Soluciones Tema 13

7/23/2019 Soluciones Tema 13

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, ,

3 Areas volumenes de cuerpos

geométricos

ACTIVIDADES INICIALES

13.1.

La Gran Plrémlde

tiene

una base cuadrada

de unos

230 metros

de

largo, y una altura

aproximada

de 147 metro..

Imagina

que se

quiere cubrir con una sébana blanca. ¿Cu6ntos metros cuadrados

de

tela

se

necesltañan?

La apotema de cada triángulo mide unos

187

metros,

por

lo que las caras laterales tienen una

superficie de unos 86

000

metros cuadrados.

13.11. as plr6mldes son uno de los sfmbolos

mis

representativos

de

Egipto, pero

otras

culturas

también construyeron monumentos

con

esta forma. Investiga otras reglones

del mundo en

las

que se

conserven pirAmides.

El ejemplo más sencillo son las pirámides de los incas y los mayas, en América.

13 111 Podemos encontrar reproducciones de pirámides construidas con distintos materialea, con

supueatos efectos beneficiosos para la salud, o para atraer la buena suerte. ¿Cntea que este

tipo

de

amuletos

tiene

alguna base científica? Debate con tus compañeros.

Actividad de debate en el aula.

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

13.1. Halla las Areas lateral y total

de un ortoedro de

dimensiones 4,

5 y

centfmetros.

t

=

· 4 · 5 + 2 · 4 · 7

=

6 cm

2

Ar

=

· 4 · 5 + 2 · 4 · 7 + 2 · 5 · 7

=

66

cm

2

13.2.

calcula el ánta total

de

un prisma regular hexagonal

de

6 centímetros

de

altura, sabiendo

que

el

lado de la

base

mide 4

centímetros,

y su

apotema,

3 5.

Ar

=

· h + ap

=

6 · 4 · 6 + 3,5) = 28 cm

2

13.3.

Halla el éraa total

y

lateral

de un

cubo

de

arista

a

centfmetros.

At=2

· ·

a

2 · ·

a=4a

2

Ar

2 · ·

a

2 · ·

a

2 · · a= 6a2

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13A. TIC) Calcula el área total de loa siguientes prismas regulares cuyas longitudes vienen dadas

en milímetros.

a)

b

50

80

a) Ar

p

· h+ ap =6

·

20· 80+17,3)

= 11676

cm

2

b) Ar =p· h+ap)=5·50· 10+34,4)=11100cm

2

13.S. calcula las áreas lateral y total de la pirámide regular de la figura.

p = 5 +5

2

Al

5,22 cm

A i · · p = 31,32 cm

2

Ar= At

As

= 0,32

cm

2

13.6. calcula las áreas lateral y total del siguiente tronco de pirámide regular de bases dos

tri6ngulos.

i

,• 5cm

, \

8crn

La medida de la altura

H

en este tronco de pirámide es

H

= 5

-

= ./21Al4,58 cm.

A P

Pa =

24

+

12

../21=18../21,.

82,49

cm

2

2 2

8 · ~ 8 4

2

4 · ~ 4

2

Ar

=A

+ ABASEMAYOR + ABASE

MENOR =

s /21 +

2

+

2

=18../21+4../48 +

2J12 ,.

lld 117,1 cm

2

reaa

y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 19



13.7. Actividad resuelta.

13.8.

Calcula el área lateral de loa cilindros que se generan al

girar el

rectángulo alrededor del lado

AB y alrededor del lado

AD

¿Son igual

2 B

4

D C

Alrededor del lado

AB A =

rrth

=

·

n

· 2 · 4

=

1Sn cm

2

Alrededor del ladoAD A= 2rrth

=

·

n

· 4 · 2 =1Sn cm

2

sr.

ambas áreas son iguales.

13.9. TIC) Calcula el érea

de

la siguiente pieza.

El

área

de la arandela

es

igual al

área total del cilindro exterior, más

el

área

lateral del cilindro interior

y

menos

las dos

bases

del cilindro interior.

Así

A=

2 · 3 14 · 5 · 5 + 2 · 3,14 · 5

2

+ 2 · 3 14 · 2 · 5 2 · 3 14 · 2

2

=351,68

cm

2

13.10.

TIC) Halla las aireas lateral

y

total del cono

que se

genera al girar el trléngulo recténgulo

alrededor del catetoAS

A 5cm C

La generatriz del cono es g=

3 5

2

= ,83 cm.

A =

·

r·g = 14 · 5 · 5,83 = 1 53

cm

2

AT=A

+ n

·

r

2

= 1 53 + 3,14·5

2

=170,03 cm

2

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.11. TIC) Calcula las áreas lateral

y

total del tronco

de

cono

que se

obtiene al cortar el cono

de

la

figura

por

un plano paralelo a la base que pasa

por

el punto medio

de

la altura.

Los dos triángulos rectángulos que aparecen en la figura son semejantes.

Por

tanto:

5 10 5·5

~ r =

- = 2 5 c m

2

10

Aplicando el teorema de Pitágoras: g = ~ 5

+

2,5

2

=:i

5,59 cm.

A =

I · r1

+

r2) · g

= 3,14

><

7,5><5,59=131,64 cm

2

AT AL

+

n ·

r

1

2

+

i;

•

rl

= 131,64+3,14

><

25 + 3,14

><

6,25 =

22.9,77 cm

2


13.13. TIC) Calcula el área de las esferas cuyo radio es el que se indica.

a) 2

cm

b) 4,75

dm

e 0,5 m

a)

=4

·

n ·

r

2

= 4 · 3,14 ·

: f

=50,24 cm

2

b)

=4

·

n ·

r

2

= 4 · 3,14 · 4,75

2

= 283,4 dm

2

e =4 · n · r

2

= 4 · 3,14 · 0,5

2

=3,14 m

2

13.14. Halla el área de las siguientes superficies esféricas.

a)

b

a)

=4 ·

n · I

=4 · 3,14 · 2,5

2

=

78,5cm

2

b)

=4

·

n

·

I =4

· 3,14 · 4

2

=200,96 cm

2

A

Areaa




13.15. (TIC) El diimetro del planeta

Mane mide

6795 kilómetl 09. ¿Cuinto

mide

au superficie?

A

4 · 1t • = 4 · 3,14·3397,5

2

=144

980 158,5

km

2

13.18. La superficie de • Tleml

se

divide en 24 husos

horarios

Imaginarlos. Halla el érea de un huso

horario

terrestre.

El

radio medio

de la

Tlel Tll

es

de

8370

kll6metros.

La superficie de la Tierra es An.,..

=

·

n · r

2

=

· 3,14 · 637<>2 51 O 000 000 km

2

•

. 510000000 2

Por tanto, la superficie de cada huso será de

24

= 1 250 000 km .

13.17.

Actividad

resuelta.

13.18. (TIC) Expresa las siguientes

medidas de volumen en

lu

unidad que

ae indican.

