Solucionario - Guía de Ciencias Trigonometría

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

Prof. Erick Farfán Alarcón - 1 -

EXAMEN Nº 1 Para Principiantes

01. 27 9

S10 c

= +

27 9

9k10 10k

= + 1

k2

∴ =

k 1

R20 20 2 40π π π = = =

CLAVE : B

02.

L 2 r= π�

4 2 rπ = π r 2∴ =

1

x4

= 4⋅L

cos8

⋅ → L

x L cos8

= ⋅

CLAVE : C

03. ( )( ) ( )cosx cosx cot x

R− − −

=( ) ( ) ( )sec x sec x cot x

4R cos x= −

CLAVE : C

04. ( )24 1 cos x 3

A1 2cosx

− −=

+ ;

1cos x

2≠ −

21 4cos x

A1 2cosx−

=+

→→→→ A 1 2cos x= −

1 cos x 1− ≤ ≤

1 1 2cosx 1− ≤ − ≤

{ }A 1,0,1,2,3= − A 1∴ =

CLAVE : D

05. ( ) ( )2 senx cos x 1 2 senx cos x 1 1

H1 cos2x 1 cos2x 4

⋅ + ⋅ += + +

− +

sen2x 2 sen2x 2 1

H1 cos2x 1 cos2x 4

+ += + +

− +

2 2sen2x 4 1

H 2csc 2x2sen2x 2

+ = = +

1 csc 2x 1≤ ≤ −

5 1 3

2csc 2x2 2 2

≤ + ≤ −

9

H4

≤ < +∞

∴ ∈ +∞

9 H ;

4

CLAVE : D

06. 5x x

P 2cos3x cos2x 2cos cos 2cos5x cosx2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3cos

13

6 4 5 10 2P 8cos cos cos cos cos cos

13 13 13 13 13 13π

−

π π π π π π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

��

61

2

2 3 5 6P 8 cos cos cos cos cos cos

13 13 13 13 13 13π π π 4π π π

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅��

1P

8∴ = −

CLAVE : A

07. ( ) ( )2H 2sen 35 cos 5= θ + ⋅ θ + °�

( )2H sen 2 40 sen30= θ + ° + �

( )1 1H sen 2 40

2 4= π + ° +

150 160≤ θ ≤� �

( )340 2 40 360≤ θ + ≤� � �

( )sen 2 40 0θ + =�

( )1 1 1H 0

2 4 4= + =

CLAVE : D



08. tan x 2tan y 3 tan z k= = =

tanx k= ; k

tanx2

= ; k

tanz3

=

tanx tany tanx tanz tany tanz 1⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 2 2k k k

12 3 6

+ + =

k 1= ( ) ( ) ( )T 3 1 4 2 5 3 26∴ = + + =

CLAVE : D

09.

21 2 sen sen

5 15Wsen

15

π π − ⋅ =

π

1 71 2 cos

2 15Wsen

15

π − − =

π

72cos 2sen

15 30Wsen 2sen cos

15 30 30

π π

= =π π π

⋅

1W

n∴ =

CLAVE : B

10.

( ) 2 2 2 2 2 2f a sen b cos b sec tan2θ = θ + θ + θ − 4 θ

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2f a 1 cos b cos b sec 4 sec 1θ = − θ + θ + θ − θ −

( ) 2 2 2 2 2 2

0 0

f a cos a b sec b 4 4 θ = − − + θ − + ��

2 2a b=

2b 4= 2 2a b 8∴ + =

CLAVE : D

11.

1 sen10 1 sen50

cos10 cos50J

1 sen70

cos70

+ + =

+

� �

� �

�

�

cos40 cos20

sen40 sen20Jcos10

sen10

⋅=

� �

� �

�

�

( ) ( )( ) ( )

4cos20 cos 60 20 cos 60 20J

4sen20 sen 60 20 sen 60 20

⋅ − +=

⋅ − +

� � � � �

� � � � �

cos60 3

J ctg603sen60

= = =�

�

�

CLAVE : A

12. ( ) ( )2sen3 sen 2aα + β ⋅ α − β =

( ) ( )2cos3 cos 2bα + β ⋅ α − β =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos 2 4 cos 4 2 2a I

cos 4 2 cos 2 4 2b II

+ ↓ α + β − α + β = − − −

− ↑ α + β + α + β = − − −

( )cos 2 4 a bα + β = +

( )cos 4 2 b aα + β = −

( )( )

cos 2 4 a bP

cos 4 2 b a

α + β += =

α + β −

CLAVE : B

13. b c a

sec x cosxa b c+

= → =+

a c b

sec y cos yb a c+

= → =+

a b c

sec z coszc a b+

= → =+

1 cosx 1 cosy 1 cosz1 cosx 1 cos y 1 cosz

− − −+ +

+ + +

a b c1 1 1

b c a c a b 1a b c

1 1 1b c a c a b

− − −+ + ++ + =

+ + ++ + +

CLAVE : A

14. ( )2k cos 2 1 cos= θ + − θ

2k cos 2cos 1 1= θ − θ + +

( )2k cos 1 1= θ − +

2

1 cos2

− < θ ≤

( )20 cos 1 4≤ θ − ≤



( )2

K

1 cos 1 1 5≤ θ − + ≤�� { }k 1,2,3,4,5=

Suma =15

CLAVE : C

15. ( ) ( )

( )4 9k 3 10k 6 rad

rad2 10k 9k 11 330180

− π π θ = = ⋅ = −

� �

�

L 210 2330

π= ⋅ =

CLAVE : A

16.

( )2 2sen cos 2cosα + α = α

1 sen2 1+ α = cos2+ α

22 30′α = �

CLAVE : A

17.

2

2

2

sen A ctgA 1

N sen A ctgB 1

sen C ctgC 1

=

= ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅

2 2 2

2 2 2

N sen A cotB sen B cotC sen C cot A

cotB sen C sen A cotC sen B cot A

( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2

N cotB sen A sen C cot A sen C sen B

cotC sen B sen A

= − + −

+ −

( ) ( )N cosB sen A C cosA sen C B

cosC sen(B A)

= ⋅ − + ⋅ −

+ ⋅ −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

N sen B A C sen B A C sen A C B

sen A C B sen C B A sen C B A

= + − − − + + + −

− − + + + − − − +

N 0=

CLAVE : D

18. ( )

θ−

− θ ⋅ θθθθ = =θ + θ ⋅ θ+θθ

2

2

1 sen1 sen coscoscosf

1 sen 1 sen coscoscos

( ) 2 sen2f

2 sen2− θ

θ =+ θ

, 1 senx 1− ≤ ≤

( ) 1N f min

3= θ = ∧ ( )M f max 3= θ =

( )∴ + =3 M N 10

CLAVE : C

19. 2a b a 2b a b+ > + → >

2c a 4a c c a+ < − → <

2 2 2a b c∴ = +

CLAVE : C

20.

=�tan3

tan⋅ �tan6 ⋅ �tag9 − − − − − − �tan53 ⋅ �

�

tan60

tan57 ⋅ �tan54 ⋅ �tag51 − − − − �tan46 ⋅ �tan43

θ = �tan tan60 60∴ θ = � ; 30φ = �

CLAVE : B

EXAMEN Nº 2

01. Del grafico tenemos:

( )90 90 360α + + −β − =� � 360∴α = + β�

CLAVE : C

02. Se plantea: ( )gy 24 x 90′+ − = �

( )gg

9 1y 24 x 90

6010′⋅ + − ⋅ =

′

� ��

9y 24 x

9010 60

−+ =



54y x 24 5400− + =��

T 24 5400+ = T 5376∴ =

CLAVE : D

03. Tenemos:

( ) ( )60 4,25 60 22 ,15 180′ ′′+ + − =� � � �

x 60 18 60′= =� � →→→→ g1

x 60 18 361854

′ ′= = ⋅′

�

gx 57∴ =

CLAVE : D

04. Correcto Incorrecto

60 rad3π

≤� =c 609 10

c 54=

g54 rad200

π→ = ⋅� →→→→

27rad

100π

=�

Error: 27 19

3 100 300π π π

− =

CLAVE : B

05. S 9k , c 10 y R k20π

= = =

Dato:

( ) ( ) ( ) ( ) π π + + = + +

6 6 6 55 59k 10k 20 k k

5 9k 10k9 10 11 20 20

5 56 5 5 5 5 5k 9 10 5k 9 10

20 20

π π + + = + +

k 5= π

∴ = R4

CLAVE : C

06. Sea " "α la medida del � en el sistema sexagesimal.

( )gg10 10

S 180 20099

→ α = − α ⋅ = − α

�

�

( )C 90α = − α �

Dato: 10

200 90 5 1359

− α + − α = → α =

π π

= ⋅ =�

��

rad 3135 rad

4180

CLAVE : D

07. Tenemos: w50 90= �

w ww

9028,125 28,125 50,625

50→ = ⋅ =

��

50 37 30′ ′′= �

CLAVE : B

08. Sabemos: a 9k , b 10k a k20π

= = ∧ =

Datos: ( ) 21 2

10k k 10k 9k k20π

⋅ = − ⋅ → =π π

2

2 1d

20 10π

∴ = ⋅ =ππ

CLAVE : C

09. π ⋅′ ′′ ′ ′′α = = ⋅ = =

π

� �� 13 180 13 180

1a b31c rad 18 4312125 rad 125

a 8 , b 4 c 2→ = = ∧ =

( )N 4 4 8 0= − ⋅ =

CLAVE : A

10. Hacemos: 2x 9x c+ =

S 3a 90 C 8a 72→ = + ∧ = +

= → + = + → =S c

30a 900 72a 648 a 69 10

s R

S 1089

20

→ = → =π

3

R5π

∴ =

CLAVE : C

11. 1rad 5m=

α → Angulo formado a las 3h y 18 min.

5m

9 rad20 1radπ

α = = ⋅� →→→→ m4π

α =

CLAVE : A



12. Sabemos: ′′= → = =� g s m9 10 162 500 5

→ = = =

x y zk

500 162 5

=

=

=

x 500k

y 162k

z 5k

( )500T 500k 324k 5k 171

500k= − − =

CLAVE : D

13. Recordamos: k

S 9k, C 10k R20π

= = ∧ =

Datos: 2x (9k)x 10k 0+ + =

1 2 1 2x x 10k x x 9k→ ⋅ = ∧ + =

Además: ( ) ( )2 21 2x x 0,01− −+ =��

( )

( )

21 2 1 2

21 2

x x 2x x 1100x x

+ − ⋅=

⋅

−

→ = → =2

2

81k 20k 1 1 k

100 4100k

π π

∴ = ⋅ =1

R20 4 80

CLAVE : A

14. Recordamos: S 9k C 10k= ∧ =

100 30k 18k 120< − <

�K mayor entero 9

8,3 k 10=

< <

π ⋅ π

∴ = =9 9

R20 20

CLAVE : A

15. C 10k ; S 9k R k20π

= = ∧ =

Dato: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

xn y x ny10k 9k

x y x y

+ + −− =

+ − −

( )2 2 2

2

2

x y n 1 x yk n 1

4xy 4 y x

≥

+ += + = +

��

+

=2

mínn 1

k2

( )2

2n 1R n 1

20 2 40

π + π∴ = ⋅ = + ⋅

CLAVE : B

16. Del grafico tenemos:

( ) ( )1 2 3l a ; l a b 3 l a 2b= ⋅ α = + α ∧ + α

( ) ( )

( )a a 2b 2(a b) 2

ka b 3 3(a b) 3

α + + α + α= = =

+ α + α

CLAVE : B

17. inicial final

cant = θ� cant 2= θ�

Radio r= radio r 3= −

Área 2r

2θ ⋅

= Área( ) ( )22 r 3

2

θ −=

( )2 2

12 r 3 1 r

r 2 No2 2 2

θ − θ ⋅→ = ⋅ → = →

2r 6 Si= →

CLAVE : D

18.

Por semejanza: = → =2

22

b a a r

a r b

2 2

1a b

r2−

=

( )2 2

1 1

a bl r

2

−= θ ⋅ = θ

2

2 2a

l rb

θ ⋅= θ ⋅ =

( )2

22 22 2

1

al abl a ba b

b

θ ⋅

= =−−

θ

CLAVE : C



19. Del gráfico: ( )( )

= →

2

2

OC 2

3OA

( )( )OC 2 k

OA 3 k

=

=

Además: AOD EOC= = θ� �

( )22

2kS

2

θ= ;

( )21

3kS

2

θ= → =1

2

S 3

S 2

CLAVE : A

20.

