Solucionario_CalculoAplicado_ESCOM

7/24/2019 Solucionario_CalculoAplicado_ESCOM

1/118

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

CLCULO APLICADO

ESCOMMARTHA PATRICIA JIMENEZ VILLANUEVA


2/118

SOLUCIONARIO


3/118

SOLUCIONARIO

INDICE

RAZON DE CAMBIO................................................................................................................. 6Ejercicio 1............................................................................................................................... 6

Ejercicio 2............................................................................................................................... 9

Ejercicio 3............................................................................................................................. 10

Ejercicio 4............................................................................................................................. 11

Ejercicio 5............................................................................................................................. 13

Ejercicio 5............................................................................................................................. 14

Ejercicio 7............................................................................................................................. 15Ejercicio 7............................................................................................................................. 17

Ejercicio 8............................................................................................................................. 18

Ejercicio 8............................................................................................................................. 20

Ejercicio 8............................................................................................................................. 22

Ejercicio 9............................................................................................................................. 23

Ejercicio 10........................................................................................................................... 24

Ejercicio 10........................................................................................................................... 25Ejercicio 10........................................................................................................................... 26

Ejercicio 12........................................................................................................................... 27

Ejercicio 15........................................................................................................................... 28

Ejercicio 16........................................................................................................................... 28

Ejercicio 30........................................................................................................................... 29

Ejercicio 39........................................................................................................................... 31

PUNTOS CRITICOS................................................................................................................... 33

Ejercicio 5............................................................................................................................. 33

Ejercicio 16........................................................................................................................... 33

Ejercicio 21........................................................................................................................... 34

Ejercicio 22........................................................................................................................... 35

Ejercicio 26........................................................................................................................... 37

Ejercicio 27........................................................................................................................... 37

Ejercicio 28........................................................................................................................... 39

Ejercicio 29........................................................................................................................... 39


4/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 40........................................................................................................................... 41

OPTIMIZACION........................................................................................................................ 43

Ejercicio 1............................................................................................................................. 43

Ejercicio 2............................................................................................................................. 43

Ejercicio 3............................................................................................................................. 45

Ejercicio 12............................................................................................................................. 0

Ejercicio 22............................................................................................................................. 1

DIFERENCIAL.............................................................................................................................. 3

Ejercicio 3............................................................................................................................... 3

Ejercicio 35............................................................................................................................. 3

SOLIDOS DE REVOLUCIN..................................................................................................... 4

Ejercicio 1............................................................................................................................... 4

Ejercicio 2............................................................................................................................... 5

Ejercicio 2............................................................................................................................... 8

Ejercicio 6............................................................................................................................. 10

Ejercicio 6............................................................................................................................. 12

Ejercicio 7............................................................................................................................. 14

Ejercicio 8............................................................................................................................. 15

Ejercicio 11........................................................................................................................... 15

Ejercicio 12........................................................................................................................... 16

Ejercicio 18........................................................................................................................... 18

Ejercicio 19........................................................................................................................... 20

Ejercicio 23........................................................................................................................... 21

Ejercicio 24........................................................................................................................... 22

Ejercicio 27........................................................................................................................... 22

Ejercicio 29........................................................................................................................... 25

Ejercicio 40........................................................................................................................... 27

Ejercicio 40........................................................................................................................... 28

Ejercicio 41........................................................................................................................... 29

Ejercicio 46........................................................................................................................... 30

Ejercicio 46........................................................................................................................... 33

Ejercicio 49........................................................................................................................... 34

Ejercicio 51........................................................................................................................... 36


5/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 61........................................................................................................................... 37

FORMAS INDETERMINADAS.................................................................................................. 40

Ejercicio 1............................................................................................................................. 40

Ejercicio 2............................................................................................................................. 41

Ejercicio 3............................................................................................................................. 42

Ejercicio 1............................................................................................................................. 61

Ejercicio 2............................................................................................................................. 62

Ejercicio 3............................................................................................................................. 64

Ejercicio 4............................................................................................................................. 65

Ejercicio 5............................................................................................................................. 67

Ejercicio 7............................................................................................................................. 71


6/118

SOLUCIONARIO

RAZON DE CAMBIOEjerc icio 1

Un nio usa una pajilla para beber agua de un vaso cnico (con el

vrtice hacia abajo) a razn de 3 Si la altura del caso es de 10 cm y

si el dimetro de la parte superior es de 6 cm.

a) Cul es la variac in del radio en ese mismo instante?b) Con qu rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad

es de 5 cm?

Solucin:

a)

Debemos obtener una razn de cambio de la variacin de laaltura del agua con respecto al tiempo, esto, lo obtendremos

habiendo encontrado la expresin correspondiente.

Para obtener la expresin mencionada, nos ayudaremos de ladefinicin de volumen de un cono: =

3

Para obtener la razn de cambio, es necesario derivarparcialmente, aqu tenemos dos opciones, derivarparcialmente V, r y h, o poner a r en funcin de h o

viceversa. Si observamos, podemos obtener una relacin de

h

10cm

3

r

3cm


7/118

SOLUCIONARIO

los tringulos obtenidos despus de cortar el cono verticalmente por lamitad.

Si observamos, y con uso de nuestros conocimientos de geometra desecundaria, encontraremos dos tringulos semejantes, por lo quepodemos proponer:

10

=3

= (10/3)Luego, podemos sustituir en la ecuac in del volumen.

= (3 )(103 )Ahora derivamos respecto al tiempo de manera implcita. =103

Y ahora sustituimos los valores que conocemos, por ejemplo:

=

3

El valor es negativo pues est disminuyendo.Luego, despejando dr/dt y sustituyendo valores tenemos:

= 215 = 215 (3)

=

6

15

=25b) Ahora necesitamos la razn de cambio de la altura respecto altiempo, por lo que de nuestro tringulo podremos obtener una relacin:

10 = 3 = 3

10


8/118

SOLUCIONARIO

= (9100

)(3

)Ahora derivamos implcitamente:

=9100 Despejamos la razn de cambio de la altura respecto al tiempo:

1009 =

Ahora solo sustituimos:

100(9)(25) (3) = = 43

=.4244(cm/seg)


9/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 2


10/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 3


11/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 4


12/118

SOLUCIONARIO


13/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 5


14/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 5

Un globo aerosttico se infla de tal modo que su volumen

est incrementando a razn de 84,951 dm3 /min.

Con que rapidez est incrementndose el dimetro delglobo cuando el radio es 3,05 dm?

Solucin

Datos

Razn de cambio de volumen con respecto al tiempo: dv/dt =84.951dm3 /min.

Radio en un instante de tiempo: r = 3,05 dm.

Diagrama

r = Radio de la esfera

d = Dimetro de la esfera

Resolviendo

Suponiendo que el globo tiene una forma esfrica, podemos utilizar lafrmula del volumen para poder relacionarla con su dimetro.


15/118

SOLUCIONARIO

V= 4/3 r3

Tambin sabemos que al ser una esfera el dimetro ( dd/dt) es igual a 2

veces la razn de cambio del radio ( dr/dt ), entonces podemosexpresarlo con la razn de cambio.

2 dr/dt = dd/dt

Haciendo la derivada parcial para la frmula del volumen:

V= 4/3 r3

dv/dt = 4/3 (3) r2dr/dt

Despejando la razn de cambio del radio:

dr/dt = (dv/dt) / (4/3 (3) r2)

Sustituyendo el valor de (dv/dt) y r:

dr/dt = (84.951 dm3 /min.) / (4/3 (3) (3.05 dm)2)

Resultado de la razn de cambio del radio

dr/dt = 0.726 dm/min.

Multiplicando por 2 para obtenerla en funcin del dimetro

2 dr/dt = 1.453 dm/min.

Por lo tanto la razn de cambio del dimetro es:

Ejerc icio 7

De un tubo sale arena a razn de 16dm3 /seg. Si laarena forma una pirmide cnica en el suelo cuya

altura es siempre del dimetro de la base.

1.453 dm/min.


16/118

SOLUCIONARIO

Con que rapidez aumenta la pirmide cuando esta mide 4dm dealtura?

Datos

dv/dt =16dm3 /seg

(don del la altura es un cuarto del dimetro total de la pirmide)

h=1/4D

Para plantearlo, hay que saber que en cada momento siempre es unapirmide cnica, osea no se esta apenas formando.

