83 C A P Í T I L O I I I

SOLUCIONES SINGULAÍÍES, ECUACIONES DE PRIl-IER OIÍDEN Y G.?ADO SUPERIOR" AL SRIMERO.

ECUACIÓN DE CLAIRAUT.ECUACIÓN DE LAGRANQE.

3.1. SOLUCIONES SINGULARES

Ilustraremos lo que es una solución singular por medio del siguiente ejemplo

Ej.3.1.1.- Consideremos la familia de circunferencias representadas por la ecua­

ción _ ^ ^ C ) ^ + y^ = 25

Estas circunferencias tienen sus centros

sobre la recta y = O siendo las rectas

y = 5 y y = - 5 tangentes a todas ellas

Claramente el núaero de tales circunferen­

cias que pasan por un punto dado es 2

a) ceso si y es mayor que Z3 2

b) una si y es igual a Z3 2

c) dos si y es menor que 25

Cuando y = O solamente dos circunferencias tienen una tangente verti­

cal única.

Busquemos la E.D. tal que la familia de circunferencias dadas sea la

solución general,para ello procedemos de la siguiente forma.

2(x - C) + 2yy' = O

de donde obtenemos yy' = -(x - C)

así que reemplazando en la Ecuación dada tenemos y^(y')^ + y^ = 25 y de aquí logramos

Es fácil ver que esta ecuación no define valores reales de y' ?=:

(y')^ = {Z3 - y^)y~^

X se 2 cumple que y es mayor que 25,define un solo valor real de y' si y

2 es igual a 25 y dos valores de y' si y es menor que 25.

Hagamos y' = p entonces el lugar .de los puntos para el cual ^2 _ (25 - y2) P - 2

y define un solo valor de p se compone de las rectas y = O,y = 5 y

y = -5.

Entonces,cabe preguntarse si estas rectas son soluciones de la E.D.

Qbtenida.Observgujios que las tres rectas anteriores tienen la forma :vy=

una constante y por tanto y'= p = O

sustituyendo en 2 _ 25 - y2 P 2

tenemos O = 0/25 si y = 5 y = -5 pero no se satisface

84

para y = 0. 2 2

Es claro que (x - C) + y = Z3

es la solución general de -, _-: 2 p2 _ zp - y P - 2

y

y que cualquier solución particular de esta E.D. es una circunferen­

cia cuyo centro está sobre el eje X y de radio 5;sin embargo,las rec­

tas y = 5, y = -5 no son expresables como tales a pesar de ser solu­

ción de la E.D, obtenida,

Def,3,1,1,- Cualquier solución de una E.D. que no esté incluida en la solución

general es llamada solución singular.

La curva correspondiente (en el ejemplo anterior las rectas y = 5»

y = -5 )es llamada envolvente de la familia.

Ahora,se presenta el siguiente problema:Dada una E,D, como hallamos la solución

general y la singular (si existe)? Tratemos de contestar esta preg-unta mediante

un ejemplo del cual sacaremos conclusiones importantes,

Ej,3,l,2,- Hallar la solución general y singular (si existe) de la E,D. 2

xp - 2yp + 9x = O donde p = y'.

Si tratamos de despejar p observamos que aparecen radicales por tanto

despejamos y obteniendo y _ 2x + X£ y ~ 2p - 2

Derivando esta expresión con respecto a x obtenemos

p = |( ~ l ^ ' ) + (xp' + p)

por tanto P

2p = 9( ^ "2^^') + xp' + p P

° ^^^ 9p - 9xp' + xp^p' - p3 = 0

(xp' - p)p^ - 9(xp' - p) = O

(xp' - p)(p^ - 9) = O

xp = p

de donde concluímos

De

obtenemos

pero

por lo que

integrando

que

lü» y :

xp'= p

d£ _ dx P X

p = Cx

P = y'

