El solucionario Matemáticas 1, para 1.º ESO, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo: Ana de la Cruz Fayos Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García Silvia Marín García Federico Rodríguez Merinero

EDICIÓN Ana de la Cruz Fayos Silvia Marín García

EDITOR EJECUTIVO Carlos Pérez Saavedra

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

MatemáticasSOLUCIONARIO

SERIE RESUELVE

ES

O

1

Presentación

El nombre de la serie, Saber Hacer Contigo, responde al planteamiento de presentar un

proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos y procedimientos

necesarios para que los alumnos y alumnas puedan desenvolverse en la vida real.

El saber matemático, dentro de esta etapa de la enseñanza, debe garantizar no solo

la interpretación y la descripción de la realidad, sino también la actuación sobre ella.

En este sentido, y considerando las Matemáticas a estos niveles como una materia

esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumnado.

Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento, sino que pueda entenderse

como una propuesta didáctica para enfocar la adquisición de los distintos conceptos

y procedimientos que se presentan en el libro del alumnado.

Fracciones

102

4

a) d)

b) e)

c) f)

VIDA COTIDIANA

Para congelar el movimiento, debemos tener abierto el obturador 1/60 segundos o menos tiempo (es decir, que la velocidad sea mayor). En el caso de 1/30 segundos tenemos el obturador abierto más tiempo, con lo que la imagen estará movida.

RESUELVE EL RETO

No, porque para que sea el doble tenemos que multiplicar el numerador y denominador por 2, lo que la convertiría en una fracción equivalente.

Fracciones

102

Fracciones

132

4

COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana

a) FOTO I: 1/6, FOTO II: 1/30 FOTO III: 1/400.

b) Cada fracción es la mitad de la anterior, excepto para 1/8 y 1/15 y para 1/60 y 1/125.

Fracciones

132

Índice  Unidad 1: Números naturales ........................................................................ 5-36

Unidad 2: Divisibilidad .................................................................................... 37-66

Unidad 3: Números enteros ....................................................................... 67-100

Unidad 4: Fracciones ................................................................................... 101-134

Unidad 5: Números decimales ................................................................. 135-158

Unidad 6: Álgebra ........................................................................................ 159-198

Unidad 7: Sistema Métrico Decimal ..................................................... 199-224

Unidad 8: Proporcionalidad y porcentajes ........................................ 225-256

Unidad 9: Rectas y ángulos ..................................................................... 257-294

Unidad 10: Polígonos. Triángulos .......................................................... 295-330

Unidad 11: Cuadriláteros y circunferencia ......................................... 331-362

Unidad 12: Perímetros y áreas ............................................................... 363-402

Unidad 13: Funciones y gráficas ........................................................... 403-436

Unidad 14: Estadística y probabilidad ................................................ 437-466

SABER MÁS ..................................................................................................... 467-470

Números naturales

5

1

VIDA COTIDIANA

Se trata de los números diferentes que pueden formarse con 6 cifras, es decir, puede haber 1 000 000 de líneas diferentes que empezarán por 925.

RESUELVE EL RETO

Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero, por esta razón la frase que dice Bart Simpson equivaldría a decir ¡DESAPARECE DE MI VISTA!, ¡NO QUIERO VERTE!, o cualquier otra similar.

MCXLIII = 1 143 = 1 · 1 000 + 1 · 100 + 4 · 10 + 3 = 1 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 3

El número más grande que se puede escribir con tres cifras es .

Se puede formar un cuadrado con 49 monedas colocándolas en 7 filas de 7 monedas cada una porque 49 = 72, pero no se puede formar un cuadrado con 42 monedas porque 42 no es un cuadrado perfecto.