•

450

cm

3

a

mm

3

d)

2 m

3

a

cm

3

b 20,5

m

1

a

hm

3

e)

3,01

dam

1

a km

1

e)

1250

dm

3

a

m

3

f 0,03

hm

1

a

cm

3

a)

450 cm

3

= 450

000

mm

3

d) 2 m

3

= 2

000 000 cm

3

b) 20,5 m

3

=0,0000205 hm

3

e) 3,01 dam

3

= 0,00000301 km

3

e) 1250

dm

3

= 1,25 m

3

f) 0,03 hm

3

=

30 000 000 000 cm

3

13.19. (TIC) Pua a la unidad que

se lnclca

las siguientes medida de volumen.

a) 3

m

3

200

dm

3

900

cm

1

a

cm

1

b)

40 hm

1

500

dam

1

45

000 m

1

a

hm

1

e) 3

dam

25,1

m

2000 mm a

dm

3

a)

3 m

3

200 dm

3

900 cm

3

= 3

000 000

cm

3

+

200 000 cm

3

+

900

cm

3

= 3

200 900 cm

3

b) 40

hm

3

500

dam

3

45 000 m

3

=

40

hm

3

+ 0,5

hm

3

+ 0,045

hm

3

• 40,545

hm

3

e) 3

dam

3

25,6 m

3

2000

mm

3

= 3

000 000

dm

3

+

25

600

dm

3

+

0,002 dm

3

= 3

025

600,002 dm

3

22 Unidad 13 1Área• y volúmenes de cuerpos geométricos




13.21. Expresa en lltros:

a) 860

cL

a) 860 l

=

,6 l

b) 1255dL

b 1255

dl

=

25,5 l

13.22. Indica el

nllmero

de centllltros de:

a

18 L b 21,2 daL

a)

18

l

= 800 l

b}

21,2 dal = 1 200

l

13.23.

TIC) Expresa en decili troe:

a) 1,2

hL

0,3 L 5

l

b) 3

daL42dL10

mL

a

1,2

hl

0,3 l 5

el=

1200

dl +

3

dl +

0,5

dl

= 1203,5

dl

b

3 dal 42

dl

10 ml = 00 dl + 42 dl + O 1 dl = 42, 1 dl

13.24. TIC) Pasa a llt ros :

a) 5 dm

3

b) 2500 cmª

a

5dm

3

=

l

b

2500 cm

3

= 2,5

dm

3

=

2,5 l

e 0,02 hm

3

= 0 000 000 dm

3

= 0 000 000 l

13.25. TIC) ¿Cuántos decímetros cúbicos son?

e)

8150 mL

e 8150 ml

=

,15 l

e)

123dL

e 123

dl

= 230

l

e)

0,02

hm

3

a) 48 L b) 0,25 daL c) 2,25

hL

d) 0,04 kL

a 48 l = 8 dm

3

e 2,25

hl

= 25 l = 25 dm

3

b

0,25

dal =

,5 l

=

,5 dm

3

d 0,04

kl =

0 l

=

0 dm

3

13.2 .

Un pozo contiene 1,5 metros

cllblcos da

agua. Cada

dla se

sacan 1,5 hectolltroa para al riego

de una plantaclón. ¿Para cuántos dfas hay agua si se supone la situación de ausencia tota l de

lluvla?

Cada día se sacan 1 5hl=150l=150 dm

3

= 0,15 m

3

•

Queda agua

para

1

,5 =

1Odías.

0,15

Areaa y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 23



13.27. Actividad interactiva.


13.29.

Calcula loa

volllmanu

da loa slgulantas prismas, cuyas medidas est6n dadas an cm.

a) b

{ Q

8

a)

V

8 · 3 · 2

=

8

cm

3

b

V P· p

·

= 6·2·1,7.7=714cm3

2 2

1

13.30. Halla al volumen del prisma de la figura.

10cm

6 · ~ 1

2

6·.J64 3

V ABASE·h ·4= ·4=96cm

2 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

J

4cm

7

13.31. (TIC) Halla el volumen de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base y altura miden 5 y

8 centlmetros, respectivamente.

a apotema de la base mide

p

= 5

- 2,5

2

=

4,33

cm.

5.5.4

33

2

El área de la base es ABASE

=

2

=

4,95

cm

El volumen del

prisma es

V ABASE • = 4,95 · 8 = 19,6 cm

3

•

13.32. (TIC) Es inviamo

y

hace mucho frío. Una piscina da 10 metros da larga por 6 de ancha se ha

cubierto

con

una capa de hielo de 3 cm deupuor ¿Cuántos litros de hielo habrá?

V 10·6·0 03=1 8m

3

=1800dm

3

=1800 L

Unidad 13

1Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.33.

Queremoa hacer un tetra

brik de bue

cuadrada y con capacidad de medio litro. ¿Cuánto

cartón necasitamoa?

0,5 L = ,5 dm

3

= 00 cm

3

Si llamamos a al lado de la base y h a la altura, medidos en centímetros, sabemos que el volumen

es:

V

a ·h

500cm

3

La cantidad de cartón necesaria viene dada

por:

AT = a

2

+

2ah

+

2ah

=

a

2

+ 4ah cm

2

De este

modo,

la solución dependeré del valor de a y h; por ejemplo, si

h =

0 cm, tendremos:

s2·h=5 > a

2

= 5 > a=5cm

y

por tanto, necesitarramos 2 · 25 + 4 · 5 · 20 = 50 cm

2

= ,5 m

2

de cartón.

Otra posibilidad es asumir que el tetra brik tiene forma de cubo, es decir, a

=

de donde a

3

=

00

y

por tanto,

a

=

5 0 0

l IJ 7,94 cm, con lo que necesitaríamos 6·a2

:is

378 cm

2

de cartón. De hecho, este

es el caso en el que menos cantidad de cartón se necesitarla.

13.34.

Actividad Interactiva.


13.38. calcula el volumen de las siguientes pirámides regulares.

a) b

6cm

6crn

a)

ABASE=

6

2

=

36 cm

2

V

~

•h _ 36·1 _1

20

3

- -

cm

3 3

b Altura de la base:

h

= 3

= ,2 cm

6·5,2

2

ABASe

= -

2

-

=

5,6

cm

V ~ ·h =

1

5,S·S = 1 6 cm

3

3 3 •

Areaa




13.37.

TIC) Calcula el volumen del

tronco

de pirámide sabiendo que

las

medidas vienen dadas en

metros

y

que las alturas de las pirámides completa

y

sobrante

son

de 6

y

3, reapectivamente.

6·8

·6

Volumen

de

la pirámide completa: V

1

=

•

= \ =

8 m

3

3.4.3

Volumen

de

la pirámide sobrante:

V

2

= · = _ _ = 6

m

3

3 3

Volumen del tronco de pirámide:

V

- V

= 8 - 6 =

2 m

3

13.38.

Actividad resuelta.

13.39. TIC) Calcula al volumen de estos cuerpos.

a) b

15cm

[]

a)

V

~

·h =n·402 . J1002

4a2

= 53485,74 cms

3 3

b

V ~ · h = t·6

2

·15 =1695,6cm

3

13.40. TIC) Calcula el volumen del tronco de cono.

2 cm

El volumen será la diferencia entre el volumen del cono completo

y

el del cono

sobrante.

Observemos

la

figura. Aplicando la semejanza de triángulos:

__ ___ =

x +

25

=> 20x = 15x+ 375 => 5x = 375 =>

x

= 75 cm

15 2

El volumen del tronco de cono es, por tanto:

V

3,14·20

2

·100 3,14·15

2

•75 s.

