Solucionario Primer Parcial
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Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C. MAT102-ICUATF.blogspot.com SOLUCIONARIO – EXAMEN PRIMER PARCIAL 1. El volumen de un tetraedro es de 8 cm 3 ; tres de sus vértices están en los puntos A(2,1,-1) B(3,0,1) y C(2,-1,3). Hallar las coordenadas del cuarto vértice D si se sabe que está en el eje OY. Solución: ( ) | ( )| () ( ) 〈 〉 ( ) ( ) 〈 〉 ( ) ( ) 〈 〉 | ( )| | | | | | | | | ( )
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Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C.
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SOLUCIONARIO – EXAMEN PRIMER PARCIAL
1. El volumen de un tetraedro es de 8 cm3; tres de sus vértices están en los puntos A(2,1,-1) B(3,0,1) y
C(2,-1,3). Hallar las coordenadas del cuarto vértice D si se sabe que está en el eje OY.
Solución:
( )
| ( )|
( ) ( ) ⟨ ⟩
( ) ( ) ⟨ ⟩
( ) ( ) ⟨ ⟩
| ( )|
|
|
| |
| | | |
(
)
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2. El anclaje AC está soportado AC en A por una articulación esférica y por los cables BDC y CE.
El cable BDC es continuo y pasa sobre una polea en D. Calcule la tensión de los cables y las
componentes de reacciones x, y y z en A si el cajón tiene un peso de 100 N.
Solución:
D. C. L.:
Coordenadas: A=(0, 0, 0) B=(6, 0, 0) C=(17, 0, 0) D=(0, -5, 8) E=(0, 5, 6)
Ahora vamos a representar las fuerzas en los cables como un vector unitario multiplicado por
la magnitud de la tensión en cada cable:
⟨ ⟩ | | √
⟨ ⟩ | | √
⟨ ⟩ | | √
⟨ ⟩
√
⟨ ⟩
√
⟨ ⟩
√
⟨ ⟩
⟨ ⟩
𝐹𝐵𝐷
𝐹𝐶𝐷
𝐹𝐶𝐸
𝑊
𝐴𝑧
𝐴𝑦
𝐴𝑥
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Por equilibrio:
1. Sumatoria de Fuerzas igual a cero.
∑
⟨ ⟩
√
⟨ ⟩
√
⟨ ⟩
√ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2. Sumatoria de Momentos igual a cero.
( )
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
|
√
√
√
| (
√
√ )
⟨
√
√
√
√
√
√ ⟩
( ) |
√
√
√
√
√
√
|
( ) (
√
√ ) (
√
√ )
(
√
√ ) (
√
√ ) (
√
√ )
√
√
√
√
√
√
Como el cable BDC es continuo entonces la tensión es la misma:
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reemplazando esto en las sumatorias de momentos:
(
√
√ )
√
(
√
√ )
√
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene:
Una vez obtenidas las tensiones sustituimos en las ecuaciones de las sumatorias de fuerzas
para hallar las reacciones en A:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Un rayo luminoso parte del punto A(-3,8,5) y sigue la dirección de la recta ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
, llega al espejo dado por el plano . Hallar la ecuación vectorial del rayo
reflejado.
Solución:
A
Y
X
Z
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Para tener una mejor idea del planteamiento que debemos hacer para solucionar el problema
vamos a utilizar una vista de nuestro esquema:
Recta del rayo luminoso que pasa por A y en dirección de la recta .
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Recta normal al plano y que pasa por el punto A.
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Recta del rayo reflejado (que pasa por el punto B).
⟨ ⟩
Primero vamos a encontrar el punto (B) en el que se intersecta la recta del rayo luminoso y el
plano P.
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Reemplazando en la ecuación del plano:
A
B
D
C
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( ) ( ) ( )
Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas de nuestra recta obtenemos el punto de
intersección:
( )
( )
( )
( )
Siguiendo el mismo procedimiento encontramos el punto (C) de intersección de la recta con
el plano:
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Reemplazando en la ecuación del plano:
( ) ( ) ( )
( )
Ahora hallamos el punto D, como la distancia de A a C es igual a la de C a D entonces el punto C
es el punto medio entre A y D:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Finalmente vamos a encontrar la recta del rayo reflejado:
⟨ ⟩
( ) ( ) ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
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4. Dados los planos y el punto A (2, 1, 4). Hallar la
ecuación de una recta que pasa por el punto A que es paralela a y que haga un ángulo de 30° con
Solución:
Supongamos nuestro esquema como sigue:
⟨ ⟩
( )
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
Como el punto B está contenido dentro del plano entonces sus coordenadas ( )
deberán satisfacer con la ecuación de dicho plano:
𝑛 L
𝐵
𝐴
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( )
Si el plano es paralelo a la recta, su vector normal deberá ser perpendicular al vector dirección
de la recta.
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
( )
El ángulo formado entre la recta y la normal del plano será igual al complemento del ángulo
formado entre la recta y el plano , esto es:
( )
‖ ‖‖ ‖
( )
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
√( ) ( )
( ) √
( )
( ) ( )
( ) ( )
{
{
( )
⁄ ( )
reemplazando en la primera ecuación de ( ):
( )
sustituyendo ( ) y ( ) en ( ):
(
) (
) (
) (
) ( ) (
)
{
( )
( ) ( )
{
{ ( ) ( )
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Entonces podemos encontrar 2 rectas que cumplan con las características indicadas con los
planos, una de ellas será:
⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