Formula del volumen de la pirmide cnica

V= 1/3( r2 *h)

Debemos dejar la formula del volumen en termino de la altura, puesqueremos saber con que rapidez cambia.

h=1/4D despejando:

d=4h

ahora sustituimos en la formula del volumen, en este caso por r2 , para

ya dejarla en trminos de la altura. (se divide entre 2 porque el radio esla mitad del dimetro)

v=1/3 ( (4h/2)*h) = 1/3( 16h3/4)

v= 16h3/12

12v= 16h3

Derivando

12dv/dt=3( 16h2)dh/dt

Despejando

dh/dt=12(dv/dt)/ 3(16h2)

sustituyendo datos

dv/dt =16dm3 /seg ; altura=4dm

12(16dm3)/3((16(4)2)=192/2412.74=0.07957 dm/seg


17/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 7

De un tubo sale arena a razn de 16 dm3/seg. Si la arena forma unapirmide cnica en el suelo cuya altura es siempre del dimetro de labase, C on qu rapidez aumenta la pirmide cuando tiene 4dm de

altura?

r

= 16 3/Tenemos la formula del volumen:

= 3

r = radio de la base del cono

h = altura del cono

De acuerdo al enunciado:

h = 1 = 1 2 = 1 r = 2h

Sustituimos r en la formula:

=(2)3

=43

3

h = 4dm


18/118


19/118

SOLUCIONARIO

= +Despejamos a X y sustituimos valores:

6

4.8

=

X=3.6 m.

Derivamos la funcin principal.

2 = 2 + 2 El dato que estamos buscando es la razn de cambio en la distanciadel bote y la mujer respecto al tiempo, sabiendo esto, lo que vamos a

despejar ser .2 2

2 = sustituimos datos:

2 (6) (15) 2(4.8)(0)2 (3.6)

= 25.

* cuando un valor sea constante al momento de derivar se convierte enun cero.


20/118

SOLUCIONARIO

Ejerc icio 8


21/118


22/118

SOLUCIONARIO

S1

S2

Ejerc icio 8

Un tanque cilndrico vertica l tiene en su base un agujero de 3 cm deradio. El radio del tanque es de 30 cm. El agua se escurre del tanquecon la velocidad dada por la formula

= 2

siendo h la profundidad

del agua y g la acelerac in de la gravedad. Cul es la rapidez de lavariac in de la velocidad?

La rapidez de variacin de la velocidad es la derivada de lavelocidad con respecto al tiempo

==

= (1)

Entonces h es la magnitud que fija la posicin del nivel de aguarespecto del fondo del rec ipiente. La derivada de h respecto del tiempoes la veloc idad v1 con la que desciende el nivel de agua

= (2)Aplicando continuidad a S1 y S2

= (3) y despejando v1v1=

= = (4)Valores de los radios y de vt

v1= = (5)

Sustituyendo (2) en (5)

= (6)

h


23/118

SOLUCIONARIO

Sustituyendo (6) en (1)

=

( )

=

== Disminuye a razn de cm por segundo cuadradoEjercicio 9


24/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 10


25/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 10

El agua est goteando del fondo de un depsito semiesfrico de 8dm

de radio a razn de 3

. Si el depsito estaba lleno en c ierto momento

con qu rapidez baja el nivel del agua cundo la altura es de 3dm?

Nota: El volumen V de un casquete de altura h de una esfera de radio res :

= 3 (3 ).

Solucin:

Tenemos nuestra ec uac in para el volumen:

=3

(3 )Hacemos la multiplicacin:

= 33

Derivamos implcitamente:

= (2 33 ) Despejamos

:

= 1(2 ) Sustituimos:

=

2

(2

8 )


26/118

SOLUCIONARIO

= 2(16 )

=2

(16

3)3

= 2(13)3 = 239Ejercic io 10


27/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 12

Un rec tngulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenadospositivos y su vrtice opuesto al origen est sobra la curva de laecuacin = 2, segn se muestra en la figura adjunta. En este vrtice,la coordenada y aumenta a razn de una unidad por segundo. Cules la variacin del rea del rectngulo cuando x=2?

Solucin:

A = (X)(Y)u2 'Equivalencia del rea. EC1: A(y) = X(y)Y(y) 'readel rectngulo en funcin de 'y'

Y(y)=y 'Coordenada 'Y' En funcin de 'y'

De la ecuacin = 2 lny=ln2xlny=xln2 = X(y) ='Coordenada X en funcin de 'y'

Sustituyendo X(y) y Y(y) en EC1:


28/118

SOLUCIONARIO

A(y) = y = (

) + ()

=

1

+

1

=

1

+

Cuando x=2 y = 22 y = 4 Sustituyendo y en la razn de cambio:

. = 1 + = 1 + = 1.4427 + 2

= 3.4427 "El rea del rec tngulo cambia a razn de 3.4427

u2/s"

Ejercic io 15

Encuentre la variacin de y en la siguiente funcin si x = 1, y = 2 y dx/dt =6 u/s 31 + == 85

5( 3) == 8 + 8Derivamos y utilizamos la regla de la cadena.

5(3

+

3) == 32

Como x =1; y =2; dx/dt = 6

5(12 + 8(6)) == 32

60 + 240 == 32 28

==

140

== 8.57La variacin de y respecto al tiempo

est disminuyendo

Ejercic io 16

Un avin vuela con veloc idad

constante a 3000 m en unatrayectoria rec ta que lo llevara sobre


29/118

SOLUCIONARIO

un observador en tierra. En un instante dado el observador advierte queel ngulo de elevac in del aeroplano es de pi/3 radianes y aumenta arazn de 1/60 radianes por segundo. Determina la velocidad del avin.

La veloc idad v=66.7m/s

Haciendo un triangulo imaginario tenemos que la tangente del angloqueda expresada como:

tan = 3000/Aplicando derivada obtenemos

= 3000/ () despejamos y nos queda: 3000

=Sustituimos los valores en la ecuacin de la siguiente forma:

3

160

1732.53000

= (/)Y asi obtenemos que (dx/dt)= 66.6m/s

Ejercic io 30

Se bombea agua a un tanque que tiene forma decono truncado circular recto con razn uniforme de 2litros/min (1

= 1000

3.El tanque tiene una altura

e 80cm y radios inferior y superior es 20 y 40 cmrespectivamente Con que rapidez sube el nivel delagua cuando la profundidad es de 30cm?

Nota: El Volumen V de un cono truncado circular rec to es de altura h yradios inferior y superior a y b es:

3 ( + + )


30/118

SOLUCIONARIO

= 2 a=20 b=40, r=x, h=30

=

+

2

=23((80)*(20+(20)(40)+40)-3((30)*(20+(20)b+)1

3(80 + 2600 + 8000) = 0

13(2+65x+200)=0X=31.33=b

Sacamos el b a la altura en el instante del problema

Debemos dejar en trminos de una variable

3((80)(20+(20)(40)+40)=3h((30)(20+(20)r+)- 3((80h)(+(40)r+40)4800=

1((20h-+(60)h+4)0=

4800+(80)h+4

rh

= 4(80h 4800)8

Sustituimos

= 1200

dh

dt8 1200 + 76800


31/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 39


32/118

SOLUCIONARIO


33/118

SOLUCIONARIO

PUNTOS CRITICOSEjerc icio 5

En estos problemas 3-6 dibuje la grafica de una funcin para la que f yf presenten las combinaciones de signo dados

-+,--,-+

Ejercic io 16Halle los puntos de transicin, intervalos de crec imiento/decrec imiento,concavidad/ convexidad y comportamiento asinttico y dibuje lagrfica.

=13

3 + + 3Calculamos el dominio de la funcin pero observamos que nunca seindetermina por eso afirmamos que la funcin tiene un dominio en todos

los reales.

Procedemos calculando la primera derivada de esa funcin y tenemosque es

() = 3 + 2 + Igualamos la primer derivada a 0 y obtenemos que no existe un puntocrtico


34/118

SOLUCIONARIO

Continuamos calculando la segunda derivada y nos queda que() =2 + 2 igualamos a cero y obtenemos que x=-1 por lo que el cambio dela concavidad se da ah.

Hacemos una tabla de valores de prueba

Dominio Valores deprueba

() () Forma(-infinito,-1) -2 + - Creciente

C.abajo(-1,+infinito) -1/2 + + Creciente

C.arriba

Graficando la funcin nos quedara:

Finalmente aplicando formulas de asntotas observamos que no hayasntotas

lim(()) = lim(()) =Ejercic io 21

Halle los puntos crticos y aplique el criterio de la segunda derivada.

