Soluciones singulares

Concepto 1.-

Es una solución de una ecuación diferencial que no puede obtenerse a partir de la solución general, es decir no proviene de asignar valores a las constantes arbitrarias de una solución general, se le denomina solución singular de la ecuación diferencial ordinaria.

Concepto 2.-

Una solución singular de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación y que, sin embargo, no se obtiene de la solución general para ningún valor de las constantes.

Ejemplo

Comprobar que la función y = cx – c2 es una solución general de la ecuación y = xy´ - y´. Además comprobar que la función y =x2 / 4 es también solución.

Solución:

Si y = cx – c2 y´= c

Reemplazando en la ecuación diferencial obtenemos:

cx – c2 = xc – c2 , donde se comprueba la identidad.Como la ecuación diferencial es de primer orden y en la solución y = cx – c2 aparece una constante arbitraria c, tenemos que y = cx - c2 es una solución general.

Ahora, para y = x2/4, derivándolo se obtiene: y´= x/2.

Reemplazando en la ecuación diferencial y = xy´ - y´2 tenemos:

X2/4 = x (x/2) – (½ x)2 = ½ x2 – ¼ x2 = ¼ x2

Con lo cual se verifica la identidad.

Como la solución y = x2 / 4 no se puede obtener de la solución general y = cx – c2 pera ningún valor de la constante c, entonces decimos que y = x2 / 4 es una solución singular.