Somos responsables de proteger los restos arqueológicos ...€¦ · 8 Somos responsables de...

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Tus aprendizajes• Reconoce los diferentes conectivos lógicos y evalúa las proposiciones compuestas.

• Identifica las características de los polinomios y realiza diversas operaciones con ellos.

• Interpreta enunciados con lenguaje geométrico y resuelve problemas sobre ángulos y siste-mas de medidas angulares.

• Organiza en una tabla de distribución de frecuencias los datos de la variable estadística en estudio.

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Observa, reflexiona y comenta1. ¿Qué observas en la imagen? Describe

cada detalle.2. ¿En qué estado de conservación se

encuentran los restos arqueológicos de la civilización Caral? Comenta.

3. ¿Qué objetos y estructuras se hallaron en la excavaciones realizadas en Caral? Comenta.

4. ¿Crees que los turistas deben tener un comportamiento responsable cuando visitan la ciudadela? ¿Por qué?

Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

Autonomía TIC Responsabilidad

Ingresa a YouTube y observa el video “Caral-Supe, la civilización más antigua de América”.

https://www.youtube.com/watch?v=ZZ9_ZLst4dU

Reflexiona y responde. ¿Por qué la civilización de Caral es importante?

Entorno virtual

InterculturalComunica

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IIILógica proposicional

� ¿De cuántas maneras se puede calificar una proposición?

Construye tus aprendizajes

� Menciona algunos enunciados y su respectivo valor de verdad.

Activa tus saberes

Noción de lógica La lógica de proposiciones es la parte más ele-mental de la lógica moderna o matemática. En esta parte se usan determinados tipos de lenguaje, oral, escrito, entre otros, y constantemente se reali-zan deducciones respecto a situaciones de la vida diaria, mediante una conclusión o inferencia.EnunciadoEs toda frase u oración que expresa alguna idea. Pueden ser mandatos, interrogaciones, expresio-nes de emoción. Otros enunciados, en cambio, son afirmaciones o negaciones que tienen la caracterís-tica de ser verdaderas o falsas.

ProposiciónEs un enunciado o afirmación al que se le puede calificar como verdadero o falso, pero no ambos. Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir: p; q; r; s; t; …; etc. Ejemplos: • p: 15 es divisible entre 3. • q: El nevado del Huascarán está en Áncash.

Analiza la información

Promueve el aprendizaje autónomo.

Scribd: https://es.scribd.com/document/14274894/Logica-proposicionale n t o r n o VIRTUAL

Guía: Hace 5 000 años se formó la primera civilización en Améri-ca que fue la ciudadela de Caral.

Visitante: Esta civilización es tan antigua como la Sumeria de Me-sopotamia.

Guía: Así es. O como Harappa de la India y la de China, todos ellas ubicadas en el continente asiático.

Visitante: Tienen la misma época que las de Egipto en África.

De las informaciones compartidas, ¿cuál(es) es(son) verdaderas?

CLASES DE PROPOSICIONES

Proposición simple o atómicaSon proposiciones que constan de un solo enunciado.Ejemplos:• 23 es un número primo.• La luna es un planeta.• Hoy estaré junto a ti.

Proposición compuesta o molecularEs aquella donde aparecen dos o más proposi-ciones simples enlazadas por conectivos lógicos. Ejemplos:• Si te marchas entonces yo me quedo.• Somos todos o no somos nadie.• Pasarán a la final si y solo si ganan hoy.

Ejemplos: • ¿Qué hora es? • ¡Abre la puerta! • César Vallejo es un poeta peruano.

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III Conectivos lógicos

Los conectivos lógicos, llamados también operado-res, son símbolos que reemplazan a los conectores lógicos y al adverbio de negación “no”, cuya finali-dad es enlazar a dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta.Ejemplos: • Mateo es futbolista o atleta.

• Un ángulo es agudo si y solo si su medida es mayor que 0° y menor que 90°

Conectores lógicos

Conector lógico

Los conectivos lógicos son:

Operación lógica Símbolo Proposición

compuesta Significado

Negación ~ ~p No p

Conjunción ∧ p ∧ q p y q

Disyunción débil o inclusiva

∨ p ∨ q p o q

Disyunción fuerte o exclusiva

∆ p ∆ q o p o q

Condicional → p → q si p entonces q

Bicondicional ↔ p ↔ q p si y solo si q

Ejemplo: Para una proposición: 21 = 2 valores de verdad

Para dos proposiciones: 22 = 4 valores de verdad

Observación:

Al enlazar “n” proposiciones simples resultan 2n valores de verdad para cada proposición al escribir todas las com-binaciones de V y F.

pV

F

p qV V

V F

F V

F F

Ejemplo: Simboliza la siguiente proposición:Si Luana no nació en 2008 o 2009, entonces no podrá integrar el equipo de básquetbol, pero sí podrá participar en el torneo de ajedrez.Resolución:p: Luana nació en 2008. ~p: Luana no nació en 2008.q: Luana nació en 2009.~q: Luana no nació en 2009.r: Luana podrá integrar el equipo de básquetbol.s: Luana podrá participar en el torneo de ajedrez.