dy = Cxdx

y = Cx^ 2

+ A

85

observe que de una E.D, de primer orden hemos obtenido una solución

que posee dos constantes arbitrarias lo cual no es posible.Entonces

si reemplazamos la expresión obtenida encontramos A en términos de

^ ^^^'- _2 2 x^ xC^x - 2(C I + A)Cx + 9x = -2ACx + 9x = O

x(9 - 2AC) = O

luego A = 9/2C

por lo que „ _ r 2. + 2_ ' y " 2 2C

También podemos eliminar p de las expresiones 2

xp - 2yp + 9x = O

p - Cx = O

además,podemos considerar las ecuaciones anteriores como ecuaciones

paramétricas de la solución.Si procedemos a eliminar p de las dos

ecuaciones anteriores tenemos

x3c^ - 2yCx + 9x = O 2 3

por tanto _ C x 9x y " 2Cx 2xC

= c¿+ ^ 2 2C

que es el mismo resultado obtenido anteriormente.

Pero p = 9 implica que p = 3 y P = -3 entonces ^ = - 3

o sea y = - 3x + B si esta ecuación la sustituímos en 2

xp - 2yp + 9x = O

tenemos ^^ _ ^^^_^^ ^ ^^ ^ +3^ + gx = í 6B = O

luego B = O

y por tanto y = - 3x

estas expresiones satisfacen la E.D» dada pero no están incluidas en

la solución general y por consiguiente son soluciones singulares.

Nota,3.1.1.- Del Algebra y Cálculo sabemos que toda ecuación polinómica F(p) =0

de grado n tiene n raíces y que toda raíz múltiple de multiplici­

dad mayor que uno es también raíz de F'(p) = 0.

Recíprocamente,toda raíz de F(p) = O y F'(p) = O que sea común es

raíz múltiple de F(p) = O.

Ap3J-Cando la nota anterior a nuestro problema tenemos

f(x,y,p) = O = xp^ - 2yp + 9x

f'(x,y,p) = |^|£(x,y,p)] = O = 2px - 2y De este sistema de ecuaciones eliminamos p obteniendo

P = ^ ^ X

así que reemplazando en

86 2

xp - 2yp + 9x = O

obtenemos ^ 2-1 9x - y X = 0

lo que implica _ + :z-«.

y — — yx

que son las soluciones singulares de la E.D, dada.

De lo anterior se deduce que las condiciones para que una E.D. ten­

ga soluciones singulares son: a) Que la E.D. tenga raíces múltiples

en p.

b) Que la primitiva tenga raíces múl­

tiples»

Nota,3.1,2.- Observe que

1 ) Una E.D. de primer orden y primer grado no tiene so­

luciones singulares.

2) Una E.D» de grado superior a uno no tiene soluciones

singulares si f(x,y,p) puede expresarse como factores que sesin lia-

neales en p y racionales en x,y.

87 EJERCICIOS 3.1.

Encontrar las soluciones singulares de las siguientes E.D. 2 y = 2px - yp 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2 2 2y = p + 4px + 2x

2 y = P ,/ / 6 7 ^ , 2

4yx = px + 4p

(p^ + l)(2y - x) = 2(x + py)y /

y = 2px + 3p /

(1 + P^)y^ - 4yp - 4x = O ^ 5 2

p- - ifxyp + 8y = 0 2 5

(xp + y) + 3x' (xp - 2y) = O y(y - 2xp)^ = 2p

8p3 - I2p^ = 27(y - x) 2/x

p = y - + a Para que valores de a esta ecuaciób tiene solución singular?

Diga si y = O es solución singular o particular de la E.D.

p^(12x) - I2yp + 4y = O

2 14) La ecuación ( l - x ) p + x y - 1 0 = 0 se satisface para y = lOx.Diga si es­

ta ecuación es solución singular o particular.

EJERCICIOS 3 . 1 .

1]

z)

3)

« :

5:

6:

7:

8:

9:

10:

n: 12;

13:

14:

1 y- rc y » í v

1 y-fy ' rp

1 y--i?

