sobre relaciones de orden”………………………………………………………………35 UNIDAD III “PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES” Lección 5 ”Problemas de tablas numéricas”………………………………………………………………………..42

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UNIDAD I

INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.1. JUSTIFICACIÓN:

A través de investigaciones, se ha podido comprobar que es poca la información que

tienen los alumnos, acerca de lo que es un problema y de las estrategias más

efectivas para resolverlos.

Por tal razón, dedicaremos esta primera unidad, a identificar en base a sus

características, los enunciados que correspondan a un problema. Este proceso

contribuye a lograr una clara imagen o representación mental del problema; la cual

se consolida mediante a descripción de ciertos elementos: estados, operaciones,

restricciones, preguntas, etcétera; básica para alcanzar la solución del problema,

luego aplicar un procedimiento o estrategia.

1.2. OBJETIVOS:

1. Analizar el enunciado de un problema e identificar sus características esenciales y

los datos que se dan.

2. Elaborar estrategias para lograr la representación mental del problema y llegar a

la solución que se pide.

3. Aplicar las estrategias previamente diseñadas y verificar la consistencia de los

resultados obtenidos.

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1.3. LECCIÓN 1

CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS

1.4. EJERCICIO

Me voy de shopping con mis hijos ¿Cuánto gastaré?

Información pregunta

¿Qué información aporta? ¿Qué interrogantes plantea?

Compras con los hijos ¿Cuánto dinero gastará?

¿A qué conclusión podemos llegar, respecto a si es o no, un problema?

Sí, es un problema; porque nos proporciona información y plantea una pregunta. A continuación veremos ejemplos de problemas estructurados y no estructurados.

PROBLEMA:

es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que debe ser respondida.

PROBLEMAS no

ESTRUCTURADOS

No contiene toda la información necesaria , requiere buscar y agregar información faltante.

PROBLEMAS

ESTRUCTURADOS

Contiene información necesaria y suficiente para resolver el problema.

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Problemas estructurados: ¿Cuántos diccionarios marca “YOSE” de 40 Um. (Unidades monetarias), vendió María durante

el día, si recaudó 800 Um. Por este concepto.

Información

Pregunta

Lo que se evidencia en la primera tabla es que la información que

aporta un enunciado de un problema viene expresada en

términos de una característica, la cual está asociada a respectiva

variable. La columna de la izquierda, es la variable y la de la

derecha es la característica.

Problemas no estructurados:

¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la

comunidad, en la solución de sus necesidades?

Este es un problema no estructurado, la información se debe buscar,

porque no está completa, sin embargo podemos identificar

variables.

Tipos de necesidad de una comunidad

Tipos de participación de la comunidad

Tipos de soluciones

Costo del diccionario 40 Um

Nombre de la vendedora María

Recaudación total por concepto de la venta del diccionario “YOSE”

800 Um

¿Cuántos diccionarios Marca “YOSE” vendió María durante el día?

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1.5 SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE

Práctica 1: ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles no? Justifica tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos.

María no tomó en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje.

¿Cuáles son las variables que deberían tomarse en cuenta, para evitar que una persona contraiga amibiasis?

Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la escuela de la comunidad.

La disciplina es producto del ambiente y se favorece mediante la adopción de normas que todos estén dispuestos a aceptar y respetar.

¿Qué debemos hacer, para evitar que Marlene cometa el mismo error en el futuro?

¿Cuáles suponen que son las causas que originaron la conducta irregular de Maritza?

PLANTEAMINETO

¿ES UN PROBLEMA?

JUSTIFICACIÓN SI NO

1

X Sólo contiene información pero no pregunta.

2 X

Contiene información y pregunta.

3

X Sólo contiene información pero no pregunta.

4

X Sólo contiene información pero no pregunta.

5 X

Contiene información y pregunta.

6 X

Contiene información y pregunta.

16

Práctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no

sean problemas.

Enunciados que son problemas:

Me voy de paseo a Quito ¿Cuánto gastaré?

Julio golpeó a su compañero de clase ¿Cuál será su sanción?

Hubo un accidente en la carretera Guayaquil-Yaguachi ¿Cuántas víctimas mortales hubieron?

Enunciados que no son problemas:

Los conductores son irresponsables porque hablan por teléfono mientras conducen.

El dengue es una enfermedad transmitida por un mosquito. El SNNA es un proceso llevado a cabo por la SENESCYT.

Práctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no

estructurados.

Enunciados de problemas estructurados:

María debe de energía eléctrica $45, de agua potable $35 y teléfono $40 ¿Cuánto necesita María para pagar los gastos de servicio básico?

Si compré una bicicleta en el comercial “Leones” en $60 ¿Cuánto dinero necesito para comprar 3 bicicletas en el mismo comercial?

Enunciados de problemas no estructurados:

Juan realizó un préstamo de $250000 en el Banco Guayaquil ¿ Cuál es el monto total a pagar sumados los intereses.