24204

cms

3 3

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13A1. ctividad resuelta.

13A2. TIC) Calcula el volumen de

una

esfera de dlémetro 8 centlmetros.

V _ _·n_·_r_s

=

4·n·4s

= 68 cm3

3 3

13A3. TIC) Halla el volumen da

una

semiesfera de radio 3 metros.

V __·n;_._ _

3

=

4

· 7t • = 6,52 cm

3

3·2 6

13.44.

TIC)

Un

semlcfrculo

de

radio 3 centfmetros

gira

alrededor de

su

dl6metro. ¿Qué

cuerpo

geométrico genera? Calcula su volumen.

Se

genera una esfera de radio 3 cm.

V

__·n;_._ _

3

=

4

·

n; · =

13,04

cm

3

3 3

EJERCICIOS

Area

de los cuerpos

geométricos

13.45. TIC) Calcula el Araa total da

los

cuerpos geométricos qua admiten

los

siguientes desarrollos

planos.

a) b

1

1 1 1

1

a)

10 · 2

2

=

0

cm

2

b

Área

del pentágono

=

P p

= =

,9

cm

2

Área total = · 6,9 + 1o i2 = 3,8

cm

2

Areaa

y

volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 27



13.48. TIC) Halla el área

total

de loa

aiguientn

cuerpos geométricoa.

~ ~ ~ ·

1

8crn

6cm

b) a)

••

5 m

2cm

e)

f

4cm

a)

Ar=6·3

2

=54cm

2

b) Ar= 2 · n · r·

h

+ 2 · 7t • r= 2 · 3,14 · 25 · 75 + 2 ·

3,14·25

2

=15

700 mm

2

e) Ar= 4 · n ·r=4 · 3,14 · O a2 = 8,04 cm

2

d) AL

P1+ 2·H=

30+20·8=200an2 AT=200+ 30·4,1+20·2,8 =2895an2

2 2 2 2 •

e) Ar= p · h +

ap

= 12· 7+1,7) = 104,4 cm

2

f} Observemos que el área total

se

puede calcular como el área del ortoedro de dimensiones 4, 2 y

5 an, y restándole el área de dos rectángulos iguales de dimensiones 2 y 3 an. Por tanto:

Ar=

2 · 4 · 2

+4

· 5

+

2 ·

5 -2

· 2 · 3 =

76-12

= 64 an

2

13A7. Calcula al jrea lateral y total da un

clllndro

da radio da

la

basa 45

dam

y da altura 50 dam.

A = 2 ·

n · r ·

h = 2 · 3, 14 · 45 · 50 = 14 130 dam

2

AT=A +2 ·

·r

14130+2 · 3,14 ·45

2

=26847dam

2

13.48.

Un cono tiene por radio

de

la base 33 m y por generatriz 65

m.

Calcula sus ireas lateral y total.

A = n

·

r

·g

= 3, 14 · 33 · 65 = 6735,3 m

2

AT=A + n · r

2

= 6735,3 + 3,14 · 33

2

= 10 154,76 m

2

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.48.

(TIC) Halla el área

total

de loa

aiguientn

cuerpos.

a) e)

3cm

b)

t

E

=v>•

,) 1 1

1 1

N ' '

f 5cm

2cni'

d)

a)

AT= 2 ·

3

·

3

+ 4,5 ·

J3

2

3

2

+ 2 · 3 · 4,5

=

+

4,5.Jii

+ 27

:ti

55,09 cm

2

2

b)

ap=2,5cm

Ar

_ ·p·(A +a = _ ·4·5·(8

38+2

5)

=

108 8 cm

2

2

p

p

2 , , '

e) El área total de la pieza se puede calcular sumando el érea total del cilindro de debajo més el

área lateral del clllndro de encima, es decir,

Ar

2 · 3,14 · 9 · 6

+

2 ·

3,

14 ·

g +

2 ·

3,14

· 3 · 6

= 60,84 cm

2

d) El área total de la pieza se puede calcular sumando el érea total del cono más el área lateral del

clllndro.

La generabiz del cono es g = J

2

+

1?

= /5

::

2,24 cm.

Por tanto:

Ar

3,14·1·2,24+3,14·1

2

+2·3,14·1·5

=

1,57cm

2

13.50. Calcula el érea total de

un

cubo sabiendo que el perlmetro de la base

es de

24 decfmetros.

El lado del cubo

mide/=

= dm; por tanto,

Ar

6 · 6

2

= 216 dm

3

•

13.51. (TIC) Calcula las éreaa lateral

y

total de un prisma heptagonal regular sabiendo que el lado

de

la

base

mide

25

mllfmetros,

que

la

apotema

de

la

base es

de

28 mllfmetros

y

que

la

altura

del

prisma

es de 5

centfmetroa.

L =

·

=

· 25 · 50

=

750 mm

2

Ar p · (h + Bp = · 25 · (50 + 26) = 3 300 mm

2

13.52. La base

de

un

ortoedro es

un

rectjngulo con medidas una doble de la otra

y

con peñmetro

de

18 declmetros.

La

tercera medida del ortoedro

es

el trlple de la menor de la base. Calcula el

érea

total

de este cuerpo geométrico.

Las medidas del ortoedro son

3,

6

y9

cm. Por tanto, Ar 2 · (3 · 6 + 3 · 9 + 6 · 9) = 98 cm

2

•

Areaa




13.53.

{TIC) Calcula el área

total

de un tetraedro

• i

cada una de •u• ar i• tu mide

25

centímetroa.

Todas las caras del tetraedro son triángul

os

equiláteros de la

do

25 cm.

La altura

de

estas

caras será

=J25

2

-12.5

2

= ,J468.

75 21,65 cm

.

25 ·21,65

2

El área

de

una cara seré =

2

= 270,63

an

.

El área total del tetraedro es

Ar

270,63 · 4

=

1082,52

an

2

•

13.54.

Halla

el

int11 lateral

del siguiente tronco de

cono.

La generatriz del tronco de cono es

g = .J15

2

+

5

2

= v 281•16,76

dm.

El área lateral es

A1

=

t • (r

1

+

r

2

•g =

3, 14 · (10 + 15) ·

16

,76 • 1315,66 dm

2

.