Determinamos el ángulo " "θ que gira el centro de la rueda pequeña:

( )ππ π

θ = = → θ = =+

�2 22 r 2 120

R r 6 3

Elaborando el esquema, determinarás lo pedido reconociendo que el OMN∆ es rectángulo y pitagórico, luego;

2 2x 4 8 2 4 8cos60= + − ⋅ ⋅ � 16 64 2= + −1

322

⋅ ⋅

x 48 4 3 m∴ = =

CLAVE : E

EXAMEN Nº 3

01.

PAQ ≅ ( )QBR ALA

→ + = → = 3k 4k 7 k 1

∴ + = → = a 3k 4k a 1

CLAVE : A

02.

= + + α θ

1 1E 1 1

tan tan

α θ + α + θ +=

α ⋅ θ

tan · tan tan tan 1E

tan tan

= +α ⋅ θ

2E 1

tan tan

Por: MA MG≥

α + θ

→ ≥ α ⋅ θtan tan

tan tan2

→ ≥ α ⋅ θ ≥1

tan tan 04

�m

21 9

tg tg+ ≥

α ⋅ θ m 9∴ =

CLAVE : E

03. Sea ABC el rombo y L su lado:

22S R= π →→→→ 2R Lsen= θ

21S L sen= θ

2

12R

S sensen → = ⋅ θ θ

2

14R

Ssen

=θ

→→→→

⋅ θ = π

21

SS sen 4

→ θ =π

2

1

4Ssen

S 2

1

4Sarcsen

S

∴ θ =

π

CLAVE : E



04. Graficando el triangulo ABC:

Como:

22senB sen A=

= → =2

22

b a2 2bc a

c c

Pero: 2 2 2a c b= − → = −2 2 2bc c b

Completando cuadrados y ordenando se tendrá:

( )C 2 1 b a 2 2 2b= + ∧ = +

Finalmente calculamos se sec A y cotB

c a

sec A 2 1 cotB 2 2 2b b

= = + ∧ = = +

Luego en el problema: 4 2E Sec A 6cot B= −

( ) ( )24

17 12 2 12 12 2

2 1 6 2 2 2

+ +

= + − +��

E 5∴ =

CLAVE : E

05. Recordemos: a;b +∈

≥

= + θ + θ + −��

2 ab

K ab acot b tan 1 ab

( )2mínK ab 2 ab 1 ab ab 1 ab= + + − = + −

K 1=

CLAVE : D

06.

A ⋅= −

22 k cot1

k2

A( ) ( )

2

2k 2 1

k2

= =

sombA = A A

⋅= − −

→ = ⋅

22 2

2somb

k cot 1Asomb k k

2

2A k cot 1

CLAVE : D

07.

( ) ( ) − θ= ∀ − θ = π∀ → =

π

n tanl n tan k 2 k

2

CLAVE : C

08.

( )1

sen 2 cosS 2 2sen cos sen2

2

θ 2 θ= ⋅ = θ ⋅ θ = θ

( )2 21 2 2

2 2 cosS S S 4 cos sen2

2

θ θ+ = → = θ θ − θ

( )θ⋅+ = → = θ − θ θ

2

2 3 3

2 2S S S Sen2 2 cos2

2

CLAVE : D



09. Tenemos: cos3 sen3 3 3 90θ − α → α + θ = �

30α + θ = �

( ) +

=

� sensen 30

k

θ3

cos α3tang ( )θ + α ⋅2 tan ( )

= °

+= =

θ + α��

E 90

11 32

1 22

CLAVE : C

10.

h 2cos= θ ; b 2 2cos= − θ

s4(1 cos )(cos )

A2

− θ θ=

21 1As 2 cos

4 2

= − θ −

Para mínimo:

1 1cos 0 cos

2 2θ − = → θ = 60∴ θ = �

CLAVE : D

11.

-Por ser N punto medio de AB, se tiene que AN y AD están en relación de 1 a 2.

-Trazamos PQ ⊥ AB para ubicar A " "θ en

un triangulo rectángulo

En AQP: 6

tan5

θ =

CLAVE : C

12. Dato: α = θ +θ

1tan 2sen

2sen

1

NA MG 2sen 22sen

≥ → θ + ≥θ

Piden mínimo: 1

tg 2 sen2

α = ∧ θ =

2 2 4sec 5 sec

3→ α = ∧ θ =

4

L 5 3 93 = + =

CLAVE : B

13.

θ = ∧ θ =r m

tan tann r

2r mn→ = → = ⋅ r m n

θ = =n n

cotmmn

CLAVE : B

14.

+ − −

= ⋅ θ = ⋅ θ

2 2m n m n m nA tan tan

2 2 4

CLAVE : D



15.

Del grafico: 3a 4a 245 a 35+ = → =

24

BC 3a 3actg16 105 105 4657

= + ° = + ⋅ =

CLAVE : D

16.

( )= θ + θ ⋅ θa sen 1 tan2 tan4

θ θ

→ θ = → =α θ

tan tancos2 x

cos2

( )θ + θ ⋅ θ

→ θ = → =θ

sen 1 tan2 tan4acos5 y

y cos5

( )

θθ=

θ + θ ⋅ θ

θ

tanx cos2

sen 1 tan2 tan4y

cos5

( )θ ⋅ θ

=θ ⋅ θ + θ ⋅ θ

x cos5 tany cos2 sen 1 tan2 tan4

= θ ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θx

sec sec 2 cos5 cos4y

CLAVE : A

17.

2cos 45 2cos sen452 2

As2

α α − ⋅ =

� �

α α

= + + = α + α +

1 cos senasen bcos c

2 2 2

→ + + = + + = =1 1 1 3

a b c 1,52 2 2 2

CLAVE : C

18. ABC ( )B 90= �

( ) ( )2a c 2 ab bc ac→ + = − +

+ +��2

2 2

b

a c 2ac = − +2ab 2bc 2ac

2b 2b= ( )a c−

� �

senA cos A

1 a c 1senA cosA

2 b b 2= − → − =

CLAVE : C

19. Hacemos: ED 1 EF= =

= θ =AD cot AF

Del grafico:

θ−

θ= θ + = θ + θθ

tan21

tancot x tan2 tan2 csc 2tan2

CLAVE : A



20.

Piden: � �BC BC+

Del ∆ BOC: BC 2Rcos= θ

Luego: � ( )BC 2 R= π − θ ⋅

( )Piden 2 R 2Rcos→ = π − θ + θ

2R cos2π = + θ − θ

CLAVE : B

EXAMEN Nº 4

01.

→ = < ⋅ =� x 3cot30 3 3 3m

CLAVE : C

02.

= ⋅ = ⋅ ⋅ =� �x hcot30 tan60 h 3 3 3h

CLAVE : D

03. Graficando de acuerdo al enunciado se obtiene la siguiente figura:

FARO(1)

FARO(2)

Barco alas 8:24 p.m

Barco alas 8 p.m

Barco

Trayectoria del barco S 80° O

- como el tiempo transcurrido es

24min2

h5

<> y la velocidad que lleva el barco

es de km

65h

se tendrá que el espacio

recorrido es 26km 52km∴ φ =

CLAVE : C

04.

CLAVE : E

05.

→ θ =+D

h R

CLAVE : C



06.

h sec 4cos⋅ θ = θ →→→→ 2hcos

H= θ

CLAVE : D

07. Del problema:

LineaEcuatorial

Además:R +H = Rsecθ

( )R h R L= + θ →→→→ hL

R1 sen

θ=

− θ

θ

+ = ⋅ θ− θ

hsenR H sec

1 sen

θ∴ + =

θ −

hsec R H

csc 1

CLAVE : B

08. Graficando de acuerdo al enunciado se tendrá la figura siguiente:

En la figura se observa que:

dsen2 Hcosα = α

d 2sen cos Hcos⋅ α ⋅ α = α

1 H

sen2 d → α =

Como: 25H 14d=

1 14 7

sen2 25 25 → α = =

7

tan24

∴ α =

CLAVE : D

09.

4 70

x 103 50

→ = +

4 70 10

h 10 10 8 23 50 50

→ = + − = +

CLAVE : D

10. Del enunciado:

Área 2 2R R cos2= + α →→→→ Área 2 22R cos= α

CLAVE : D

11. Graficando de acuerdo al enunciado se tendrá la figura siguiente:



En el triangulo formado en la primera observación se tiene que los catetos son iguales.

En EL tramo de ascenso se observa que:

13k 260= → k 20=

En el triangulo formado en la ultima observación se tiene que los catetos guardan relación 4 a 3 .

−

→ =−

H 100 4

H 290 3 H 860m∴ =

CLAVE : C

12. Del enunciado:

( )→ = α + θh 2 3 tan tan

CLAVE : D

13.

= =� 1 · 5 1tan 27

3 2 ∴ = x 5,5m

CLAVE : A

14.

( )x 40 sen10 cos10 tg25= + ⋅� �

sen25

x 40 sen10 cos10cos25

= + ⋅

��

�

x 40sen35 sec 25= ° ⋅ °

CLAVE : E

15.

12

x 12 32 3

= ⋅ −+

( )x 12 3 12 2 3= ⋅ − −

x 12 3 24 12 3= ⋅ − +

( )x 24 3 1∴ = −

CLAVE : D

16.

x 2 2cos74 2 x sec⋅ + = ⋅ ⋅ θ�

1 cos74 sec+ = θ →→→→ 27

1 sec25

+ = θ

2

4 sec5

= θ → =7

tan5

CLAVE : B



17.

α = = =125 1

tan 0 , 1251000 8

θ

→ = =θ2

h 8htantan x

h8htan

→ = θθ2

18 tan

8 tan

= θ = θ =31 1tan tan

64 4

⋅

→ = = ∴ = �

18

4tanx 2 x 63 ,301

CLAVE : A

18.

= + α = + βx h a tan 2h b tan

α − β =a tan b tan h

∴ = α − β x 2a tan b tan

CLAVE : E

19.

H h 10∴ − =

CLAVE : D

20.

→ α ⋅ β = ⋅ =x 5a

tan cot 59 x

CLAVE : C

EXAMEN Nº 5

01. − α ≥ → α ≤6 tan 0 tan 6

α − ≥ → α ≥tan 6 0 tan 6

∴ α = tan 6

θ − =4cos 6 0

θ = ∴ θ =6 4

cos sec4 6

∴ θ ⋅ α = ⋅ =4

sec tan 6 46

CLAVE : D

02.

< θ <� �16 60



�

1 24cos

2 25< θ <

1 x / 2 242 50 25

< <

∴ < <50 x 96

CLAVE : D

03. < θ <� �30 90

< θ <1

sen 12

→ < θ <1 csc 2

< θ <2 4sen 4

∴ < θ + θ < 3 4sen csc 6

∈N 3;6

CLAVE : D

04.

R =2r r =1R = 2

θ + θ =2cot tan AB

θ − θ + =2tan ABtan 2 0

− ≥2AB 8 0 ∴ ≥AB 2 2

mínAB 2 2=

θ − θ + =2tan 2 2 tan 2 0

θ =tan 2 ∴ θ =sec 3

CLAVE : C

05. ( )= + θ − − θ −θ

222

1E cos 2 cos 3

cos

( )

( )θ −

= − θ −θ

222

2

cos 1E cos 3

cos

= θ − = − = −5 7

E sec 3 34 4

CLAVE : E

06.

α = ⋅ → α =2 2R cot 4R 2R cot 2 2

− α = θ → α = − θ� �90 2 90 2

α = θ =cot tan2 2 2

θ + θ − =22 2 tan 2tan 2 2 0

∴ θ =1

tan2

N 2 2 2 3 2= + =

CLAVE : D

07. −

φ = = → =+

2 2b a btan a 2b

a b b

= =b 1 , a 2

= +r 4 2 2

( ) ( )= + + −2 2

E 4 2 2 2 1 ∴ =E 7

CLAVE : E

08. α − − α ≥ → α =21 1sen sen 0 sen

4 2

α = �30

− θ + θ − ≥ → θ =2 1 2cos 2 cos 0 cos

2 2

θ = �45

= + +� �2 2M 3sec 30 cot 45 1

( ) = + + =

222

M 3 1 1 63

CLAVE : C

09.