F(x)=3 + 45 = 3 24 + 4 5 = 024 24 3 4 45

2 3 1=5=3 puntos crticos


35/118

SOLUCIONARIO

" = 6 2 4 = 06x=24

X= =4Ejercic io 22

Halle los puntos crticos y aplique el criterio de la segunda derivada

() = 8 + 1Derivando, obtenemos:

(

) = 4

316

Obtenemos la segunda derivada:

() = 1 2 16Obtenemos los puntos crticos con la primera derivada:

() = 43 16() = 043 16 = 0(4 16) = 0x=0 o 4 1 6 = 0

= 4

= 2As, los puntos crticos son: = 0y = 2.Aplicamos el criterio de la segunda derivada y evaluamos la segundaderivada en los puntos crticos.

() = 1 2 16


36/118

SOLUCIONARIO

(0) = 12(0) 16 =16(2) = 12(2) 16=32

(2) = 12(2)

16=32

De acuerdo al criterio de la 2. Derivada f(0) es un mnimo local y f(-2)=f(2) es un mximo loca.

Halle los puntos de transicin, intervalos de crec imiento / decrec imiento,concavidad/convexidad y comportamiento asinttico. A continuacindibuje la grfica:

y=x7

-14x6

y =7x6 -84x5

y= 42x5 -420x4

Igualando a 0

y =7x6 -84x5

x1=12

x2=0

y= 42x5 -420x4

x3=10

x4=0

Intervalos

F(x) F(x)-,0 + Creciente - Cncava hacia abajo0 0 0 Punto de inflexin0,10 - decreciente - Cncava hacia abajo10,12 - decrec iente 0 Punto de inflexin12 0 + Cncava hac ia arriba12, + crec iente + Cncava hac ia arriba


37/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 26

Halle los puntos crticos y aplique el criterio de la segunda derivada(oestablezca que este criterio falla)

() = 1/( + 2)Primero sacamos su dominio pero si aplicamos que: 4 y vemos que + 2 = 0no tiene soluciones reales por lotanto el dominio de f(x) son todos los reales , una vez hecho esoprocedemos a calcular la primera derivada de f(x)

() = (1 2)/( + 2)Igualando la derivada a cero y resolviendo tenemos:

1-2x=0 2x=1 X=1/2 y observamos entonces que solohay un punto critico

Procedemos a calcular la segunda derivada y tenemos que:

() = (6 6 2)/( + 2)3Sustituyendo el punto crtico en la segunda derivada (1/2)

() = (6 1 6(1/2) 2)/((1/2) (1/2) + 2)3 Obtenemos que es -2 ycomo -2


38/118

SOLUCIONARIO

= 13

()

+(x)

= 13

() + 1() ()

13()

= 13

23(8 )3 + 1(8 )3 13(8 )3

= 13

23(8 )3 + 2(8 )3

Para obtener los nmeros crticos, igualamos 1 derivada a cero y

obtenemos valores de X:3()/ + (8 x)1/3 = 0 3()/ + (8 x)1/3 = 3()/3(8 )/3(8 x)1/3 = 3(8 ) = 24 3 = 4 = 24

= 6

Para saber si es cncava hacia arriba o hacia abajo, se sustituye elnumero critico en la segunda derivada. Si f''(x)>0 la funcin es cncavahac ia arriba si f''(x)


39/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 28

28. Halle los puntos crticos y aplique el criterio de la segunda derivada(oestablezca que este criterio falla)

y= = ( 4)Dominio de la funcin (, )Puntos de transicin, intervalos de crec imiento, concavidad ycomportamiento asinttico Dibujar la grafica

Ejercic io 29

Primera derivada

x3(x)

Puntos crticos x=0, x=2, x=4

La funcin y = x(8 - x)1/3 es creciente en el intervalo Ic=(-, 6) y decreciente en elintervalo Id(6,)Es cncava hacia abajo en el intervalo Ib=(-, 8) y cncava hacia arriba en el intervaloIa(8,).No hay asntotas.


40/118

SOLUCIONARIO

Decrece la funcin (, ), (. )Crece la funcin (

,

), (

.

)

Segunda derivada

( 4)13 (2 8 + 32)9 723 + 144

Puntos crticos x=0, x=2, x=4

Concavidad hacia abajo (, ) (, )Punto de inflexin x=0, x=4

Concavidad hacia arriba (

,

)

Mnimo de la funcin x=2


41/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 40

Halle los intervalos de concavidad de F, los puntos de inflexin, lospuntos crticos y los mximos y mnimos locales.

F(x)= 4 ; x>0

Primera derivada

3x+x

Puntos crticos x=0

Segunda derivada

3

1


42/118

SOLUCIONARIO

Puntos crticos x=0, x=2, x=-2

Concavidad hacia abajo (, )Punto de inflexin x=2

Concavidad hacia arriba (, )X. Dibuje la grfica de una funcin para la que f(X) Y f(X) presente lascombinaciones siguientes:

+-,--,-+


43/118

SOLUCIONARIO

OPTIMIZACIONEjercicio 1

Halle las dimensiones de una caja se baje cuadrada con la caja estatotal mente sellada

a) Volumen 12 y rea minima.b)

rea 20 y volumen mximo

V= 12

L*L*L=12

A=6*L*L*

= 12L*L= (2.28-2X)2*6

A=(6)*(2)(2.28-2X)*2

1.14.

LxL=raz(cubica) de20

V=l*l*l

L=4.47

Ejercicio 2

Halle el rea mxima del rec tngulo inscrito en la

regin limitada por la grafica de y=+

y los ejes

(figura 17).

D=R-(4,2)

Formula y= + = + 4

2 + -x+6-

1+

=y


44/118

SOLUCIONARIO

=1 + 1(+)=1(+)(+) =0Cuando el denominador se hace 0 + 12 8 = 01

1(

)(

1)

(1) =1=0.6332=-12.6332Sustituyendo

= (.33)+(.33) =0.8096=Halle el punto sobre la recta y=x ms cercano al punto (1,0).

Ind ic a c in: es eq uiva lent e, y ms fc il minim iza r el c ua d ra d o d e ladistancia.

De nuestro fabuloso curso de geometra analtica sabemos que ladistancia entre dos puntos dentro de nuestro plano cartesiano es:

=( 0) + ( 0)Sustituimos los puntos:

=( 1) + ( 0)Atendiendo a nuestra

indicacin, elevamos al cuadrado nuestra funcin:

= = ( 1) +

De nuestra ecuac in de la rec ta, sabemos que y=x, por lo queprocederemos a poner a D en funcin de una sola variable:


45/118

SOLUCIONARIO

= ( 1) + = 2 2 + 1

Ahora procedemos a optimizar obteniendo la derivada:

() = 4 2() = 00 = 4 2

= 12

Obtenemos la segunda derivada:

() = 4Nuestra segunda derivada es positiva, por lo que podemos dec ir que(.25,.25) es el punto que buscamos.

Ejercicio 3

Se tiene un alambre de 12cm de largo con el cual se pretende construirun circulo y un cuadrado, a qu distancia se tiene que cortar paraminimizar el rea total?

Solucin.

Se desea encontrar el valor de X para minimizar el rea total para ellotenemos que el rea total ser.

AT= Acirculo+ Acuadrado

X 12-X

r

L


46/118

SOLUCIONARIO

Crculo.

Permetro=P1= 2r => r=1

P1=X

rea=A= r2

Cuadrado

Permetro=P2= 4L => L=

P2=12-X

rea=A=L


47/118

SOLUCIONARIO

AT= r2+ L2

AT=(

)2+ (

1

)2

AT=+(3 )2Ahora tenemos el rea como funcin de X (f (x)= A T), lo siguiente que hayque hacer es encontrar la primera derivada para poder encontrar lospuntos crticos.

f (x)= 1 ( 3 )=0

3 +

4= 0

( 1 + 14) = 3X=

1+ 5.02Como la segunda derivada es una constante, evaluaremos a la funcinrea en los extremos y en el punto crtico ya que el mnimo se encuentraen alguno de estos puntos.

f (0)=9m2

f (12)=3 11.46

f (1+)= 5.04m2

Por lo tanto el punto donde hay que cortar el alambre es en1+ya que

donde el rea alcanza su mnimo valor.

Ejerc icio 12Halle el punto P sobre la parbola y=x 2

Obtenemos el dominio y como es cuadrtica sabemos que tiene dominioen todos los reales

Procedemos a graficar para dar un bosquejo

34


48/118

SOLUCIONARIO

Utilizaremos la formula de distancia entre 2 puntos de geometra analtica yobtenemos

D(P,A)=( 3) + ( 0)Elevamos al cuadrado para obtener la expresin

(

,

) = (

3) +

como P pertenece a la parbola depende de x y

asi

=---- (x,x 2) y despus sustituimos en la anterior(,) = ( 3) + ()^2 y con algebra llegamos a que(,) = + 6 + 9 sera nuestra f(x)As derivando f(x) nos queda que

() = 43 + 2 6despus igualamos con cero4

3+ 2

6=0 y obtenemos que x=1

Sustituyendo x=1 en la primera func in tenemos que y=1 2 por lo que elpunto es A(1,1)

Ejerc icio 22

Halle el ngulo que mxime el rea del trapezoide c on una base delongitud 4 y lados de longitud 2 como se muestra en la figura.