Compré un auto Chevrolet en $18000 en el año 2009 ¿Cuánto valdrá el mismo auto en la misma empresa en el año 2013?

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Practica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos

valores posibles e la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.

VARIABLE EJEMPLOS DE POSIBLES DE TIPO DE VARIABLE

VALORES DE LAS VARIABLES CUALITATIVA CUANTITATIVA

Tipo de contaminante Fábrica X Volumen metros cúbicos (38m3)

X

Humedad Porcentaje (1,3 %)

X

Peso Kg ( 4kg)

X

Temperatura Grado (16ºC)

X

Superficie metros cuadrados ( 200m2)

X

Color de piel blanca X Color de cabello negro X Estado de ánimo alegre-triste X Expresión facial enfadado X Actitud hacia el estudio responsable X Clima cálido- frío X Peligrosidad Alta o baja (15%) X X

Población # de habitantes (14'005.000hbt)

X

Edad 18 años

X

Estatura cm (1,75cm) X X

Recuerda que….

Variables son los datos del problema, ya que éstas son magnitudes que pueden tomar valorares cualitativos o cuantitativos

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Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las

variables e indica los valores que puede asumir.

a) Un jardinero trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobra $250 por cada día. ¿Cuántos días debe trabajar la persona para ganar $1000 a la semana? Variable: días hábiles Valores: 4 Variable: dinero Valores: $250, $1000 b) Un terreno mide 6000m2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean proporcionales a la relación 3 : 5 Variable: superficie de terreno Valores: 6000m2 Variable: Número de parcelas Valores: 2250 : 3750 = 8 (3 : 5) c) Una substancia ocupa un volumen inicial de 20cm3, el mismo aumenta progresivamente, duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 15 horas? Variable: volumen Inicial Valores: 20cm3 (640cm2) Variable: tiempo Valores 3,6,9,12,15 hrs. d) Una substancia ocupa un volumen inicial de 20cm3, y el mismo aumenta progresivamente, incrementándose 10cm3 cada 2 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 16 horas? Variable: volúmen Inicial Valores: 20cm3 (100cm2) Variable: tiempo Valores: 2,4,6,8,10,12,14,16 hras. e) María, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura que María, pero más alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de María en 5 cm. ¿Cuál hermana es la de menor estatura? Variable: hermanas Valores: 4 Variable: estaturas Valores: > , <

1.6. CONCLUSIÓN:

En esta lección aprendimos la definición de problemas para así poder identificar cuáles son problemas y cuales no lo son, sabiendo que existen dos tipos de problemas: estructurados y no estructurados. Para el correcto desarrollo de un problema tenemos que identificar variables ya sean cualitativas o cuantitativas, de esta manera resolveremos con facilidad y eficacia el problema.

19

1.7. LECCIÓN 2

PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE

PROBLEMA

1.8. EJERCICIO

Miguel necesitaba ropa y fue al centro comercial, para lo cual saco cierta cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones y gasto en 50% de lo que llevaba para adquirirlos, luego compro una camisa que le costó 300um. Si al final le quedaron 200um que gasto para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero saco de su alcancía?

1. ¿Tiene información? Si tenemos la información necesaria para resolver el problema 2. ¿De qué trata el problema? Necesitamos saber cuánto dinero saco de la alcancía.

1. Lee cuidadosamente todo el problema.

2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado

3. Plantea las relaciones. Operaciones y estrategias de solución que puedes a partir de los datos y de la interrogante del problema.

4. Aplica la estrategia de solución del problema.

Verifica el proceso y el producto.

PROCEDIMIENTO

PARA RESOLVER

UN PROBLEMA

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3. Datos

Variable Valor Cantidad de dinero inicial desconocida

Primera compra pantalón Costo de la primera compra 50% dinero inicial Segunda compra camisa Costo de la segunda compra 300um Dinero después de las compras 200um Destino del remanente característica: pagar invitación a come

4. Relaciones: Miguel gastó el 50% en pantalones y el 50% en camisa y cena. Miguel gastó $300 en una camisa y $200 en una cena que suman $500 Los $500 representan el 50% de la cantidad inicial. Los $500 que gastó en camisa y cena con amigos es igual al 50% que gastó en

los pantalones.

Estrategia: 50%

500 Um 500 Um

$1000 5. Formulación de respuesta: La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue $1000

50 %

PANTALONES

300 Um

camisa

200

Um

cena

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1.9. SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE

Práctica 1. Luisa gastó $500 en libros y $100 en cuadernos. Si tenía disponibles $800 para gastos de materiales educativos, ¿cuánto dinero le queda para el resto de los útiles escolares?

1. ¿De qué trata el problema?

De que Luisa gastó $500 en libros y $100 en cuadernos. Tenía disponibles $800.