9(99 )

5

Números naturales 1

Números naturales 1

ACTIVIDADES

a) 342 531 = 3 CM + 4 DM + 2 UM + 5 C + 3 D + 1 U

b) 7 100 203 = 7 U. de millón + 1 CM + 2 C + 3 U

c) 7 345 000 = 7 U. de millón + 3 CM + 4 DM + 5 UM

a) XXII = 22 c) DCLXIII = 663 e) XXIX = 29 g) CMX = 910

b) CXVI = 116 d) IV = 4 f) XCII = 92 h) XLIX = 49

Respuesta abierta. Por ejemplo: 94 167, 194 167, 294 167, 394 167 y 494 167.

a) XI c) LXXIV e) CXV g) CMLXXXVII

b) XXII d) XCIII f) DCXLVI h) MDCCCXCIX

a) 3 729 Truncamiento Redondeo Decenas: 3 720 Decenas: 3 729 2 + 1 = 3 → 3 730 Centenas: 3 700 Centenas: 3 729 7 + 0 = 7 → 3 700

b) 653 497 Truncamiento Redondeo Decenas: 653 490 Decenas: 653 497 9 + 1 = 10 → 653 500 Centenas: 653 400 Centenas: 653 497 4 + 1 = 5 → 653 500

c) 25 465 Truncamiento Redondeo Decenas: 25 460 Decenas: 25 465 6 + 1 = 7 → 25 470 Centenas: 25 400 Centenas: 25 465 4 + 1 = 5 → 25 500

d) 1 324 532 Truncamiento Redondeo Decenas: 1 324 530 Decenas: 1 324 532 3 + 0 = 3 → 1 324 530 Centenas: 1 324 500 Centenas: 1 324 532 5 + 0 = 5 → 1 324 500

9 > 5⎯ →⎯⎯2 < 5⎯ →⎯⎯

7 > 5⎯ →⎯⎯9 > 5⎯ →⎯⎯

5 ≥ 5⎯ →⎯⎯6 > 5⎯ →⎯⎯

2 < 5⎯ →⎯⎯3 < 5⎯ →⎯⎯

6

Números naturales

Números naturales 1

a) 3 256 → 3 200

Es un truncamiento a las centenas; si fuese redondeo, como 5 ³ 5, sería 3 300.

b) 497 → 500 Es un redondeo, que bien puede ser a las decenas, y como 7 > 5, al sumar a 9 + 1, tenemos 10 y se redondearía a 500. O bien es un redondeo a las centenas, y como 9 > 5, sumamos 4 + 1 y obtenemos 500.

c) 18 462 → 18 000 Puede ser truncamiento o redondeo a las unidades de millar, porque en este caso, como 4 < 5, el truncamiento y el redondeo darían el mismo resultado.

d) 986 492 → 986 500 Es un redondeo a las centenas; como 9 > 5, se hace 4 + 1 y se obtiene 986 500.

a) 25 555, 25 556, 25 557, 25 558, 25 559, 25 560, 25 561, 25 562, 25 563, 25 564

b) 25 560, 25 561, 25 562, 25 563, 25 564, 25 565, 25 566, 25 567, 25 568, 25 569

El redondeo es igual o mejor que la aproximación por truncamiento.

a) 14 + 35 = 35 + 14 b) 7 · (4 · 5) = (7 · 4) · 5

Propiedad conmutativa de la suma. Propiedad asociativa de la multiplicación.

Dividendo = Divisor · Cociente + Resto

Dividendo = 14 · 23 + 2 = 322 + 2 = 324

a) 34 = 17 · 2 + 0 → d = 2

b) 89 = 22 · 4 + 1 → d = 4

c) 102 = 20 · 5 + 2 → d = 5

7

1

Números naturales 1

a) Cuatro al cubo = 43 c) Dos a la octava = 28 Base: 4 Exponente: 3 Base: 2 Exponente: 8

b) Tres a la sexta = 36 d) Seis a la quinta = 65 Base: 3 Exponente: 6 Base: 6 Exponente: 5

a) 16 b) 27 c) 625 d) 49 e) 256 f) 1 024

a) 103 = 1 000 b) 65 = 7 776

a) 74 b) 52 · 4 c) 114 d) 5 · 3 · 5 · 3 = (5 · 3)2 = 152 e) 42 f) 92

a) 103 = 1 000 b) 108 = 100 000 000

a) 7 854 = 7 · 1 000 + 8 · 100 + 5 · 10 + 4 = 7 · 103 + 8 · 102 + 5 · 10 + 4

b) 11 111 = 10 000 + 1 000 + 100 + 10 + 1 = 1 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 10 + 1