37


49/118

SOLUCIONARIO

= (180 ) =/2 =/ 2 = =/2

=

1

(

+

)

=

1

(2

)(4 + 4

+

4) = (2)(8 + 4) 1 = ()( 4 + 2)Sustituyendo =(180 )(4+ 2cos(180 ) (180 ))Reduciendo trminos tenemos que = 4 2 yderivamos la funcin A

= 4

(2

2

+

2

igualamos a cero y tenemos

2(2 2 ) = 0 y resolviendo2 = 0 = 0 = 90(2 2 ) = 0( 2) = 0 resolviendo tenemos que = 0 = 0

2

= 0

= 2 =(2) =(2) = 0.46

37


50/118

SOLUCIONARIO

DIFERENCIAL

Ejercicio 3

Los ingresos de taquilla en un complejo de cines de Paris son () = 3600 103errores por pase, cuando el precio est expresado en p euros.. Calcule R(p) parap= 9 y use aproximac in lineal para estimar si p aumenta o se disminuye en 0.5euros.

La funcin es:

(

) = 3600

10

3y nuestro problema nos dice que

=

0.5 .Luego, si derivamos, tenemos:

= (3600 30)Ahora, despejamos

:

= (3600 30)Y finalmente, sustituimos:

= (3600 30(9))(0.5) = 585

Ejercic io 35

La ley de la gravitacin universal de Newton estableceque si una persona pesa w libras sobre la superficie dela Tierra, entonces su peso a distancia x del centro dela Tierra es:

37


51/118

SOLUCIONARIO

() = donde R = 3960millas es el radio de la Tierra.(a) Pruebe que la prdida de peso a una altitud h por encima de la superficie dela Tierra es (0.0005). Use la aproximacin lineal con = (b) Estime la prdida de peso sufrida por una persona de 200lb de peso a 7 millasde altitud.

Solucin:

a) Dada la funcin () = se pide calcular , por lo que derivando enfuncin de x, se tiene que

= = = Sustituyendo el valor del radio de la tierra en R y en x se tiene que:

=

(

390)

(390)

=

|

|

(390)

=

1(190)

=

(0.0005)

|

|

(0.0005) | |b) Sustituyendo el peso y la altitud de la persona en la expresin anterior se tieneque:

(0.0005)(200)(7) 0.7SOLIDOS DE REVOLUCIN

Ejercicio 1

1.- Sea v el volumen de una pirmide de altura 20 y de base un cuadrado de lado8

37


52/118

SOLUCIONARIO

= = 0 sustituimos = (2)0 La ecuacin de la recta la aplicamos :

(

) =

0

2 0(

0)

Reducimos la ecuac in y despejamos respecto a x y tenemos:

= 2 + 2Sustituimos la x en la integral del volumen = (2)0 y tendremos

=

2(

2

+2

)

0

Resolviendo y reduciendo tenemos que

=3

Ahora solo sustituimos los valores que nos dan y tenemos

= 8(20)3

=1280

3

Ejercicio 2

Dibuje el cuerpo de in slido obtenido por revolucin de la regin por debajo dela grfica de f(x) respecto al eje x en el intervalo dado.

a)Describa la seccin transversal perpendicular al eje x, localizada en x,y.

b)Calcule el volumen del slido.

1. Se procede a graficar la funcin y a definir los intervalos de los cuales setomar la curva para rotarla y formar el slido de revolucin. La funcin se trata

37


53/118

SOLUCIONARIO

de una parbola y los intervalos son x = 1yx = 3 (que vendrn siendo el lmiteinferior y lmite superior respectivamente).

2. Teniendo definida la curva, se rota con respecto al eje x en los intervalosdados. En este caso se puede auxiliar de un graficador como WinPlot.

37


54/118

SOLUCIONARIO

Se grafica la c urva con losintervalos definidos x=1 y x=3.

Despus se grafica el slido derevolucin, nuevamentedefiniendo desde culesintervalos se tomarn lascurvas, as como el eje sobre elcul se hace girar, en este casocon respecto al eje x.

G ra f ic a nd o e l slid o d e revo luc in.

37


55/118

SOLUCIONARIO

3.Calcular volumen

El slido de revolucin generado tiene una forma muy parecida a la de unembudo o de un hiperboloide hiperblico c ortado a la mitad. El clculo de suvolumen se puede hacer con el mtodo de discos.

Frmula V ()Clculo:

Calculando tericamente: = ()31 = 31 = 5

5 3

1

= (3)

55 (1)

55 = 48.4 = 152.05

El volumen puede ser comprobado en WinPlot,dando como resultado 152.0508

Ejercicio 2

Sea V el volumen de un cono de altura 10 y base un

circulo de radio 4.

a) Considere tringulos semejantes para hallar el reade la seccin horizontal transversal a la altura y.

b) Calcule V integrando el rea de la seccintransversal.

37


56/118

SOLUCIONARIO

Utilizando semejanza de tringulos.

12 10 = 12 810

= 8(10 )10

Calculamos el rea de la seccin transversal en funcin de y

() = 2 = 16(10 )10

Calculamos V integrando la seccin transversal.

V = 1(10)10 = [110 (10 100 )]100 = 8034

10

10

1

2

37


57/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 6

Dibuje el cuerpo slido por rotacin respecto al eje y, y halle su volumen:

() = 1+. [1,4]La grfica de la figura es la siguiente.

37


58/118

SOLUCIONARIO

El cuerpo generado, queda c omo el siguiente:

= 2 () 1 + 31

= 2 1 + 31 Hacemos sustitucin simple:

= 1 + 3 = 3

= 23

1

=4

3 = 3 1 + 3 desde 1 a 4Evaluamos, y obtenemos:

37


59/118

SOLUCIONARIO

= 43

(65 2)Ejercicio 6

Halle el volumen del tetadro de la siguiente figura integrando el rea de las

secciones transversales.

Si observamos, al hacer un corte tenemos una rebanada con la forma de untringulo. Para calcular el volumen de la figura, necesitamos hac er una suma delas reas de esos tringulos.

Para calcular el rea de estos tringulos, sabemos que se necesita conocer laaltura y la base de dicho tringulo.

Analizando nuestra figura, la altura y la base son variables, y es necesario obteneruna expresin y ponerlas en trmino de a lguna variable, en este caso, x:

Analizando la base:

Por tringulos semejantes:

6 = 86 = 8 = 3

4

6

y8

x

37


60/118

SOLUCIONARIO

Ahora, hac iendo algo similar para obtener la altura:

De manera similar, por tringulossemejantes:

4

=

8

= 12

De esta manera, = Sustituyendo:

=

34

12

1

2

= 316 LUEGO, el volumen es la integral:

= 316

0

4

h

x

8

37


61/118

SOLUCIONARIO

=316

Evaluando:

V=32

Ejercicio 7

7. - y= [1,8]

Se va a girar respecto al eje x entonces tendremos un dv = e integramos = pero ya tenemos los limites [1,8] as : = ()^2 1 = ( ) 1

= 934

(20482 1)

37


62/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 8

Halle el volumen de revolucin respecto al eje x para lafuncin e intervalo dados.

() = 4 , [0, 2]Por rebanadas sabemos que el radio mide f(x), entonces

A (y) = (4 )Integrando todas las reas desde 0 hasta 2:

V = (4 ) = [ 16 3 3 + 5 ] 00 = 17.066

Ejercic io 11

11.- y=(x 2+1) -2 y=2-(x^2+1) -2 x=2 respecto al eje y

37


63/118

SOLUCIONARIO

Lo expresamos de la forma de cascarones

= 2 [(0 2 (x^2 + 1) 2) (x^2 + 1)^ 2]dx

= 2 [2

+ 4

( + 1)0 ]dx = 163

ln 9

Ejercic io 12Halle el volumen de revolucin respecto al eje x para la funcin e intervalosdados.

() =sin cos , [0,]Grfica de la funcin:

Volumen generado por la funcin:

37


64/118


65/118

SOLUCIONARIO

= sin cos 0 Hac iendo sustitucin simple:

= sin =Luego:

= 0

=

2

= (s) desde 0 a Evaluamos:

=2

( 2

0)As:

=

2

Ejercic io 18

Dibuje el slido de revolucin de la regin por debajo de la grfica de f(x),respecto al eje e intervalos indicados. A continuac in, calcule su volumen por elmtodo de las capas.