2. Saca todos los datos del enunciado.

Variable Valor

Cantidad de dinero inicial 800 Um

Um. Primera compra 500 Um Um. Segunda compra 100 Um Um. dinero disponible ? 3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. 1. Luisa gastó la 6/8 partes del dinero que tenía disponible. 2. Luisa gastó en libros ($500) cinco veces más de lo que gastó en cuadernos ($100).

4. Aplica la estrategia de la solución del problema.

$800

$200 $500 $100

5. Formula la respuesta del problema. Luisa todavía dispone de $200 para comprar el resto de útiles escolares.

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Práctica 2: María compró 50 libros y pagó 100 Um por cada uno. La editorial le hizo una rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta:

¿Cuánto es el precio de la lista? ¿Cuánto pagó María por los 50 libros? ¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?

1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? De que María gastó $5000 en libros y que la editorial le hizo una rebaja del 20% . 2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

Variable valor Nombre María Compra Libros Nº de libros 50 Valor de c/libro $100 Um Descuento 20% Valor pagado ? Precio de la lista ? 3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema.

100 Um+ 20%= $120 50 libros * $120= $6000 Descuento: $20*50= $1000 50 libros * 100 Um= $5000 El descuento corresponde al 1/6 del valor total de la lista

4) Aplica la estrategia de solución del problema.

5) Formula la respuesta del problema. El precio de lista era de $6000, pero María pagó solo $5000 gracias al descuento del 20% que le hizo el vendedor. Si éste le hubiera vendido los libros a precio de lista hubiera ganado $1000. 6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado? Revisar detenidamente todo lo realizado.

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Práctica 3: María, Luis y Ana son hijos de lucia y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400 mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en 2 partes, la mitad para la madre y el resto para repartirse en partes iguales entre los hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás en esta parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona? 1. Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?

División de dinero de una herencia. 2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

Variable Valor Nombre del dueño de herencia José

Monto de herencia $400000

Nº de herederos 4

Porcentaje de herencia/madre 50%

herencia

Porcentaje de herencia de hijos

Y Lucía 1/8 de la herencia.

.

3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema

1. La herencia de la madre (50%) es IGUAL al 50% de la herencia a repartirse entre

ella y sus 3 hijos.

2. María, Luis y Ana recibirá una cantidad de dinero IGUAL.

3. Lucía recibirá cinco veces más dienro que cada uno de sus hijos.

4. ¿Podrías representar el reparto del dinero de la herencia en el gráfico?

4.

5. Aplica la estrategia de solución del problema

Lucía $200000 Um. Luis $50000 Um Lucía $ 50000

María $50000 Um. Ana $50000 Um

6. Formula la respuesta del problema. Lucía recibirá $250000 y María, Luis y Ana $50000 c/u

62% 12%

13%

13%

HERENCIA

Madre María Luis Ana

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Práctica 4: María, Luis y Ana son hijos de lucia y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400 mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en 2 partes, la mitad para la madre y el resto para repartirse en partes iguales entre los hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás en esta parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona? 1. Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?

División de dinero de una herencia. 2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

Variable Valor Nombre del dueño de herencia José

Monto de herencia $400000

Nº de herederos 4

Porcentaje de herencia/madre 50%

herencia

Porcentaje de herencia de hijos

Y Lucía 1/8 de la herencia.

.Herencia de maría doble q c/ hermano

3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema

La herencia de la madre (50%) es IGUAL al 50% de la

herencia a repartirse entre ella y sus 3 hijos.

Ana recibirá el doble de dinero que María y Luis.

María y Luis recibirán IGUAL cantidad de dinero.

3. Aplica la estrategia de solución del problema

Lucía $200000 Um.

Luis $40000 Um

Lucía $ 40000

María $80000 Um. Ana $40000 Um

3. Formula la respuesta del problema.

Lucía recibirá $240000, Su hija menor María $80000 y sus otros dos hijos: Ana y

Luis $40000 c/u

CONCLUSION

Podemos concluir que en esta lección hemos aprendido sobre la resolución de problema, el cual debe hacerse siguiendo un procedimiento o estrategia para conseguir un buen resultado, sin omitir ningún paso de procedimiento.

60% 20%

10% 10%

HERENCIA

Lucía María Ana Luis

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UNIDAD II

INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.1. JUSTIFICACIÓN:

Esta unidad además de lograr que los jóvenes centren su atención en la

identificación y el análisis de las relaciones entre variables y características

presentes en el enunciado de un problema, logra identificar estos tipos especiales de

relaciones: Intercambio, parte-todo, causa-efecto, orden, pertenencia, familiares y

de estrategias particulares.

Una relación es un nexo entre dos o más características correspondientes a la misma

variable. Existen ciertos tipos de nexos que determinan clase especiales de

problemas los cuales pueden agruparse y resolverse mediante estrategias

particulares.