Tablas de verdadSon representaciones gráficas en forma de arre-glos que permiten analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.a. Negación

p ~pV F

F V

b. Conjunción (∧)p q p ∧ qV V V

V F F

F V F

F F F

~p se lee: no p, es falso que p~p es falsa si la proposición es verdadera y ver-dadera si la proposición es falsa.

p ∧ q se lee: p y q, p incluso q, p pero q, …p ∧ q es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas; en los demás casos es falsa.

Luego:Si Luana no nació en 2008 o 2009, entonces

no podrá integrar el equipo de básquetbol, pero

sí podrá participar en el torneo de ajedrez.

Se tiene: (~p ∨ q) → (~r ∧ s)

(~p ∨ ~q) →

(~r ∧

s)

Simbolización de proposicionesConsiste en representar el lenguaje común a través del uso de las variables proposicionales y los co-nectivos lógicos.

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IIIFórmula lógicas

Es el conjunto de variables proposicionales y co-nectivos lógicos debidamente jerarquizados me-diante los signos de agrupación.

c. Disyunción débil o inclusiva (∨)p q p ∨ qV V V

V F V

F V V

F F F

p ∨ q se lee: p o q, p o también q, p o incluso q, … p ∨ q es falsa si ambas proposiciones son falsas; en los demás casos es verdadera.

d. Disyunción fuerte o exclusiva (p Δ q)

p ∆ q se lee: p o q pero no ambas, p o solo q, p o únicamente q, …p ∆ q es falsa si ambas proposiciones son verda-deras o falsas; en los demás casos es verdadera.

p q p ∆ qV V F

V F V

F V V

F F F

e. Condicional (→)

p → q se lee: Si p entonces q, p de manera que q, por lo tanto q, …p → q es falsa únicamente cuando p es verdade-ra y q es falsa; en los demás casos es verdadera.

p q p → qV V V

V F F

F V V

F F V

f. Bicondicional (↔)

p ↔ q se lee: p si y solo si q, p siempre y cuando q, p equivale a q, …p ↔ q es verdadera si ambas proposiciones tie-nen el mismo valor de verdad; en los demás ca-sos es falsa.

p q p ↔ qV V V

V F F

F V F

F F V

Operador principal En un esquema lógico, el operador principal es el conectivo lógico de mayor jerarquía y el último en ser evaluado.

Matriz principal Es el conjunto de valores que toma el operador principal después de elaborar la tabla de verdad del esquema molecular.

Evaluación de un esquema molecular Pueden ser:Tautológico: Cuando los valores de la matriz prin-cipal son todos verdaderos.Contradictorio: Cuando los valores de la matriz principal son todos falsos.Contingente: Cuando la matriz principal presenta, por lo menos, dos valores diferentes.

Ejemplo: Evalúa el siguiente esquema molecular:

~(p ↔ q) ∨ (~p ↔ ~q).

Los círculos enumerados nos indican los pasos para ir completando los valores de cada columna respecto a la variable proposicional.Luego, se observa que los valores de verdad de la matriz principal son todos verdaderos, entonces el esquema molecular es tautológico.

Resolución:El esquema presenta dos proposiciones (p y q), por lo que el número de combinaciones es 22 = 4.

p q ~ (p ↔ q) ∨ (~p ↔ ~q)V V F V V V V F V F

V F V V F F V F F V

F V V F F V V V F F

F F F F V F V V V V

Matriz principal

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L. Act. Pág. 12

� Elabora un cuadro informativo donde se observen las tablas de verdad y las fórmulas lógicas.

Utiliza la estrategia

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III Analiza los ejemplos

4. Simboliza la siguiente proposición:

Daniela canta cumbia o baila salsa. Daniela no canta cumbia. Por ello, Daniela baila y canta salsa.

• p: Daniela canta cumbia.

• q: Daniela baila salsa.

• ~p: Daniela no canta cumbia.

• r: Daniela canta salsa.

Luego; la simbolización es:{[(p ∨ q) ∧ ~ p] → (q ∧ r)}

Resolución:

Rpta.: {[(p ∨ q) ∧ ~ q] → (q ∧ r)}

1. Indica en cada caso si se trata de un enuncia-do o de una proposición. Si es proposición, de-termina su valor de verdad.

I. ¿Por dónde andas?

II. ¡Fuiste solo tú!

III. Inés Melchor es una atleta peruana.

IV. Marte es un satélite.

V. Prohibido entrar.

Se analiza cada proposición:

I. Es un enunciado.

II. Es un enunciado.

III. Es una proposición verdadera.

IV. Es una proposición falsa.

V. Es un enunciado.

Resolución:

5. Simboliza y luego indica el operador de mayor jerarquía de la siguiente proposición:

“Está lloviendo o hace mucho frío. Luego no es verdad que esté lloviendo y haga mucho frío”.