0

2sen sen 1

<

θ + − θ =��

θ =3sen 1 1

sen3

→ θ =



= θ − θ − θ = θ =R csc cot csc cot 2 2

CLAVE : C

10. ( )θ − + θ − = − θ2sen 1 5sen 4 3 1 sen

θ =4

sen5

∴ θ = �53

( )− θ + − θ = 3 1− θ1 2sen 4 5sen sen

θ =1

sen2

∴ θ = �30

CLAVE : E

11. ( )( )− − >n 2 3 n 0

∈n 2;3

< <1,41 n 3 ∴ =n 2

φ =tan 2 ∴ φ ⋅ φ = ⋅ =2 1 2

sen cos55 5

CLAVE : C

12. < ≤� �0 A,B,C 360

− ≥1 cosA 0 =cos A 1

− ≥cos A 1 0 ∴ = �A 360

= −senB 1 ∴ = �B 270

− =tanC 1 1 ∴ = �C 180

∴ + + = �A B C 810

CLAVE : C

13. α − ≥cos 1 0

α + ≥cos 8 0

α ≥ ∴ α =cos 1 cos 1

α + ≥sen 3 0 α = �0

π

= = =3

E 3 tan33

CLAVE : C

14.

( )[ ]= − θ + θ2E n 1 tan sec

( ) += − +

− −

22

2 22n n 1

E n 1n 1 n 1

( )= − + 2E n 1

CLAVE : D

15. α − = + + +2tan 2 2 2 2 ...

( ) ( )α − = → α =2 2tan 2 2 tan 4

Como α ∈ IIC : tan( ) 2α = −

( ) ( )( ) ( )

( )α + α

= + αα − α

sen 2cosw cotan

sen cos

( )( )

( )α + = + α = + − α −

tan 2 1w cotan 0

tan 1 2

w 1/ 2= −

CLAVE : B

16.

( )− − − −

θ = = = − − −

� �

�

sec 45 csc 45 2 2tan 2

14 cos60 42

= θ + θ = −3 2

E tan cot2

CLAVE : D

17.

π

=tan

7R

π+

2tan

7π

+3

tan4

π+ + π +

π

... tan tan7

cos5

π+

2cos

5π

+3

cos5

+ + π... cos

π = −

R tan

7

CLAVE : B



18. ( ) ( ) ππ + + π − =senx cosx senx cosx

2

=1

senx4

π π

= + + −

2 2 3A tan x cot x

2 2

= +2 2A cot x tan x

( ) = +

22 1

A 155

=256

A15

CLAVE : B

19.

y = 2x - 4

0 2a 4 a 2= − ∴ =

2 y

12 y 122⋅

= ∴ =

12 2x 4 x 8= − ∴ =

∴ θ = = =x 12 3

tany 8 2

CLAVE : B

20. α − β = 360n

β

= → α = β =α + β

17 420n

8

β − β = → β =7 360n 60n

< α + β <� �500 1000

< <� �500 480n 1000

< < ∴ =1,04 n 2,8 n 2

( )α = = �420 2 840

CLAVE : D

EXAMEN Nº 6

01. ( )( )3 sec 3

3sec 2sec 3

φ+φφ =

sec 3 ; ademas cos 0→ φ = φ >

sec 0φ >

IV C→ φ ∈

( )= − φ + φ = φ + φ =��

2 2 2 2

8 9

P tan sec tan sec 17

CLAVE : B

02. Del grafico:

Por R.M.

= ⋅ → = → α =h 3 1 h 3 tan 3

60→ α = � 105→ θ = �

( ) ( )θ + θ = +� �sen cos sen 105 cos 105

θ + θ = − =� � 2sen cos cos15 sen15

2

CLAVE : D

03. Tenemos:

θ − θ = → θ =5

12sen 5cos 0 tan12

Del grafico:

90 180 90− θ − α = → α = − − θ

( )θ→ = ⋅ − − θ N sen tan 90

2

−= ⋅

121 1213N

2 5

=6 26

N65

CLAVE : B



04. Para n 1=

( )( )

( )( )

+ α − α= α ⋅ = α ⋅ = α

+ α − α

sen 180 senM tan tan tan

cos 90 sen

Para n 3=

( )( )− α α − α

= α ⋅ ⋅ ⋅ = α− α − α α

3sen sen senM tan tan

sen cos cos

→ Para n = αnM tan

CLAVE : D

05. Tenemos:

( ) ( ) π π = α ⋅ π + π − α ⋅ − − α

A sen cos 4680 tan 466

2 2

= α ⋅ − α ⋅ α = − α ⋅ α ⋅ αsen ( cos ) cot sen cos cot

( ) π π π π = π+π−α ⋅ + +α ⋅ − −α

B sen 124 sen 156 tan 156

2 2 2 2 = α ⋅ α ⋅ αB sen cos tan

− α ⋅ α ⋅ α

→ = = − αα ⋅ α ⋅ α

2A sen cos cot cot

B sen cos tan

CLAVE : D

06. Piden: H R sen6= β

2

2 R sen3 cos6As s

2− β ⋅ β

= =

2

24s

sen6R

−→ β = ∴ = =

2

2

4sH R 2s

R

CLAVE : B

07. “ θ ” y “ ( )4α − β ” coterminales:

( )4 360→ θ − α − β = →→→→ 360 4θ + β = + α

Dato:

315 135− ≤ θ + β + α ≤� �

��

315 360 5 135− ° ≤ ° + α ≤ °

135 40− ≤ α ≤ −� �

2

cos 1;2

→ α ∈ − −

CLAVE : C

08. Graficamos de acuerdo a las condiciones:

tan cot∴ θ = α

CLAVE : A

09. ( ) ( )( )r 1 sen ; r 1 cos+ α − + α



Por regla práctica:

r + 1

r + 1

0

0

0

0

0 0 r + 1

(r + 1)senαsenα (r + 1)(-cosa)

(r + 1) 2

(r + 1) 2

(r + 1) 2

(r + 1) 2

α(r + 1) 2 (-cos )

(sen - cos )α α

( ) [ ]2sA r 1 1 cos sen→ = + + α − α

CLAVE : D

10.

sen( - 1/2) = 1π

s

1sen cos

sen2A

2 2

θ θ + θ = =

1

cos2

→ θ = +↓

60θ = °

CLAVE : B

11. 21 1

6t cosx cosx 8 0

t ⋅ − + ≤

1 14 2

cos x cosx 0t t

− − ≤

14 2

cos xt t

→ ≤ ≤ t 0∧ <

� �1456 9128 4tcos x 16

≈ ≈

→ ≤ ≤

Recorre por lo menos una vuelta

1 p 1∴ − ≤ ≤

CLAVE : B

12. 4

t 4t 27 2 7π π π

< ≤ → − < ≤ π

≤ ≤ π��

0 4t 2

Barre una vuelta

[ ]

[ ]

[ ]

−

−

− −

π = + +

��

��

��

1; 1

2 ; 2

1; 3

H 2sen 4t 16

CLAVE : D

13. Nos piden: 2 2 2H cos A cos B cos C 3= + + −

Tenemos:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

tan A tan B tan A tan C Ctan Btan C

1 2tan A tan B tan C

∗ ⋅ + ⋅ + =

− ⋅ ⋅

∗ ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅ =

2 2 2 2 2 2

2 2 2

tan A tan B tan A tan C tan B tan C

2 tan A tan B tan C 1

( ) ( )

−

−

∗ + + + ⋅ +

+ ⋅ =

��

��

��

2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

sec C sec B

2 2

sec C 1

tan Bsec C tan B

tan A tan B 1 tan C tan A tan C 1 tan B

tan B tan C 1

( )−

∗ ⋅ + + ⋅

= +

��

��

2 2

2

2 2 2 2 2 2

sec B 1 sec A

2

sec B

tan B sec C tan A 1 tan A tan Csec B

1 tan B

∗ −

+ =

2 2 2 2 2

2 2 2 2

sec A sec Bsec C sec A sec C

tan A tan Csec B sec B

Todo por: 2 2 2cos A cos B cos C⋅ ⋅

2 2 2 2 21 cos B sen A sen C cos A cos C− + ⋅ = ⋅

2 2 2 2 21 cos B cos A cos C sen A sen C= + ⋅ − ⋅

( ) ( )−

= + + ⋅ −��

2 2

2

cos A sen C

1 cos B cos A C cos A C

( )2 2 21 cos A cos B 1 cos C= + − −

2 2 2cos A cos B cos C 2→ + + =

H 1∴ = −

CLAVE : C



14.

( ) α= α + α − α + α =

22 2 2 41 cos 2

A cos 1 tan 3 tan tan2 2

( ) ( )22 22 2 sen 2

B 1 cos 1 sen 52

α= + α + + α = −

2 2cos 2 sen 2 1 9

A B 5 52 2 2 2

α α→ − = − + = − = −

CLAVE : E

15. tenemos:

( )

+ + +

= +2

1 1senx cosx tanx cot x

senx cosx

Acsc 2x B

⋅ + + + ⋅

⋅

senx cos x 1senx cosx

cos x senx senx cosx

1

senx cosx

2 2 2 2 21 1 8

1 1sen x cos x sen xcos x sen 2x

+ + = +⋅

2 28csc 2x 1 A csc 2x B= + = +

→ − ∧ =A 8 B 1 ∴ + = + =A B 8 1 9

CLAVE : E

16. 2 4 2 4R 2sec sec 2csc csc= θ − θ − θ + θ

( ) ( )= θ + − θ − = − θθ

2 22 2 44

1csc 1 sec 1 tan

tan

− θ

=θ

8

4

1 tan

tan

CLAVE : D

17. Del dato:

( )θ − θ = θ − θ + θ − θ4 4 2 2 4 4cot tan m cot tan csc sec

( )( ) ( )

( ) ( )−−

→ θ + θ θ − θ − θ + θ

θ − θ = θ − θ

��

��

2 2 2 2 2 2

11

2 2 2 2

cot csc cot csc tan sec

tan sec m cot tan

( )2θ − θ = θ − θ2 2 22tan 2cot n cot tan

( ) ( )2− θ − θ = θ − θ2 2 22 cot tan m cot tan m 2∴ = −

CLAVE : A

18.

Del grafico: θ + ω = → ω = − θ� �180 180

180 180ω − α = → ω = + α� �

∧ = ω → ω = = α63

63a 9a tan tan tan9

12

sec9

→ α = −

→ ω = → θ = −1 1

cot2 cot 263 63

Piden:

1 12

H 63 3 1 4 5963

− = − + = − − = −

CLAVE : E

19. Nos piden: 2K tan x csc x= +

Del dato: ( )tanx senx 1 senx sec x 1 1+ = → + =

sec x 1 csc x→ + =

Ordenando: csc x sec x 1− =

Al cuadrado:

2 2sec x csc x 2sec x csc x 1+ − ⋅ =

��

2 2sec xcsc x 2sec xcsc x 1 1 1− + = +

( ) �+

⋅ − = → ⋅ = +2

sec x 1sec x csc x 1 2 sec x csc x 2 1

2sec x sec x 2 1+ = +��

2

csc x

k

tan x 1 sec x 2 1+ + = +��

��

K 2 1∴ = +

CLAVE : D



20. 2 2 2x y 12 x y 5⋅ = ∧ + =

CLAVE : D

EXAMEN Nº 7

01.

( )( )5 sen 37 x

4sen 3cos x

θ − =

→ θ − θ =

� ( )2 cos 45 y

cos sen y

− θ =

θ + θ =

�

2 2i ) x y 4sen cos 4sen 3cos

3sen cos

→ ⋅ = θ ⋅ θ + θ − θ

− θ ⋅ θ

2 24sen 3cos sen cos= θ − θ + θ θ

2 2 2ii ) 2x 16sen 9cos 24sen cos→ = θ + θ − θ ⋅ θ

29 7sen 24sen cos= + θ − θ ⋅ θ

( )2iii ) 25y 25 1 2sen cos→ = + θ ⋅ θ

25 50sen cos= + θ ⋅ θ

2 225y 2x 2xy 49→ + − =

CLAVE : B

02. Dato: 02π

< θ <

( )1tan cot n ... I

sen cos→ θ + θ = =

θ ⋅ θ

A sen csc cos sec= θ + θ + θ + θ

( )

n

1A sen cos 1

sen cos = θ + θ + θ θ

��

Por dato (1): n 2

n+

=

( )+→ = +

n 2A 1 n

n

CLAVE : D

03.