Unidades de volumen y capacidad

13.55. Copla y completa

en tu cuademo:

a)

45hL•

L

e)

4500

dm

3

•

mll

b)

700

cL =

L

f

25dam

3

•

hm

3

e) 72 daL • hL

d) 4572,SdL

= daL

a) 45 h l =4500 L

b) 700cl= 7L

e) 72 dal = 7,2

h l

d) 4572,5 d l = 45,725 dal

13.56

. ExprMa

en

lltroa u capacidades de:

a) 40 daL + SL + 2 cL

b)

35

L + 45

dL

+ 370

cL +

4000

mL

e) 4

hL

+ 54

daL +

600

dL

d) 3,5 kL + 0,6 hL +

23daL+150

cL

g) o,oosmª •

h)

0,03

hm

3

•

e)

4500 dm

3

= 4 5 m

3

1

f)

25 dam

3

•

0,025 hm

3

g) O 005 m

3

= 5000 cm

3

h) O 03

hm

3

= 30 000 m

3

,

a) 40

dal

+

5 L

+

2

d l

= 400 L

+

5 L

+

0,2 L

=

405,2 L

b) 35 L

+

45

d l +

370 e l 4000

ml = 5

L + 4,5 L + 3,7 L + 4 L • 47,2 L

e 4 h l + 54 dal

+

600 d l

=

400 L + 540 L + 60 L = 1000 L

cm

1

m

d) 3,5 k l + 0,6 h l

+

23del+150 e l= 3500 L + 60 L + 230 L + 1,5 L = 3791,5 L

30 Unidad 13 1Área• y volúmenes de cuerpos geométricos



13.57. Exprwa en metl 09 cúbic:oa loa

volúmen•

de:

a)

3

m

3

+

1250

dm

3

+

250 000 cm

3

b) 0,02 hm

1

+

0,2 dam

1

+

2 m

1

e) 2 dam

3

+50

m + 2000

dm

3

+ 3000

cm

d

8

km

1

+ 4,5

tvn

+

51 dam

1

+

1 O

cm

1

a)

3 m

3

+ 1250 dm

3

+

250 000

an

3

= 3 m

3

+

1,25 m

3

+

0,25 m

3

= 4,5 m

3

b) 0,02 hm

3

+

0,2 dam

3

+ 2 m

3

=

20

000 m

3

+

200 m

3

+

2 m

3

=20 202 m

3

e) 2 dam

3

+ 50 m

3

+

2000 dm

3

+

3000 cm

3

= 2000 m

3

+ 50

m

3

+ 2 m

3

+ 0,003 cm

3

= 2052,003 m

3

d)

8

km

3

+

4,5 hm

3

+ 51dam

3

+10

cm

3

= 8 000 000 000 m

3

+

4 500 000 m

3

+

51

000 m

3

+

+

0,00001 m

3

=

8

004

551

000,00001 m

3

13.58. (TIC)

Pua

a la unidad de capacidad que se Indica los siguientes vol6menes.

a)

450

dm

1

a

L

•

0,25 dam

1

a

hL

b) 10

m a

L

f)

0,0045

dm

1

a l

e 2000 cmª

a

L

d) 3,5 dm

1

a kL

g) 45mm

1

a

cL

h)

45 000 cm

1

a kL

a) 450 dm

3

= 50 l

b) 10m

3

=10000dm

3

=10 000 l

e) 2000 cm

3

= 2 dm

3

= 2 l

d) 3,5 dm

3

= 3,5 l = 0,0035

k l

e) 0,25 dam

3

= 250 000 dm

3

= 250 000 l = 2500

h l

f}

0,0045

dm

3

= 0,0045 l = 0,45

l

g) 45 mm

3

=

0,000045 dm

3

=

0,000045 l

=

0,0045 l

h)

45

000 cm

3

=

45

dm

3

=

45

l = 0,045

kL

13.59. (TIC) Pua a la unidad de volumen que se Indica las siguientes medid• de capacidad.

a) 2500

dm

3

a L a) 0,85 dam

3

a L

b 3800 m

1

a

mL

f) 7,3 dm

1

a

dL

e)

420

cm

a

cL

g)

0,00045

hm

3

a kL

d) 23

dm

1

a daL h) 0,00022 dam

1

a L

a 2500

dm

3

=

500 l

b) 3600 m

3

= 3 600 000 dm

3

= 3 600 000 l = 3 600 000 000

m l

e) 420 cm

3

=

,42 dm

3

=

0,42 L

= 2

l

d) 23 dm

3

=

23 l = 2,3 dal

e) 0,85 dem

3

= 850 000 dm

3

=850 000 L

f}

7,3dm

3

=7,3 l=73dL

g) 0,00045 hm

3

= 50 000 dm

3

= 50 000 L = 50

k l

h} 0,00022 dam

3

= 220 dm

3

= 220 l

lwaa y volQmenee de cuerpos geométr icos

1

Unlcllld 13

31



Volumen de los cuerpos geométricos

13.60. Los

siguientes cuerpos gaom6trlcos

asUn

fonnados

por

ladrlllos

todos

Igualas. Calcula al

volumen de cada uno de ellos tomando como unidad el volumen de un ladrillo.

r

..

. . . .

Primer cuerpo: 8

unidades

cúbicas

Segundo cuerpo:

21+24

= 5 unidades cllbicas

Tercer cuerpo: 8 + 12 = 0 unidades cúbicas

13.61.

Calcula al volumen da los siguientes cuerpos geométricos.

a) d

b)

e)

a)

b

e)

d)

•

f}

25cm

V 2a

·a· a=

2a

3

V 4 11:·rª

= 4·3, 14·5ª = 23

33 dm3

3 3 •

V Aiw.E ·h =

25·10·21=

1750

cms

3 3

V

~

· =

12

·

15

·

30

· 70

= 16 cm

3

2

e) V t

·

· = ,14 · 0,2

2

•

0,5 = ,0628 dam

3

Ocm

-

-

70cm

12cm

22cm

f OJO:

La figura no es

un

tronco de pirámide

ya

que tiene aristas laterales paralelas. La figura es

un

prisma cuadrangular, como muestra el siguiente dibujo:

12cm

22+12 ·10

3

Por tanto: V ~

·h

= ·12 =2040 cm

2

12cm

Unidad 13

1Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.62. Dibuja

un

ortoedro

de dimensionn

2, 3

y

4

centímetro

y calcula la medida

de su

volumen.

V

2 · 3 · 4 = 4

cm

3

4cm

---2

cm

3cm

13.63. TIC) Calcula cuéntos lltros caben en una esfera

de

radio 125 mllrmetros.

V

4

·n-r

3

=

4

·

3

,

14

º

1253

l l l l

8 177 083

mm

3

llll

8 18

dm

3

= 8 18 L

3 3

1

,

13.64. Calcula el volumen de una pirámide de 3 centfmetros

de

altura cuya base es

un

cuadrado

de

lado

4 centfmetros.

A

·

4

2

·3 3

V ~ = = 1 6 c m

3 3

13.65. Calcula al volumen

de

un clllndro sabiendo que el radio da la base mida 3 centímetros y que la

altura

mide

dos vacas al diAmatro da la base.

V C

• r

2

•

h

3 14·3

2

·12 = 39,12

cm

3

13.68. Dibuja

un cubo de

27 centímetros cllblcos

de

volumen e Indica

la

medida

de su

lado.

La medida del

lado

es = = cm.

1

1

: 3cm

1

1

.----

- -

,,,, 3cm

3crn

13.67. Dibuja un ortoedro con la única condición de que

su

volumen valga 40 cm

3

• Indica las

dimensiones que has escogido.

Por ejemplo se

pueden

tomar

las

dimensiones 2

4

y

5

cm.

1

1

1

1

1

1

1

1

¡

/

4cm

Areaa




13.88. Calcula el

volumen

de loa

cuerpos

geométricoa que admiten como desarrollo plano

estas

19preaentaciones (unidades en metros).

a) b)

a) Se trata de un cono de generatriz 5 m y de radio de la

base

1,025 m. La altura vale, por tanto,

= ~ 5 -1,025

2

ll 4,89 m

V= n· r

2

·h = 3 14·1,025

2

·4,89 =

5 38

m

3 3 •

b) Se trata de un tronco de pirámide. El volumen sera la diferencia entre el volumen de la pirámide

completa

y el

de la pirámide sobrante. Observando el dibujo tenemos:

Y x y : :>y=x=566m

2 4 •

4

4

8

2

·1t32

4

2

x5

66

Por tanto: V=

3 3

= 11,31 m

3

13.69. (TIC) Calcula

el volumen

de un

cono

de altura 4,5 decfmatros y da generatriz 5,3 cantfmetros.