(

) =

1

+ 1

[0, 2]

respecto a x = 0

37


66/118

SOLUCIONARIO

El problema indica que se gira con respec to a x = 0, lo que sera igual que su girofuera en torno al eje y.

El slido que se genera tiene una altura f(x), y como se trata de una revolucin entorno al eje y la c urva es tomada desde x=0, el radio se considera como x.

37


67/118

SOLUCIONARIO

Se grafica la c urva con losintervalos definidos x=0 yx=2.

Despus de graficar segrafica el slido derevolucin, pero debido aciertas caractersticaslimitadas de WinPlot (oque desconozco si sepueda hacer) slo sepuede graficar la partesuperior del slido.

Para realizar el clculocompleto se puede dividirel slido, evaluando laparte que se puedegraficar y despus resolvertericamente el c ilindroque no puede sergraficado. Se suman

ambos volmenes.

Ejercic io 19

Halle el rea de la regin que se encuentra a la derecha de = + 4 22y ala izquierda de = 3 + 8.A continuac in, tenemos las grficas:

37


68/118

SOLUCIONARIO

Obtenemos los puntos de interseccin paratener, tambin, nuestros lmites de integracin.

3

+ 8 = (

+ 2)

26

3 + 3 4 = ( + 2)3 + 3 4 = + 4 + 4

+ 3 0 = 0As obtenemos que los puntos de interseccinson:

(23,5) y (-10,-6)

As: A= [(3 + 8) ( + 4 22)]5 A= [ + 30]5 A= [ + 30]5

=

33

+2

30

65

Evaluamos:

A=221.8333

Ejercic io 23

Hallar el rea limitada por las grficas de dos maneras: integrando sobre el eje x,e integrando sobre el eje y.

x=9-y 2 ,x=5Evaluando sobre el eje x

Calculando el rea desde -2 hasta 2 de la primer ecuacin

A_1=_(-2) 29-y^2 dy=[9y- y 3/3 ](2@-2)=92/3

Calculando el rea de -2 a 2 de la segunda ecuacin

y

37


69/118

SOLUCIONARIO

A_2= _(-2) 25 dy=20

Se resta A_1- A_2 para obtener el rea de la regin

A_1- A_2=32/3 u 2

Ejercic io 24

La parbola semicbica =3y la recta x=1

Respecto a x primero despejamos y obtenemos =3/asi integramos con los limites de integracin:

2 10 = 2/5 evaluada de 0 a 1= 2(/5 )Respecto a primero despejamos x obtenemos =/3asi integramos con los limites de integracin:

2 10 = 23/5 evaluada de 0 a 1= 2(

3/5 )

Ejercic io 27

Use tanto el mtodo de capas como el mtodo de discos para c alcular elvolumen de revolucin de la regin por debajo de la grfica de:

37


70/118

SOLUCIONARIO

() = 8 3para 0


71/118

SOLUCIONARIO

: = 82.28Pi.Ahora, el volumen por discos es:

= (8 3)0 = (64 163 + )0 :

=(64 4 +7 )desde 0 a dos.: : = 52.28

b) Respecto al eje y.

Por discos:

=

(8

)

3

=

3

=3

5

53

0

0

0

8.

: = 19.2Por cascarones:

= 2 0 (8 3) = 2 8 0 = 2 4 5

5 0 2.

:37


72/118

SOLUCIONARIO

= 25

(48)

= 965

Ejercic io 29

Encuentra la regin encerrada por las curvas y calcula su rea c omo una integralentre los ejes xy y.

Curva 1 + =Curva 2

=

Curva 3 + =Pasando de su

forma implcita a

explcita.

=

=

= 1. Buscar puntos de interseccin:

Igualando la primer ysegunda curva:

= = = =

Igualando la segunda ytercera curva:

= = = =

Igualando la primera ytercera curva:

= = =

Buscar las ordenadas de cada abscisa:

+ = + = = =

= = = + = + = =

37


73/118

SOLUCIONARIO

(2, 2) (1, 1) (0, 4)

Al graficar las tres funciones se observa que para poder calcular el reaencerrada por las tres funciones, se debe de segmentar la figura (que resulta ser

un tringulo) en dos partes, debido a que la parte 1 corresponde al rea entre lafuncin() = y () = , y la parte 2 es el rea entre las funciones() = y() =.

El rea de la regin 1 va desde 0hasta 1, mientras que el rea de la regin 2 vadesde 1hasta 2. Su clculo se realiza por medio de rea bajo la curva, que serael siguiente procedimiento:

(4 ) (4 3) + (4 ) 110 = 2 + (4 2)110 = 2 + (4 2)110

37


74/118

SOLUCIONARIO

= [] 10

+ [4 ] 21

= 1 + (8 4) (4 1) =El rea total del polgono resultante de la interseccin de las tres funciones es 2, ypuede ser comprobado en GeoGebra graficado el polgono con ayuda de los

puntos de interseccin y obteniendo su rea.

El rea obtenida por medio de la graficacin es 2, lo mismo que los clculos, porlo que se supone que es correc to.

Ejercic io 40

Utilice el mtodo ms apropiado para hallar elvolumen de revolucin de la regin B en la figura 12,respecto al eje indicado.

x = -3

Por el mtodo de cascarones si tomamos x+3 como elradio de la base y ( + 2 )como la altura entonces laecuacin queda as

37


75/118

SOLUCIONARIO

V =2 ( + 3)( + 2 ) =0 2 (3 + 3 + 2 + 6) =0 2 + 3 + + 6 0 =523Ejercic io 40

40.- y=x 2 y= 12-x x=0 respecto a y=15

Tenemos el mtodo de arandelas y lo expresamos de la siguiente forma:

= (15 ) 15 (12 )30 Reducimos y resolvemos

= 216 + 29 6 + 30

=

(4653

5)

37


76/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 41

x=2 eje de revolucin de la figura

Tenemos como una carpa entonces por discos los haremos por 2 partes

La primera despejamos respecto a x la curva

X= 2El primer volumen no es afectado por la curva as tenemos:

=

20 v= 8El segundo volumen queda expresado de la siguiente manera:

= (2 2 )^2 = 4 2 + 2

= 83

El volumen total ser la suma

Vt= 8+3

37


77/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 46

Regin entre =(5 )y = 0rotada respec to al eje

(

) =

(5

)

[0, 5]

respecto al eje x

El giro de la curva se hace con respecto al eje x, la altura es igual a y(5-y)y el

radio ser igual a yya que la revolucin se har sobre el eje y no hay espacioentre el eje y el comienzo de la curva, ya que esta comienza en las coordenadas(0,0).

37


78/118

SOLUCIONARIO

Se grafica la c urva con losintervalos [0,5] y se graficasobre el eje x para permitir elgraficado del slido de

revolucin.

A c ontinuacin se grafica elslido de revolucin conrespecto al eje x. En el casodel graficador, la revolucinse hizo con respecto al eje ypor restricc iones del

programa.

37


79/118

SOLUCIONARIO

3.Calcular volumen

El slido de revolucin generado se resuelve mediante cascarones, por lo tanto lafrmula que se utiliza para su resolucin es:

Frmula V 2 () La altura a considerar es igual a la funcin() = ( ) y el radio y.Clculo:

Calculando tericamente:

= 2 ((5 ))50 = 2 (5 3)50

= 2 533 4 50 = 2 5(5)33

(5)4

0 = 2 625

3 625

4

=.

El volumen puede ser comprobado en WinPlot,dando como resultado 327.24para el slido

de revolucin graficado.

. =. 37


80/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 46

Los atletas 1 y 2 corren a lo largo de una pista recta a velocidades v1(t) y v2(t) (en

m/s) segn se muestra la siguiente grfica:

a) Cul de las siguientes magnitudes se representa mediante el rea de la

regin sombreada en [0,10]?

a. La distancia entre los atletas 1y 2 en el instante t=10s.

b. La diferencia de las distancias recorridas por cada uno de los dos

atletas en el intervalo de tiempo [0,10]

Si leemos detenidamente la segunda opcin, podremos percatarnos a que la

diferencia de las distancias recorridas es la distancia entre los atletas, por lo que

ambas opciones son correctas.

b) En base a la informacin facilitada por la figura, es posible determinar

quin se encuentra por delante en el instante t=10s?

