Soluciones de Practicas Mate3
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PRCTICA N11) Un segmento fijo de longitud h es la altura relativa a la
hipotenusa de un triangulo rectngulo variable. Determine la
ecuacin vectorial y su grafica de los puntos de interseccinde uno de los catetos con la circunferencia de centro en elvrtice a dicho cateto de radio r.
SOLUCIN:
Reemplazando 2 en 1
. /
Ecuacin de la curva es la de una hiprbola
-
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2) Determine las ecuaciones del plano normal y osculador en
la curva de interseccin de las superficies ; en el punto (-1,1,2).SOLUCIN
Evaluando en el punto (-1,1,2):
, - , - , - Evaluando en el punto (-1,1,2) y de (1):
Para el plano normal:
, -
-
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3) Sea C la curva descrita por . /; a R. Hallela torsin , si es la medida del ngulo que determina la
Binormal con el eje
.
SOLUCIN
Sea:
Sea: Tomando modulo al producto
escalar:
Reemplazando (2) en (1):
4) La circunferencia : es osculatriz en el puntoA(1,2) a una parbola cuyo eje es paralelo al eje .Determine la ecuacin de la parbola.
SOLUCIN
Sea: Definimos la ecuacin de la
parbola:
Entonces derivando y evaluandoen A=(1,2):
Del dato:
||, -
-
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, -
, - Reemplazando en la ecuacin de
la parbola y en el punto A=(1,2):
Entonces, la ecuacin de la
parbola es:
5) Una partcula se desplaza a lo largo de la curva : de tal manera que las componentes vertical yhorizontal del vector aceleracin son iguales. Si invierte Tsegundos en ir (C,0) al punto (0,D). Cunto tiempo invertir
en ir desde (C,0) a la mitad del camino . /?SOLUCIN
Tomamos:
, - Como nos dice que las componentes
de la aceleracin son iguales:
, -
. / Para:
Ahora para el punto . /
-
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6) Determine las ecuaciones intrnsecas de la curva deinterseccin de las superficies
.
SOLUCIN
Sea:
Ahora:
()
()
(()() ) (() () )Entonces:
(
)
7) Sea la curva C: donde s es elparmetro longitud de arco. Calcule k(s):
SOLUCIN
Sea:
,-
,- ,-Sea:
,
-
Entonces: | |
-
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8) Sea la curva C: Determine su curvatura en los puntos de abcisa x=1 yordenada racional
SOLUCIN
Sea: Evaluamos la curva en x=1
Como posee solucinirracional
Entonces:
9) Sea una curva descrita por Determinela indicatriz esfrica de sus Binormales.
SOLUCINSea: Entonces definimos:
-
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10) Determine la Torsin y la Binormal de lainvoluta de una curva definida por
SOLUCIN
De la forma de la involuta: Sea y ,- Tomando modulo:
.(I)
Derivando (I):
Tomando modulo:
-
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PRCTICA N2
1) Una partcula seguidora de calor parte del origen. Su ladistribucin de temperatura viene dad por la funcin escalar definida por entonces Cul es la ecuacin de la trayectoria descritapor la partcula?
SOLUCIN
Sea: Entonces
seala la mayor
variacin de temperatura
=> Sea la ecuacin de la
trayectoria => =>
Para => Entonces al igualar:
2) Suponga que una cierta regin del espacio el potencialelctrico V esta definido por la funcin escalar tal que a) Determine la razn de cambio del potencial en el punto
P=(3,4,5) en la direccin del vector b) Cul es la razn mxima de cambio en el punto P?
SOLUCIN
a) De la definicin de la derivada direccional:
Entonces evaluando en el punto P=(3;4,5): b) De la definicin del producto escalar:
Ahora, para que la derivada direccional sea mxima
=>
-
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3) Un cilindro cuya ecuacin es es tangente a lasuperficie en todos los puntos comunes alas dos superficies. Calcule
SOLUCIN
Sea
4) En que puntos de la superficie el plano tangente
es paralelo al plano ?SOLUCIN
Sea la superficie:
, -
Ahora reemplazando en la
superficie obtenemos los puntos:
-
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5) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones,justificando su respuesta.
I. Si es una funcin escalar, entonces II. Si es la funcin escalare definida por , entonces III. Si para todo en alguna vecindad del origen, entonces | | para todo en esa vecindadSOLUCIN
I.FALSO
El lmite no necesariamente cumple ya que solo cumple en polinomios y la
funcin tendra que ser continua en ese punto. Comprobemos con uncontraejemplo:
Sea: Por trayectorias:
Para Para Como no es continua en(2,5)
II. VERDADERO
Partimos de la definicin de la derivada direccional y sea Como: Tenemos que:
Tomando modulo:
|| Pero: Entonces concluimos que:
III.VERDADERO
De la expresin: | | ||
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6) Sea la funcin escalar definida por {
. Es diferenciable en ?