El radio de la base del cono

es r=

= i:a =2,8 dm.

n·r

2

·h 314·2,8

2

·45

3

El volumen es V=

3

=

3

= 6,93 dm

13.70. (TIC) Halla el volumen de

los

siguientes

cuerpos

geométrlcoa.

b)

,

...

·

- · - ~

f

rn

2dm

4dm

a) El volumen solicitado es la suma de los volúmenes de un cilindro y un cono:

V=314·7

2

·5

14

·

3

z.Jsz-

3

z =807cm

3

• 3

b) El volumen solicitado es la suma de los volúmenes de un ortoedro y una pirámide:

4

2

·3

V= 4 · 4 · 2

+ =

8

dm

3

3

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.71. TIC) Calcula el

volumen

del

tronco

de pirámide

y

el

tronco

de cono.

a) b)

90

30m

a) El volumen será la diferencia entre el volumen

de

la pirámide completa

y

el de la pirámide

sobrante.

Observemos la figura. Aplicando la semejanza de triángulos:

X 18

715

= ¡ s => 15x = 7,5x + 135 => 7,5x = 135 =>

x

= 18 m

El volumen del tronco de pirámide es, por tanto:

V

30

2

·36 15

2

·18 =

9450

ms

3 3

5cm

b) El volumen será la diferencia entre el volumen del cono completo

y

el del cono sobrante.

2


x S

::::>21x= 15x 75::::>6x= 75::::>x= 12,5 m

15 21


V

3,14·21

2

·17,5 3,14·15

2

·12,5 =

5133

g

ms

3 3 •

13.72.

TIC) Halla el volumen de los siguientes cuerpos.

a) b)

4cm

a) El volumen solicitado es la suma de los volúmenes de tres ortoedros de medidas 2 1

y

4 cm; 2, 1

y 8 cm, y 4, 1 y 6 cm, respectivamente.

Por tanto:

V

2 · 1 · 4 + 2 · 1 · 8 + 4 · 1 · 6 = 48 cm

3

b) El volumen solicitado es la suma de los volllmenes de un prisma triangular, un ortoedro

y

medio

clllndro.

3 14· .J52 _ 42 ]2 ·6

4·

52

42 2

Portanto·V= J - ·6 10·6·.J5

2

2

+

=2372cm

3

. 2 2 •

reaa




PROBLEMAS

13.73. Calcula cu6ntoa metros cuadrados da madera sa necesitan para construir

el podio representado en la figura si no tiene base inferior, es decir, se

apoya directamente sobre el suelo.

Área lateral· A

=

P

1

+

P

2

·H

4

·S

25

+

4

·3,

75

·4 5

=

1 m

2

•

L 2 2 °

Área

de

la base superior: ABASE suP.

=

,75 · 3,75

=

4,06 m

2

Área total de la figura: Ar 81+14,06 = 5,06 m

2

5 25m

13.74. (TIC)

Las

dimensionas de una papelera cllfndrlca son 20 centfmatros de dlimatro y 31 da

altura. Calcula la superficie de material que se ha necasitado para fabricarla.

Área lateral: AL 2 · n

·

r· h = 2 · 3,14 · 10·31=1946 8 cm

2

Área de la base inferior:

AeA.sE

1NF. = ·

r

2

=

3,

14 · 1

a

= 314 cm

2

Área total

de

la figura:

Ar

1946,8

+

314

=

260,8

an

2

l IJ

22,61

dm

2

13.75.

Las

figuras representan Jardineras. ¿En

cuil

da ellas hay qua echar mú tierra para qua se

llenen?

Queremos determinar qué figura de las dadas, el tronco de pirámide o el tronco de cono, tiene mayor

volumen.

En ambos casos el volumen

es

la diferencia entre el volumen

de

la figura (pirámide o cono) completa

y

el de la figura sobrante.

En ambos casos

la altura

de

la figura completa

es de

60 cm.

Lo mismo sucede con la altura de la figura sobrante, que es de 40 cm.

Ademés, el lado de la base de la pirámide completa coincide con el diámetro de la base del cono

completo, ambos miden 3 cm. Lo mismo sucede con el lado de la base de la pirámide sobrante y el

diámetro de la base del cono sobrante, ambos miden

2 an.

302 ·6

2023·40

- 12666,67 cm3.

El volumen del tronco de pirámide es, por tanto, Vp rmn c e

=

3

-

El I d I tro d nto V

7t· 3012}2

·6

n;· 20 /

2 2 ·4

9943

33

3

vo umen e neo e cono es, por ta • cono =

3 3

lt , cm .

De este

modo, obtenemos que el tronco de pirámide, es decir, la primera jardinera, es el de mayor

volumen.

Unidad 13 1Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.76. Calcula el área

y

el volumen de las siguientes cajas

de

cartón

de

las que

se

conocen

sus

tres

dimensiones sabiendo que tienen tapa inferior.

pero

no superior.

a)

Largo=

20

cm

ancho= 15

cm,

alto = 25 cm

b

Largo=

2

m, ancho=

150

cm, alto=

8

dm

e)

Largo=

0 2 dm, ancho= 1 5

cm.

alto = 0

mm

a

A

20 · 15

+

2 · 15 · 25

+

2 · 20 · 25

=

050

cm

2

V

20

· 15 ·

25

= 500 cm

3

b = · 1 5 + 2 · 1 5 · 0 8 + 2 · 2 · 0 8 = 6 m

2

V 2 · 1 5 · 0 8 = ,4

m

3

c

= · 1 5 + 2 · 1 5 · 4 + 2 · 2 · 4 = 1 cm

2

V

2 · 1 5 · 4 =12

cm

3

13.77. Un depósito con

fonna de

ortoedro

y totalmente lleno de agua

contiene

25 lltros

de

este

Hquldo.

Dos

de

sus

dimensiones

son

40

y

50

centímetros, respectivamente. Calcula

la

medida

de la tercera dimensión.

5

L

= 5 dm

3

= 5

000 cm

3

La medida

de

la tercera dimensión seré ~ ~ ~ ~ = 2 5cm.

13.78. (TIC) Para almacenar

cierto

medicamento contra las Inflamaciones óseas de caballos,

se

quiere

construir

cépsulaa

con fonna de clllndro y

semiesferas

en

sus

extremos tal y como

muestra

la ftgura. Calcula la

cantidad de

superftcle que

se precisa

para

construir

cada cépsula,

así como su

volumen

en cmª.

( )

cm

El área total será la suma del área lateral del cilindro

y

el área

de

la esfera.

Por tanto: AT 2 · 3 14 · 1 · 6 + 4 · 3 14 · 1

2

= 0 24 cm

2

El volumen será la suma

de

los volC menes del cilindro y de la esfera.

Por

tanto:

V

3,14 · 1

2 •

6

+

. ·

3,14 · 1

3 ,_

23

cm

3

3

13.79.