D2

D1

37


81/118

SOLUCIONARIO

S es posible, ya que en la figura se representa una grfica velocidad contra

tiempo, cuya rea debajo de la curva representa la distancia recorrida por el

objeto con una cierta velocidad asociada. Ahora, como se tienen dos curvas, la

diferencia de reas en un cierto intervalo, nos representa la distancia entre esos

dos objetos.

c) Si los atletas empiezan a correr en el mismo momento y lugar Quin est

primero en el instante t=10s? Y en t=25s?

En t=10s estar por delante el corredor uno, pues en la figura se puede observar

que es quien empieza con una mayor velocidad y por lo tanto recorre mayor

distancia en el intervalo de tiempo [0,10]. Adems, la diferencia de las reas nos

indica la distancia entre ambos corredores.

En t=25s estar enfrente el corredor 2, esto, debido a que si observamos nuestra

grfica, D1 es la distancia de un corredor a otro en el instante t=10s, pero despus

de ese instante, el segundo corredor acelera y se obtiene que en el intervalo de

tiempo de [10,25] existe una distancia entre los corredores de D2, ahora, para

saber quin va enfrente en el intervalo [0,25] basta restar D2-D1, y si D1 es mejor

que D2, el segundo corredor ir enfrente, pues esto significa, que logr sacar ms

ventaja cuando tuvo una mayor velocidad que el primero. Cmo este es el caso,

en el que D2 >D1, el corredor que ir enfrente en el instante t=25s es el segundo.

Ejercicio 49Halle el volumen de revolucin respecto al eje facilitado de la regin limitada por

las grficas:

=

, = , , =

La grfica es la siguiente:

37


82/118

SOLUCIONARIO

Encontramos los puntos de interseccin pues sern nuestros lmites de integracin,

que son: (1,9) y (3,1)

Luego, el volumen por arandelas es:

= Dnde:

=

y r=12-(

)

As, el volumen es:

= ( ( )) =

( ) = + ( + + )

Desarrollamos, y obtenemos que:

V=78.9337


83/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 50

Enuncie una integral que exprese el rea limitada por las grficas y=(1+x^2 )^(-1),y=x 2.

Se calcula el rea debajo de la curva de y=(1+x^2 )^(-1) y se le resta el rea bajola curva de ,y=x^2 desde -0.8 a 0.8

A= _(-0.8) 0.8(1+ x 2 ) (-1) - x 2

Ejercic io 51

Integral que exprese el rea limitada por las curvas y= (1+x 2) -1 y y=x 2

37


84/118

SOLUCIONARIO

Obtenemos los puntos de corte

= 1 +5 y = 1 +5 Y asi expresamos la integral de la siguiente manera

(1 + x)1 x1+5 1+5

Ejercic io 61

Explique geomtricamente (sin clculos).

+ = >

37


85/118

SOLUCIONARIO

1. Se considera que la suma de las regiones 1, 2 y 3 da como resultado 1, ya

que en s, la figura geomtrica que se forma es un cuadrado de 1 x 1, siendo su

rea total igual a 1

+ + =Pero tambin se tienen en cuenta las reas bajo la curva: y son inversasentre s, y si se visualiza el rea bajo la curva de cada funcin se puede denotar

lo siguiente:

37


86/118

SOLUCIONARIO

() = () = En la figura del lado derecho se visualiza de esa manera, ya que siendo esa curva

la inversa de la curva de la primera grfica, se puede suponer que su rea bajo la

curva sera tal y como se representa. Algo que tienen en comn ambas reas

bajo la curva es la regin 2, y tal rea sera la misma para ambos casos.

Otra observacin es que siendo las dos curvas inversas entre s, y al ser dividido la

figura cuadrangular por una recta identidad se denotar que las curvas son

simtricas, adems de que las regiones 1 y 3 poseen la misma rea, por lo que se

37


87/118

SOLUCIONARIO

podra decir que la suma de dos veces la regin 1 la regin 3, ms la regin 2

da un total de 1 unidades para el rea total de la figura.

+

=

+ + = + () =

FORMAS INDETERMINADASEjercicio 1Calcular el siguiente lmite

lim0 11. Evaluar direc tamente el lmite.

lim0 1 = (0) 10 = (0) = (0) ()2. Debido a que se tiene una indeterminac in del tipo (0) (), se procede areescribir la funcin como cociente para encontrar un tipo de indeterminacinque pueda ser resuelta por medio de LHopital.

lim0 1 = lim0 1

1 3. Se evala el nuevo lmite para saber si posee una indeterminac in

aplicable a LHopital.

lim0 11 = (0)1

10 = (0)1

10 = 1010 = () =

4. Efectivamente, posee una indeterminac in del tipo /, por lo que sepuede aplicar la regla de LHopital, y posteriormente reducir la expresin:

37


88/118

SOLUCIONARIO

lim0 11 = lim0 ( 1) 1 = lim0

( ) + (0) 1 1 = lim0

( ) 1

= lim0

1

= lim0 1

5. Finalmente, se calcula el lmite:

lim

0 1=

10=

=

= 0

Ejercicio 2

Si lim0[1 + ] = Determine el valor de a.1. Tomando a como una constante, evaluar directamente:

lim0 [1 + ] = [1 + (0)]0 = [1 + 0] = 12.

Debido a que se trata de una indeterminacin de 1, se procede a utilizarlogaritmos para encontrar una solucin al lmite.

3. Se asume que el lmite existe:

= lim0 [1 + ] = ln lim0 [1 + ] = lim0 (1 + ) = lim0 (1 + )

4. Por el un momento se a sla el lmite y se evala:

lim0 (1 + ) = 1 + (0)0 = (1)0 = (0)0 = 0037


89/118

SOLUCIONARIO

5. Como se obtiene una indeterminacin del tipo 0/0 se aplica la regla deLHopital:

lim

0 (1 + )

= lim

0 (1 + )

(

)

= lim

0 11 +

1

= lim

0

1 +

6. Se regresa el lmite al logaritmo, y se evala:

ln = lim0 1 + ln =

1 + (0)ln

=

1=

7. Aplicando ley de los exponentes:

=8. Regresando al lmite original:

=4 = = = Ejercicio 3

lim + 5 + 3 1. Evaluar direc tamente para conocer si tiene algn tipo de indeterminac in:

lim

+ 5

+ 3

=

(

) + 5(

) + 3

(

) =

+

+ 3

=

= 2. Se obtuvo una indeterminac in del tipo , por lo que se procede asumar los trminos del lmite. Se puede optar por resolverlos porracionalizacin:

lim + 5 + 3 + 5 + 3 + + 5 + 3 + 37


90/118

SOLUCIONARIO

= lim ( + 5 + 3) + 5 + 3 + = lim (5 + 3) + 5 + 3 + = lim

5 +

3

1 + 5 + 3 + 1

3. Evaluar el lmite:

lim 5 + 31 + 5 + 3 + 1 =

5 + 3(0)1 + 5

(0) + 3(0) + 1=

(5)1 + 1 = 51 + 1 = 52

En los ejercicios 11 a 36 evaluar el lmite, usando la regla de LHpital si esnecesario. (En el ejercicio 18, n es un nmero entero positivo).

Ejercic io 18

( + ) Solucin:

Para n=1, tenemos:

lim0 (1 + ) =0 ( 1 + 0+)0+ = 1 10+ = 0+0+As tenemos una indeterminac in de tipo

00, entonces, aplicando regla deLHpital tenemos:

lim0 [ (1 + )]

(

)

= lim0 1 =0 1 = 1 1lim0 (1 + ) = 0

Para n2, tenemos:

lim0 (1 + ) =0 ( 1 + 0+)(0+) = 1 10+ = 0+0+37


91/118

SOLUCIONARIO

As tenemos una indeterminac in de tipo00, entonces, aplicando regla de

LHpital tenemos:

lim

0

[

(1 +

)]

()= lim

0

1

1=

0

1

(0+)1=

1

1

0+=

0+0+

Luego por la indeterminacin de tipo00podemos seguir aplicando regla de

LHpital, entonces:

De aqu podemos dividir el lmite en dos casos:

o Para n=2, tenemos:

lim0 ( 1) (2) = lim0 2 =02 lim0 (1 + ) = 12

o Para n>2, tenemos

lim0 ( 1) (1) = lim0 ( 1) = 0( 1)(0+) = 10+

lim0 (1 + ) =Ejercic io 20

(

)

()

Solucin:

lim0 sin()sin() = sin[(0)]sin[(0)] = sin(0)sin(0) = 00

37


92/118

SOLUCIONARIO


LHpital tenemos:

lim

0

[sin(

)]

[sin()]= lim

0 cos(

)

cos()=

lim

0cos(

)

cos()=

lim

0cos(

)

lim0 cos()=

cos[

(0)]

cos[(0)]=

cos(0)

cos(0)

lim0 sin()sin() =Ejercic io 32

Solucin:

Tomamos la siguiente relacin, de acuerdo al rango de la funcin seno:1 sin 1Dividimos todo entre :

1 sin 1 Aplicando a toda la relac in lmite cuando x tiende a infinito, tenemos:

lim

1

lim

sin

lim

1

Se sabe que:lim 1 = 1 = 1 = 0

lim 1 = 1 = 1 = 0

As, tenemos:

0 lim sin 0Y por el teorema de emparedado sabemos que:

37


93/118

SOLUCIONARIO

lim sin = 0Ejercic io 36

Solucin:

lim =

= =As tenemos una indeterminac in de tipo

, entonces, aplicando regla deLHpital tenemos:

lim () = lim 12 = 12 lim = 12 = 12 ()lim

=En los ejercicios 37 a 54, a) describir el tipo de forma indeterminada (si hay) que seobtiene por sustitucin directa, b) evaluar el lmite, usando la regla de LHpital sies necesario, c) usar una calculadora para hacer la grfica de la funcin yverificar el resultado.