c) 123 456 = 100 000 + 2 · 10 000 + 3 · 1 000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 6 = 1 · 105 + 2 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 10 + 6

a) 104 + 7 · 103 - 4 · 102 + 8 · 102 + 2 = 10 000 + 7 000 - 400 + 800 + 2 = 17 402 17 402 = 104 + 7 · 103 + 4 · 102 + 2

La descomposición no es correcta, ya que no pueden aparecer términos negativos ni repetir potencias de 10 del mismo orden.

8

Números naturales

Números naturales 1

b) 105 + 6 · 103 + 5 · 102 + 9 · 102 + 2 · 105 = 100 000 + 6 000 + 500 + 900 + 200 000 = 307 400 307 400 = 3 · 105 + 7 · 103 + 4 · 102

La descomposición no es correcta, ya que no se pueden repetir potencias de 10 del mismo orden.

a) (2 · 5)4 = 104 = 10 000 b) (2 + 5 + 3)3 = 103 = 1 000

a) 27 · 24 = 27 + 4 = 211 = 2 048 d) 56 : 5 = 56 - 1 = 55 = 3 125

b) 35 : 32 = 35 - 2 = 33 = 27 e) 46 · 44 = 46 + 4 = 410 = 1 048 576

c) 104 · 10 = 104 + 1 = 105 = 100 000 f) 73 : 7 = 73 - 1 = 72 = 49

36 estuches = 62 estuches, y en cada estuche hay 6 bolígrafos. Luego habrá en total 62 · 6 = 63 = 216 bolígrafos.

a) 83 · 84 = 87 b) 86 : 85 = 8

a) c) e)

b) d) f)

(22 )3 = 22·3 = 26 (53 )3 = 53·3 = 59 (92 )4 = 92·4 = 98

(34 )5 = 34⋅5 = 320 (76 )4 = 76·4 = 724 (1010 )5 = 1010·5 = 1050

9

1

Números naturales 1

a) c)

b) d)

a) b) c) d)

a) b) c)

a) d)

b) e)

c) f)

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

a) c)

b) d)

(8 ⋅5)2 ⋅(8 ⋅5)7 = (8 ⋅5)9 = 409 (9 : 2)6 ⋅(9 : 2)3 = (9 : 2)9 = 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟9

(5 ⋅3)8 : (5 ⋅3)4 = (5 ⋅3)4 = 154 (15 : 4)9 : (15 : 4)6 = (15 : 4)3 = 154

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

185 : 35 = 65 36 ⋅56 = 156 53 ⋅43 = 203 162 : 42 = 42

24( )3 ⋅ 33( )2 = 22( )6 ⋅36 = 126 34 ⋅94 : 274 = 1 1253 : 253 ⋅53 = 56

85 : 45 = (8 : 4)5 = 25 214 ⋅24 = (21⋅2)4 = 424

74 ⋅73 = 74+3 = 77 183 : 36 = 2 ⋅32( )3 : 36 = 23 ⋅36 : 36 = 23

146 ⋅23 = 26 ⋅76 ⋅23 = 29 ⋅76 = (23 )3 ⋅(72 )3 = (23 ⋅72 )3 = 3923 12311 :1235 = 1236

82 : 22 = (23 )2 : 22 = 26 : 22 = 24 43 ⋅73 = 283

95 : 35 = (32 )5 : 35 = 310 : 35 = 35 122 : 42 = (3 ⋅4)2 : 42 = (32 ⋅42 ) : 42 = 32

74 ⋅54 = 354 156 ⋅26 = (15 ⋅2)6 = 306

108 : 58 = (2 ⋅5)8 : 58 = (28 ⋅58 ) : 58 = 28 57 ⋅77 = (5 ⋅7)7 = 357

(45 ⋅43 ) ⋅(44 ⋅42 ) = 4(5+3)+(4+2) = 414 (78 : 72 ) ⋅(74 : 73 ) = 7(8−2)+(4−3) = 77