1 jf«o ÍH i -hK^^-O

1 ?Y+ ^

1 3 y f x ' - o L/

> y^ = 4x + 4

4 3 > y = 0 y - 27 ^ 1 4y + x3 = 0

) hxy = -1

¿-1-

) y — - ^ ~ pr?

1 a = 0 y = 0

) s i n g u l a r

) P a r t i c u l a r .

88

3.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR AL PRII-íERO.

Estudiaremos algunos tipos de E.D. de primer orden y grado maiyor que uno,

CASO I, La E.D. puede ser resuelta en términos de y'.

Sabemos que la E.D. de primer orden tiene la forma

F(x,y,y') = O

Es posible que de esta ecuación podamos despejar y' como

y '= fj_(x,y) i = 1,2, ,n

donde n representa el grado de la E.D.

Integrando cada una de estas ecuaciones obtenemos las soluciones de la

E.D. inicial(la solución general es el conjunto de las n soluciones ob­

tenidas) .En otras palabras,si tenemos

aQ(x,y)(y')''+a^(x,y)(y')^-U +a^_^ (x,y)y'+a^(x,y) = O

entonces es posible expresarla en la siguiente forma

[y'- fT(x,y)][y'- f^ (^ ,y) \ [y'- fi,(x,y)] = o

y por tanto

y'= fj_(x,y) i = 1,2, ,n

así que obtenemos n soluciones que son las que determinan la solución

general.

Lo anterior es cierto si encontramos n soluciones reales para y' pero

si al resolver la E.D. dada con respecto a y' encontramos k soluciones

reales, k vj n ,las k soluciones qñe se obtienen conforman una solución

de la E.D. dada.

Ej.3.2.1.- Resolver 2(y')^ - (x + 2)y' + x = O

La E.D. la podemos escribir como

(y')^ - ( I que podemos factorizarla así

(y')^ - ( I - i^y' + 1 = 0

iy' - i)(y' - |) = 0

y por tanto^j ^ , ^ .j

b) y' = I

de a) obtenemos y = x + C y 2

de b) y = X + A 4

Es fácil comprobar que cualquiera de estas expresiones satisfacen la

E.D. dada,por tanto el conjunto formado por las expresiones 2

y , = x + C y p = x + A ' 4

representa l a i n t e g r a l general de l a E.D. dada.

89

Nótese que la suma de y y y no es solución de la E.D. dada pues

2 y = y i + y p = x + X + B

4 dónde 3 = A + C,reemplazando en la E.D, tenemos

2( I + 1)^ - (x + 2)(| + 1) + X = (| + 1)(x + 2 - X - 2) + X

= X j O

salvo cuando x = 0,pero si x =- O entonces y = B que no satsiface la

E,D, original.

Ej,3,2.£,- Resolver (y')^ -(x + y)y'+ xy = O

Esta E.D, la podemos escribir como

(y' - x)(y' - y) = O

obteniendo , ,

a) y = X

b) y' = y

De a) concluímos que y = ~ + A

De b) y = Be^

Entonces el conjunto formado por las expresiones 2 , T3 X

y. = x_ + - Yp = Be

' 2

representa la solución general de la E,D, dada,

CASO II. La E.D, es de la forma F(y') = ©

Como trabajamos con E,D, de primer orden que tienen grado mayor que uno

entonces F(y') = O puede expresarse como un polinomio en y' lo qu« im­

plica que existe una raíz k tal que y'= k (k puede ser constante real

o compleja).De y' = k obtenemos y = kx + C de doiide concluimos que

k = ^--n— por tanto

F(y') = F(k) = F( i^-^) = O

así que F( 2 - ^ ^ ) = O

X

es l a solución buscada. E j . 3 . 2 , 3 . - Resolver p^ - 169p + P + 13 = O

donde p = y ' . Esta E.D. l a podemos e s c r i b i r a s í

P'^(P^ -169) + (p +13) = (p+13) \ y i v - 13) + 13 = O o sea que

P = -13

satisface la E.D.