( )

( )

1sen senx cos x

2H 21

cos senx cosx2

− ⋅ + =

−

( )

[ ]1;1

2; 2

H 2sen 45 2sen x 45

−

−

= + − ° ��

��

( )35 125

2 45 2sen x 45 24 4

≈− ≤ ≤ ≈

π π→ − ≤ + − ≤ +

� �

� �

��

[ ]→ = =H 2 1 2

CLAVE : E

04.

H 1 5sen cos

6 6 6= θ ⋅ + ⋅ θ

( )Hsen a

6→ = θ +

Análogamente:

( )A

sen b3

→ = α +

i ) Analizamos: ii ) Analizamos

180 270< θ <� � ( )1 sen b 1− ≤ α + ≤

0 a 90< <� � ( )3 3sen b 3→ − ≤ α + ≤

180 a 360→ < θ + <� � 3 A 3∴ − ≤ ≤

( )1 sen a 0→ − ≤ θ + <

( )6 6sen a 0→ ≤ θ + <

6 H 0∴ − ≤ <

6 ; 0→ −

CLAVE : D



05. Tenemos:

( )+ + = ⋅ ⋅��cos x y z cos x cosy cosz

cosx cosy⋅ cosz cosx seny senz

cosy senx senz cosz senx seny

⋅ − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

cosx seny senz cosy senx senz0

senx seny senz seny senx senz

cosz senx senycosx cosy cosz

senz senx seny

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

= + +0 cot x cot y cot z

CLAVE : C

06. Tenemos:

−

+ = + ��cot A tanA

2tanB 3 tanC csc A 2cot 2A

−

− = + ��cotB tanB

c2tan A cot cscB 2cot 2B

2

+

( )

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

+ + = + +��

tanA tanB tanC A B Ccot cot cot

2 2 2

1 B c3 tanA tanB tanC cot cot cot

2 2 2

1 B C 1tanA tan tanB tan tanC tan

2 2 2 3 → ⋅ ⋅ ⋅ = ��

1

(sec A 1)(secB 1)(secC 1)3

− − − =

CLAVE : B

07. = =θ − θ θ + θ θ − θ

x y zsen cos sen cos tan cot

= θ − θ) → = − θ ⋅ θ2 2x k(sen cos x k (1 2sen cos )...(1)

= θ + θ) → = + θ⋅ θ)2 2y k(sen cos y k (1 2sen cos ...(2)

2 2sen cos 2kz k z ...(3)

sen cos tan(2

θ − θ −= → =

θ θ θ)

Sumando (1) y (2): 2 2 2

x y 2k ...(4)+ =

Con:

x y sen cos ysen cos sen cos sen cos x

θ + θ= ↔ =

θ − θ θ + θ θ − θ

Por proporciones: x y

tan( ) ...(5)y x

+θ =

−

En (3): ( )2

2

k 1 tan ( )2kz

2tan( ) tan( )

1 tan ( )

− − θ−= =

θ θ

− θ

En (5):

2

2 2

y xk 1

y x 4kxyz

x y x yy x

+ − − − = =

+ −−

Al cuadrado: ( )( )

2 22 2

22 2

8x yz 2k

x y

=

−

Con (4):

( )( )

( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 2

8x yz x y · z x y 8x y x y

x y

= + ↔ − = +

−

CLAVE : D

08. Tenemos:

( )( ) ( )( )sen a b c cos2c sen a b c cos2b 0− − − + − =

Reduciendo:

( ) ( )

( )( )tana cos2c cos2b cos b c

sen b c cos2b cos2c

− − =

− +

( )[ ]( )[ ] ( )

cos b c cos2c cos2btana tana tan b c 1

sen b c cos2b cos2c

− −= ⋅ + =

− +

CLAVE : D

09. Dato: A B C 180+ + = �

( ) C 180 A B→ = − +

( )cosC cos A B= − +

2 2 2cos A cos B cos C 1+ + =

��

1 2cosA cosBcosC 1− =

cosA cosBcosC 0→ =

Solo si el 90= °� T.→ Rectángulo

CLAVE : C

10. Dato: ( )tanx tany m 1 tanx tany+ = − ⋅

( ) ( )tanx tanym tan x y ... 1

1 tanx tany+

= = +− ⋅



Luego:

1 1 n

n tanx tanztanx tanz tanx tanz

+ + = ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) n tan x z ... 2→ = +

De ( ) ( )1 y 2 :

( ) ( ) ( ) − − = + − + = +

n mtan z y tan x z x y

1 nm

CLAVE : B

11. De la ecuación:

sen cos 2 tan 1 2sec

x y x y x y x y

θ θ θ θ+ = → + =

+ +

Elevando el cuadrado y ordenando se obtiene:

( ) ( ) ( )2y x3x y tan 2 x y tan 3y x 0

x y− θ − + θ + − =

De donde: x

tan y

θ = →

Luego: 6 6

2 2sen cos

Ex y

θ θ= +

( ) ( )

3

2 3 2 31 x 1 y3

Ex yx y x y

= ⋅ + ⋅+ +

De: ( )2

1E

x y=

+

CLAVE : B

12. Si: x y z2π

+ + =

2 2 2

2 2 2

2sen z 2sen y 2sen x y

2cos z 2cos y 2cos x

+ −→ =

+ −

( )( )

1 cos2x cos2y cos2z

1 cos2y cos2z cos2

− + +=

+ + − θ

4senx seny senz4senx cosy cosz

⋅ ⋅=

− ⋅ ⋅

y tany tanz∴ = − ⋅

CLAVE : E

13. Dato: A B C 180+ + = �

tanA tanB x

tanB tanC y

tanA tanC z

+ =

+ = + =

x z ytanA

zx y z

tanBz

y z xtanC

z

+ −=

+ −=

+ −=

22 x z y

sec A tan A 1 1z

+ − → = + = +

2x y zsecB 1

2+ −

= +

2y z xsecC 1

2+ −

= +

2xy

H sec A secB sec Cx y z

→ = ⋅ ⋅ =+ +

CLAVE : D

14. Sabemos: A B C 180+ + = °

c A B

902 2

+ → = −

�

c A B tan cot

2 2 2

→ = +

ccos

2c

sen2

=

A Btan tan

2 2A B

1 tan tan2 2

+

− ⋅

ck cos

2→

c 1 B

ksen 1 tan tan2 2 2

→ = − ⋅

A B c

tan tan ksen 12 2 2

∴ ⋅ + =

CLAVE : B

15. Tenemos:

1 cos x3senx cosx

2 sen x vers5x−

−

π − + 6 ��

( )

[ ]

�

1;1

7; 7

7 1; 7 1

AB

1 7sen x

−

−

− + +

+ + α →��

��

��

��



A B 7 1 7 1→ + = + − + ∴ A B 2+ =

CLAVE : E

16. 2cos y cos y cos y A6 6π π + ⋅ − = −

��

2 2 2 2 2cos cos y sen sen y cos y A6 6π π

− = −

( )2 2 2 23 1 1cos y 1 cos y cos cos y A

4 4 4− − = − = −

1

A4

→ =

CLAVE : B

17. Los s� : a r ; a ; a r− +

3a 180 a 60→ = → =� �

( ) ( ) ( )tan60 3

tan a r tan a tan a r 4 3

=

+ + + − =

�

��

( ) ( )tan 60 r tan 60 r 3 3→ + ⋅ − =

1

senr2 3

→ = 11

tanr11

→ =

CLAVE : B

18.

69 2R 1 tan 832 1 tan

52 52 13 13 π π 156π π = + + + +

69

R 1 tan 1 tan1252 13

π π = + +

121 tan69 tan

52 13

69 12 69 12R 1 tan tan tan tan

52 13 52 13π π

− ⋅

π π π π= + + + ⋅

��

R 2=

CLAVE : E

19. Por transformación tenemos:

2sen cos m2 2

α + β α − β ⋅ =

2sen sen n2 2

α + β α − β − ⋅ =

Luego:

( )2 2 2m n cos 4sen2

α + β − = α − β −

( ) 2

k

2mn sen 4sen2

α + β = − α − β −

��

2 2

2 2

2mn m n1 m

mk kHn2mn m n

m nk k

− + − −− → = = −

+ + −

CLAVE : B

20. x y z 2+ + = π

Luego tenemos: x y z 120+ + = �

2

21 tan120 tan120 1 3

1cos 1204

− ⋅ −→ =

� �

�

1 3

3 n 2 2 214

−

= ⋅ ⋅ ⋅

n 3→ = −

CLAVE : A

EXAMEN Nº 8

01. Tenemos:

senA cosB sen⋅ = α

senB cosA cos⋅ = α��

Operando: ( )2sen A B 1 2sen cos+ = + α ⋅ α

( )2 cos A B 2sen cos→ + = − α ⋅ α

Piden: ( )2

1K sen2

cos A B

= α ⋅ +

2sen cosk 1

2sen cosα ⋅ α

= = −− + α

CLAVE : B



02.( ) ( )1 cos 90 2 1 cos 30 2

H 3 42 2

− + θ + + θ = +

� �

( )1 3 1H 3 3 sen2 4 4 sen sen

2 2 2

= − − θ + + θ − θ

1H 7 3sen 2 3 cos2 2sen

2 = + θ + θ − θ

�

( )22

mín

min 1 2 3

1H 7 sen2 2 3 cos2

2

=− +

= + θ + θ ��

mín1

H 7 132 = −

CLAVE : E

03.

Del grafico:

a cos sen2= α ⋅ α 2x acos sen2 cos∧ = α = α ⋅ α

maximo para 30

cos2 1x sen2

2

α=

α + → = ⋅ α

��

maxcos60 1 3 3 3 3

x sen602 4 2 8

+→ = ⋅ = ⋅ =

��

CLAVE : B

04. Tenemos:

( ) 2 4 8P x sec · sec · sec · sec

17 17 17 17π π π π

=

( ) 1P x

2 4 8cos cos cos cos

17 17 17 17

=π π π π

⋅ ⋅ ⋅

Completamos:

( )7 3 5 6

cos cos cos cos17 17 17 17P x

2 3 4 5 6 7 8cos cos cos cos cos cos cos cos

17 17 17 17 17 17 17 17

π π π π⋅ ⋅ ⋅

=π π π π π π π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 4

8

1

2P(x) 2 161

2

= = =

CLAVE : C

05.

b b

tan tan22a a

θ = ∧ θ =

2 2

2

2 bbb 2tan 3 aa tan2a 11 tan b

19a

θ → θ = = → =

− θ−

Reduciendo:

�2

22

2

tan

b 1cot 7

79a

θ

= → θ =

CLAVE : D

06. ( )( )

( )( )

sen 120 2 sen 120 2sen2H

sen sen 120 sen 60

− α + αα= − −

α + α + α

s

H 2=c

s

( )( )

sen 120 2 s2

sen 120

− α− =

+ αc

s

( )( ) ( )

( )( )cos 120

sen 120 2H 2 cos cos 60

sen 120

− +θ

− α= α − + α −

+ α��

( )

( )0

sen(120 2 )H cos 120

sen 120

− α= − + α + + α ��

H 0→ =

CLAVE : C



07. Tenemos:

( )( )A 2 tan40 · tan20 2 tan 2 20 tan20= + = + ⋅� �

22tan20 tan20

A 21 tan 20

⋅= +

−

2 2 2

2 2 2A ; B C

1 tan 2 1 tan 40 1 tan 80→ = = ∧ =

− θ − −

2 2 2

2 2 2

2 2 2R

sen 20 sen 40 sen 801 1 1

cos 20 cos 40 cos 80

= − − −

2cos

R 8= ⋅20

cos 4

2cos0

⋅40

cos80

2cos⋅

80cos160

( )

18

R 8 cos20 cos40 cos80 1= − ⋅ ⋅ = −��

CLAVE : A

08. x y z+ + + ω = π

( ) ( ) ( ) cos2x cos2y cos2z

4cos x y cos x z cos x

→ + + =

+ ⋅ + ⋅ + ω

Del dato:

2 2 2 22M 2sen x 2cos y 2sen z 2cos= + + + ω

2M 1 cos2x cos2y 1 1 cos2z cos2 1= − + + + − + ω +

( )

( ) ( ) ( )4sen x y cos y sen z y

12

2M 4 cos2y cos2 cos2 cos2z

+ ⋅ ω+ ⋅ +

= + + ω − α −��

��

1

2M 4 4 M 32

→ = + ⋅ → =

CLAVE : B

09. Tenemos:

3 2 2 2cos 2x cos 2x k cos2x k+ + =

[ ] ( )