(52 ⋅54 ) : (53 ⋅5) = 5(2+4)−(3+1) = 52 (39 : 3) : (35 : 33 ) = 3(9−1)−(5−3) = 36

10

Números naturales

Números naturales 1

a) d)

b) e)

c) f)

a) Base → Exponente → 5

b) Base → 3 Exponente → 13

c) Base → 7 Exponente → 8

a) c)

b) d)

a) b) c) d)

a) b) c)

De 225: porque

(23 )4 ⋅25 = 2(3⋅4)+5 = 217 (64 )5 : (610 )0 = (64 )5 : 60 = (64 )5 :1= 620

35 ⋅(32 )4 = 35+(2⋅4) = 313 48 : (43 )2 = 48 : 46 = 48−6 = 42

(74 )2 ⋅(73 )4 = 7(4·2)+(3·4) = 720 (35 )2 : (32 )4 = 310 : 38 = 310−8 = 32

(35 )3 : (63 ⋅62 ) = 315 : (65 ) = 315 : (2 ⋅3)5 = 310

25 = 32

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5

= 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

92

(35 : 32 ) ⋅34 ⋅(33 )2 = 33 ⋅34 ⋅36 = 313

(74 )3 : (7 ⋅73 ) = 712 : 74 = 712−4 = 78

32 ⋅(18 : 6)4 = 32 ⋅34 = 32+4 = 36 = 729 (83 : 23 ) ⋅(24 ⋅2) : 25 = 43 ⋅25 : 25 = 43 = 64

(14 : 7)4 : (18 : 9)3 = 24 : 23 = 24−3 = 2 (33 ⋅32 ) : (184 : 64 ) = 35 : (18 :6)4 = 35 : 34 = 3

121=11 144 =12 10000 = 100 14400 = 120

a = 52 + 7 = 32 a = 72 + 3 = 52 a = 82 + 5 = 69

225 = 15, 152 = 225.

11

1

Números naturales 1

Mide cm.

No existe ningún cuadrado perfecto que acabe en 2, 3 o 7, porque siempre que se multiplica un número por sí mismo, para saber en qué número acaba solo se tiene que multiplicar la última cifra por sí misma, y no hay ningún número de 1 cifra que al multiplicarlo por sí mismo acabe en 2, 3 o 7.

Como 62 = 36 y 72 = 49, todos los números que estén entre ambos, con el 36 incluido, tendrán por raíz entera el 6. Es decir, lo cumplen 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y 48.

a) c) e)

b) d) f)

a) c) e)

b) d) f)

a) y resto 8 c) y resto 6 e) y resto 26

b) y resto 9 d) y resto 15

Se ha equivocado, porque lo ha descompuesto como 292 = 162 + 36, pero en realidad se descompone como 292 = 172 + 3, lo que implica que y resto 3.

196 = 14

125 = 112 + 4 243 = 152 +18 160 =122 +16

96 = 92 +15 72 = 82 + 8 355 = 182 + 31

85 = 92 + 4 93 = 92 +12 154 = 122 +10

77 = 82 +13 138 = 112 +17 2347 = 482 + 43

44 ≈ 6 70 ≈ 8 926 ≈ 30

90 ≈ 9 184 ≈13

292 ≈17

12

Números naturales

Números naturales 1

Todas las raíces tienen resto 3, salvo la de 173. Tenemos que 52 = 72 + 3, 124 = 112 + 3, 228 = 152 + 3, 403 = 202 + 3 y 199 = 142 + 3. Y que 173 = 132 + 4.

a) 64 = 82 → 8 monedas en el lado del cuadrado.

b) 121 = 112 → 11 monedas en el lado del cuadrado.

c) 144 = 122 → 12 monedas en el lado del cuadrado.

d) 324 = 182 → 18 monedas en el lado del cuadrado.