Luego la solución general es

( 5 L ^ )9 . T69( J L ^ )7 ^ J L ^ ) + 13 = O

90

CASO III, La B.D. es de la forma y = F(x,y')

En este caso,podemos derivarla con respecto a x obteniendo

' d^ = $£ + d^' dx h* ' ^ ' dx

^F . vE. dp , P = •^— + - ^ -T*- P = Y

^ >y 7)P dx P Oí

entonces observamos que p puede escribirse como

p = g((x,p,p')

que es una E.D. de primer orden y primer grado por tanto,si resolve­

mos esta ecuación obtenemos una función

g(x,p,C) = O

Luego,para obtener la solución de la E.D, dada eliminamos p entre las

ecuaciones y = F(x,g)

g(x,p,C) = O

Si lo anterior no es posible entonces expresamos x e y separadamente

como funciones del parámetro p.

A este método muy a menudo se le conoce con el nombre de "solución de

una E.D» por derivación".

Ej.3.2,4.- Hallar las soluciones (general y singular) de 2 2

y = 5px + 5x + p P = y'

Derivando la S.D. con respecto a x obtenemos

y' = p = (5p + lOx) + (5X + 2p)p'

luego pt(5x + 2p) + 2(5x + 2p) = O

(p' + Z)i3x + 2p) = O

Sol Gral.Como p' =-2 entonces p = - 2x + C y de las ecuaciones 2x + p = C 2 2 c + P = y

eliminamos p.Esto es,sustituyendo p = -Zx + C en

obtenemos

5px + 5x + p = y

2 2 5px + 5x + p = y

y = 5(C - 2x)x + 5x + (C - Zx)

= 5Cx - lOx^ + 5x^ + C^ - ¿fCx + hx^ 2 2

= Cx - X + C

Sol Singular,Como 5x + 2p = O entonces p = -(5/2)x y reemplazando

en la S.D, original encontramos y = 5(- |i:)x + 5x^ + (- 2 "" ^

- - ¿x2 - 4""

91

CASO IV. La E.D. es de la forma x = G(y,y')

En este caso podemos derivarla con respecto a y obteniendo

dx _ iO ^ d ' dy ~ ¿y •*" *7«dy 1 = ^G + dO dE

o sea , — - -V J dp _p >y

dy = ^

dP esta ecuación puede resolverse por los métodos conocidos obteniéndose

comomsolución ,,, „, -. i-í(y»p»c) = O

Entonces si elininamos p entre esta ecuación y la original obtenemos _

la solución general.

Si lo anterior no es posible,entonces expresamos a x e y separadamente

como funciones del parámetro p.

Ej,3.2.5.- Resolver x = y + Ln(p) P = y'

Derivando la E.D. con respecto a y obtenemos dx _ i _ . . 1 d£ dy p ~ p dy

por tanto , i j i

P P dy p ^ dy

entonces ,

de donde Obtenemos y + Ln(p - 1) ± LnC

o sea p ' 1 _ e~y

C - ^

p = Ce"y + 1

eliminando p entre esta úitima ecuación y la original encontramos la

solución general que es

X = y + Ln(Ce~y + l)

CASO V. La E»D. es de la forma F(y,y') = O

Si de la expresión anterior se puede despejar y' se obtiene una ecuación

de variables separables.

Por consiguiente,son de inter&s los demás casos,

a) Si de la expresión F(y,y') = O se puede despejar y obtenemos una ex­

presión de la forma _ f( *)

y por tanto podemos aplicar el CASO III así que derivando la expresión

y = f(p) con respecto a x obtenemos dz, _ df dp dx ~ P ~ dp dx

luego

92 A 1 df , dx = — ir" dp P dp -

o sea , , -^ , ' dp

= /i — y p dp

Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p por tanto

son ecuaciones paraiaétricas.