2 2

2 2

2cos x 2sen x

cos 2x cos2 1 k 1 cos2α + = − α��

cos2x

tanxk

→ =

( )2 2 V k tanx tan x 1 tan x∴ = + +

2 2

2 2

cos 2x cos 2xV k tanx 1

k k

= ⋅ + +

( )

2

2 22

kcos2x

cos2xV cos 2x k cos2x

k= + +

��

V 1∴ =

CLAVE : D

10. Dato: sen4 0,2θ =

2 2

2 2

1 2sen cos8

T1 3sen cos

8 8

π π − + θ + θ θ → =π π − θ − θ −

2

2

2 sen 24T

2

4 3sen 24

π − + π =

π − θ −

( ) ( )2 21 1sen 2 1 sen4 sen 2 1 sen4

4 2 4 2π π

+ θ = + θ ∧ θ − = − θ

( )

( )

12 1,2 2,82T 1

1 2,84 3 0,82

−= = =

−

CLAVE : A

11. IVC IIC2θ

θ ∈ ∧ ∈

1 cos 1 cosR 2sen cos 2

2 2 2 2θ θ − θ + θ

→ = + = +

( )21R 2 1 cos 1 cos

2= − θ + + θ

1 3 1 cos 1 sen

R2 2

+ θ + − θ=

3 1 sen 1 sen

R2

+ θ + − θ=

CLAVE : A



12. ( )2 2

xf sen x 3senxcosx 5cos x= + +

( )

[ ]

2x

2 cos2x 1

3f 1 sen2x 4cos x

2

+

= + +��

( )x3

f 3 sen2x 2cos2x2

= + +

( ) ( )

[ ]1;1

1 11;

5 5

2 6f x sen 2x 53

5 5

−

→ = + + �

��

��

( )x1 11

f ;2 2 → ∈

max mín11 1

f f 52 2

→ − = − =

CLAVE : C

13. Tenemos:

( )2

2 7sen2x cos2x ; x 0,

2 8

π+ = ∈

7

1 sen4x4

→ + =

3 7

sen4x cos4x4 4

→ = → =

E

1 1csc 2x cot 2x

sen2x tan2x→ − = −��

8 4 7

4 7 4 7

+= −

− −

7 2

E3−

∴ =

CLAVE : D

14. Tenemos:

( ) ( )( ) ( )( )M sec 1 sec 120 1 sec 120 1= θ − − θ − + θ −

(1 cos )(1 cos(120 )(1 cos(120 )M 1 1

cos cos(120 )cos(120 )− θ − − θ − + θ

= + −θ − θ + θ

( ) ( )( )

11

cos3

1 cos 1 cos 120 (1 cos(120 )M 1 1

cos( )cos(120 )(cos(120 )

−θ

− θ − − θ − + θ= + −

θ − θ + θ��

M Exsec(3 ) 1= θ −

CLAVE : C

15.2 n

1 1 1 1A ...

senx senx2x senx2 x sen2 x= + + + +

Para: n 1=

1 1 1 1

A 1senx 2senxcosx senx 2cosx

= + = +

x

cot cot2x2

= −

Para: n 2=

2xA cot cot 2 x

2

1 1 1A

senx sen2x sen4x

= −

= + +

��

Para n→

nxA cot cot 2 x

2= −

CLAVE : B

16. Tenemos:

2 2 2

tan2x tan4x tan8xN ...

cos x cos 2x cos 4x= + + +

( )N 2 tan2x tanx tan4x tan2x tan8x tan4x...= − + − + −

( )nN 2 tan2 x tanx= −

CLAVE : D

17. Homogenizamos denominadores:

3 4 5 6

tan tan tan tan cos A18 18 18 18 19

π π π π π + + + = ⋅

5 6 4 5sen sen

18 18 18 18cos A

3 6 4 5 9cos cos cos cos18 18 18 18

π π π π + + π + = ⋅ π π π π ⋅ ⋅

2 2

cos A3 3 5 5 92sen cos 2sen cos18 18 18 18

π + = π π π π ⋅ ⋅



5 3sen sen2 2 9 92

3 5 5 3sen sen sen sen

9 9 9 9

π π + + = π π π π ⋅

8 3cos A cos

3 9 9

44sen cos

9 9 A cos4 9sen sen9 3

π π⋅ =

π π⋅ π

= ⋅π π

⋅

��

8 3

A3

→ =

CLAVE : D

18.

2sen

73 3

tg tg cos cos3 37 7 7W cos cos27 7tg tg7 7

π

π π π π − ⋅ π π= = π π +

73

sen7

2cos cos

7

π

π π⋅

7

32 2 cossen cos3 77 7W cos3 37 sen cos7 7

ππ π⋅π

= ⋅ =π π

⋅

4sen

7π

⋅

32sen

7π 3

cos7π

⋅

1W

2=

CLAVE : B

19. Nos piden: csc16xcsc x

Recordar: 2 2 2sec csc csc 2θ + θ = 4 θ

En el problema sumamos 2csc x a ambos miembros de la igualdad:

( )

( )

( )

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2

4csc 2x

4 csc 4x

16 4csc 8x

64 4csc 16x

sec x csc x 4sec 2x 16sec 4x 64sec 8x 4csc x+ + + + =��

��

��

��

2 2256csc 16x 4csc x→ =

2

2csc 16x 4 1

256 64csc x= =

csc16x 1csc x 8

∴ =

CLAVE : B

20. 2sec tan sen tanα ⋅ α = α + α

( )2tan sec 1 sen→ α α − = α

( )2tan tan senα α = α

( )2

23

1 1 sentan 1 cos 1

cos coscos

α α = → ⋅ ⋅ α = α αα

( )31

cos tan 12cos

α → ⋅ α ⋅ = α

CLAVE : A

EXAMEN Nº 9

01. Expresemos los ángulos en grados:

3 3 3

1 12 8

E 3cos40º cos60 cos80 cos 20 cos 60 sen 10= ⋅ ⋅ − + +� � � � ��

3 3

cos120 cos40

14E 3 2cos40 cos80 4cos 20 4sen 10

2+

= ⋅ − + +� �

� � � ��

{ }

{ }

12

14E 3cos120 3cos40 3cos20 cos60

2

3sen10 sen30

−

= + − + +

+ −

� � � �

� �

��

{ }�cos80

4E 2 3 cos40 cos20 sen10= − + − +

�

� � �

{ }cos20

4E 2 3 2cos60 cos20 cos20= − + ⋅ −

�

� � �

��

1E

2∴ = −

CLAVE : B

02. 4 5 6

R tan tan tan7 7 7π π π

= − −

Por reducción al primer cuadrante

5 2tan tan

7 7 ángulos suplementarios6

tan tan7 7

π π= −

π π = −

En la expresión:



4 2

A tan tan tan7 7 7π π π = − − − −

2 4

R tan tan tan7 7 7π π π

= + +

suman π

3tan

7

2 4R tan tan tan

7 7 7π

−

π π π→ = ⋅ ⋅

��

( )propiedad 7

2 3R tan tan tan

7 7 7π π π

= − ⋅ ⋅

��

R 7∴ = −

CLAVE : B

03. Simplificando el dato:

42sen cos mcosθ ⋅ θ = θ

3 2sen mcos→ θ = θ

En la expresión pedida:

1cos3 cos

E 3sen sen

−θ θ = + θ θ

34cos 3cos

Eθ − θ

=3cos+ θ

1

3sen

− θ

3 3

sen 2senE

4cos 8cos

θ θ= =

θ θ

3

3mcos

E8cos

θ=

θ

mE

8∴ =

CLAVE : B

04. ( )2sen28 cos15

I sen43 cos47 sen43 sen13⋅

+ = +�

� � � ��

( )I→ Es verdadera.

( )sen77 sen41

II 2cos59 sen18 2sen18 cos59−

⋅ = ⋅� �

� � � ��

( )II→ Es falsa.

( ) A B CIII senA senB senC 4cos cos cos

2 2 2+ + = ⋅ ⋅

Esta igualdad se cumple solo si:

A B C 180+ + = � ; como no se da la condición ,no se cumplirá la igualdad.

( )III→ es falsa.

Finalmente:

De las tres proposiciones solo ( )I es

verdadera.

CLAVE : A

05. 1

T 4cos6sen6

= +��

( )

78

2sen12 1T 2sen12 1 csc 6

sen6

+= = +

�

��

�

��

( )sen3 39

T csc 6sen39

= ⋅

�

�

�

sen63

T sen117 csc 6 csc 39= ⋅�

� � ��

T sen63 csc 6 csc 39∴ = ⋅ ⋅� � �

CLAVE : D

06. Sean:

3 3 32 4 8a cos , b cos c cos

3 9 9π π π

= = ∧ =

Entonces se reduce:

3 3 3 1a b c 0 abc

2+ + = ∧ = −

3 3 3 3 3 3 3a b a c b c

4+ + = −

Luego nos piden “ 3L ”; donde: L ab bc ac= + +

Elevamos al cubo

( )

( )

3 3 3 3 3 3

3 L4

2 2 2 2 2 2

14

L a b b c a c 3 ab ab ac

a b ab c abc 3a b c

−

= + + + + +

+ + −

��

��

� ( )�

3

1 12 2

3 3L 3L abc abc

4 4− −

= − + ⋅ −

( )3 3 3L LS... I

2 2= − −

Calculemos S: S a b c= + +



( )( ) �3 3 3 3

10 S L2

S a b c 3 a b c ab bc ac 3abc

−

= + + + + + + + −��

( )3 3S 3LS ... II

2= +

Multiplicando ( ) ( )I y II y ordenando se tendrá:

3 3 2 28L S 36L S 54LS 18 0+ + + =

( )3

3 9 32LS 3 9 LS

2−

+ = → =

Remplazando en “ I ”

3

3 3 3 9 3L

2 2 2

−= − −

( )3 33L 1 9

4∴ = −

CLAVE : D

07.

3 1 1 3 1senx cosy seny cosy cos x senx

2 2 2 2 2

+ + − =

( ) ( )senx 3 cosy seny cos y cos x 3senx 1+ + − =

3senx cos y⋅ senx seny cos x cosy

3senx cosy

+ ⋅ + ⋅

− ⋅ 1=

( )cos x y 1→ − = x y 360 k∴ − = �

CLAVE : C

08. como PQ QR∧ son los catetos el área será:

( )1 1PQ QR cosmx cosnx

2 16⋅ = −

8sen cos2x sen2x cosx cosmx cosnx⋅ ⋅ ⋅ = −

sen2x

sen4x

2 2 2senxcosx cos2x sen2x cosmx cosnx⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −��

��

2sen4xsen2x cosmx cosnx= −

cos2x cos6x cosmx cosnx− = −

m 2 n 6→ = ∧ = −

m n 4∴ − = −

CLAVE : B

09.