Una

persona

respira 16

veces

por

minuto. Cada vez Introduce en

sus

pulmones

4.25

decllltros

de aire. ¿Cuéntos metros cllblcos

de

aire ha Inspirado en un dla entero? ¿Y en una semana?

4

·

60 · 16 ·

4 25

= 7 920

l

=

792

L = 792 dm

3

=

792

m

3

de aire al día

9, 792 · 7 = 8,544 m

3

de

aire a la semana

Areaa y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 37



13.80.

TIC) Para transportar tierra se utilizan

camionn

capacea de

mover

4,5 metros cúbicos

como

máximo. ¿Cuántos camiones serán necesarios para transportar

la

tierra cavada en

una

zanja

de 5 metros de larga, 10 de ancha y 2 de profunda, suponiendo que al remover

la

tierra, esta

1

aumenta en ¡ su volumen primitivo?

El volumen de la zanja será: V 5 · 1O 2 = 00 m

3

•

El volumen de la tierra extraída después de removerta será:

V

1oox 1+j-) =

9

=112,5 m

3

•

El nllmero de camiones necesario

será:

1

~

=

25 .

13.81.

TIC) Juan

no

ha cerrado bien

el grifo

del agua. ¿Cuántos litros se han desperdiciado

si

cada

minuto

gotean 5 centímetros

cúbicos

de agua y el grifo ha permanecido abierto durante 24

horas?

24

· 60 · 5

=

200

cm

3

=

,2

dm

3

=

,2

L

13.82. Se quiere abrir

un

cortafuegos para evitar el avance de

un

Incendio forestal. SI se tarda 8,5

minutos en cavar

un

metro cllblco de tierra, ¿cu6nto se tardará en abrir una zanja de 100 m de

larga, 2 de ancha y 0,25 de profunda?

El volumen

de

la zanja es:

V

100 · 2 · 0,25

=

0 m

3

•

La zanja tardará en excavarse, por tanto, 50 · 8,5 = 25 minutos = horas 5 minutos.

13.83.

Queremos que

un

estanque con forma da ortoedro sea

c ~

da

contener

8,5 m

3

da agua.

¿Qué altura deberé

tener

si se sabe que su base posee 500 dm

2

de superficie?

B SE

=

500 dm

2

= m

2

85

La altura

será:

=

4

=- - = ,7 m.

' 'BASE

5

13.84. TIC) El decfmetro cllblco de mercurio tiene una masa de 13,6 kllogramos.

a) Calcula

al

p o

de

2

litros

de

mercurio.

b) Indica

el

volumen,

en

centfmetros cllblcos que ocuparán 450

gramos

de mercurio.

a)

2 L=

dm

3

; por tanto, pesarán

2 · 13,6 = 7,2 kg.

b)

450

g

= ,45 kg; por tanto, ocuparán O

45

111 0,033 dm

3

= 3 cm

3

•

13,6

13.85. De una lata de conservas se dnprendl6 el papel que rodeaba el envase. Se midieron las

dimensiones del papel y se

obtuvo como

resultado

14

centrmetroa de base y

4

de altura.

calcula el

volumen

de

la

lata.

Calculamos el

radio de la base:

2 ·

n · r

14

> .

2,23

cm.

El

volumen es,

por

tanto:

V

n ·

·

h

=

,14 ·

2,23

2

• 4

=

2,46 cm

3

•

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.86.

TIC) Un decímetro cúbico del material con que está conatruido el recipiente repreaentado en

la figura pesa

7.8

kilogramos.

Calcula cuénto pesa

el

recipiente.

El volumen de la figura seré la diferencia entre el volumen del ortoedro exterior y el volumen

del

ortoedro interior.

Volumen del ortoedro exterior: V

1

= · 10 • 12 = 1080 dm

3

Volumen del ortoedro interior: V

=

· 9 • 10

=

20

dm

3

Volumen

del material:

V

V

1

V

2

= 080 - 720 = 60

dm

3

El recipiente pesa 360 · 7,8 = 808

kg.

13.87. Las dimensiones de una caja son: 36. 24 y 30 centfmetros. En ella se quieren Introducir

paquetes con forma de ortoedro de aristas 5, 9 y 6 centfmetros.

¿Cuéntos paquetes caben en la caja?

A lo largo

caben: 36

: 9 =

paquetes.

A lo ancho caben: 24 : 6 = paquetes.

A lo alto caben: 30 : 5 = paquetes.

En

total caben: 4 · 4 · 6 = 6 paquetes.

Nota: Por ser el largo, ancho

y

alto de la caja

mClltiplos

del largo, ancho

y

alto de cada paquete

respectivamente cabe un

número exacto de paquetes, quedando todo

el

espacio de la caja

ocupado.

Por esta razón también se puede calcular el número de paquetes que entran en la caja dividiendo el

volumen

de

la misma por el volumen de cada paquete.

Volumen de la caja: 36 · 24 · 30 =25 920 cm

3

Volumen de cada

paquete:

9 · 6 · 5

=

70

cm

3

Caben: 25 920 : 270 = 6 paquetes.

reaa




AMPLIACIÓN

13.88.

En un v6rtlca

de un cubo

de 2 decrmetroa

de

arista damos un

corte y

queda

la figura que ves. ¿Cu61eael6rea, en decímetros cuadrados, de

lo

que queda

de cubo?

a)

29

2

b)

71

2

e) 21 d)

45

2

1 :

1

1

1

1

,, ------

/

1

/

Hay tres caras que

no

hemos tocado, siendo su superficie 3 ·

l2

=

2 dm

2

•

En las tres caras restantes

hemos quitado un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1, es decir, nos queda un pentágono de

2

M 7

2

érea

2 -

2

=

2

dm .

7 45

Asr pues, la figura resultante tendrá área

12 +

3 · - = -

dm

2

, la respuesta d.

2 2

7

13.89. El 6rea de cada una de las tres caras adyacentes de un prisma rectangular es

2

,

6 y 21

centrmetros cuadrados. ¿Cuél es, en centlmetros cllblcos, el volumen de dicho prisma?

a) 126 b)

147

2

d) Faltan datos para contestar

e) 21

Llamando a, b y

e

a las dimensiones del prisma, tenemos que ab = ac = 6, e = 21, y nos piden

abe.

Multiplicando estas igualdades, resulta que a· · c)

2

=

2

,

de donde el volumen es a · · e= 2

cm

3

, la respuesta c.

13.90. Un

nlfio

Junta 42 cubitos de

1

centlmetro de lado para fonnar un prisma rectangular. SI el

peñmetro

de la

base es

18

centfmetros,

la

altura del prisma, en centfmetros, es:

a) 3 b) 6 e) 2 d) 7

Llamando a,

by e

a las dimensiones del prisma, resulta que son números enteros positivos que

cumplen que

a·

·e 42 = 2 · 3 · 7 y 2 · a+ b) = 18.

La única posibilidad es que a y sean 2 y 7,

por

lo que e= , la respuesta a.

13.91.