'^2»3»¿»S.- Resolver y = (y')3 - (y')^ - i

= P^ - P^ - 1

Como -^ = p entinces dx = — dy dx - p

Luego ,^2 _^ dx = ^P - ^P dp

P por lo que = fi3v - 2)dp 3 2

= ^ p - 2p + C

b) Si de la expresión F(y,y') = O no pueden despejarse ni y ni y' pe­

ro estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante

algún parámetro t,digamos

y = h(t) p = j(t) P = y'

entonces dy = pdx = j(t)dx

y de otro lado dy = h'(t)dt

de modo que j(t)dx = h'(t)dt

de donde logramos dx = . f\.\' dt 3(t)

o sea ^-Ct)

^=j j r^ dt t)

Por consiguiente,obtenemos 1 a solución general de la E.D, dada

en forma paramétrica,

Ej,3.2,7.- Resolver (y^^^) + (y') ' 3

Si hacemos y = cos' t , y' = p = sen t

la E.D. se satisface entonces

dx dx -3cos^t sen t^^^ cosft ^^ 2^ ^ P 3±. 2.

• sen t sen t de donde

X = 3t + 3ctg t + C

y la solución general es

y = cos3t

X = 3t + 3ctg t + C

CASO VI. La E.D. es de la forma G(x,y') = O

Si de la expresión anterior se puede despejajr y'obtenemos una E.D, de

variables separables.

Entonces pueden ocurrir los siguientes casos

a) Si de la expresión G(x,y') = O se puede despejar x obtenemos una

93 expresión de la forma , ,,

X = g(y )

y por tanto podemos aplicar el caso IV así que derivando con respecto

a y obtenemos 1_ _ d£ dp p ~ dp dy

luego dy = p d£ dp ^

o sea ^

Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p y por tanto

son ecuaciones paramétricas,

Ej.3.2.8.- Resolver x = p - p-1 p = y' 2

Como dy = pdx entonces dy = p(3p - 1)dp por tanto

y = jp(3p - l)dp

3 Las ecuaciones x = p - p - 1

y = ¿ p ^ - i p 2 + C

determinan en forma paramétrica la familia de curvas buscadas

b) Si de la expresión G(x,y') = O no puede despejarse ni x ni y' pero

estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún

parámetro t,se procede en forma similar a la parte b) del caso V.

94 EJERCICIOS 3<Z,

Resolver l a s s i g u i e n t e s

1 (./.

V2

"3

%

5

7

8

9

10

11

la

13

14

15

16

Í7

13

y = ( y ' ) ^ e y '

y '= e y ' y " ' <

X = L n ( y ' ) + s e n ( y ' )

X = ( y ' ) ^ - 2y ' + 2

y = y ' L n ( y ' )

)

y = ( y ' - Dey"

x( 1 + ( y ' ) 2 ) = 1

( 1 + ( y ' ) ^ ) ^ ' ^ ^ = a a c t e

y = s e n " ' ' ( y ' ) + Ln( 1 + ( y ' ) ^ )

X

y2 /5 , ( ^ , ) 2 / 5 ^ ^2 /5

y^ - ( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ = o

X = y ' + s e n ( y ' ) •>

y = y ' ( 1 + y ' c o 3 ( y ' ) ) / ""^

( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ - x ^ y ' + x^y = o ¿ '

( y ' ) ^ + (x + 2)ey = O

x ( y ' ) ^ - 2yy ' + x = O L-

( y ' ) ^ - 2yy' = y ^ ( e ' ' - 1) ^'

( y ' ) ^ - (2x + y ) y ' + (x^ + xy) = O ''-

19) y = 2y 'x + y ^ ( y ' ) 3

EJERCICIOS 3 . 2 .