1.2. OBJETIVOS:

1. Centrar su atención en el enunciado del problema y en las relaciones entre sus

datos.

2. identificar el tipo de relación presente en el enunciado de un problema.

3. Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de un

problema y determinar la estrategia más apropiada para enfocar su solución de

acuerdo al tipo de relación.

4. Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de los problemas.

5. Valorar a utilidad del uso de estrategias en la solución de problemas.

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1.3. LECCIÓN 3

PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y

FAMILIARES

1.4. EJERCICIOS

Problemas de parte-todo

Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1,3 y 9 kilos respectivamente,

podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13

kilos. Se trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían

colocarse en uno o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio colocando

el objeto en el platillo B. Se pueden combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se

combinarían las pesas para colocárselas –todas o algunas de ellas- en ambos

platillos para pesar 2, 4, 7, 10, 11 kilos?

PROBLEMAS

DE

RELACIONES

DE PARTE-

TODO Y

FAMILIARES

PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO :

En este tipo de problemas unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada, por eso se denominan “problemas sobre relaciones parte-todo”

PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARES:

Establece relaciones de parentesco entre los diferentes componentes de la familia

27

1. Lee todo el enunciado. ¿De qué trata el problema?

De una balanza con dos platillos que sirve para pesar hasta 13 kilos usando 3 pesas

de 1,3 y 9kg que tienes que ser equilibrada.

2. Datos

Variable Valor Nombre de Objeto balanza

Nº de pesas 3

Pesa 1 1 Kg

Pesa 2 3 Kg

Pesa 3 9 Kg

Objeto 1 2 Kg

Objeto 2 5 Kg

Objeto 3 7 Kg

Objeto 4 10 Kg

Objeto 5 11 Kg

3. Relaciones y formulación del problema.

CANTIDAD A PESAR PLATO A PLATO B

2 Kg Obj. + Pesa 1 Kg 3 Kg

5 Kg Obj. + P1Kg+P3Kg 9 Kg

7 Kg Obj.+ Pesa 3 Kg P1Kg+P9Kg

10 Kg Objeto P9Kg+ P1Kg

11 Kg Obj. + P1Kg P9Kg+ P3Kg

28

1.5 SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE Práctica 1: El precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de25 % de su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?

1. ¿Qué hacemos en primer lugar?

Leer cuidadosamente el problema e identificar sus características Práctica 1:

2. ¿Qué datos se dan?

Variable Valor

P.V 700 Um

Valor Inicial ?

Ganancia ?

Gastos de manejo 50%(?)

3. ¿De qué variable estamos hablando? Del valor inicial. 4. ¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto? Que resulta al sumar el valor inicial, la ganancia y los gastos de manejo. 5. ¿Qué se pide? El valor inicial del objeto.

7. Representación del enunciado del problema. $700

$525 $175

8. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?

El valor inicial del objeto es 175 Um.

GANANCIAS

$350 =

GASTOS (25%)

$175

VALOR INICIAL $700

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Práctica 2: La medida de las tres secciones de un lagarto –cabeza, tronco y cola- son

las siguientes: la cabeza mide 9 cm, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad

del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola.

¿Cuántos centímetros mide en total el lagarto?

1. ¿Cómo se describe el lagarto?

Un lagarto dividido en 3 secciones: cabeza, tronco y cola.

2. ¿Qué datos da el enunciado del problema?

Variable Valor

Tipo de animal lagarto

Nombre de secciones cabeza, tronco, cola

Medida/ cabeza 9 cm

Medida/ cola 9 cm + 1/2t

Medida de tronco 9 cm+9cm+1/2t

Longitud del lagarto ?

3. Representación en un esquema para visualizar las relaciones

72 cm

9cm+1/2t 9cm+ (9cm+1/2t) 9 cm

9cm+18cm 18cm + 1/2t

27 cm 18cm+18cm

27cm + 36cm + 9cm = 72 cm 4. ¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el

problema?

Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas.

Representamos las cantidades en el esquema.

5. Formulación de respuesta.

El lagarto mide en total 72 cm.

30

Práctica 3: Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño lleva un perro que pesa la mitad que él; y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que él. Si el hombre con du carga pesa 120 kilos ¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna?

1. ¿Qué debemos hacer para resolver el problema? Leer cuidadosamente todo el problema.

2. ¿Qué se pregunta? ¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna? 3. ¿Qué se observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?

El todo: 120 Kg y las partes: Hombre, niño, perro y accesorios.

4. ¿Cómo podemos representar estos datos.

64Kg 32 Kg 16 Kg 8Kg

Todo: 120 Kg Numero de partes: 15 Resolución: 120Kg/15partes= 8kg c/parte.

5. ¿Cómo lo expresamos en palabras?

El hombre pesa 64 kg, el niño la mitad de lo que pesa el hombre (32 kg), el perro la

mitad de lo que pesa el niño (16Kg) y los accesorios la mitad de lo que pesa el perro

(8Kg).