2 3 10 sen10Asen sen sen ... sen

11 11 11 11 senAπ π π π

+ + + + =

Aplicando series:

2

10 10sensen10A2 11 11 11sen

1 2 senAsen2 11

π

π π π ⋅ + ⋅ = π ⋅

��

sen 10sen10A22senAsen

22

π =

π

A22π

∴ =

CLAVE : A

10. Factorizando adecuadamente:

4 2 5 3H tan tan tan tan tan

7 7 7 7 7π π π π π = + +

6 5 3sen sen sen sen

7 7 7 7H2 4 5 3

cos cos cos cos cos7 7 7 7 7

π π π π⋅

= ⋅ +π π π π π

⋅

2 3 2sen cos sen sen

7 7 7 7H2 3 2 3

cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7

π π π π− − ⋅ ⋅

= +π π π π π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Como: 2 3 1

cos cos cos7 7 7 8π π π

⋅ =

2 3 2H 8sen 8cos sen sen

7 7 7 7π π π π

= − − ⋅ ⋅

2

5cos cos

7 7

3 2H 4 2sen 2 2cos 2sen sen

7 7 7 7π π

−

π π π π= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

��

22 5H 4 1 cos 2 2cos 2cos cos

7 7 7 7π π π π

= − − − − ⋅

2 2 4 6H 4 4cos 2 1 cos cos cos

7 7 7 7π π π π

= − + − + − −

1propiedad

2

2 4 6H 6 2 cos cos cos

7 7 7

−

π π π = − + + +

��

H 7∴ = −

CLAVE : C



11. ( ) ( )cot xy f x ; k z

sec x tanx= = ∈

−

y tanx cot x sec x tanx 0∈ ↔ ∧ ∈ ∧ − >

x k

2

1 senx 0tanx cot x

cosx π≠

− >→ ∧ ∈ ∧��

��

Como: 1 senx 0 cosx 0− > → >

2k x 2k2 2π π

→ π − < < π +

x 2k ;2k2 2π π

∈ π − π +

Además: x k2π

≠

{ }Df 2k ;2k 2k2 2π π

∴ = π − π + − π

CLAVE : C

12. ( ) 4 4y f x sec x tan x= = −

( ) ( )( )2 2 2 2

1

y f x sec x tan x sec x tan x

= = + −��

( ) 2 y f x 1 2tan x→ = = +

Se sabe: 20 tan x≤ < +∞

21 1 2tan x≤ + < +∞

2

y

1 1 2tan x≤ + < +∞��

Rf 1;= + ∞

CLAVE : E

13. Nos piden: “ 32H ”

Donde: 3 3 32 4 8H cos cos cos

9 9 9π π π

= + +

Según el problema 6:

3 3 32cos cos cos S

9 9 9π 4π 8π

+ + =

3 3H S S LS

2→ = ∧ = +

Como: 3 9 3

LS2−

=

3

3 3 9 3S 3

2 2

−→ = +

3 32S 3 9 6→ = − pero S H=

3 32H 3 9 6∴ = −

CLAVE : E

14. Calculando los periodos de cada función:

( ) ( )F x cos cosx senx= −

( ) ( ) ( )

� �F x t cos cos x t sen x t

π π

+ = + − +

( ) ( )( )F x t cos cos x senx+ = − − −

( ) ( )F x t cos cosx senx + = − −

( ) ( ) ( )F x t cos cosx senx F x+ = − =

F→ es periódica: FT = π

( )G x senx cosx= +

( ) ( ) ( )

� �

2 2

G x t sen x t cos x t

π π

+ = + + +

( ) ( )senx

G x t cos x senx G x+ = + − =��

G→ es periódica: GT2π

=

Finalmente: F

G

TT1T2 T

2

π= =

π

T12

T2∴ =

CLAVE : B

15. Para analizar las proposiciones se recomienda graficar la función:

( )y f x tanx tan x= = +

Si: tanx 0 tanx tan x≥ → =

Luego: y 2tanx=

Si: tanx 0 tanx tan x< → = −

Luego: y 0=



Esbozamos la grafica de “F”

y=tanx+|tanx|

CLAVE : E

16. como: 2x16 9

2 2π π< ≤

x x x4 3 3 4 4 3π π π π π π

→ < ≤ → − ≤ < − ∨ < ≤

Simplificando la expresión:

( ) ( )2 2y csc 4x cot 4x sen x cos x= − −

( )( )y tan2x cos2x= −

4x

3 4y sen2x ó

x4 3

π− ≤ < −

→ = − π π < ≤

Graficamos:

]1 1Rf 1; ;1

2 2

∴ = − − ∪

CLAVE : C

17. ( ) ( )2 2 2 2y 2cos 3x sec x 2sen 3x csc x= +

y sec x csc x∈ ↔ ∧ ∈ x k2π

→ ≠

Simplificando la expresión:

2 2sen3x cos3xy 2

senx cosx

= +

( ) ( )

( )2

2 2

2 4cos 2x 1

y 2 2cos2x 1 2cos2x 1

+

= + + − ��

cos4x 1

4x 2k

y 12 8cos4x x k2

≠

≠ π

π→ = + ∧ ≠

��

��

Como: 1 cos4x 1− ≤ <

8 8cos4x 8− ≤ <

y

4 12 8cos4x 20≤ + <��

Rf 4;20∴ =

CLAVE : A

18.

y=2.senx

y=f(x)=cos(8x)

. Calculamos las coordenadas de P

1

2senx 1 senx2

= → =

5

x x6 6π π

→ = ∧ =

Se puede observar en la figura que:

1 5 2

Tf Tf Tf4 6 3

π π+ = → =

Pero: 2

Tf B 3Bπ

= → =

( )y f x cos3x= =

CLAVE : D



19. Para resolver este problema graficamos las funciones.

( ) ( )f x senx cosx g x 2 senx= + ∧ = −

En el mismo plano y en el intervalo de:

[ ];2−π π

∴ Hay dos intersecciones

CLAVE : B

20. Graficamos la función para analizar cada una de las proposiciones:

( ) 4 4 2 2f x sen x cos x sen x cos x= π − π = π − π

( ) f x cos2 x→ = − π

2

Tf 12

π= =

π

VFVF∴

CLAVE : B

EXAMEN Nº 10

01. Los puntos de discontinuidad de la función se obtienen cuando el denominador de la función sea cero.

2sen2x senx cos3x 0→ + ⋅ =

( )2sen2x senx cosx 2cos2x 1 0+ ⋅ − =

( )4sen2x sen2x 2cos2x 1 0+ − =

( )0

sen2x 2cos2x 3 0

≠

+ =��

sen2x 0 2x k→ = → = π

x k k2π

∴ = ∈�

CLAVE : D

02. Calculando cada uno de los periodos

( ) �2 2 2

3 5

f x csc x 3sen3x 5sen5xπ π π

= + +��

F2 2

T MCM 2 ; 23 5π π

→ = π + = π

( )2

2 2

3 5

x xg x cos x sec cos

3 5π

π πππ π

π π= π + +��

��

( ) tan MCM 2,6,10 30→ = =

Finalmente: F

G

TT1 2T2 T 30

π= =

T1T2 15

π∴ =

CLAVE : E

03. La función cortara al eje cuando:

( )y f x 0= =

Entonces: cos x cos2x cos3x 0+ + =

2cos2xcos x cos2x 0+ =

( )cos2x 2cosx 1 0+ =

cos2x 0= ∨ 1

cos x2

= −

( )2x 2n 12π

= + 2 4

x ;3 3π π =



( )x 2n 14π

= +

3 5 7

x , , ,4 4 4 4π π π π =

∴ Existen seis intersecciones

CLAVE : C

04. Expresamos todo en función del arco seno.

( )f x marcsenx n arcsenx2π = + −

( ) ( ) ( )f x m n arcsen x n2π

→ = − +

Como: ( )m n− es positivo; entonces:

( )f x es el máximo cuando ( )arc sen x2π

=

máx f m2π

→ =

( )f x es mínimo cuando ( )arc sen x2π

= −

( )mín f 2n m2π

→ = −

( )max mínf f m n∴ − = − π

CLAVE : D

05. simplificando ( )f x

( )f x 2senxcos x 2sen x sen 2x4 4π π = + − −

( )f x sen3x= ( )senx cos x cos 3x2π + + − −

sen3x��

( )f x senx cosx→ = +

Como: ( )( )arcsen f x 02π

− < ≤

( )�

1 f x 0→ − < ≤

1 2sen x 04π − < + ≤

2

sen x 02 4

π − < + ≤

x 04 4π π

→ − < + ≤ x ;2 4π π∴ ∈ − −

CLAVE : B

06. ( ) x 1f x arcsen arccos

2 4 − π = +

( ) x 1f x ;0 arccos

2

x 11 arccos 1

2

− ∈ ↔ ≤ ≤ π ∧

− − ≤ ≤

x 1

0 arc cos 12−

→ ≤ ≤

( ) ( )0

2

x 1arc sen 0 arc sen arccos arcsen 1

2π

− ≤ ≤

��

(x)f

x 1 3arcsen arccos

4 2 4 4 π − π π ≤ + ≤

��

f3

R ;4 4π π

∴ =

CLAVE : C

07. 1 x

arcsen x arccos2 6 2

π − = +

xcos

2

1 xx sen arccos

2 6 2

θ→ θ=

π → − = +

��

1

x sen csc sen cos2 6 6

π π− = θ + θ

21 1 x 3 4 x

x2 2 2 2 2

−− = ⋅ + ⋅

24x 2 x 3 4 x− = + ⋅ −

23x 2 12 3x− = −

Efectuando se tiene:

1 33

x2 6

= ± Pero: x 0>

1 33

x2 6

= +

CLAVE : E



08. Nos piden:

( ) ( )N 4cos arccot x arccos z = − +

( ) ( )N 4cos arctan x arc sen z2 2π π = − − + −

( ) ( )( )

5

N 4cos arctan x arcsen z

π

= − π − + ��

N 4 cos 4cos5 5π π = − − =

5 1

N 44

+=

N 5 1∴ = +

CLAVE : C

09. ( )( )

( )sen 3arc sec 6

Hsen 5arctan 5

=

Sea: ( )arctan 5 tan 5= α → α =

( )sec 6

arc sec 6

→ α =

→ α =

Luego nos piden: sen3

Hsen5

α=

α

Calculando:

3 5sen3 3sen 4sen

3 6α = α − α = −

4 3 2 5sen5 5sen cos 10sen cos sen

5 5

9 6

α = α α − α α + α =

−

sen3 3H

sen5 5α

∴ = =α

CLAVE : C

10. De: 1 1 x

arctan1 1 x

+ −θ = + +

Se tiene: 1 1 x

tan1 1 x

+ −θ =

+ +

tan 1 1 x 1 x tanθ − = − + + θ

Elevando al cuadrado y ordenando se obtiene:

2

xtan2

1 1 xθ =

− −2

2tan2sen4 x

1 tan 2

θ→ θ = =

+ θ

( )4 arcsen x→ θ = ( )1arcsen x

4∴ θ =

CLAVE : A

11. ( ) ( ) ( )

( )arcsen x2

f x 0 x 1 y arcsen x arccos x

π−

∈ ↔ ≤ ≤ ≥��

( )0 x 1 y arcsen x4π

≤ ≤ ≥

2

0 x 1 y 1 x2

≤ ≤ ≥ ≥

2x 1

2→ ≤ ≤

Simplificando:

( )( ) ( )arccos x arccos x

2f x

2

π − − =

π

( ) ( )4 f x 1 arccos x→ = −

π

Como: 2

x 12

≤ ≤

( ) ( )0

4

2arccos 1 arccos x arccos

2

π

→ ≤ ≤

��

( )41 arccos x 0− ≤ − ≤

π

( )40 1 arccos x 1≤ − ≤

π

( )

( )f x

40 1 arccos x 1≤ − ≤

π��

[ ]Rf 0;1=

CLAVE : B

12. Del dato:3

0 x3

≤ ≤

( ) ( )arccos 3x arccos 2x2π

= −



( )3x cos arccos 2x2π → = −

( )( )3x sen arccos 2x=

( )2 2 23x 1 2x 3x 1 2x= − → = −

1

x5

→ =

Luego nos piden:

( ) ( ) ( )F x arcsen x arcsen 2x= +

( )

1 1arctan arc cot

2 2

1 2F x arcsen arcsen

5 5

= +

��

( )F x2π

∴ =

CLAVE : C

13. Ordenando convenientemente:

( )

cos8x cos2x

cos x 2cos5xcos3x cos8x 0

+

− >��

( ) ( )2cos x cos2x 0 cos x 2cos x 1 0> → − >

( ) ( )cos x 2 cosx 1 2 cos x 1 0+ − >

2cosx 0

2→ − < < ó

2cosx 1

2< ≤

En el grafico del coseno

3

x 0; ;4 2 4

π π π∴ ∈ ∪

CLAVE : D

14. Del dato: � �9 8 9 8

xcot 17 2 72 9 8

2+ ⋅

= + = +

� �

2 1 21

xcot 3 2 2 2 1

2+ ⋅

= + = +

x

cot csc cot cot2 4 4 8

π π π= + =

x2 8

π→ = x

4π

∴ =

CLAVE : D

15.