X = e P ( p + 1) + C 2 p y = O

y = p e^ j ^

X = Ln(Ln p) + -—^ + C ^ Ln p

y = Ln p

X = Ln p + s e n p

y = C + p ( l + s e n p) + c o s p

X = p - 2p + 2 2 5 2

y = I p^ - p' ' + C

x + C= ^' I ^^ P^^

y = pLn p 1 ^ ^ (^ 2 , 1 / 2

X + C = 2 t g - ^ - Ln( ^ ^ ^^ - P ^ ) y = sen~^p + L n ( l + p^) y = O X = eP + C

p y = -1

y = (p - l ) e ^

y + C = í ( (X - x ^ ) ^ / ^ + s en ~ \ x ^ ^ ^ ) )

X = a c o s t y = C - asen-^t X = 5( ^ t g 3 t - t g t + t ) + C

5 y = a s e n t

X = - | + Ln( | - i - i ) - 2 t & ~ \

y = t ^ d - t ^ ) - 1

X = p + s en p 1 2 y + C = j p + p s e n p + c o s p

X + C = Ln p + s e n p + Í C O S p 2 y = p + p e o s p

y = 2 ¿ + C , y = - ¿ + C , y = C e ^ 2 2

(X + Z ) ' ' ^ ^ = 4 e - ( y / 3 )

C 2 1 y = 2 ^ - 2 c y = 1 ^

Ln Cy = X + 2 e ^ ^ / ^ ^ y = O

y = | - + C , y = C e ^ - x - 1

X = ^ - ¿ y ^ + x3 = O

y = O p = y t

95 3.3. LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT

Def.3.3.1.- La ecuación y ^ px + f(p)

es llamada ecuación de Clairaut donde p = y'.

Observando la ecuación vemos que si la derivamos con respecto a x

(CASO Ul) tenemos dy ^ ^ ^ df(p)^ dp ^ = p = p + ( x + , ^^ ' ) -r dx ^ ^ dp dx

luego

= p + ( X + f'(p)) ^

entonces

( X + f'(p)) = o

b) X + f'(p) = O

De a) conclxiimos que p = C y sustituyendo en la ecuación de Clai­

raut tenemos ^ ^ ^^ ^^^^

que es eviaentemente la solución general,

si se cumple b) o sea __ f'(ri) - o

entonces de las ecuaciones

y = px + f(p)

O = X + f'(p)

podemos eliminar p obteniéndose así una relación entre x e y.Esta

relación es una solución de la 2,,D, de Clairaut pero ng__£Dntie&©

constantes arbitrarias y por tanto no es la solución general,De o-

tro modo,esta solución no se obtiene,en general,a partir de la so-

lución general y = Cx + f(e)

dando valores a C.Pero según lo visto anteriormente,al eliminar p

de dichas ecuaciones y obtener así una relación entre x e y,esta

solución es una solución singular de la S.D, de Clairaut,

96

EJERCICIOS 3.3.

1) Pruebe que la ecuación Zf-, ,, ^ / . -,N , n r.

^ p (3x - 1) - 3p(y + 2) + 9 = O

(ecuación de Clairaut) tiene como soluci|)n general a la expresión

2Cy + C (y - 3x) - 4 = O

y como solución singular a la expresión

y^ + 4y - 12x = O

Demuestre que también y = 3x es solución y que esta solución no está conteni­

da en la solución general aunque puede obtenerse deella cuando C crece inde­

finidamente , tal solución es llamada solución límite,

2) Resuelva las siguientes Ecxiaciones de Clairaut 2 2 1 / 2 — 1

a ) y = p x + 2 p - p d ) y = p x + ( l - p ) ' - pcos p

b) y = px + a^p~^ e) y = px + (p - ' [)~^^^

c) y = px + (1 + p^)^'^^ f) y = px + ap(l + v^)~^^^

3) Demostrar que la E.D. de Clairaut

y = px + ap + b P = y'

no tiene soluciones singulares.

^ERCICIOS 3 . 3 .

