Universidad Mayor de San Andres
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Carrera de Informatica
La Paz - Bolivia. Jueves 30 de Abril de 2015
Soluciones del
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
ECUACIONES DIFERFENCIALES ORDINARIAS
Por el
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte.Mario Errol Chavez Gordillo PhD.
Contenido
1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. La solucion general de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Utilizacion de una solucion conocida para encontrar otra . . . . . . 6
4. Ecuacion Diferencial Homogenea con Coeficientes Constantes . 10
5. El Metodo de Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1. Marco Teorico
los pasos necesarios para resolver una ecuacion diferencial no homogenea por el metodode variacion de parametros son:
Escribir la ecuacion diferencial en su forma reducida (en forma canonica)y + p(x)y + q(x)y = R(x)
Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogenea asociada:y + p(x)y + q(x)y = 0
Luego, determinamos us solucion general ygh = C1y1 + C2y2.
Hallamos W = y1 y2y1 y2
, W1 = 0 y2R(x) y2
, W2 = y1 0y1 R(x)
y ademas
u1(x) =
0 y2R(x) y2 y1 y2y1 y2
=
W1
W=
y2R(x)
W (y1, y2)y u2(x) =
y1 0y1 R(x) y1 y2y1 y2
=
W2
W=
y1R(x)
W (y1, y2)
Determinar las funciones u1 y u2, de acuerdo a
u1 =
W1
Wdx y u2 =
W2
Wdx, sin constantes de integracion
1
o mo os 2
Sustituir u1 y u2, en la solucion particular yp = u1y1 + u2y2 Escribir la solucion general de la ecuacion diferencial, que viene dada por:
yg = ygh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2.
2. Problemas y sus Soluciones
Ejemlo 2.1. Si se conoce una solucion y1(x) de la ecuacion diferencial
(2.1) y + A(x)y +B(x)y = 0.
x > 0. Hallar la segunda solucion linealmente independiente y2(x) = y1(x)v(x) donde v(x)es una funcion desconocida.
SOLUCION.- Supongamos que y2 = vy1 es una solucion de y+A(x)y +B(x)y = 0, esto
es
(2.2) y2 + A(x)y
2 +Q(x)y2 = 0.
Se trata de encontrar la funcion incognita v(x). Al sustituir y2 = vy1 y las expresiones
y2 = vy
1 + vy1 y y
2 = vy
1 + 2vy1 + v
y1
en (2.2), se tiene reordenando,
v(y1 + Py
1 +Qy1) + vy1 + v
(2y1 + Py1) = 0.
Puesto que y1 es una solucion de (2.1), la anterior ecuacion se reduce a
vy1 + v(2y1 + Py1) = 0.
ov
v= 2
y1y1 P.
A continuacion mediante una integracion obtenemos
log(v)= 2 log
(y1)
A(x) dx,
de modo que
v =1
y21exp
(
A(x) dx
)
y
(2.3) v =
1
y21e
A(x)dx dx
Luego la segunda solucion es
y2 = y1
e
A(x)dx
y21dx
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o
o mo os 3
con y1 6= 0 en I. Lo unico que queda por demostrar es que y1 y y2 = vy1 son linealmenteindependientes.
W (y1, y2) =
y1 y1
e
A(x)dx
y21dx
y1 y1
e
A(x)dx
y21+ y1
e
A(x)dx
y21dx
= e
A(x)dx + y1y1
e
A(x)dx
y21dx y1y1
e
A(x)dx
y21dx
= e
A(x)dx > 0
Luego y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la E.D. y+A(x)y +B(x)y = 0
En conclusion, si y1 es una solucion, con y1 6= 0 en I, entonces
y2 = y1
e
A(x)dx
y21dx (Formula de DAlembert)
es tambien solucion
Ejemlo 2.2. Aplicando Variacion de Parametros. Hallar la solucion general de la ecuaciony 4y + 4y = 3xe2x
SOLUCION.- El polinomio caracterstico es 2 4 + 4, luego la ecuacion caracterstica24+4 = 0, (2)2 = 0 tiene dos races reales = 2 repetidas luego la solucion generales
y = C1e2x + C2xe
2x.
Identificamos y1 = e2x y y2 = xe
2x y calculamos el wronskiano
W =
e2x xe2x
2e2x e2x + 2xe2x
= e2x(e2x + 2xe2x) 2e2xxe2x = e4xComo la ecuacion diferencial dada esta en la forma reducida, vemos que f(x) = 3xe2x.
As tenemos que:
W1 =
0 xe2x
3xe2x e2x + 2xe2x
= 3x2e4x
W2 =
e2x 0
2e2x 3xe2x
= 3xe4x
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incognitas:
u1 =
W1
Wdx =
( 3x2e4x
)e4x
dx = 3
x2 dx = 3
1
3x3 = x3
u2 =
W2
Wdx =
(3xe4x
)e4x
dx = 3
x dx =
3
2x2
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o
o mo os 4
Por lo tanto la solucion particular viene dada por:
yp = u1e2x + u2e
2x =
(x3 +
3
2x2)e2x
Entonces se puede concluir que la solucion general a la ecuacion dada es:
yg = ygh + yp = C1e2x + C2xe
2x +
(x3 +
3
2x2)e2x.
Ejemlo 2.3. Utilizando el metodo de Euler, resolver la ecuacion diferencial
4x2y 4xy + 3y = sin(ln(x)).
Sugerencia.- Realice el cambio de variable x = et.
SOLUCION.-
Primer Metodo. Haciendo en la ecuacion la sustitucion t = ln(x), x = et, x = et
se tiene
y =dy
dx=
dy
dtdx
dt
=
dy
dtet
= etdy
dt
y =dy
dx=
dy
dtdx
dt
= et
dy
dt+ et
d2y
dt2
et=
(d2y
dt2
dy
dt
)et
et= e2t
(d2y
dt2
dy
dt
)
Ademas como x = et, x2 = e2t, y la ecuacion 4x2y 4xy + 3y = sin(ln(x)) toma laforma
4e2te2t(d2y
dt2
dy
dt
) 4(et)
(et
dy
dt
)+ 3y = sin(t)
simplificando
4d2y
dt2 4
dy
dt 4
dy
dt+ 3y = sin t, 4
d2y
dt2 8
dy
dt+ 3y = sin t
d2y
dt2 2
dy
dt+
3
4y =
1
4sin t
Las races de la ecuacion caracterstica son: 1 = 3, 2 = 2, y la solucion general de laultima ecuacion es: y = C1e
3t +C2e2t. Pero como x = et, resulta y = C1x
3 +C2x2, o bien,
y =C1
x3+ C2x
2.
Segundo Metodo. Se busca una solucion de la ecuacion de la forma y = xk, donde k esun numero desconocido. Se tiene
y = kxk1, y = k(k 1)xk2.
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o
o mo os 5
Sustituyendo en la ecuacion, resulta
x2k(k 1)xk2 + 2xkxk1 6xk = 0,
o bienxk[k(k 1) + 2k 6
]= 0.
Pero, como xk 6= 0, se tiene k(k1)+2k6 = 0, o bien, k2+k6 = 0. Las races de estaecuacion son: k1 = 3, k2 = 2. El sistema sistema fundamental de soluciones correspondientees:
y1 = x3, y2 = x
2,
y la solucion general tiene la forma
y =C1
x3+ C2x
2.
Ejemlo 2.4.
SOLUCION.-
Ejemlo 2.5.
SOLUCION.-
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. o
Top Related