La raíz de 100 es 10 y la de 121 es 11, de modo que:

a) 108 = 102 + 8 b) 110 = 102 + 10 c) 112 = 102 + 12 d) 115 = 102 + 15

En este caso, el mayor resto puede ser 20, en el número 120, porque ya el siguiente es 121 = 112, con resto 0.

Tienen como raíz entera 5 todos los números comprendidos entre 25 y 35, ambos incluidos. Tienen como raíz entera 6 todos los números comprendidos entre 36 y 48, ambos incluidos. Tienen como raíz entera 7 todos los números comprendidos entre 49 y 63, ambos incluidos.

a) 3 + 35 = 38 d) 96 - 50 = 46

b) 7 + 48 - 19 = 55 - 19 = 36 e) 63 + 4 + 2 = 67 + 2 = 69

c) 35 - 8 - 15 = 27 - 15 = 12 f) 26 + 3 - 20 = 29 - 20 = 9

13

1

Números naturales 1

a) 17 + 1 · 3 = 20 e) 28 - 12 + 18 - 2 = 16 + 16 = 32

b) (22 - 15) · 2 = 7 · 2 = 14 f) 4 · 4 + 2 · 10 = 16 + 20 = 36

c) 24 · 5 - 4 = 120 - 4 = 116 g) 3 · 6 : 9 + 2 = 2 + 2 = 4

d) 14 : 7 + 5 = 2 + 5 = 7

a) 3 · 10 + 12 · 7 = 30 + 84 = 114

b) 7 · 13 - 2 · 6 + 4 = 91 - 12 + 4 = 83

c) 66 : 6 + 7 · 3 - 6 = 11 + 21 - 6 = 26

d) 7 · 7 : 7 + 7 · 3 = 49 : 7 + 21 = 7 + 21 = 28

e) 8 · (28 - 2 · 4) : (22 + 25 - 31) = 8 · (28 - 8) : 16 = 8 · 20 : 16 = 160 : 16 = 10

f) [200 - 3 · (3 - 3)] - 6 + 37 - 5 = [200 - 3 · 0] - 6 + 37 - 5 = 200 - 6 + 37 - 5 = 226

3 · 4 - 2 + 12 : 6 - 4 - 8 = 12 - 2 + 2 - 4 - 8 = 10 + 2 - 4 - 8 = 12 - 4 - 8 = 8 - 8 = 0

3 · (4 - 2) + 12 : (6 - 4) - 8 = 3 · 2 + 12 : 2 - 8 = 6 + 6 - 8 = 12 - 8 = 4

No se obtiene el mismo resultado porque cambia el orden de realización de las operaciones al haber paréntesis, influyendo en el resultado final.

14

Números naturales

Números naturales 1

a) 36 - 24 = 12 d) 8 - 4 · 2 = 8 - 8 = 0

b) 5 · 10 - 27 = 50 - 27 = 23 e) 13 + 3 · 9 = 13 + 27 = 40

c) 25 : 25 + 18 = 1 + 18 = 19 f) 25 · 4 = 100

a) 6 · 8 + 3 : 3 = 48 + 1 = 49 c) (64 - 13 ) : 17 = 51 : 17 = 3

b) 2 · 2 + 8 = 4 + 8 = 12 d) 4 + 5 : 5 = 4 + 1 = 5

a) 8 · 12 : 4 - 2 = 24 - 2 = 22

b) 8 · 12 : 2 = 48

c) 8 · 3 - 2 = 22

d) 8 · 1 = 8

Se obtienen resultados distintos porque al añadir o eliminar paréntesis se modifica el orden de las operaciones, y, por tanto, cambia el resultado de la operación, como se ha comprobado al efectuar los cálculos de los distintos apartados.

(5 + 4) · 9 + 3 · 2 = 9 · 9 + 3 · 2 = 81 + 6 = 87

Los errores en el enunciado son que en el paso (5 + 4) · 9 + 3 · 2 se ha efectuado la suma 9 + 3, cuando es prioritaria la multiplicación 3 · 2, y otro error es que se aplica la propiedad distributiva de la suma cuando no hay suma.

15

1

NOTAS