Justifique su respuesta.
SOLUCIN
( ) Por trayectorias, se demuestra que es continua:
Para Para
Para Por trayectorias, se demuestra que es continua:
Para
Para Para Por lo tanto, si es diferenciable en
-
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7) Determine todos los valores extremos absolutos y relativos y los
puntos de silla para la funcin escalar definida por de la regin cuadrada
SOLUCIN
Para hallar los puntos crticos:
Obtenemos el punto: Ahora, hallamos:
Por el criterio de la segunda
derivada:
Entonces, 8 es su mximo relativo
y no existe un punto de
ensilladura.
8) Suponer que una montaa tiene forma de un paraboloide
elptico
siendo a, b y c constantes
positivas, x e y son las coordenadas este-oeste y norte-sur,y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y, z estn medidasen metros). a) En el punto (1;1), en que direccin aumentamas rpido la altitud? b) Si se suelta una canica en (1;1),en que direccin comenzara a rodar?
SOLUCIN
a) Al momento de tomar la gradiente negativa obtenemos la direccin de
aumento de la altitud evaluando en el punto (1;1):
b)Ahora la direccin en que comienza a rodar solo es la gradienteevaluada en el punto (1;1):
-
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9) Sea la curva suave que es la solucin de la ecuacindiferencial . Calcule la curvaturade la curva .
SOLUCIN
Sea: Despejando de la ecuacin dada:
( )
|| ( ) 10) Grafique mediante las curvas de nivel, la superficie cuyas
ecuaciones paramtricas son:
. / SOLUCIN
Elevando al cuadrado hallamos una relacin: Entonces para hallar sus curvas de nivel
hacemos La cual es una familia de elipses
Entonces, su grafica en el espacio ser:
Hiperboloide de una hoja
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PRCTICA N31) Calcule
* , - , -+ SOLUCIN
Entonces transformando la integral doble:
2) Deducir la ecuacin del cono circular recto cuya altura mideH y el radio de la base mide R, y luego calcule su momentode inercia.
SOLUCIN
Calculando el momento de inercia del cono, como es simtrico al plano XY
solo actuaria en el eje Z:
Ahora, transformamos a coordenadas cilndricas:
* +
-
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3) Grafique la regin de integracin y evale en coordenadascilndricas
SOLUCIN
De la expresin obtenemos el dominio:
* +Ahora hallamos las superficies:
Como: De la definicin:
Entonces, transformamos a cilndricas:
* +
4) Resolver
a) Demuestre que la ecuacin de Euler para la funcional
se
puede escribir de la siguiente manera: b) Calcule la funcin estacionaria para SOLUCIN
a) De la ecuacin de Euler:
-
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b) de la integral:
La ecuacin de Euler seria:
5) Calcule
* + SOLUCIN
Del grafico obtenemos:
* +
Entonces, transformando a polares:
* +
-
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6) Evale ,- SOLUCIN
Redefiniendo la integral iterada:
,-
,- ,-
,-
7) La carga se distribuye sobre el disco de modo
que la densidad de carga es . Calculela carga total sobre el disco.
SOLUCIN
De la definicin de carga elctrica:
Transformando a polares tenemos: * +
, -
-
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8) Complete los espacios en blanco, justificando susrespectivas respuestas:
a)
asume la forma _____________ en coordenadas
cilndricas y la forma ________________ en coordenadas
esfricas.
b) se convierte en _________________en coordenadas cilndricas.
c) Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces , escrita como integral iterada en coordenadasesfricas se convierte en _______________.
d) El valor de la integral de la pregunta (c) es___________________.
SOLUCIN
a)asume la forma en coordenadas cilndricas y la forma en coordenadas esfricas.Para las coordenadas cartesianas:
Para coordenadas cilndricas:
Para coordenadas esfricas:
-
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se convierte en en coordenadas cilndricas.De la grafica obtenemos que es un cilindro:
* +
c)Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces ,escrita como integral iterada en coordenadas esfricas se convierte en d)
9) Responda verdadero o falso a cada una de las siguientes
afirmaciones. Preprese para justificar sus respuestas.
a) Si
, entonces
.
b) Hay tres posible ordenes de integracin para una integral triple.
c) Si * +, entonces d) SOLUCIN
a) VERDADERO
Si en una regin R, entonces grficamente se cumple:
-
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b)FALSO
Dependiendo de las condiciones a las que se adecue el problema, existen
6 posibles ordenes de integracin:c) VERDEDERO
d)VERDADERO
10) Considere el solido acotado en el primer octantesuperiormente por el plano
, los planos
. Calcule su volumen de dos maneras:a) mediante una integracin b) mediante una integracin SOLUCIN
=4
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EXAMENPARCIAL
1) Existe el siguiente limite
? Justifique
su respuesta.SOLUCIN
Reduciendo para Entonces el lmite seria:
Ahora demostrando la existenciadel lmite por trayectorias:
Para Para
Para Por lo que obtenemos que:
Entonces, generalizando:
2) Determine, si existe una funcin armnica
tal que
./, si es una funcin real de variable realdiferencial.SOLUCIN
Para que sea una funcinarmnica se tendra que cumplir:
Sea ,- []
Entonces, de la ecuacin de
Laplace:
Se nota que no se puede expresar
con una funcin que dependa de t
=>no es una funcin armnica.