6. ¿Cuánto pesa el hombre? El hombre pesa 64 Kg.

31

1

Problemas sobre relaciones familiares Práctica 4: María muestra el retrato de un señor y dice: “La madre de ese señor es la suegra de mi esposo”

¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato? 1. ¿Qué se plantea en el problema? El parentesco entre el señor del retrato, el esposo de María y la madre del señor del retrato. 2. ¿Qué personajes figuran en el problema? María, la madre de ese señor, suegra del esposo de María, el señor del retrato. 3. ¿Qué relación podemos establecer entre estos personajes?

Ese señor es hijo de la madre de María. El señor del retrato y María son hermanos. El esposo de María es el cuñado del señor del retrato.

4. Completa las relaciones en la representación. La de suegra-yerno ya está

indicada,

Madre del señor Suegra-yerno

Señor del retrato Esposo de María María

Relación desconocida 5. ¿Qué se observa en el diagrama con respecto a María y el Señor del

retrato? ¿Qué tienen en común? La mamá.

6. ¿Qué relación existe entonces entre ambas partes? María y el señor tienen una relación de HERMANOS. 7. Respuesta del problema: María y el señor del retrato son hermanos.

8. ¿Qué hicimos en este ejercicio? Establecer relaciones de parentesco entre María, el Señor del retrato, la madre

de María.

9. ¿Qué tipos de estrategias utilizamos? Utilizamos diagramas.

32

Práctica 5: un joven llegó de visita a la casa de una dama, un vecino de la dama

le pregunta quién era el visitarte y ello contestó:

“La madre de ese joven es la hija única de mi madre”.

¿Qué relación existe entre loa dama y el joven?

1. ¿Qué se plantea en el problema?

La búsqueda de relaciones entre la dama y el joven.

2. ¿A qué personaje se refiere el problema?

Madre (abuela), madre (hija única) y joven.

3. ¿Qué afirma la dama?

Qué la madre de ese joven es la hija única de su madre

4. ¿Qué significa ser hija única?

No tener hermanos.

5. Representación

6. Respuesta: El joven es el hijo de la dama

Madre(abuela)

Madre (hija única)

Joven

33

Práctica 6: Un hombre dice, señalando a otro:

"No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre"

¿Qué parentesco hay entre ese hombre y el que habla?

1. ¿Qué se plantea en el problema? La búsqueda de parentesco entre “ese hombre” y el que habla.

2. Pregunta: ¿Qué parentesco hay entre “ese hombre” y el que habla?

3. Representación:

Padre de persona que habla

HIJO ÚNICO

Persona que habla

Ese hombre

4 Respuesta

El hombre que habla es el padre del hombre que está observando.

Práctica 7: Luis dice: “Hoy visité a la suegra de la mujer de mi hermano”

¿A quién visitó Luis?

1. ¿Qué se plantea?

La búsqueda de la relación entre Luis y la suegra de la mujer de su hermano.

2. Pregunta

¿A quién visito Luis? MADRE-HIJO

3. Representación HIJO SUEGRA

4. Respuesta.

Luis visitó a su madre.

34

Práctica 8: Antonio dice: “el padre del sobrino de mi tío es mi padre”

¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

1. ¿Qué se plantea en el problema?

La búsqueda de parentesco entre el sobrino, el padre y el tío.

2. Pregunta

¿Qué parentesco hay entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

3. Representación

HERMANOS

HIJO

TIO-SOBRINO

1.

2.

3.

4.

5. 4. Respuesta

El padre del sobrino y el tío de Antonio son hermanos.

1.6. CONCLUSION

En estos dos tipos de problemas se ha seguido los pasos para resolver un problema,

y he aprendido a sacar las variables y sus valores que se encuentran en el enunciado

para poder resolverlo. Los problemas de parte-todo se relacionan partes para

formar una totalidad y en los problemas familiares presentan relaciones de

parentesco entre los diferentes componentes de la familia

35

1.7. LECCIÓN 4

PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN

RELACIÓN DEORDEN

Es la forma para ubicar datos cuantitativos enuna línea vertical uhorizontal.

REPRESENTACIÓN EN UNA

DIMENSIÓN

Es una estrategia endonde se

representandatos correspondientes a una sola variable o

aspecto.

ESTRATEGIA DE LA

POSTERGACIÓN

Consiste en dejar para más tarde

aquellos datos que aparecen

incompletos.

CASOS ESPECIALES DE LA

REPRESENTACIÓ EN EN UNA

DIMENSIÓN

El uso cotidinao de ciertos vocablos o la

redacción del mismo.

VARIABLES

INDEPENDIENTES: Son los nombres de las

personas..

DEPENDIENTEs:

Son las que dependen del nombre. Ej: edad- estatura.