1 3sen arc tan arctan

2 4A

1 3cos arctan cos arctan

2 4

α θ

+ =

⋅ ��

Haciendo:1 3

arctan arctan2 4 α = ∧ θ =

Se tiene: 1 3

tan tan2 4

α = ∧ θ =

Luego nos piden:

( )sen tan tan

A1 3cos cos2 4

α + θ α θ= = +

α θ A 1,25∴ =

CLAVE : E

16. De: ( ) x 3y f x arcsen

2π = = + π

x

y 1 1 x∈ ↔ − ≤ ≤ → −π ≤ ≤ ππ

[ ]Df ;→ = −π π

[ ] xx ; arcsen

2 2π π ∀ ∈ −π π → − ≤ ≤ π

y

x 3arcsen 2

2π → π ≤ + ≤ π π

��

[ ]y 2 Rf ;2π ≤ ≤ π → = π π

{ }Df Rf∴ ∩ = π

CLAVE : C



17. De: ( )Y A arccos BX C D= ⋅ + +

Y D

1 BX C 1 0A−

− ≤ + ≤ ∧ ≤ ≤ π

� �

�

50 4 4 4

1 C 1 Cx D y A D

B B π π

− − −≤ ≤ ∧ ≤ ≤ π +��

Efectuando: 1

B ; C 1 ; A 1 ; D2 4

π= = − = =

CLAVE : A

18. De La ecuación:

2cos2x 1 2 cos 2x 1 2

2 48 2 8 2

+ += → =

2 2 22cos 2x 1 1 cos4x 1

2 2= + → + = +

2 2

cos4x 4x 2k arccos2 2

= → = π ±

4x 2k4π

= π ± x k2 16π π

∴ = ±

CLAVE : D

19. como: ( )0 arccos x≤ ≤ π

( ) ( )arccos x arccos x→ =

La ecuacion planteada se transforma en :

( ) ( )2 212 arccos x 7 arccos x 0 ⋅ − π + π =

4arccos(x)

3arccos(c)

−π

−π

( )( ) ( )( )4arccos x 3arccos x 0− π − π =

Igualando cada factor a cero:

( ) 2arccos x x cos

4 4 2π π

= → = =

( ) 1arccos x x cos

3 3 2π π

= → = =

2 1

soluciones2+

∴ ∑ =

CLAVE : B

20. De la inecuación:

2sen2xcosx 1 cos2x> +

( ) ( )2 2senxcos x cosx 1 2cos2x 1> + −

2 24senxcos x 2cos x 0− >

( )2

x

2cos x 2senx 1 0 ; cos x 0∀ ∈

− > ≠

��

( ) ( )2senx 1 ; x 2k 12π

+ → > ≠ +

En la C.T. 1

1 senx2

> >

{5x 2k ;2k 2k

6 6 2π π π∈ π + π+ − π +

CLAVE : C

EXAMEN Nº 11

01. como: x 0 x x< → = −

En la ecuación:

( )x arctan x 0− + − >

( )x arctan x− >

Graficando se tendrá:

x ;0∴ ∈ −∞

CLAVE : D



02. De: z 9 40i= +

( )2 2 40z 9 40 41 arg z arctan

9 = + = ∧ =

( )( )z 41cis 2k arg z→ = π +

( )( )i 2k arg z

z 41 eπ+

→ = ⋅

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )�

1

i 2k arg z

i 2k arg z In e

In z In 41 In eπ+

π+ ⋅

→ = ⋅ ��

( ) ( ) 40In z In 41 i 2k arctan

9 ∴ = + π +

CLAVE : B

03. Multiplicando (I) · i y lo sumamos con (II)

cosx cos y cosz 0( )i senx i seny i senz 0

cis(x) cis(y) cis(z) 0

+ + =↓ ++ + =

+ + =

[ ] [ ] [ ]33 3 cis(x) cis(y) cis(z) 3cis(x)·cis(y)·cis(z)→ + + =

cis(3x) cis(3y) cis(3z) 3cis(x y z)+ + = + +

Igualando las partes imaginarias se tendrá:

sen3x sen3y sen3z 3sen(x y z) k

+ + = + +↓

k 3∴ =

CLAVE : C

04. De la función:

( ) a bf x

senx cos x 2 senx cosx 2= −

+ + + −

senx cosx 2 senx cosx→ + ≠ ± → ≠

Derivando ( )f x se tendrá:

( ) ( )

( )( )

( )2 2

a cosx senx b cosx senxf x

senx cosx 2 senx cosx 2

− − − −′ = −

+ + + −

( )( ) ( )2 2

b af cosx senx

senx cosx 2 senx cosx 2

′ = − − + − + +

Como: ( )senx cos x f x 0′≠ → =

( ) ( )2 2

b a

senx cos x 2 senx cosx 2↔ =

+ − + +

De donde: a b

senx cos x 2a b

++ = −

Luego el mínimo de ( )f x se obtendrá

remplazando: senx cos x+

a b

f mina b a b

2 2 2 2a b a b

= − + +

+ − − −

( )2

mín

a bf

2 2

−∴ =

CLAVE : A

05. De las ecuaciones dadas

( ) ( )3cos 3 mcos ... Iα − θ = θ

( ) ( )3sen 3 mcos ... IIα − θ = θ

Haciendo ( ) ( )I cos3 II sen3⋅ θ ∧ ⋅ θ

( ) 3cos 3 cos3 mcos cos3α − θ θ = θ θ

( ) 3sen 3 sen3 msen sen3α − θ θ = θ θ

Restando las expresiones:

3 3cos mcos cos3 msen sen3α = θ θ − θ θ

Degradando: 3sen cos3θ ∧ θ

3cos cos3 3sen sen3cos m cos3 m sen3

4 4θ + θ θ − θ

α = θ − θ

( )2 2mcos 3cos3 cos cos 3 3sen3 sen sen 3

4α = θ θ + θ − θ θ + θ

( ) ( )mcos 3cos4 1 ... III

4→ α = θ +

Calculamos “ cos4θ ”de las ecuaciones

( ) ( )I y II .

( )

( )

2 2

2 2 6

22

2

cos 3 m cos6

sen 3 m sen

5 3cos4 8 5m1 m cos4

8 3m

α − θ = ⋅ θ

α − θ = θ ↓ +

+ θ − = → θ =

Remplazando cos4θ en ( )III :



2

2

m 8 5m cos 3 1

4 3m

− → α = +

22 m

cosm−

∴ α =

CLAVE : E

06. expresamos cos4x en términos del cos x

22 2cos4x 2cos 2x 1 2 2cos x 1 1 = − = − −

4 2cos4x 8cos x 8cos x 1→ = − +

Luego:

( )4 2

2

8cos x 8sec x 1f x

cos x

− +=

( )2 2

2 2

2 8cos x sec x

f x 8cos x sec x 8

≥ ⋅

= + −��

( )f x 4 2 8→ ≥ −

( )f x 4 2 8;∴ = − + ∞

CLAVE : E

07. Ordenando convenientemente:

22sen4x 3cos2x 5 8sen2xsen x+ = −

( )2sen4x 3cos2x 5 4sen2x 1 cos2x+ = − −

2sen4x 3cos2x 5 4sen2x 2sen4x+ = − +

2

2 21 tan x 2tanx

3 4 51 tan x 1 tan x

− + = + +

Efectuando se obtiene: 1

tanx2

=

1

x k arctan2 ∴ = π +

CLAVE : C

08. Transformamos la ecuación de la función en otra mas asequible.

2 2f(x) 1 sen x 1 cos x 0= + + + >

( )22 2f(x) 1 sen x 1 cos x 0= + + + >

2 2 f(x) 3 2 2 sen xcos x→ = + +

De: 1 1

senxcosx2 2

− ≤ ≤

2 2 10 sen xcos x

4≤ ≤

2 2 92 2 sen xcos x

4≤ + ≤

2 22 2 2 2 sen xcos x 3≤ + ≤

( )2

2 2

2 1

3 2 2 3 2 2 sen xcos x 6

+

+ ≤ + + ≤��

2 2

f(x)

2 1 3 2 2 sen xcos x 6

+ ≤ + + ≤��

f R 2 1; 6 ∴ = +

CLAVE : B

09. Efectuando:

( )( ) ( )( )a bcos t b acos t a bsent b asent+ + = + +

( ) ( )2 2 2 2 2 2a b cos t abcos t a b sent absen t+ + = + +

( ) ( ) ( )2 2 2 2a b cos t sent ab cos t sen t 0+ − + − =

( ) ( )2 2cos t sent a b ab cos t sent 0 − + + + =

cos t sent 0 sent cos t→ − = → =

t4π

∴ =

CLAVE : B

10. Para resolver la desigualdad:

( ) ( )cos senx sen cos x>

Graficamos las funciones



En la figura se observa que x∀ ∈

( ) ( )cos senx sen cos x> x∴ ∈

CLAVE : D

11. De:

13arctan

4 5T1 1

arctan arctan5 239

π − =

−

Calculamos:1

3arctan5

Sabemos que:

( )3

2

3x x3arc tan x arc tan

1 3x

−=

−

1 37

3arc tan arc tan5 55

→ =

Luego en “T”:

( ) 37

arc tan 1 arc tan55

T1 1

arc tan arc tan5 239

− =

−

9arc tan

46T

9arc tan

46

=

T 1∴ =

CLAVE : D

12.

( ) ( )2 4H 4arccos x arccos 1 8x 8x

θ

= − − − +

⇓

��

cos x ;θ = como :2

0 x2

≤ ≤

⇓

Luego: 2

4 2π

≤ θ ≤

( )2 4H 4 arccos 1 8cos 8cos = θ − π − − θ + θ

⇓

( )2 2H 4 arccos 1 8sen cos= θ − π + − θ θ

( )2H 4 arccos 1 2sen 2= θ − π + − θ

( )H arccos cos4= θπ − π + θ

⇓

[ ]4 0 ; θ ∉ π

( )2 4

H 4 arccos cos 2 4

π− θ

= θ − π + π − θ ��

H∴ = π

CLAVE : C

13. Graficando de acuerdo a los datos.

Por el teorema del coseno

2 2 21

D a b 2abcos120= + − �

2 2 22

D a b 2abcos60= + − �

Dividiendo:

22 2 2 2

12 2 2 22

2

D a b ab 19 a b ab

7a b ab a b abD

+ + + += → =

+ − + −

( )2 2 2 22 a b19 7 a b 13

19 7 2ab ab 6

++ += → =

−

a b 2 3b a 3 2

+ = + a 2b 3

∴ =

CLAVE : C

14. graficando se tendrá:



Se puede observar:

3

cot 2 cot2

θ = ∧ φ =

Además: m 4cot= α

Como: 2π

α + θ + φ =

cot cot cot cot cot cot→ α + θ + φ = α ⋅ θ ⋅ φ

3 3

cot 2 cot 22 2

α + + = α ⋅ ⋅

7 7

cot 3cot cot2 4

+ α = α → α =

m 4cot 7→ = α =

∴ Menor lado 13=

CLAVE : C

15. Debemos transformar el primer miembro de la igualdad en otra de la forma:

a bcos c cos2+ θ + θ

( )( )

42

4 2cos i 2sen cos1 cos icos 2 2 2Pcos2 isen2 cis 2

θ θ θ + ⋅ + θ + θ = =θ + θ θ

( )

( )4

4 42cos cis 2 cos cis 22 2 2Pcis 2

θ θ θ⋅ ⋅ θ = =

θ ( )cis 2θ

4 4 3 4cos cos2P 2 cos 16

2 8θ + θ + θ = =

P 6 8cos 2cos2

a b c

→ = + θ + θ

↓ ↓ ↓

a c

1b+

∴ =

CLAVE : C

16. Recuerde que:

Si: x 0→ ( )cos x cos xsenθ − = θ + θ

Nos piden:

( )�

x

cos 59 15 cos cos sen3 240 3 240 3π π π π π ′ = − = +

�

1 3 1 3

cos59 15 0,52 240 2 2 240

π π′ = + ⋅ = +

�

cos59 15 0,511′∴ =�

CLAVE : B

17. Del dato se tiene:

senx 1733 1

senx 1 xx 1734 1734

= → = −

Aproximando el “ senx ”por las series:

3 2x 1 x

senx x 1 x x 13! 1734 6

= − → − = −

2

2x 1 1x

6 1734 289→ = → =

1

x17

→ = 1x 17−∴ =

CLAVE : D

18. 8 8

x4

cos sen xE lím

cos x senxπ→

−=

− evaluando se

obtiene una indeterminación de la forma00

( )

x4

cos x senxE lím

π→

−=

( )( )4 4cos x senx cos sen x

cosx senx

+ +

−

( )4 4 4

2 2 2 2 2E 2

2 2 2 2 2

= + + = ⋅

2E

2∴ =

CLAVE : C

19. Expresando la longitud de la escalera en términos de la variable “ θ ”



L acsc bsec= θ + θ

El mínimo se obtiene derivando e igualdad a cero dicha función:

( ) ( )L a csc cot b sec tan′ = − θ ⋅ θ + θ ⋅ θ

2 2

sen cosb a

cos sen

θ θ→ ⋅ = ⋅

θ θ

3 atan

b→ θ =

1 3 atan

b−

∴ θ =

CLAVE : B

20. Como el ángulo de la rotación es

45θ = � se tendrá:

( )1x x cos y sen x x y

2′ ′ ′ ′= θ − θ → = −

( )1y y cos x sen y x y

2′ ′ ′ ′= θ + θ → = +

Luego en la ecuación:

2 2x xy y 6 0− + − =

( ) ( ) ( )2 22 21 1 1x y x y x y 6

2 2 2′ ′ ′ ′ ′ ′− − − + + =

( ) ( )2 2 2 22 x y x y 12′ ′ ′ ′+ − − =

2 2x 3y 12′ ′∴ + =

CLAVE : D

EXAMEN Nº 12 Para expertos

01. Graficando de acuerdo a los datos se tendrá:

( ) ( )2 2 2 21S tan 11 8 7 9

4 = θ + − +

�

[ ]133 tan 185 130

4= θ −

33�3

4 tan 55⋅ = θ ⋅�5

12

tan5

→ = θ

tan∴ θ = 2,4

CLAVE : B

02. ( ) ( )2 2 2H csc x csc 60 x csc 60 x= + − + +� �

( ) ( )2 2 2

1 1 1M

sen x sen 60 x sen 60 x= + +

− +� �

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2

sen 60 x sen 60 xH

sen xsen 60 x sen 60 x

+ ⋅ −=

− +

� �

� �

( )

( ) ( )2 2

2 2 2

sen x sen 60 x


⋅ −+

− +

�

� �

( )

( ) ( )2 2

2 2 2

sen xsen 60 x


++

− +

�

� �

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

2 2

sen x sen 60 x sen 60 xsen 60 sen xH

1 1sen3x sen3x

4 4

+ + −− = +

� ��

( )2

2 2 2 2 2 2 23H 16csc 3x sen x sen x 2 sen 60 cos x sen x cos 60

4

= − + ⋅ ⋅ + ⋅

� �

2 2 4 2 2 29 3 3 116csc 3x sen x sen x 2sen x cos x sen x

16 2 4 4

− + + +

2 2 4 2 2 49 3 3 116csc 3x sen x sen x sen xcos x sen x

16 2 2 2

− + + +

sen x43

2

2H 9csc 3x∴ =

CLAVE : C

03. como: x y z xyz+ + =

Hacemos: x tan , y tan , z tan= α = β = θ

Tal que: kα + β + θ = π

Luego en expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 y 1 z 1 x 1 z 1 x 1 yN

y z x z x y

− − − − − −= + +



2cot 2 2cot 2 2cot 2 2cot 22cot 2 2cot 2

1 1 1 1 1 1N y z x z x y

y z x z x yθ α θ αβ β

= − − + − − + − − ��

( )propiedad I 2 2 2 2k

cot2 cot2 cot2 cot2 cot 2 cot 2N 4

α+ β+ θ= π

α ⋅ β + α ⋅ θ + θ ⋅ β =

��

N 4∴ =

CLAVE : D

04. Nos piden: ( )tan322 30 tan 360 37 30′ ′= −� � �

tan322 30 tan37 30′ ′= −� �

( )tan322 30 csc75 cot75′ = −� � �

2 3 6 2

tan322 30 cot75 csc 75− −

′ = −� � ��

tan322 30 2 2 3 6′∴ = + − −�

CLAVE : D

05. Calculamos AB por el teorema de Pitágoras:

AB 3=

Calculamos los lados a y b en los triángulos ABM y BNC respectivamente aplicando el teorema del coseno.

�22 2

33

a 1 3 2 · 1 · 3 cosA a 2= + − → =

�22 2

63

b 1 6 2 · 1 · 6 cosC b 3= + − → =

∆MBN: teorema del coseno

2 2 21 a b 2abcos= + − θ

1 2 3 2 6 cos= + − θ

6 cos

3∴ θ =

CLAVE : E

06. 2 2 2cos x cos 2x cos 3x

H1 2cosx cos2x cos3x

+ +=

+ ⋅ ⋅

Multiplicamos por 2:

( )

2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3xH

2 1 2cos x cos2x cos3x+ +

=+ ⋅ ⋅

( )

1 cos2x 1 cos4x cos6x 1H

2 1 2cosx cos2x cos3x+ + + + +

=+ ⋅ ⋅

( )

22 2cos x 2cos5x · cos xH

2 1 2cos x cos2x cos3x+ +

=+ ⋅ ⋅

2

H =[ ]( )1 cos x · cos5x cosx

2

+ + +

( )1 2cosx cos2x cos3x+ ⋅ ⋅

1 cos x 2cos3x cosxH

1 2cos x cos2x cos3x+ ⋅ ⋅

=+ ⋅ ⋅

H 1∴ =

CLAVE : A

07.

( )( )A B

H sec 40 3 csc 40 sec80 3 csc80= + −� � � �

��

Calculo de A

( )2sen 40 60sen40 3 cos40

A1sen40 cos40 sen802

++= =

⋅

� ��

� � �

4 sen100

A =�

sen80�A 4→ =

Cálculo de B

( )2sen 80 60sen80 3 cos80

B1sen80 cos80 sen1602

−−= =

⋅

� ��

� � �

4 sen20

B =�

sen160�B 4→ =

Luego: H AB 16= =

H 4∴ =

CLAVE : C

08. ( ) ( )2 26 332cos x 2 4cos x 2 3cos x cos3x= = +

( )6 2 232cos x 2 9cos x 6cos3x cosx cos 3x= + ⋅ +



6 2 2

1 cos2x cos4x cos2x 1 cos6x

32cos x 9 2cos x 6 2cos3x cos x 2cos 3x+ + +

= ⋅ + ⋅ ⋅ +��

632cos x cos6x 6cos4x 15cos2x 10∴ = + + +

CLAVE : A

09. Como: 3

tan4

θ = 37→ θ = �

7cot 21∴ φ =

CLAVE : B

10. Colocando los datos en la figura, se observa:

( ) 360θ + α + β = � ( )cos cos→ θ = α + β

33

cos cos cos sen sen65

θ = α ⋅ β − α ⋅ β =

Luego: 2 2047cos2 2cos 1

4225θ = θ − = −

Finalmente nos piden :

4225

tan2 tan sec 2 1 12047

θ ⋅ θ = θ − = − −

6272

tan2 tan2047

∴ θ ⋅ θ = −

CLAVE : E

11. Graficando de acuerdo a los datos se observa: x yθ = −

( )tan tan x y→ θ = −

Donde:

1tanx

91

tany10

= =

1 1 19 10 90tan

1 911

90 90

−→ θ = =

+

1tan

91∴ θ =

CLAVE : C

12. Para que la función intersecte el eje de abscisas se debe cumplir que ( )f x 0=

sen3x cos x 0→ + =

sen3x sen x 02π + − =

2sen x cos 2x 04 4π π + − =

sen x 0 cos 2x 04 4π π → + = ∨ − =

x k4π

+ = π ∨ 2x k4 2π π

− = π +

x k4π

= π − ∨ k 3

x2 8π π

= +

3

x ; 4 4π π = −

3 7x ; ;

8 8 8π π π = −

Entre ;2π − π

hay cinco valores para los

cuales la función se anula luego intersecará al eje x en cinco oportunidades.

CLAVE : D



13. De: ( ) ( )4 4f x arcsen sen x cos x= +

( )

A

3 cos4xf x arcsen

4+ =

��

Calculemos el intervalo de A

3 cos4x

A ;4

+= Como: 1 cos4x 1− ≤ ≤

A

1 3 cos4x1

2 4+

→ ≤ ≤��

( )( )

( )f x

26

1arcsen arcsen A arcsen 1

2π

π

≤ ≤ ��

��

( )R f ;6 2π π ∴ =

CLAVE : A

14. Determinación del dominio:

f(x) 1 x 1 arccos(x) 0∈ ↔ − ≤ ≤ ∧ ≠

�1

1 x 1 x cos0→ − ≤ ≤ ∧ ≠

1 x 1→ − ≤ ≤

[Dom 1 ; 1= −

Determinación del rango:

2 arc cos x2f(x) 1arccosx

π − = +

f(x) 1arccos(x)

π→ = −

[x 1 ; 1 0 arccos(x)∀ ∈ − → < ≤ π

arccos(x)0 1< ≤

π

1arccos(x)

π≤ < +∞

f(x)

0 1arc cos(x)

π≤ − < +∞��

[Ran 0 ; = +∞

[ [ Dom 1 ; 1 Ran 0 ; ∴ = − ∧ = +∞

CLAVE : A

15. Expresamos la ecuación en términos de senos y cosenos.

1 cosx sec x 1 cosx 2senx cosx 0− + − = − ≠

sec x 2cos x 2senx= −

21 2cos x 2senx cos x= − ⋅

sen2x cos2x=

( )

4

tan2x 1 2x k arctan 1

π

= → = π +��

x k2 8π π

= + k∀ ∈�

5

x ;8 8π π

→ =

3

sol4π

∴ ∑ =

CLAVE : C

16. Ordenando la ecuación

3 3 3cos x cos 3x cos 9x cosx cos3x cos9x+ + = + +

Multiplicamos por 4

3 3 34cos x 4cos 3x 4cos 9x 4cosx 4cos3x 4cos9x+ + = + +

(3cos x cos3x) (3cos3x cos9x) (3cos9x cos27x)

4cosx 4cos3x 4cos9x

+ + + + + =

+ +

3cosx 4cos x+ 4cos9x+ cos27x 4cosx

4cos3x

+ = +

4cos9x+

cos27x cos x 0→ − =

2sen13xsen14x 0− =

sen13x 0= ∨ sen14x 0=

13x k= π ∨ 14x n= π

x k13π

= ∨ x n14π

=

k∀ ∈� n∀ ∈�

x13π

= x14π

=

xmin14π

∴ =

CLAVE : E



17. i i i3 tan 2003 2004 2005θ = + +

Dando forma conveniente a la expresión

( ) ( ) ( )i i iln2003 ln2004 ln20053 tan e e eθ = + +

( ) ( ) ( )iln2003 iln2004 iln2005

1 1 1

3 tan e e eθ = + +��

3 tan 3 tan 1θ = → θ =

k4π

→ θ = π + k∀ ∈�

Como: 2 ; 32π

θ ∈ − π −

Para: k 2 24π

= − → θ = − π +

74π

∴ θ = −

CLAVE : B

18. ( ) ( )sen ix icos ix 2i+ =

cis ix 2cis2 2π π − =

cis ix2 2

cis2

π − =

π

( )cis ix

2−

=⇓

( )i ix 2ke 2− + π =

i( ix 2ke 2− + π) =

x 2k i ln2→ − π =

( )x 2k i ln 2∴ = π +

CLAVE : D

19. Evaluando M se obtiene una indeterminación

de la forma 1∞

( ) ( )2 2 2

21 1 1

cos xcot x cos x2 22 2tan xx x 0

M lím sec x lím 1 tan x⋅

→∞ →= = +

( )2

x 02

1lím cos x1 2

2 tan xx 0

e

M lím 1 tan x→

→

= + ��

2

x 0

1lím cos x

2M e →

=

12M e∴ =

CLAVE : A

20. Las coordenadas del centro de la hipérbola serán las coordenadas del origen de un nuevo sistema luego de aplicarle una adecuada rotación y traslación.

2 27x 48xy 7y 20x 110y 100 0+ − + − − =

( )7 7 7

cot 2 3748 24

− −→ θ = = → θ = �

Haciendo la rotación eliminamos el término xy :

4x 3y

x x cos y sen x5

′ ′−′ ′= θ − θ → =

4y 3x

y y cos x sen y5

′ ′+′ ′= θ + θ → =

En la ecuación de la hipérbola:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

4x 3y 4x 3y 4y 3x 4x 3y7 48 7

25 25 25

4x 3y 4y 3x 20 110 0

5 5

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − + −+ − +

′ ′ ′ ′− −− =

Efectuando queda:

( ) ( )2 2x 1 y 2 1′ ′− − + =

Haciendo la translación:

x x h x 1 h 1′′ ′ ′= − = − → =

y y k y 2 k 2′′ ′ ′= − = + → = −

De donde las coordenadas del centro serán:

( ) ( )C hik 1; 2= −

coord 1∴ ∑ = −

CLAVE : D

Solucionario - Guía de Ciencias Trigonometría

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