2 a) y = Cx + 2C -C

b) y = Cx + a^C"^

c) y = Cx + (1 + C^)^ / ^

d) y = Cx + (1 - C ^ ) ^ / ^ - Ccos"^C

e) y = Cx + (C - 1 ) " ^ / ^

(x - 1)"^ + 8y = O y

yK z a x ^

y = ( i - x ^ ) ' / ^

y = sen x y = X + 3 2~^''^3 x ^ / 3

97 3.4. LA ECUACIÓN DE LAGRANGE

Def,3,4.1,- Una E,D. de la forma ^ ^ ^ ^pj p = y'

es llamada ecuación de Lagrange,

Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Clairaut pues

el coeficiente de x es una función cualquiera de y' en lugar de ser

y'. Para encontrar su solución general la derivamos con respecto a x oüb-

tenündo p = f(p) + ( xf'(p) + g'(p) ) g

que la podemos escribir como

(p - f(p))f|- f'(p) X = g'(p)

dx _ f'iv) ^ f¡'{v) dp p - f(p) p - f(p) ¿X f'(p) X g'(p) dp f(p) - p p - f(p)

que es una E.D, Lineal de primer orden en la variable x.

Integrando ésta ecuación encontraremos

X = F(p) y como p = y' entonces dy = pdx por tanto dy = pF*(p)dp o sea

y = / S F ' ( p ) d p 2 2 /

E j , 3 . 4 . 1 . - R e s o l v e r y = -p x + p + 1

p = - p ^ + (-2px + Z v ) p '

Derivando con r e s p e c t o a x obtenemos

s impl i f i cando encontramos

1 + p = 2(1 - x ) ^ dx

esta ecuación es lineal pero además es de variables separables luego

dp _ 1_ dx 1 + p ~ 2 1 - X

C cuya solución es p = T-TT - 1

(1 - x)^/2

entonces reemplazando en la E,D, original tenemos y = -( — r/2 - D^x + ( 2—r72 - D^ - i

(1 - x)^/^ (1 - x)^/^

es la solución general.

EJERCICIOS 3.4.

1) Demuéstrese que la E,D, de Lagrange puede tener soluciones singulares de la

forma y = xf(C) + g(C) donde C es una raíz de la ecuación f(C) - C = O,

98 3 . 5 . LA E.D. DE ORDEH SUPERIOR QUE PERMITEN REDUCIR SU ORDElí

L a s E.D, de n-ésimo orden t i e n e n l a forma (n) „, , , , ( n - 1 ) ,

y ' = f ( x , y , y , y ' , ,y^ ) o b i e n „ , , , (n -1) ( n ) , ^

F ( x , y , y , y ' , ,y^ S y ^ ' ) = O

La primera de dichas ecuaciones se presenta cuando es posible despejar de la

E^D, la derivada n-ésima y la segunda cuando es imposible,o muy difícil hacerlo.

En ciertos casos,el orden de la E,D, puede ser reducido lo que permite facilitar

su integración,Señalaremos tres clases de estas ecuaciones,

a) y " = f(x) Vésase pag 17 de estas notas.

b) La E.D, no contiene la función buscada y sus derivadas hasta el orden k - 1

inclusive.

Esto quiere decir aue la E.B. es de la forma „/ (k) (k+1) (n), „ F(x,y^ ',y^ , ,y^ ') = O

En este caso,el orden de la E,D, dada puede reducirse a n-6: mediante un cam-ariables,Es (n) ^(n-k)

bio de Variables,Este cambio es y = q y por tanto y - q

L Ú ¡ ¡ ¡ " F(x,y^^\yí^^l\ ,y^^^) = O se reduce a Q(x,q,q', ,q ~ ^) = O

De esta ecuación encontramos su solución general que contendrá n-k constan­

tes arbitrarias y que será de la forma

Q(x,C^,C2, ,C^_^) = q

y hallamos la función buscada y aplicando el caso a),En otras palabras,como

y^^^= q entonces y^^^= Q(x, 0 ,02» »^n-k^

así que integrando k veces obtenemos la función buscada.