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1.8 EJERCICIO

José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a la vez es más

bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿Quién es más alto y quien le sigue en

estatura?

6. 1. ¿Qué debemos hacer en primer lugar?

Leer todo el problema

7. 2. ¿A qué aspecto o variable se refiere el problema?

A la variable estatura de ciertas personas

8. 3. ¿Qué tipo de variable es?

Es una variable cuantitativa

4. ¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas? La información está expresada en términos de relaciones de orden (más o menos alto que…)

9. 5. Pregunta.

10. ¿Quién es más alto y quien le sigue en estatura?

6. Plantear las relaciones que nos da el problema “José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel”. “Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo”. 7. Representación

Estatura

Patricio José Manuel Rodrigo

8. Respuesta La persona de mayor estatura (más alta) es Patricio y le sigue en estatura José.

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1.9. SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE

Práctica 1: En el trayecto que recorre Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo,

Mercedes camina más que Julio. Paula camina que José, pero menos que Julio.

¿Quién vive más lejos y quién vive más cerca?

1. Variable: Distancia 2. Pregunta: ¿Quien vive más lejos y quien vive más cerca? 3. Representación:

CASA MERCEDES JULIO PAULA JOSÉ TRABAJO

4. Respuesta: Mercedes vive más lejos y José vive más cerca del trabajo. Práctica 2: Juana, Rafaela, carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gastó menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gastó menos?

1. Variable: Cantidad de gasto. 2. Pregunta: ¿Quién gastó más y quién gastó menos? 3. Presentación:

Rafaela Juana Carlota María

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4. Respuesta: Rafaela gastó más y María gastó menos.

Práctica 3: Luisa tiene más dinero que Antonia pero menos que José. Pedro es más rico que Luisa y menos que José. ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero? 1. Variable: Cantidad de dinero. 2. Pregunta: ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero? 3. Representación:

José

Pedro

Luisa

Antonia

4. Respuesta: José es el más rico y Antonia es quién menos dinero posee. Práctica 4: Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el alemán. Piensa que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el más fácil? 1. Variable: Grado de dificultad. 2. Representación:

(+)

Italiano Francés Alemán Ruso

3. Respuesta: El idioma menos difícil es el italiano y el más difícil es el ruso. Práctica 5: Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?

1. Variable: Estado de ánimo. 2. Representación:

Tomás Alfredo Roberto

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3. Respuesta: Tomás está menos triste.

Práctica 6: Pedro y ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que lleva durante el año, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el peor desempeño como goleador?¿Quién le sigue en tan pobre actuación?

1. ¿A qué variable se refiere el problema? Habilidad goleadora.

2. ¿Qué se dice acerca de la variable? Que pueden deducirse del número total de goles acumulados durante el año.

3. ¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado? Primero establece la variable como “habilidad goleadora”; luego da como variable “número de goles” y nos lleva a inferir que a mayor número de goles se tiene una mayor habilidad goleadora; también, afirma que García supera a su compañero de equipo Ramiro, también forzándonos a inferir que es en la habilidad goleadora; por último, nos lleva a inferir que una pobre actuación está asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son complicaciones que nos obligan a tener especial atención a la variable, a los signos de puntuación y al uso de las palabras en el enunciado.

4. Representación:

(+) Suárez Ramiro García Pedro

5. Respuesta: Suárez tiene el peor desempeño como goleador y le sigue Ramiro en tan pobre actuación. Práctica 7: Juan nació 2 años después que pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan. Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que francisco. ¿Quién es el más joven y quién es el más viejo? 1. Variable: Edad 2. Pregunta: ¿Quién es el más joven y quién es el más viejo? 3. Representación:

(+) Alberto Francisco Juan Pedro Raúl

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4. Respuesta: El más joven es Alberto y el más viejo es Raúl. Práctica 8: Daría nació 15 años después que Patricio. Said triplica la edad de Patricio. Dinorah, aunque le lleva muchos años de diferencia a Daría, nació después que Patricio. Alfredo, tío de Daría, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio. ¿Cuál de los cinco es el mayor y cuál es el menor?

1. Variable: Edad 2. Pregunta: ¿Cuál de los cinco es el mayor y cuál es el menor? 3. Representación:

Said Alfredo Patricio Dinorah Daría

4. Respuesta: Said es la mayor y Daría es la menor.

5. ¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de ésta práctica?

Descubrir quién era mayor entre Alfredo y Said.

1.10. CONCLUSIÓN

En éste tipo de problema podemos identificar que es necesario prestar especial atención a los enunciados que presenta, ya que en estos puede estar implícita la respuesta o solución; representándolos en una dimensión, lo cual nos facilita el análisis que se requiere para asimilarlos y posteriormente solucionarlos.