Un bote cilíndrico

de

bolas

de

tenis contiene 3 bolas perfectamente ajustadas. ¿Qu6

proporción del volumen del bote está ocupado

por

las bolas?

a)

n

3

b)

2

3

e)

1t

4

Llamando r al radio de cada bola, el cilindro tendrá radio r y altura 6r.

d)

3

4

Asr

pues, el volumen del cilindro es

V =

r

2

•

6r y

el volumen ocupado por las tres bolas seré

3 .

4

nr

de donde la proporción pedida es

4

tr:

=

. a respuesta b.

3 nr 3

Unidad 13 1Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



13.92.

La ue

circular

de

un tanque

de

agua tiene una superficie

de

1

metro

cuadrado. Introducimos

en el

tanque un

cubo

de hierro de 20

centímetros

de

arista. ¿Qué altura, en cm, sube el agua

del

tanque?

a)

1t

0,8

b)

0,8

1C

c)

0 8

d) 8

El agua subirá una altura

h cm

tal que el volumen

del

cilindro de base 1 m

2

=

0 000 cm

2

y altura

h

coincida con el volumen del cubo de hierro.

Así pues, 10 000 ·

h

= 0

3

,

es decir,

h

= = ,8 cm, la respuesta c.

13.93.

El érea lateral

de una

plrémlde cuadrangular regular es 260 centímetros cuadrados. SI

el

área

total

es

360 centlmetros cuadrados, el volumen

de la

plrémlde, en centímetros

cllblcos es:

a) 400 b 1560 e) 130 d 160

El

área de la

base es 360-

260

= 00 cm

2

,

por lo que la arista de la

base

es

de

10 cm.

Por otra parte, cada cara lateral medirá

2

º = 5

cm

2

, con lo que si es la apotema

de la

pirámide,

tenemos que

65 = ª =>

a=

13an.

Por último, la altura

h

verificaré

h +

5

2

=

3

2

,

de donde

h =

2 cm, y el

volumen

pedido

1<>2·12 3

es V

3

= 00 cm , la respuesta a.

AUTOEVALUACION

13.1. Un cubo

pequeftotlene

por lado centfmetros, y otro més grande tiene por lado el doble que el

anterior.

a) Escribe

los

vohlmenes

de

ambos cubos.

b ¿Cuántas veces

es mayor el

volumen

del cubo més

grande?

a)

V1 =

3

V

=

2a)

3

=

a

3

b El

cubo mayor tiene por volumen ocho veces

el

volumen del cubo menor.

13.2.

Dibuja el

desarrollo

y calcula el área total

y

el volumen

del

prisma

de la

figura. Las medidas

están dadas en centímetros.

1

1

1

.

a l

LU

=4 · 4 · 2

+2

· 2 · 2

=40an

2

V 4 · 2 · 2 =

6

cm

3

Areaa




13.3.

Un cono tiene 4

cm

de radio de la base

y

3

cm

de altura. Calcula su ánta total

y

su volumen.

La generatriz del cono es g= 4

2

+ 3

2

= cm.

El área total es AT 1t • r· g +

n

· r

2

= ,14 · 4 • 5 +

3 14·4

2

=113 04 cm

2

•

El volumen es V · ~ ·h = ·

3

= 0,24 cm

3

•

13A. La pirámide

de

la figura tiene

por

base un cuadrado

de

lado

2

cm y los trléngulos que forman

las cuat ro caras laterales son equlléteros.

2cm

a Halla

la

altura

h de cada

una

de

las caras laterales

y

la

altura H de

la

plrAmlde.

b

Calcula el énta y el volumen de la pirámide.

a h = ~ = J c m

H ~ . / 3 ) 2

1

2

=

J2 cm

b

Area de

la

base: s =

i1

=

cm

2

Area

lateral:

A =

4

~

= .J3 cm

2

Área

total:

T

=

As

+

L

=

+

4

J

. .

10 93

cm

2

A ·H 4.J2

3

Volumen: V _1 8_

3

_ =

3

- . 1 89

cm

13.5.

¿Es poslble desarrollar en el plano

una

esfera? Calcula el érea

y

el volumen de

una

esfera de

10 cm

de dlémetro.

No es posible desarrollar una esfera en el plano.

Area:

A = ·

n · r

= · 3 14 · 5

2

= 14

cm

2

4

..

4·3,14·5

3

3

Volumen:

V

n r ~

= =

23 3 cm

3 3 •

13.8.

Transforma en lltroa los siguientes volúmenes.

a

11 dm

3

b 0,02

dam

3

a 11 dm

3

=11 L

b 0,02 dam

3

=

0 000

dm

3

=

0 000

L

e 250 000 cm

3

=

250 dm

3

=

50 L

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos

e

250 000

cm

3



13.7.

Transfonna en centímetros

cúbicos

laa siguientes capacidades.

a

3 L b 45 l

e 250 000 m

a 3 L = dm

3

= 000 cm

3

b

45 l =

,45 L

=

,45 dm

3

=

50

cm

3

e 250 000

m l

= 50 L = 50 dm

3

= 50 000 cm

3

13.B. Un trozo de tubeña de polluretano de 5 m de largo tiene

fonna

de

clllndro

de 3 cm de radio.

calcula

la

superficie

de

ese

trozo de

tubería.

A · r

2

•

h 3,14 · 3

2

·500=14130cm

2

i.1,41 m

2

13.9. El embudo de la figura esU fonnado por

un

tronco de cono y

un

clllndro.

Las medidas del tronco de cono son de 6 centlmetroa de radio de

la

base

superior

y 2 de radio

de

la

base inferior.

Las alturas del ironco de cono y del clllndro son de

10

centfmetros cada una.

calcula

el volumen total

del embudo.

El volumen del tronco de cono será la diferencia entre el volumen del cono completo y el del cono

sobrante:

10cm


X+10

> 6x=2x 2 ::::>4x=20

>X=

5cm

2 6


V

= 3,14·6

2

·15 3,14·2

2

·5 = 44 27 3

1

3 3

, cm

El volumen del cilindro es V

2

=3,14 · 2

2

•

1

= 125,6 cm

3

•

El volumen

de la

figura es, por tanto,

V

V

1

+

V

2

=

69,87

cm

3

•

reaa y

volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 43



PON

A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Investiga

y

crea > El arte de los poliedros

Las plrémldes de Egipto son algunos de los muchos edific ios con fonna pollédrlca. La mayor parte

de las casas pueden descomponerse con facll ldad en polledros sencl llos. Seguramente podrás ver a

tu

alrededor numerosos ejemplos.

Ademáa de para la construcción, los poliedros han sido utilizados por artistas de todas las épocas

en pinturas, esculturas, joyas

••

Incluso se conservan imágenes en piedra de los poliedros regulares

de

yacimientos neolíticos.

13 1

En la Imagen de

l

Izquierda aparece un dodecaedro de la época etrusca.

¿Quiénes fueron los etruscos? Investiga y escribe un breve

resumen.

Actividad de investigación. Al hablar de los etruscos, deberían mencionar

la época en la que vivieron, su localización geográfica y su relación con

los romanos.

13 2 No esté clara la función que podfa tener ese objeto. Viendo la foto, ¿para qué crees que se

podfa utlllzar?

Posiblemente fuera un juguete, o un elemento decorativo.

13 3

En el

llbro La divina pt0pon:l6n

Luca Pacloll utlllz6 los dibujos de Leonardo d Vlncl. El titulo

del

llbro se

refiere al ••nllmero

de

oro . ¿Sabes

qué

nllmero es? ¿Cómo

se

utlllza este nllmero

en el arte?

