Matematica DiscretaAsignatura optativa de la Licenciatura de Matematicas (UAM)

Curso 2007-2008

Hoja 6 (Coloreado de grafos)

1. Pruebese que si G es un grafo con n vertices y todos ellos tienen grado k, entonces

χ(G) ≥ n

n− k.

Solucion. Usar que el numero de vertices que van pintados de un mismo color no puede ser mayorque n− k.

2. Sea G = (V, A) un grafo con n vertices y sea Gc su grafo complementario:

V (Gc) = V (G) , A(Gc) = A(Kn) \A(G)

(tiene el mismo conjunto de vertices que G y contiene las aristas que le “faltan” a G). Compruebeseque χ(G)χ(Gc) ≥ n .

Solucion. Usar que, dadas dos coloraciones ω y ωc de G y Gc respectivamente, el par (ω, ωc) quea cada vertice v ∈ V (G) le asigna el color (ω(v), ωc(v)) es una coloracion del grafo completo quetiene el mismo numero de vertices que G.

3. Demuestrese que el numero de aristas de un grafo G es, por lo menos,(

χ(G)2

).

Solucion. Tomo una coloracion con χ(G) colores. Dados dos colores i, l, existe al menos una aristaque une un vertice de color i con otro de color j. En efecto, si no fuera ası, entonces podrıamosrepintar los vertices de color l usando el color i y tendrıamos una coloracion del grafo con un colormenos.

4. Sea G un grafo conexo tal que grado(v) ≤ K para todo v ∈ V (G). Demuestrese que si existeun vertice w con grado(w) < K, entonces χ(G) ≤ K.

Solucion. Ordenamos los grafos de atras hacia delante de la siguiente forma: ponemos el ultimo elvertice w. Inmediatamente antes, sus vecinos. Antes de estos, sus vecinos que no hayamos puestoya, y ası sucesivamente. Despues coloreamos con el algoritmo basico.

5. Decide si los siguientes grafos son bipartitos o no:

Solucion. Los dos primeros sı. El tercero no.

6. Explica por que ninguno de los siguientes puede ser el polinomio cromatico de un grafo:

(a) p(k) = k4 − 5k3 + 7k2 − 6k + 3; (b) p(k) = k4 − 3k3 + 5k2 − 4k;(c) p(k) = 3k3 − 4k2 + k; (d) p(k) = k4 − 5k2 + 4k.

Solucion. a) El termino independiente no es cero. b) p(1) tiene que ser cero, pues el grafo tienearistas. c) El coeficiente de la potencia de mayor grado tiene que ser uno. d) El grafo no tienearistas (el coeficiente de k3 es cero), luego el polinomio tendrıa que ser k4.

7. Hallar todos los polinomios cromaticos de grado 4 de grafos con dos componentes conexas.

Solucion. Hay tres grafos de grado 4 con dos componentes conexas: un vertice aislado con unL3; un vertice aislado con un K3; y dos L2. Los polinomios correspondientes son: k2(k − 1)2,k2(k − 1)(k − 2) y k2(k − 1)2.

8. Calculese el numero de 7-listas con repeticion que se pueden formar con 10 sımbolos ajustandosea las siguientes exigencias: 1) no se puede poner el mismo sımbolo en posiciones consecutivas; 2)los tres sımbolos centrales han de ser distintos; y 3) las posiciones segunda y sexta han de llevartambien sımbolos diferentes.

Solucion.PC3(k)PC4(k)

k(k − 1)(k − 1)2.

9. Se han de realizar 13 tareas. Cada una de ellas lleva una hora de trabajo continuo. Se dice quedos de ellas son incompatibles si en ningun instante se puede estar trabajando en las dos a la vez.Las tareas 11 y 12 son incompatibles entre sı e incompatibles con cada una de las numeradas de 1 a10. Las tareas de 1 a 10 con numeros consecutivos son incompatibles. La tarea 13 es incompatiblecon todas las demas. ¿Cuantas horas hacen falta, como mınimo, para realizar todas las tareas?

Solucion. 5 horas.

10. Hallese el polinomio cromatico del grafo rueda Rn (n + 1 vertices, n de ellos formando unciclo, y el restante unido por aristas a todos los demas).

Solucion. PRn(k) = kPCn(k − 1).

11. Para cada par de numeros naturales n,m ≥ 2, construimos el grafo Gn,m que tiene n + mvertices {a1, a2, . . . , an} ∪ {b1, b2, . . . bm}, las n + m− 2 aristas siguientes:

{{ai, ai+1}i=n−1i=1 ; {bj , bj+1}m−1

j=1 } ,

mas las 4 aristas {{a1, b1}, {a1, b2}, {a2, b1}, {a2, b2}}. Es decir, se trata de un grafo Ln y un grafoLm que unimos mediante todas las aristas posibles entre sus respectivos dos primeros vertices. Sepide calcular el numero cromatico y el polinomio cromatico de Gn,m.

Solucion. PGn,m(k) = k(k − 1)(k − 2)(k − 3)(k − 1)n−2(k − 1)m−2, χ(Gn,m) = 4.

12. Sea G un grafo con mn vertices {1, 2, . . . , nm} y con conjuntos de aristas

A(G) ={{a, b} : a− b ≡ 0 (mod m)

}.

Hallese su numero cromatico y su polinomio cromatico.

Solucion. PG(k) = (PKn(k))m.

13.

a) Decidir si funcionan o no los siguientes sistemas de engranajes:

b) Encontrar una condicion necesaria y suficiente, en terminos de grafos, para decidir cuandoun sistema de engranajes funciona.

Solucion. a) El primero y el tercero no funcionan, el segundo sı. b) Se representa cada engranaje porun vertice y, si dos engranajes se tocan, se pone una arista uniendo los vertices correspondientes.El sistema de engranajes funcionara si y solo si el grafo resultante es bipartito.