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UNIDAD III

PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS

VARIABLES

1.1. JUSTIFICACIÓN:

En la presente unidad se presentan problemas que involucran relaciones

simultáneas entre dos variables cuantitativas y se pide una respuesta que

corresponde a una tercer variable cualitativa que resulta de las relaciones

previamente mencionadas. En este tipo de problemas la estrategia más apropiada

para obtener las soluciones es la “construcción de tablas”, ya que las tablas son

instrumentos muy útiles porque nos permiten organizar la información, visualizar el

problema y constituye una especie de memoria externa.

Las lecciones de esta unidad se refieren a tres tipos de problemas: relaciones

numéricas, relaciones lógicas entre dos o más variables y relaciones entre

conceptos.

1.2. OBJETIVOS:

1. Reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y las estrategias más apropiadas para resolverlos. 2. Aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante tablas numéricas, lógicas y conceptuales. 3. Resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente.

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1.3. LECCIÓN 5

PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS

TABLAS NUMÉRICAS :

Representaciones gráficas que nos permite visualizar una

variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas.

ESTRATEGIA DE REPRESENTACIÓN EN DOS DIMENSIONES : Es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de dos variables cualitativas, la solución se consigue una representación gráfica o tabular llamada tabla numérica.

TABLAS NUMÉRICAS CON CEROS TABLAS NUMÉRICAS CON CEROS En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados.

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1.4. EJERCICIOS

Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas. Entre

los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita

tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en

total tres objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y

Cuántos objetos tipo películas tiene Pedro si rita tiene 5 objetos en total?

Tenemos un enunciado que d información y plantea una interrogante, determinamos que la estrategia “REPRESENTACIÓN EN UNA DIMENSIÓN” no nos sirve. La razón principal es que la variable cuantitativa depende de dos variables. El primer 3 son los objetos de Rita y son del tipo disco de música

En cada cuadro sombreado puedo colocar el número de objetos, del tipo a que corresponde y de la persona a que pertenece. Sin embargo en el problema hablan de un totales para lo cual añadiremos una columna y una fila más denominados “Total”

Ahora leemos la información por parte, y vaciamos la información del problema en el recuadro que tenemos preparado.

NOMBRE

RITA ELSA PEDRO TOTAL TIPO/OBJETO

Discos de música 3 Películas

NOMBRE

RITA ELSA PEDRO TOTAL TIPO/OBJETO

Discos de música 3 Películas

total

NOMBRE

RITA ELSA PEDRO TOTAL TIPO/OBJETO

Discos de música 3

14

Películas

3

6

total X X+3

20

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Aplicamos la ESTRATEGIA DE POSTERGACIÓN; por ejemplo: “Elsa tiene en total tres objetos más que Rita”, como no sabemos en total de objetos de Rita, ponemos “X” para recordar la información. Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para el caso que Rita tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar la “X” por un “5”, y la “X”+3 por un “8”.

Los recuadros o celdas que no están aún llenas podemos calcularlas recordando que los totales son las sumas de las filas o columnas. Así, si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música, entonces tiene 2 películas y así sucesivamente.

NOMBRE

RITA ELSA PEDRO TOTAL TIPO/OBJETO

Discos de música 3

14

Películas

3

6

total 5 8

20

NOMBRE

RITA ELSA PEDRO TOTAL TIPO/OBJETO

Discos de música 3 5 6 14

Películas 2 3 1 6

total 5 8 7 20

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1.5 SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE

Práctica 1: Elena, María y Susana estudian idiomas y entre las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francés y uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros que Elena, pero sólo tiene la mitad de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene solamente un libro de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán tiene María. ¿Cuántos libros de francés tienen Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas? 1. ¿De qué se trata el problema? Cantidad de libros de idiomas de tres chicas.

2. ¿Cuál es la pregunta?

¿Cuántos libros de francés tienen Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas?

3. ¿Cuál es la variable dependiente? Idioma: Francés, Italiano y Alemán. 4. ¿Cuáles son las variables independientes? Los nombres: Elena, María y Susana. 5. Representación:

6. Respuesta: Susana tiene 3 libros de francés y entre todas tienen 6 libros de francés, 4 de italiano y 6 de idioma alemán.

NOMBRE

ELENA MARÍA SUSANA TOTAL IDIOMA

Francés 2 1 3 6

Italiano 1 1 2 4

Alemán 1 2 3 6

total 4 4 8 16

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Práctica 2: Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres faldas, Alicia tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly. ¿Cuántas faldas tiene Estela?

1. ¿De qué trata el problema? De tres muchachas que tienen 30 prendas de vestir 1. ¿Cuál es la pregunta?

¿Cuántas faldas tiene Estela? 2. ¿Cuál es la variable dependiente?

Total de faldas. 3. ¿Cuáles son las variables independientes?

Nombres de personas y ropa. 4. Representación

NOMBRE

NELLY ESTELA ALICIA TOTAL PRENDAS/VEST.