En particular,si la E.D, es de segundo orden y ésta no contiene a y entonces

la sustitución y'= p nos conduce a una E.D, de primer orden,

Ej.3.5.1.- Resolver d ^ _ 1 d/^ _ Q

dx^ ^ dx^

Hagamos q = d% entonces la E.D. se convierte en

dx^

t - i ^ - ° que es de variables separables asi que integrando obtenemos

q = Cx

luego ¿!f = Cx

dx"

integrando cuatro veces logramos la solución general que es

y = (C/5!)x^ + (A/if!)x + (B/3!)x3 + (D/2!)x^ + Ex + F

c) La E.D. no contiene a la variable independiente.O sea que es de la forma

F(y,y',y':,,. ,. _,_,. , ,_y ^ jL = _Q_

99

Haciendo y'= p la E.D» dada se reduce en su orden en una unidad.

En este caso se considrra p como una función en términos de y por eso todas (k) las derivadas ( y ) deben expresarse en términos de las derivadas de la

nueva función p con respecto a y así: d 2 : _ ix ,2

dx = P

d_y.= d£^d£d2: ^ d £ ^ 2 . dx dy dx - dy

y asi sucesivamente las que siguen.

Particularmente,si la E.D. es de segundo orden y no contiene la variable in­

dependiente entonces la sustitución de la variable anteriormente señalada nos

conduce a una E.D. de primer orden 2

Ej.3.5.2.- Resolver d y _ . dy .:_ _

dx^

Z dx

dy 2 Sea p = •^ entonces d y _ d£ _ d£ d^ _ dg

- 2 ~ dx ~ dy dx ~ Pdy

reemplazando en la E.D, tenemos

dp 2 „

py d^ - p = 0

P(y i^ - p) = o entonces , ^ -, £ -, • r. n .

a) p = O lo que ímplxca que y = C C cte y-r - T) = O o sea -^ = -* cuya solución es dy - P y p = C^ pero p = y' por lo que •^ = Cdx que tiene

Cx por solución a la expresión y = Ae

100

EJERCICIO^ ^ . 5 ,

Resolver l a s s i g u i e n t e s E,D,

y

. 8

9

10

1 1

.12

15

y " ' = xLn X s i y(1 ) = y ' ( 1 ) = y " ( l ) = o

y ' " = : X + cos X , /

( y " ) ^ - 5y ' + 6 = o

(1 + x ^ ) y " + ( y ' ) ^ + J = 0

( y " ) ^ - 2 y " y ' •*-3 = O

x y " = y ' L n ( | )

yr 'C 1 + 2Ln y ' ) = 1 ^

Cy")^ - y ' y ' " = ( J^ )^ X

y " ( y ' + 2)ey' = 1

y " = ( 1 + (y ' ) ^ ) ^ / ^

y " = y 'Ln y ' s i y(o) = 0 y ' ( o ) = 1

(1 - x 2 ) ^ / ^ y " + ( 1 - { y ' ) W ^ ^ = O

y " ' = 3y y ' s i y(o) = y ' ( o ) = 1 , y " ( o ) = Z/3

EJERCICIOS 3 .3*

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

.12

13

1 y = -TT- Ln X -

24 .4

x^ + ^ ^ - ^ + 1 -288 8 9 32

'3 X ' 2

y = 2zJ' ~ ^®^ X + C x^ + C X + c

y + C2 = | ( x + C^) + ^ x + C^)3

y = (1 + C^)Ln(x + C^) - e^x + c

un z + *—T-

t = y "

X + C = ¿ Ln t + ¿ - ^

4 t

y ^ ^2 = 4 ^ - ^

y = (c^x - ef) e^^'/c^^ ^ 1 '1

X + C2 = z (.2Ln z - 1 )

y + C, Z^

z Ln z z = y-

y = C , ( x e ^ l ' ' - C, e^l"") + C, '1

X + C2 = e^(z + 1)

y + C ZZ z^e^ y

y = cosh(x + 0^) + C

y = X

y = C2- 1(1 - C f ) l / V + i c ^ x d - x 2 ) l / 2 , i c ^ s e n - l

r2

X

y = A (x - 2) '