Ejercic io 37 Solucin:

a) No existe forma indeterminada, pues:

lim ln = ln = ()()b)

lim ln =c)

37


94/118

SOLUCIONARIO

37


95/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 39

Solucin:

a)Tenemos la forma indeterminada 0 , pues:lim sin 1 = sin 1 = sin0 = 0

Podemos reescribir el lmite para encontrar una forma indeterminada diferente:

lim sin1

1

=sin

11

=sin0

0=

0

0

As tenemos una indeterminac in de tipo 00, entonces, aplicando regla deLHpital tenemos:

lim sin 1 1 = lim

cos 1 1 = lim cos1 = cos 1 cos 0

b)

lim sin 1 = 1c)

37


96/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 41

Solucin:

a) No existe forma indeterminada, pues:

lim0 1 = (0+) 10 = (0+)+b)

lim

0

1 = 0

c)

Ejercic io 43

Solucin:

a)Tenemos la forma indeterminada 0, pues:lim 1 = 1 =0

Definamos la siguiente funcin:

= lim 1Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresin:

ln = ln lim 1 = lim ln 1 = lim ln = ln =37


97/118

SOLUCIONARIO

As tenemos una indeterminac in de tipo, entonces, aplicando regla de

LHpital tenemos:

ln

= lim

(ln

)

()= lim

1

=

1

= 0

Regresando al lmite original, tenemos:

= =0b)

lim 1 = 1

c)

37


98/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 45

( + )Solucin:

a)Tenemos la forma indeterminada 1, pues:lim 1 + 1 =1 + 1 = (1 + 0) = 1


= lim 1 + 1Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresin:

ln = ln lim 1 + 1 = lim ln 1 + 1 = lim ln 1 + 1 = ln 1 + 1= ln 1 = 0

As, tenemos la forma indeterminada 0 , pero podemos reescribir el lmite paraencontrar una forma indeterminada diferente:

ln

= lim

ln 1 + 1

1

=

ln 1 + 1

1

=

ln 1

0=

0

0


LHpital tenemos:

ln = lim ln 1 + 1 1 = lim 1 + 1 = lim

+ = + =Luego por la indeterminacin de tipo

podemos seguir aplicando regla de

LHpital, entonces:

ln = lim () ( + ) = lim2

2 + 1 = 2()2() + 1 = + 1 =Una vez ms encontramos una indeterminac in de tipo

podemos seguiraplicando regla de LHpital, entonces:

37


99/118

SOLUCIONARIO

ln = lim (2) (2 + 1) = lim2

2= lim 1 = 1


= =1b)

lim 1 + 1 =

c)

Ejercic io 47 ( + )Solucin:

a)Tenemos la forma indeterminada 1, pues:lim0(1 + )1 = (1 + 0+) 10 = 1


= lim0(1 + )1Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresin:

ln = ln lim0(1 + )1 = lim0 ln(1 + )1 = lim0 ln(1 + ) = ln(1 + 0+)0+ 37


100/118

SOLUCIONARIO

=ln 1

0+ = 00+As tenemos una indeterminac in de tipo

00, entonces, aplicando regla deLHpital tenemos:

ln = lim [ln(1 + )] () = lim01 + 1 = 10+ + 1 = 1


= =1b)

lim0(1 + )1 =c)

Ejercic io 49

( )Solucin:a)Tenemos la forma indeterminada 00, pues:

lim1(ln )1 = (ln 1+)11 = 00Definamos la siguiente funcin:

= lim

1(ln

)1

Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresin:

ln = ln lim1(ln )1 = lim1[ln(ln )1] = lim1[( 1)ln(ln )]= (1+ 1)ln(ln 1+) = (0+)ln(0+) = 0+

37


101/118

SOLUCIONARIO

As, tenemos la forma indeterminada 0 , pero podemos reescribir el lmite paraencontrar una forma indeterminada diferente:

ln = lim1

ln(ln )1

1

=ln(ln 1+)

1

1+ 1=

ln(0+)1

0+=

+

As tenemos una indeterminac in de tipo , entonces, aplicando regla deLHpital tenemos:

ln = lim1 [ln(ln )] 1 1 = lim1 ( 1) ln = (1+ 1)1+ ln(1+) = (0+)(1+)(0+) = 0+0+

Luego por la indeterminacin de tipo00podemos seguir aplicando regla de

LHpital, entonces:

ln = lim1 [( 1)] ( ln ) = lim1 2( 1)ln + 1 =2 (1+ 1)ln(1+) + 1 =2 0+0+ + 1 = 0


= =0b)

lim

1(ln

)

1= 1

c)

Ejercic io 51

Solucin:

a)

Tenemos la forma indeterminada , pues:lim 8 4 2 = 8(2+) 4 2+2+ 2 = 84+ 4 2+0+ = 80+ =

37


102/118

SOLUCIONARIO

Reescribamos la funcin, para encontrar la solucin:

lim 8 4 2 = lim 8( 2) ( 4)( 4)( 2) = lim ( 2)( 2) 8 ( + 2)( 4) = lim

8

(

+ 2)

4 = lim8

2

4 = lim + 2

8

4 = lim(

2)(

+ 4)

( + 2)( 2)= lim + 4 + 2 = 2+ + 42+ + 2 = 64

b)

lim 8 4 2 = 32c)

51. Solucin:

a)Tenemos la forma indeterminada , pues:lim 1 4 1 4 = 1(2+) 4 2+ 1(2+) 4 = 14+ 4 1+4+ 4 = 10+ 1+0+

= Reescribamos la funcin, para encontrar la solucin:

lim

1

4 1

4= lim

1

1

4= lim

1

1

1 +

1

( 4)1 + 1

= lim 1 ( 1)( 4)1 + 1 = lim 1 ( 1)( 4)1 + 1 = lim 2( 4)1 + 1= lim 2( + 2)( 2)1 + 1 = lim 1( + 2)1 + 1

37


103/118

SOLUCIONARIO

= 1(2+ + 2)1 + 2+ 1 = 1(4+)1 + 1+ = 1(4+)(1 + 1+) = 1(4+)(2+)b)

lim 1 4 1 4 = 18c)

Ejercic io 52

Solucin:

a) Tenemos la forma indeterminada , pues: = () = =

Reescribamos la funcin, para encontrar la solucin:

limx1 3x x1= limx1 3(x1)xx(x1) Sustituyendo direc tamente:

()() = 3(11)xx(11) = 000 = (00)Indeterminac in que se resuelve aplicando el Teorema de L Hopital

Utilizando LHopital

()+()

Sustituyendo direc tamente:

()+() = (1)+() = 10+ =10=

37


104/118

SOLUCIONARIO

Ejercic io 57

+

+

Solucin:

a) Tenemos la forma indeterminada , pues: + + = + + = = Reescribamos la funcin, para encontrar la solucin:

+ + =( ++ ) (++++++)= (+++++) =( ++++)=( +++) + ( +++)=( +++)+( +++) =

Simplificamos:

(

++

+

(

)) =

(

+

) ;Por linealidad

(

+)

Sustituyendo directamente:

0

37


105/118

SOLUCIONARIO

(

+) =(

+)=( +)

Indeterminac in que se resuelve aplicando el Teorema de L Hopital ; UtilizandoLHopital:

( +) = ( + +)

Sustituyendo direc tamente:

( + +) = (

++) = ( +) = ( )Ejercic io 61

Encontrar las funciones derivables f y g que satisfacen la condicin especificadatal que:

()= 0 ; ()= 0g(x) = x 5 ; f(x) = 25Solucin:

a) ( )=(()(+) )=( + )Sustituyendo directamente:

( 5 + 5 ) =10

Puede interpretarse como la raz de un polinomio.