El •número

de

oro

es

p =

1

+

2

J5 , y se usa en arte para construir figuras cuyos lados guarden esa

proporción, que se considera especialmente annoniosa. De hecho, también se lo conoce como la

divina proporción .

13A. El pintor Alberto Durero estudió los polledros regulares y

semlrregulares,

y

los utlllz6 en

sus

obras. En el cuadro

que

aparece a la derecha puedes

ver

un polledro.

SI

te fijas bien,

veré& que en la parte superior derecha aparece un cuadrado

mágico, con los nl'.ímeros que puedes ver bajo estas lfneas.

16

3

2 3

5 1

11 8

9

6

7 2

4 15 14

Unidad 13

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



¿Qué tiene de

npecial?

Intenta construir

un

cuadrado mágico de 3 x 3 usando los números

del 1al9

En www.e4m.net/2esoz71 encontraras numerosas actividades sobre

los

cuadrados m6glcos.

En el cuadrado

de

Durero aparecen los 16 primeros n< imeros naturales dispuestos de forma que la

suma de cada fila y de cada columna es siempre 34. El cuadrado 3 > 3 podría ser el siguiente:

2

7

6

9

5 1

4 3 8

13 5 El artista holand6s M C Eschar utlllz6 conceptos matemMlcos an muchas

da

sus obras.

Generalmente se basaba en al uso da las slmetñas

y

en Juegos vlsuales

con

la perspectiva. En su obra

Estrellas qua

aparece a la izquierda Eschar utiliza

más de 15 polledros distintos. Seguramente no

conocerés los nombres de todos pero Intenta

locallzar en el cuadro

por lo

menos

los

cinco polledros

regulares.

En el dibujo aparecen repetidos varias veces los poliedros

pedidos. Por el tamaño es posible que algunos no se

vean bien.

Se

puede buscar en intemet un dibujo

ampliado. El dodecaedro por ejemplo es fácil de localizar

en la parte inferior derecha.

13 6 Crea

tu

propia obra da arte. Puede

ser

un dibujo o pintura una escunura hecha con cualquier

material una composic ión utilizando varios objetos etc. La única condición que debe cumplir

es que aparezcan cuerpos geométricos ya sean poliedros o no.

Actividad manipulativa

de

tipo artístico.

reaa




Calcula con ingenio > Juegos matemáticos

En una de las actividades anteriores has resuelto un cuadrado méglco. Muchos Juegos o

pasatiempos matem6tlcos tienen relacl6n con los nllmeros y con las figuras geométricas. Todo el

mundo ha Jugado alguna vez con el cubo de Rublk y seguramente habr6s Intentado resolver un

sudoku.

En los Juegos de construcción o en los puzles es fundamental estudiar las piezas

que

vamos a

utlllzar para poder colocarlas en su lugar correspondiente.

13 1

Alguna vez has Intentado resolver el cubo

de

Rublk

y lo

has dejado por lmposlble? En Internet

hay varios

sitios

en los

que se

expllcan métodos para lograrlo.

En www.e-sm.net/2asoz72 se explica cada paso con unas claras animaciones. Si no tienes un

cubo da Rubik a mano puedes encontrar uno virtual en www.e-sm.net/2esoz73.

Actividad de juegos en la web.

13 2

Vamos a constru ir el puzle de

dos

piezas

mis

dlffcll del mundo:

un

tetraedro. Es poslble que

en

tu

Inst ituto tengan un materlal para formar polledros ensamblando poHgonos de

pltstlco SI

no

n

así tendrá qua construir tú las piezas. Son dos poliedros igualea.

A la izquierda tienes al desarrollo

de cada pieza

y

cómo quedarían

una vez montadas.

¿Puedes resolver el puzle y formar un tetraedro con las dos piezas? Parece

muy

senclllo pero

a la mayorfa

no

le resultará fécll

El puzle puede resultar sorprendentemente complicado a algunos alumnos pero realmente

es

muy

sencillo. Si se

unen

las piezas colocadas

de

forma simétrica por las caras cuadradas y

s

gira una

aparece el tetraedro.

13 3

Para el

último

puzle el

cubo

soma. necesitas construir las piezas. Para hacerlo

se

utilizan 27

cubos preferiblemente da madera para

que

sean más resistentes

y

se pegan formando las

siete piezas

que

aparecen en la ilustración. Con las piezas grandes qua resultan trata de

formar un cubo.

Actividad manipulativa.

Unidad 13 1

Áreas

y volúmenes

de

cuerpos

geométricos



Aprende a pensar > Deme un ortoedro de leche

Los

polledros que aparecen con más frecuencia en nuestra vida cotidiana

son los

ortoedros. Las

cajas

de

zapatos o

los

envases

de

leche

son solo dos

ejemplos de los muchos que encon1ramos

cadadla.

13.1. Coge un brik

de

leche o zumo mide sus dimension• Calcula

su

volumen. ¿Es mayor o

menor que el que indica

el

envase? ¿Por qué? Haz

lo

mismo con

un

bote de refresco.

El volumen obtenido seré algo mayor que el que figura en el envase, ya que siempre queda un

pequeno

espacio

vacío.

13.2.

¿Por qué

se

emplean contenedores con fonna

de

ortoedro,

no

plr6mldes o Icosaedros, por

ejemplo?

Los

ortoedros tienen un número

pequeño

de caras, y son fácilmente apilables.

13.3.

Las capas 1, 3, 5 8 que aparecen en el dibujo

son

de

polletlleno. La capa 2

es de

cartón, representa el 75 del peso del envase, la 4.

de

aluminio, el

5 . Por eso estos envasee

no

pueden tirarse al contenedor de papel,

deben

ir

al cubo amarillo. El material reciclado

no

puede reutilizarse para

fabricar brika, a diferencia del

vidrio

de las botellas. Sin embargo, el

transporte

de

las botellas

de

vidrio

su

reciclado, para el que

se nec•itan

altas temperaturas, generan C02. ¿Qué envase prefieres

tú?

¿Por qué?

Justifica

tus

motivos a

tus

compafteros.

Debate sobre el tema en http:/lmatematlcas20.aprenderapensar.net.

Debate con los compañeros y

en

la web.

reaa




Proyecto editorial:

Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM

Autoría:

Ana Maria Alvarez, Marina Dlaz, Mariano Garcla, Francisco José Valencia, Femando Alcaide

Edición:

Rafaela Arávalo, Eva Béjar, José Miguel Gómez

Revisión contenidos: Jasl .is Garcla Gual

Corrección: Ricardo Ramírez

Ilustración:

Modesto Arregui, Estudio Haciendo al león , Jurado Rivas

Fotografía CONTACTO; AGE FOTOSTOCK

Diseño:

Pablo Canelas, Alfonso Ruano

Maquetación:

SAFEKAT S.

L.

Coordinación de diseño:

José Luis Rodrlguaz

Coordinación editorial: Josefina Arávalo

Dirección del proyecto: Alda Moya

Cualquier forma de reproducción. distribución. comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser

realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Dirijase a CEDRO (Centro Español de

Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción

de las páginas que incluyen la leyenda de Página fotocopiable .

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