Solucionario taller transformada de fourier

19
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA SOLUCIONARIO TALLER DE TRANSFORMADA DE FOURIER, TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER Y TEOREMA DE LA CONVOLUCION PRESENTADO AL PROFESOR: ING. VICTOR CORREA POR EL ESTUDIANTE JUAN PABLO GOMEZ GALLEGO PARA LA MATERIA COMUNICACIONES I DEL PROGRAMA INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN Miércoles, 23 de mayo de 2007

description

Solucionario de un taller de comunicaciones 1. El contenido del taller es sobre trasnformada de fourier, transformada inversa de fourirer y sus propiedades, y el teorema de convolución.No todos los ejercicios están buenos pero sirven para realizar otros

Transcript of Solucionario taller transformada de fourier

Page 1: Solucionario taller transformada de fourier

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

SOLUCIONARIO

TALLER DE TRANSFORMADA DE FOURIER, TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER Y

TEOREMA DE LA CONVOLUCION

PRESENTADO AL PROFESOR:

ING. VICTOR CORREA

POR EL ESTUDIANTE

JUAN PABLO GOMEZ GALLEGO

PARA LA MATERIA COMUNICACIONES I

DEL PROGRAMA INGENIERIA DE SISTEMAS

Y COMPUTACIÓN

Miércoles, 23 de mayo de 2007

Page 2: Solucionario taller transformada de fourier

Taller

1. Calcular la trasnformada de Fourier para las siguientes funciones ���� no periódicas

Solución

a) ������ � �� �� � �� � � �� � �� �� �� � �� �� ������� � �� �� ��������������������� ���� � 2�� �� �cos���� cos ������

Page 3: Solucionario taller transformada de fourier

b) ������ � � �� � 1� 14 ��� � 14 �� 4�# � $% & �� � 1� 14 ��� � 14 �� 4�' ����(��)

�* + ������� � � ��� 14 � 14 ���)���# ���� � ����� � 14 ���)�� 1����

c)

% ������(��*, � ������������ 2� � 2��- ,

* �./0 �1�2/ #1� % ������(��*

, � ���������4 2� � 2� 2�-

d)

������ � A2 � ∂�t � 3� � ∂�t � 1� ∂�t 3�� ������� � �2 9%�:�� � 3� � :�� � 1� :�� 1� :�� 3������(; ������� � �2 ��-�� � ��� ���� � ��-��� ���� � 2��sin 3� � sin ��

e)

������ � A�∂�t � 5� ∂�t � 4� � ∂�t � 3� � ∂�t 3� ∂�t 4� � ∂�t 5�� ������� � A %�∂�t � 5� ∂�t � 4� � ∂�t � 3� � ∂�t 3� ∂�t 4� � ∂�t 5������(�� ���� � �?�@�� �)�� � �-�� � ��-�� ��)�� � ��@��A ���� � 8��C/D�5�� C/D�4�� � C/D�3���

Page 4: Solucionario taller transformada de fourier

f)

F�ω� � % cos�t�dtH��H�

F�A� � A % e�JKLdtH��H� � �����(iω �H�

H� � A eJKH� eJKH�iω � 2 sin Mω π2Oω � 4P � D� Mω π2O ��4� � 4P � D� Mω π2O por la propiedad de la modulación

g)

���� � cos �20��

��4� � % cos �20����

Y ���Z(��[\�[\ � ]^_`a��Z �[\ [\ � ]_`[\��Z � ]^_`[\�Z � ]_`[\ �]^_`[\�Z � � H bJc Z[\@ =sa(

H@ w) ��cos�20��� � D� MP5 4 20O � D� MP5 4 � 20O2

Page 5: Solucionario taller transformada de fourier

h)

% ���(���Z(��,�e � % ���(���Z(�� � ����f�Z�(�� � �4��e

, � ����f�Z�(�� � �4�,ee

,� 1�� � �4� � ���f�Z�e� � �4 ����f�Z�e� � �4 � 1�� � �4� � ���f�Z�e ����f�Z�e� � �4

i)

% ���(g������Z(� � % ���(e, ���Z(�� � ����f�Z�(�� � �4�,

e � ����f�Z�e�� � �4� � 1�� � �4�h

, � 1 ����f�Z�i�� � �4�

Page 6: Solucionario taller transformada de fourier

2. Para una función����con trasnformada ��4�comprobar las siguiente propiedades

a)

Propiedad de diferenciación en frecuencia:

���� j ��4� ��4� � % �k�k ������Z(�� ���4 � ��4 % ����k

�k ���Z(�� ���4 � % ���������Z(��k�k

������ j ���4

En general: ����l���� � �l�4l

b)

Propiedad de la simetría:

���� j 2P��4� ���� � 12P % ��4���Z(��k

�k m� 0��nop�q� � o/0 � r sg���: ���� � 12P % ��4����Z(��k�k

Se reemplaza w por x

2P���� � % ��2����u(�2k�k

Se reenop�q� t por w 2P��4� � % ��2����uZ�2k�k

Se reemplaza x por t

2P��4� � % �������(Z��k�k

���� j 2P��4�

Page 7: Solucionario taller transformada de fourier

d)

Propiedad de escalamiento:

����� j 1|�| � M4� O

Sea � una constante real positiva

�������� � % ��������Z(��k�k

Se reemplaza 2 � �� �������� � 1� % ��2���M�Z� Ou�2k�k

�������� � 1� � M4� O ����� j 1� � M4� O

e)

Convolución en la frecuencia:

�*��� j �*�4� �w��� j �w�4� % �*�2����� 2��2k�k j �*�4��w�4�

�*�������� j 12P % �*�g����4 g��gk�k

�*�������� j 12P �x�4� y �w�4�#

3. Si la función ���� con transformada ��4�, calcular la transformada de ���� sin�4,��

% ����D�1�4z����k�k � % ���� $��Z( ���Z(2� + ��k

�k � 12� $% ������Z(k�k % �������Z(k

�k +� 12� ���4 4,� ��4 � 4,��

Page 8: Solucionario taller transformada de fourier

4. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (dibujar����r �p ��4�)

a.

Con a=-1

���� � ����(g��� ��4� � % ����(k, ���Z(��

% �����f�Z�(k, ��

$����f�Z�( ��� � �4�� 1��� � �4�� ,k+ {�0 �1�2/ #2

��4� � 1�� � �4��

Page 9: Solucionario taller transformada de fourier

b.

a=-1

���� � ��|} sin�4,�� g��� ��4� � 12� ��4 4,� 12� ��4 � 4,� � 12� ~�����(g����Z�Z� � �����(g����ZfZ�� ��4� � 12� 1��4 4,� � � � 1��4 � 4,� � �#

C.

| � xx� �� � �

���� � ����( cos 4,� g���

Page 10: Solucionario taller transformada de fourier

��4� � % ����( cos 4,� ���Z(g�����k�k

��4�� � % ����(���Z(��k, � 1�� � �4��

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2

��4� � 1�� � ��4 4,��� � 1�� � ��4 � 4,���2

d.

| � �. ��

a=1

Page 11: Solucionario taller transformada de fourier

���� � ���(� ��4� � Y ���(�k�k ���Z(��

g � ���(� �g � 2�����(� �� � ���Z( � � ���Z(�4 ��4� � ���(� ���Z(�4 2��4 % ����(����Z(��k

�k � 0 2��4 % ����(����Z(��k�k

��4� � 2�4 ���4��4

2� ���4��4 � 4��4� � 0

���4��4��4� � 42� �� ln ��4� � 4�4� � � �� ��4� � ���Z�)� � �P� ��Z�)�

e.

f.

���� � Sa�w,t� cos�3w,t� F�w�� � % Sa�w,t�e�J�Ldt � 2πw, G���w�k�k

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2 ��4� � πw, ?G���w 3w,� � G���w � 3w,�A

g.���� � sin��� cos�6��

��4� � % �D�1���cos �6������Z(���,

��4� � Y M]�_a�]\_a�]^\_af]^�_a�� O�, ���Z(dt ��4� � Y �����Z�(���, -Y ���@�Z�(���, Y ����@fZ�(���, � Y �����fZ����, ��4� � �����Z�(��7 4�,

� ���@�Z�(��5 4�,� ����@fZ�(��5 � 4�,

� � �����fZ���7 � 4�,�

Page 12: Solucionario taller transformada de fourier

��4� � �����Z�� 1��7 4� ���@�Z�� 1��5 4� � ����@fZ�� 1��7 � 4� ����fZ���*��7 � 4� H.H.H.H. ���� � �1 �����(�� ��4� � % �1 �����(�� ���Z(��k

�k � % ��(�� ���Z(��k�k % ��]^a�� ���Z(��k

�k � &4��(�� ' � √2P ��Z�� �

�� &��(�� '�4 � √2P 4��Z��

����]^a�� ��Z� � √2P �^`�� �1 � 4�)