Ejercic io 62

Encontrar f(x) y g(x) tales que:

()=

() =y

[() ()]=25() = + ; () = , :() = + = + = () = = =

37


106/118

SOLUCIONARIO

[() ()] =[ + ( )] =[ + + )]= =

Ejercic io 75

= = () = =Esta mal aplicado el Teorema de LHopital pues con una sustitucin directatenemos:

= = = 0Y no es de la forma 00 ;

Ejercic io 76

= = Esta mal aplicado el Teorema de LHopital pues con una sustitucin directatenemos: = () = =

Y no es de la forma00 ni de la forma ;

Ejercic io 91

[

++] =

+ =

+

=

Falso, Pues no aplica el Teorema de LHopital en la sustitucin directa.

[++ ] = ++ = =37


107/118

SOLUCIONARIO

Y no es de la forma00 ni de la forma ;

Ejercic io 92

= [] entonces = []Falso, pues:

= [ ] = + Ejercic io 93

Si p(x) es un polinomio entonces [() ] = Verdadero, pues el polinomio del numerador ser dividido por el elemento de

mayor grado, dejando al de mayor exponente multiplicando: ( 1+1x + 1x + + 1x)

y haciendo una sustitucin direc ta tendramos:

(++ ++) =(+ + ++ ) =(++++) =Ahora aplicaramos LHopital hasta que no tengamos ms que derivar en elnumerador teniendo:

= =Ejercic io 94

Si [()()] = entonces [() ()] =Verdadero por las propiedades:

[()()] = [()][()] = Entonces,[()] =[()]Ahora:

37


108/118

SOLUCIONARIO

[() ()] = [()] [()]Pero son iguales, finalmente:

[

(

)]

[

(

)] =

Ejercic io 99

Encontrar los valores de a y b, tal que:

[ ] = Si sustituimos directamente tenemos un cero al denominador 0 y como no seindetermina significa que el numerador debe ser 0 para poder aplicar LHopital.

Eso significa que:

= cos(0) = 1 = 0Por lo tanto a = 1

Aplicamos LHopital

[ ] = = ()() = Con esta indeterminacin podemos aplicar LHopital de nuevo.

=

=

(

)

=

=

= =

Integrales impropias

Ejercicio 1

Calcular la siguiente integral

37


109/118

SOLUCIONARIO

4 1 1. Al analizar la funcin se puede observar que sta no es continua en x=-2

lim 4 1 2. Para poder resolver la integral se utiliza el mtodo de cambio de variable:

= 4 =2

lim 12

1

lim 12 ()11 = lim 12

112

1 = lim 12 24 1 = lim 4

13. Evaluar la integral:

lim

4

1

= lim

4

(1)

4

(

)

= lim 4 1 4 = lim 3 4 4. Evaluar el lmite:

lim 3 4 =3 4 4 =3Ejercicio 2


1() 1 1. Al analizar la funcin se puede observar que sta tiene una discontinuidad

infinita en x=1.

37


110/118

SOLUCIONARIO

Esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad infinita enel punto interior x=1, por lo que puede ser escrita de la siguiente forma:

1() 1 = 1() 1

1 + 1()

1

1() 1 = lim1 1() 1 + lim1 1() 1() 1 = lim1 1 ()

1 + lim1 1 ()

2. Para integrar se utiliza el mtodo de cambio de variable:

=()

=

1

1() 1 = lim1 ()

1 + lim1 ()

1() 1 = lim1 1()1 + lim1

1()

1() 1 = lim1 1() + 1 1 + lim1 1() + 1() 1() 1 = lim1 1() 1 + lim1 1() + 1()

37


111/118

SOLUCIONARIO

1() 1 = ( 1) + (1 + )3. No converge. Si una integral no converge, entonces la segunda integral

tampoco lo hace, como se ve en el resultado.

Ejercicio 3


(1 + ) 1

1. La integral impropia es continua en el intervalo [1, ], por lo tanto seescribe de la siguiente forma:

lim (1 + ) 1 2. Para integrar se utiliza el mtodo de cambio de variable:

= 1 +

= 2

= lim 12 1 = lim 12 1 1= lim 12 1

1

= lim 12 11 + 1= lim 12 11 + + 12 = lim 12(1 + ) + 14

3. Evaluar lmite:

37


112/118

SOLUCIONARIO

lim 12(1 + ) + 14 = 12(1 + ()) + 14 = 12(1 + ) + 14= 1

+

1

4=

1

4

4. La integral impropia converge, ya que el lmite existe.

Ejercicio 4

Determinar si la sucesin converge o diverge

2 1 2 + 1

= 2

1

2

+ 1

lim()lim 1 +1 = lim 1 +1= lim (+1)(1)(1)(+1) = lim +()1 lim

+

1= lim

1=

LH = lim

=

=

1

37


113/118

SOLUCIONARIO

Hallar una frmula para la n-sima suma parcial y usarla para hallar siconverge

51 + 53 + 53 + + 5(+1) + 1 = 51 = 5 = 51 + 53 = 103 3 = 51 + 53 + 53 = 15 = 5+1lim()= lim 5+1= LH = lim 51= 5

37


114/118

SOLUCIONARIO

Use el criterio apropiado para determinar si converge o diverge

1=3

=

1

> 0

3

= 1 Esta serie converge

lim = lim = lim = lim = lim lim = lim = LH = lim ()() = 2

, Ejercicio 5

Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergen

o divergen, si convergen calcule el lmite.

13 2=1

Solucin:

Por el criterio de la razn:

lim

Debido a que la serie es positiva, omitiremos el valor absolutolim Primeramente realizamos la divisinlim 33 Posteriormente para calcular el limite dividimos todo entre el elementode mayor exponente, es decir, entre 3n+1

37


115/118

SOLUCIONARIO

lim Ahora realizamos la separacin de 3n+1como (3n)(3) y reducimos

trminos

lim

1 Al sustituir n por obtenemos que

lim 1 =

13Debido a que 3 = 0El criterio de la razn nos dice que si el lmite de a n< 1 converge por lo tanto

+

+ =


116/118

SOLUCIONARIO

Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergeno divergen, si convergen calcule el lmite.

sin3

4

=1

Recordando que el seno tiene valores de entre -1 y 1 procedemos

1 sin 1Elevamos todo al cubo1 sin3 1Obtenemos el valor absoluto de cada miembro|sin3 | |1|El valor absoluto de 1 siempre ser 1, por ello podemos omitirlo;dividimos entre 4n

s

1

La serie1

es una serie que converge, y por comparacin podemos

concluir que si

1converge por lo tanto s tambin lo hace, sin embargo el valor absoluto nosindica que lo hace de manera absoluta.

SE CONCLUYE QUE CONVERGE ABSOLUTAMENTE

37


117/118

SOLUCIONARIO

Determinar si las series convergen absolutamente, condicionalmente o divergen

(1)+1 1(2 1)=1

Solucin:

*Verificar si es decreciente

Comenzamos con la desigualdad

2 0Sumamos 2n a ambos lados

2 + 2 2 + 0Factorizamos al 2 del lado derecho

2( + 1) 2Restamos 1 a ambos lados

2( + 1) 1 2 1Intercambiamos trminos con el rec iproco de cada uno

(

+

)

Con ello se verifica que sea DECRECIENTE

*Verificar si converge o diverge calculando el lmite cuando n tiende a infinito

lim 11Evaluando obtendremos que =Por lo tanto la serie CONVERGE*Verificar que sea mayor que cero

>Es relativamente senc illo ya que sin importar los valores de n mayores oiguales a 1 que demos, siempre obtendremos un valor mayor a cero.Al cumplir los 3 criterios anteriores se concluye que la serie CONVERGE.

37


118/118

SOLUCIONARIO

Ejercicio 7

Determinar si la sucesin converge o diverge

lim

((

+ 1)

)

= Halle la suma para el n-esimo trmino.

ln( +1)=1 Sn= ln 1 l n 2 + l n 2 l n 3 + l n 3 ln + 1 = ln1 ln( + 1)

= lim

ln 1

ln

+ 1

Calcular si la siguiente serie converge o diverge

22 + l n =1 = 22 + = 0

= 1 lim 22+ ln()1 =

22+ ln() = 21 = 2 =

Solucionario_CalculoAplicado_ESCOM

Documents

Transcript of Solucionario_CalculoAplicado_ESCOM