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3) Enuncie y demuestre la segunda ley de Kepler.
SOLUCIN
La segunda Ley de Kepler nos dice:
Una recta imaginaria (radio vector) que une el so, con el planeta barre
reas iguales en tiempos iguales.
Ahora para demostrarla tendremos que:
Sea:
Obtenemos:
-
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4) Indique el valor de verdad de las siguientes preposiciones:
a) Si una funcin
es diferenciable, entonces
es un vector unitario. Fundamente surespuesta.b) Existe una funcin tal que . Fundamente su respuesta.SOLUCIN
a)Sean los puntos de la recta que pasa por en direccin del vector
:
Como:
( )
( ) b) Por teora, la gradiente de una funcin es un vector y se puede expresar
en una forma cartesiana.
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5) Sea la funcin escalar definida por Si es diferenciable en el punto , entoncesdemuestre:
SOLUCIN
De la definicin de diferenciabilidad:( ) ( ) ( ) Luego hacemos: Reemplazando: ( ) Despejando la ecuacin y tomando lmite tenemos:
( ) 6) Determine la ecuacin del plano tangente a las superficies
en el punto que contiene al punto de tangencia de lasdos superficies: SOLUCIN
De las superficies obtenemos: , -
Operando: Entonces, para el plano tangente: , -
, -
-
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7) Demuestre que la evoluta de la curva ; a>0 y b>0,es una espiral logartmica.
SOLUCIN
Sea la evoluta:
8) Una partcula se desplaza en con vector de posicin , - 0 1En el instante la posicin de lapartcula es . /y su velocidad es . Encada instante la aceleracin de la partcula es . Encuentre la curvatura de la curva descrita por el vector de la posicin en cualquier instante t.
SOLUCIN
De los datos del problema tenemos: [ ] [ ]
,
-
-
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9) Sea la funcin escalar definida por lasiguiente regla de correspondencia
Analice la derivada direccional de en el punto , en ladireccin del vector segn los valores de SOLUCIN
De la definicin de la derivada direccional:
Para: Para: 10) Transformar la ecuacin
pasando a lascoordenadas polares
SOLUCIN
Sea:
Reemplazando:
-
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PRACTICA N5
1) Determine el flujo del campo (x;y;z)=(y;-x;z) a travs de lasuperficie de la esfera de centro en el origen y radio R.
x2+y2+z2=R2
2) Use el teorema de Stokes, para calcular el rea de la reginacotada por el polgono convexo cuyos vrtices son(x1;y1),(x2;y2),,(xn;yn)
y-y1=()x+c
dy=(
)dx
+ = dx+ dx=
3) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones,
fundamente su respuesta.
I)Existe un campo vectorial tal que II)Sean los campos vectoriales =(x;y;z), (x;y;z)=(x;y-1;z).Calcule div(
|| ||)I)Si existe
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II)=(x;y;z), (x;y;z)=(x;y-1;z)div(
|| ||)=div(
|| ||)
=div(|| ||)=+
=div(|| ||)= +
4) Sean H: x2+y2+z2=4, T:z=4-y2-x2,z0.Calcule.(x;y;z)=(x;y;z)
= ds=0- =-24
5) Si F y G son funciones escalares de clase C2, entoncesdemuestre que(FG)=F
Sugerencia: use notacin de ndices
() (FG)=F
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6) Evalue la integral de superficie , siendo S lasuperficie del paraboloide z= x2+y2 que esta debajo delplano z=4.
ds= ds= I= Haciendo r=
dr=
I=( )7) evalue la integral de lnea , siendo C una curva
suave por tramos simple y cerrada que encierra al origen decoordenadas y el campo vectorial es .
Como F no es continua en el origenTomando una circunferencia que encierra el origen
x2+y2=a2
entonces
x=ay=a
t ,- =(acost,asent) =(-asent,acost) )dt
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8) Calcule el rea de la superficie dada. L a parte delparaboloide hiperblico z= y2-x2 que esta entre los cilindrosy x2+y2=4
A= ds=secdAds= A= A= . / dA= . /9) Evalue usando el teorema de Stokes y el teorema de la
divergencia, siendo el campo vectorial =(x2+y-4;3xy;2xz+z2) y S la superficie z=4- (x2+y2) por encima delplano xy.
ds=
=-4 =-4
-
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10) Demuestre que , S es unasuperficie regular orientada y C es una curva suave simple ycerrada. Fundamente su demostracin.
Usando el teorema de Stokes y haciendo F=
Entonces