��4� � √2P �^`�� √2P �^`�� �1 � 4�)= ��4� � √2P �^`�� �1 � 1 � 4�� �4�√2P �^`��

5. Usando la transformada de Fourier hacer las siguientes integrales

a. ��0� � Y �1 ���w��}w��k�k ��4� � Y �������Z(��k�k ��0� � Y ������k�k ���� � % �1 2�� � �)���}w�� � % ��}w��k

�kk

�k 2 % ��}w����k�k � % ��}w�)k

k�

���� � √P &��Z�) ' $1 4�2 4)8 + C/1 4 � 0 ���� � √P

b. ��0� � % ��}wC/D��5����k�k ��4� � % �������Z(��k

�k ��0� � % ������k�k

���� � 12 % ��}w�1 � C/D�10����� � $% ��}w�� � % ��}wC/D�10����k�k

k�k +k

�k

� M��}wO � √P &��Z�) ' C/1 4 � 0 � M��}wO � √P ���� � √P � √P 9���@) ; � 9���@) ;# 2

6. Calcular la trasnformada de Fourier de las siguientes señales periódicas:

a. ���� � |�D�1�4,��|

Page 13: Solucionario taller transformada de fourier

�l � 4,�2P % sin �4,����Z�l(�, ��

� 4,�2P % $e�Z�( e��Z�2i + ��Z�l(���,� 4,�4�P $% ��Z��*�l�(�, % ���Z��*fl�(�

, +� 4,�4�P � ��Z��*�l�(�4,�1 1�,

� � ���Z��*fl�(�4,�1 � 1�,��

� 4,�4�P $ ��Z��*�l���4,�1 1� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l���4,�1 � 1� 1�4,�1 � 1�+� 4,�4�P $��Z��*�l�� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l�� � 1�4,�1 � 1� +

���� � 4,�2� � $��Z��*�l�� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l�� � 1�4,�1 � 1� +k�k e�Z�l(

��4� � 4,�2� � $��Z��*�l�� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l�� � 1�4,�1 � 1� +k�k :�4 14,�

Page 14: Solucionario taller transformada de fourier

b.

���� � � cos�200P�� �l � 1i % f�t�e�Jc��Ldth�

�h� � 14 � % ��lZ�(��*�* � 14 ���lZ�(�14, �*

* � 14 A $eJcZ�L eJc�Z�in4, +� 12 ASa�n4,t� ¡��� � 2P � m��14,����lZ�(k

�k ��4�� � ��¡���� � 2P � m��14,�k

�k :�4 14,�

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2

��4� � P �� m��14,�k�k :�4 200 14,� � � m��14,�k

�k :�4 � 200 14,��

c.

���� � C/D�100P�� �l � 14 % ����lZ���*

�* � 14 � &���lZ�( ��lZ�(�14, ' � �2 9sin �14,14, ; � �2 m��14,� ¡��� � P� � m��14,���lZ�(k

�k ��4�� � P� � m��14,�:�4 14,�k

�k

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2� P�2 ¢ � m��14,�:�4 100 14,� � � m��14,�k

�k :�4 � 100 14,�k�k £

7.Si f(t) tiene la transformada ��4� calcular la transformada de las siguientes funciones

a)

��� ��2��� � % ���2�����Z(��k�k � ����� ��2���2

b) ���� 2������ � % �� 2���������Z(�� �k�k % ��������Z( 2 % �������Z(k

�kk

�k

Page 15: Solucionario taller transformada de fourier

���� 2������� � ������ 2������� 2��4�

c)

���� 2���2���� % �� 2���2������Z(�� �k�k 22 % ���2�����Z( 2 % ��2�����Z(k

�kk

�k ���� 2���2���� � 12 ����� 2���2���� 2��24�

8.Calcular �*��� y �����o�0� p�D D�¡g��1��D D�ñ�p�D: a.

f*�t� � f��t� � u�t� % g�2�g�� 2��2 � % g�� 2��2 � % �2 � 2, (L,

k,

k�k � t

b.

f*�t� � u�t�, f��t� � e�Lu�t� % g�2�g�� 2�e��L�¦��2 � % g�� 2�e��L�¦��2 � % ���(�u��2 � ���Zu, (L,

k,

k�k � ���Z( 1

c.

f*�t� � e��Lu�t�, f��t� � sin�3t� % e��¦u�x�k

�k sin�3�t x�� �2 � % e��¦ $�-��(�u� ��-��(�u�2� +k, �2

� 12� $% ����f-��uf-�(k, �2 % �����-��u�-�(k

, �2+� 12� �����f-��uf-�(�2 � 3�� ,

k �����-��u�-�(�2 3�� ,k� � 12� $ �-�(�2 � 3�� ��-�(�3� 2�+

Page 16: Solucionario taller transformada de fourier

d. �*��� � ��(g���, ����� � cos �2�� g��� % e�¦u�x�k

�k cos��2�t x�u�t x� �2 � % e�¦ $����(�u� � �����(�u�2 +(, �2

� % ���*f���uf��(, �2 � % ���*����u���(

, �� � ���*f���uf���1 � 2�� ,( ���*����u����1 2�� ,

(

� 12� $ ���*f���(����2� � 1� � ����2� � 1� � ���*����(�����2� 1� �����2� 1�+

e.