Blusas 3 8 4 15

Faldas 3 1 1 5

Pantalones 4 3 3 10

total 10 12 8 30

5. Respuesta: Estela tiene una falda. Práctica 3: Las hijas del señor Gonzáles, Clara, Isabel, Belinda tienen 9 pulseras y 6

anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel

tiene tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que

Clara, que tiene 4. ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda?

1. ¿De qué se trata el problema? Total de accesorios: pulseras y anillos. 2. ¿Cuál es la pregunta? ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda? 3. ¿Cuál es la variable independiente? Total de accesorios. 4. ¿Cuáles son las variables independientes? Nombres de las hijas y tipo de accesorios 6. Representación:

NOMBRE CLARA ISABEL BLANCA TOTAL ACCESORIOS

Pulseras 1 3 5 9

Anillos 3 2 1 6

Total 4 5 6 15 7. Respuesta: Clara tiene 1 pulsera y Belinda 5 pulseras.

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Práctica 4: Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez y García, tienen un total de 10 hijos. Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene solo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del matrimonio García son varones.

¿Cuántos hijos tienen los García?

1. ¿De qué se trata el problema? Número de hijos de cada matrimonio.

2. ¿Cuál es la pregunta?

¿Cuántos hijos tienen los García? 3. ¿Cuál es la variable independiente?

Total de hijos varones 4. ¿Cuáles son las variables independientes?

Apellidos y tipo de género. 5. Representación:

APELLIDO

PÉREZ GÓMEZ GARCÍA TOTAL SEXO

Hombres 0 1 4 5

Mujeres 2 2 1 5

Total 2 3 5 10 6. Respuesta: Tienen 4 hijos varones

Práctica 5: En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos, entre los que hay 3 perros, el doble de gatos y, además, canarios y loros. En casa de Juana no pueden ver a los perros ni a los loros, pero tienen 4 gatos y dos canarios (con mucho miedo). En casa de Paula sólo hay un perro y dos gatos. En casa de María tienen 3 canarios y otros animales. ¿Qué otros y cuántos animales hay en

casa de María?

1. ¿De qué se trata el problema? Número total de animales. 2. ¿Cuál es la pregunta? ¿Qué otros y cuántos animales hay en casa de María?

3. ¿Cuál es la variable independiente? Número de animales

4. ¿Cuáles son las variables independientes? Nombres 5. Representación:

NOMBRES

MARIA JUANA PAULA TOTAL ANIMALES

Perros 2 0 1 3

Gatos 0 4 2 6

Canarios 3 2 0 5

Loros 2 0 0 2

Total 7 6 3 16 6. Respuesta: En casa de María hay 2 perros, 3 canarios y 2 loros.

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Práctica 6: Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de futbol de 2006 y 6 en la del 2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009) metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tantos goles en 2008 como Vidal metió en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los tres en 2008 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007? 1. ¿De qué se trata el problema?

Producción goleadora de jugadores. 2. ¿Cuál es la pregunta?

¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?

3. ¿Cuáles es la variable dependiente? Años

4. ¿Cuáles son las variables independientes?

Nombres

5. Representación:

NOMBRES

JORGE PEDRO ENRIQUE TOTAL AÑO

2006 6 0 0 6

2007 2 14 0 16

2008 1 0 21 22

2009 6 7 0 13

Total 15 21 21 57

6. Respuesta: Entre los 3 metieron 16 goles en el año 2007

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Práctica 7: Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Miltón tiene tres sapos y la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Miltón sapos y murciélagos. Nartis tiene cinco mascotas, uno es murciélago y tiene a misma cantidad de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tienen siete mascotas, ¿Cuántas y qué clases de mascotas tiene cada uno?

1. ¿De qué se trata el problema? Del número de mascotas de Milton, Mortus y Nartis. 2. ¿Cuál es la pregunta? ¿Cuántas y qué clases de mascotas tiene cada uno?

3. ¿Cuáles es la variable dependiente? Número de mascotas. 4. ¿Cuáles son las variables independientes?

Nombres

5. Representación:

NOMBRES

MILTON MORTUS NARTIS TOTAL ANIMAL

Sapos 3 2 2 7

Arañas 2 5 2 9

Murciélagos 2 1 1 4

Total 7 8 5 20

6. Resolución: Milton tiene 7 mascotas ( 3 sapos, 2 arañas y 2 murcielagos) Mortus tiene 8 mascotas( 2 sapos, 5 arañas y 1 murciélago) Nartis tiene 5 mascotas ( 2 sapos, 2 arañas y 1 murciélago)

1.6 CONCLUSIÓN

Las tablas numéricas son un instrumento muy práctico para la resolución de problema que impliquen soluciones matemáticas, pues las tablas nos permiten organizar de una mejor manera los datos presentes y los que faltan en el enunciado; la tabla toma el papel de una memoria secundaria porque contendrán datos que no recordaremos que estaban en el enunciado.