Universidad Mayor de San Andres

Facultad de Ciencias Puras y Naturales

Carrera de Informatica

La Paz - Bolivia. Jueves 30 de Abril de 2015

Soluciones del

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

ECUACIONES DIFERFENCIALES ORDINARIAS

Por el

Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte.Mario Errol Chavez Gordillo PhD.

Contenido

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. La solucion general de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Utilizacion de una solucion conocida para encontrar otra . . . . . . 6

4. Ecuacion Diferencial Homogenea con Coeficientes Constantes . 10

5. El Metodo de Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1. Marco Teorico

los pasos necesarios para resolver una ecuacion diferencial no homogenea por el metodode variacion de parametros son:

Escribir la ecuacion diferencial en su forma reducida (en forma canonica)y + p(x)y + q(x)y = R(x)

Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogenea asociada:y + p(x)y + q(x)y = 0

Luego, determinamos us solucion general ygh = C1y1 + C2y2.

Hallamos W = y1 y2y1 y2

, W1 = 0 y2R(x) y2

, W2 = y1 0y1 R(x)

y ademas

u1(x) =

0 y2R(x) y2 y1 y2y1 y2

=

W1

W=

y2R(x)

W (y1, y2)y u2(x) =

y1 0y1 R(x) y1 y2y1 y2

=

W2

W=

y1R(x)

W (y1, y2)

Determinar las funciones u1 y u2, de acuerdo a

u1 =

W1

Wdx y u2 =

W2

Wdx, sin constantes de integracion

1

o mo os 2

Sustituir u1 y u2, en la solucion particular yp = u1y1 + u2y2 Escribir la solucion general de la ecuacion diferencial, que viene dada por:

yg = ygh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2.

2. Problemas y sus Soluciones

Ejemlo 2.1. Si se conoce una solucion y1(x) de la ecuacion diferencial

(2.1) y + A(x)y +B(x)y = 0.

x > 0. Hallar la segunda solucion linealmente independiente y2(x) = y1(x)v(x) donde v(x)es una funcion desconocida.

SOLUCION.- Supongamos que y2 = vy1 es una solucion de y+A(x)y +B(x)y = 0, esto

es

(2.2) y2 + A(x)y

2 +Q(x)y2 = 0.

Se trata de encontrar la funcion incognita v(x). Al sustituir y2 = vy1 y las expresiones

y2 = vy

1 + vy1 y y

2 = vy

1 + 2vy1 + v

y1

en (2.2), se tiene reordenando,

v(y1 + Py

1 +Qy1) + vy1 + v

(2y1 + Py1) = 0.

Puesto que y1 es una solucion de (2.1), la anterior ecuacion se reduce a

vy1 + v(2y1 + Py1) = 0.

ov

v= 2

y1y1 P.

A continuacion mediante una integracion obtenemos

log(v)= 2 log

(y1)

A(x) dx,

de modo que

v =1

y21exp

(

A(x) dx

)

y

(2.3) v =

1

y21e

A(x)dx dx

Luego la segunda solucion es

y2 = y1

e

A(x)dx

y21dx

Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o

o mo os 3

con y1 6= 0 en I. Lo unico que queda por demostrar es que y1 y y2 = vy1 son linealmenteindependientes.

W (y1, y2) =

y1 y1

e

A(x)dx

y21dx

y1 y1

e

A(x)dx

y21+ y1

e

A(x)dx

y21dx

= e

A(x)dx + y1y1

e

A(x)dx

y21dx y1y1

e

A(x)dx

y21dx

= e

A(x)dx > 0

Luego y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la E.D. y+A(x)y +B(x)y = 0

En conclusion, si y1 es una solucion, con y1 6= 0 en I, entonces

y2 = y1

e

A(x)dx

y21dx (Formula de DAlembert)

es tambien solucion

Ejemlo 2.2. Aplicando Variacion de Parametros. Hallar la solucion general de la ecuaciony 4y + 4y = 3xe2x

SOLUCION.- El polinomio caracterstico es 2 4 + 4, luego la ecuacion caracterstica24+4 = 0, (2)2 = 0 tiene dos races reales = 2 repetidas luego la solucion generales

y = C1e2x + C2xe

2x.

Identificamos y1 = e2x y y2 = xe

2x y calculamos el wronskiano

W =

e2x xe2x

2e2x e2x + 2xe2x

= e2x(e2x + 2xe2x) 2e2xxe2x = e4xComo la ecuacion diferencial dada esta en la forma reducida, vemos que f(x) = 3xe2x.

As tenemos que:

W1 =

0 xe2x

3xe2x e2x + 2xe2x

= 3x2e4x

W2 =

e2x 0

2e2x 3xe2x

= 3xe4x

Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incognitas:

u1 =

W1

Wdx =

( 3x2e4x

)e4x

dx = 3

x2 dx = 3

1

3x3 = x3

u2 =

W2

Wdx =

(3xe4x

)e4x

dx = 3

x dx =

3

2x2

Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o

o mo os 4

Por lo tanto la solucion particular viene dada por:

yp = u1e2x + u2e

2x =

(x3 +

3

2x2)e2x

Entonces se puede concluir que la solucion general a la ecuacion dada es:

yg = ygh + yp = C1e2x + C2xe

2x +

(x3 +

3

2x2)e2x.

Ejemlo 2.3. Utilizando el metodo de Euler, resolver la ecuacion diferencial

4x2y 4xy + 3y = sin(ln(x)).

Sugerencia.- Realice el cambio de variable x = et.

SOLUCION.-

Primer Metodo. Haciendo en la ecuacion la sustitucion t = ln(x), x = et, x = et

se tiene

y =dy

dx=

dy

dtdx

dt

=

dy

dtet

= etdy

dt

y =dy

dx=

dy

dtdx

dt

= et

dy

dt+ et

d2y

dt2

et=

(d2y

dt2

dy

dt

)et

et= e2t

(d2y

dt2

dy

dt

)

Ademas como x = et, x2 = e2t, y la ecuacion 4x2y 4xy + 3y = sin(ln(x)) toma laforma

4e2te2t(d2y

dt2

dy

dt

) 4(et)

(et

dy

dt

)+ 3y = sin(t)

simplificando

4d2y

dt2 4

dy

dt 4

dy

dt+ 3y = sin t, 4

d2y

dt2 8

dy

dt+ 3y = sin t

d2y

dt2 2

dy

dt+

3

4y =

1

4sin t

Las races de la ecuacion caracterstica son: 1 = 3, 2 = 2, y la solucion general de laultima ecuacion es: y = C1e

3t +C2e2t. Pero como x = et, resulta y = C1x

3 +C2x2, o bien,

y =C1

x3+ C2x

2.

Segundo Metodo. Se busca una solucion de la ecuacion de la forma y = xk, donde k esun numero desconocido. Se tiene

y = kxk1, y = k(k 1)xk2.

Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o

o mo os 5

Sustituyendo en la ecuacion, resulta

x2k(k 1)xk2 + 2xkxk1 6xk = 0,

o bienxk[k(k 1) + 2k 6

]= 0.

Pero, como xk 6= 0, se tiene k(k1)+2k6 = 0, o bien, k2+k6 = 0. Las races de estaecuacion son: k1 = 3, k2 = 2. El sistema sistema fundamental de soluciones correspondientees:

y1 = x3, y2 = x

2,

y la solucion general tiene la forma

y =C1

x3+ C2x

2.

Ejemlo 2.4.

SOLUCION.-

Ejemlo 2.5.

SOLUCION.-

Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o