�*��� � ���( sin�4�� g���, ����� � g���

� ¨���( sin�4�� g���©� ¨g���© � 9 4�2 � �4�� � 16; 9P �4� � 1�4;

���� � % ���u sin�42� g�2�k�k g�� 2��2 � % ���u sin�42�(

, �2� 12� % ���u?�)�u ��)�uA(

, �2 � 12� $% �����)��u(, �2 % ����f)��u�2(

, +� 12� � �����)��u�2 4��,

( ����f)��u�2 � 4��,( �

� 12� $ �����)��(�2 4�� � 1�2 4�� � �����)��(�2 � 4�� 1�2 � 4��+

f.

�*��� � �g�1 �� �� � ª2 �� 2�

Page 17: Solucionario taller transformada de fourier

�ª2 % g�1 2��� 2 2��2 � �ª2 % �� 2 2��2 � �ª2 ��� 2�2 2�2 ,*�*

�k�

, � �ª2 �� 2� 12#

10.Calcular la transformada inversa de Fourier de los siguientes espectros ��4�

a.

��4� � sin�4�,� ���� � 12P % sin��,4� ���Z(�4 � 14�Pk�k % ?��(�Z ���(�ZA��Z(k

�k �4 14�P $% ���(�f(�Z�4k

�k % ���(��(�Z�4k�k + � 14�P ����(�f(�Z���, � ���k

k ���(��(�Z���, ���kk �

b.

��4� � ���Zg�4� ���� � 12P % ���Zg�4���(Z�4 � 12Pk�k % ���Z��(Z�4 �k

,12P % ����f�(�Z�4k

, 12P $ ����f�(�Z�� � ��,�+,

k � 12P 9 1� ��;

c.

��4� � g�4� ���� � 12P % ��(Z�4 � 12Pk

, &��(Z�� ',k � 12P 91��;

d.

���� � 12P $% �2� �4 4, 2����(Z�4 � % �2� �4 � 4, � 2����(Z�4Z�f��Z�

Z�Z���� + �

�4�P $% �4 4, 2����(Z�4 % �4 � 4, � 2����(Z�4Z�f��Z�

Z�Z���� +

Page 18: Solucionario taller transformada de fourier

�4�P «$��(Z�4�1 �4��� 4,��(Z�� 2���(Z�� Z����Z� +

���(Z�4�1 �4��� � 4,��(Z�� � 2���(Z�� Z�Z�f���¬

e.

��4� � |��4�|��­ � ���­ ®�4� � �,4 ��4� � � ���(�Z ���� � 12P % � ���(�Z��Z(�4Z�

�Z� � �2P��� �,� ?���(�(��ZA�Z�Z� � �P $��Z��(�(�� ���Z��(�(��2��� �,� +

� �P sin�4,�� �,���� �,� � 2�i sin�4,�� �,���� �,� 2Pi � 2�i m��4,�� �,��

f.

���� � �2P $ % ��Z(�4,�Z�/� � % ��Z(�4Z�/�

, +

���� � �2P � ��Z(it ���/�

, � ��Z(�� ,Z�/��

Page 19: Solucionario taller transformada de fourier

���� � �2P ° 1�� � ���(Z��it � ��(Z��it 1it ± � �2P °2 � 2C/D M�4,2 O�� ±

Anexos.

#1

% ����( �� g � �� �g � 2� �� � ��( � � ��(� % ����( �� � ����� � 2� % ���(�� g � �, �g � ��, �� � ��(, � � ��(�

Y ���(�� � (]²a³ � *³ Y e³Ldt % ���(�� � te³La � e³La� � �te³L � e³L��

% ����( �� � ����� � 2� &�te³L � e³L�� ' � ����� � 2��te³L � e³L��- � ������( � 2��te³L � e³L��-� ��(����� � 2� � 2��-

#2

% ���(�� � �te³L � e³L�� � e³L�a � 1���