• p: Está lloviendo.

• q: Hace mucho frío.La simbolización será:(p ∨ q) → ~(p ∧ q)

Resolución:

Rpta.:El operador de mayor jerarquía es el condicional.

3. De las siguientes proposiciones, indica cuáles son proposiciones simples.

Se analiza y simboliza cada una de las pro-posiciones: • 2 + 8 6 → Proposición simple

Resolución:

• 2 + 8 6 • x + 3 9 • O Juan es abogado o es ingeniero. • Si Manuel estudia, entonces podrá aprobar el curso. • 8 + 3 < 11

p

• x + 3 9 → Proposición simplep

Rpta.: Se tienen 3 proposiciones simples.

• O Juan es abogado o ingeniero.qp ∆

Es una proposición compuesta

• Si Manuel estudia, entonces podrá aprobar el curso.

Es una proposición compuestaqp →

• 8 + 3 < 11p

Es una proposición simple

2. Lee el siguiente diálogo e identifica los enun-ciados y las proposiciones. Luego justifica tu respuesta.

¿Qué tal te fue hoy? → Es un enunciado.Hoy fue un día muy duro y agitado → Es una proposición que indica una cualidad afirmativa.

Resolución:

¿Qué tal te fue hoy?

Hoy fue un día muy duro y

agitado

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III9. Dada la siguiente proposición:

Resolución:

6. Si p ≡ V; q ≡ F y r ≡ V, indica el valor de: [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r).

Se reemplazan los valores de p, q y r: [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)[(V → F) ∧ (F → V)] → (V → V)

[F ∧ V] → (V → V) F → V ≡ V

Resolución:

Rpta.: El valor de verdad es V.

7. Determina si el siguiente esquema molecular (p ∨ q) → ~p es una tautología, contradicción o contingencia.

Resolución:

Rpta.: El esquema es una contingencia.

Como la matriz principal es FFVV, se trata de una contingencia.

p q (p ∨ q) → ~pV V V F FV F V F FF V V V VF F F V V

Matriz principal132

8. Construye la tabla de verdad de la proposición compuesta (~p ↔ q) ∧ (p ∨ q). Luego, señala los valores de su matriz principal.

Se tienen 2 proposiciones:

Resolución:

Rpta.: El esquema es FVVF.

p q (~p ↔ q) ∧ (p ∨ q)V V F F V F VV F F V F V VF V V V V V VF F V F F F F

Matriz principal4231 5

Si Alberto es ingeniero, es matemático. Si es matemático, es científico. Luego, si es ingenie-ro, es científico.

I. Simboliza la proposición.

II. Elabora y evalúa la tabla de verdad.

III. Determina si es una tautología, contingen-cia o contradicción.

Luego: [(p → q) ∧ (q → r )] → (p → r)

I. Se simboliza la proposición: p: Alberto es ingeniero. q: Alberto es matemático. r: Alberto es científico.

II. Elabora la tabla de verdad:

p q r [(p → q) ∧ (q→ r)] → (p → r)V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Matriz principal

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III. En la tabla se observa que todos los va-lores de verdad son verdaderos, entonces se trata de una tautología.

10. Evalúa el siguiente esquema molecular: ~[~(p ∨ q) → q] ∧ ~(p → q).

Resolución:

p q ~ [~ (p ∨ q) → q] ∧ ~ (p → q)V V F F V V V F F V

V F F F V V F F V F

F V F F V V V F F V

F F V V F F F F F V

Matriz principal

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Rpta.: El esquema es contradictorio.

Como los valores de la matriz principal son todo-dos falsos, entonces el esquema es contradictorio.

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En la civilización Caral se construyeron conjuntos residenciales de un solo piso, tanto el sector alto como en el sector bajo. Estos sirvieron como viviendas de las personas que trabajaron en dife-rentes actividades. Tenían forma cuadrangular cuyo lado medía 7 y 9 metros. Las dimensiones eran variadas, estas a su vez estaban interconectadas entre sí.

De la información, indica una expresión algebraica para calcular el perímetro de una vivienda si a cada lado se le quita “x” me-tros.

Polinomios

� ¿Cuándo una expresión algebraica no es un polinomio?


� ¿Qué letras se utilizan generalmente para representar una variable?Activa tus saberes



8cifras - YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=CKgJvfTe_gse n t o r n o VIRTUAL

Definiciones previasExpresión algebraicaSe llama expresión algebraica a una combinación de números y letras enlazadas entre sí por las diferentes operaciones aritméticas.

Recuerda:

Los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positi-vo (+) o el negativo (–).

Notación polinómica • Es la representación simbólica donde se indican cuáles son las va-

riables de una expresión algebraica. Ejemplo: Un polinomio de va-riables “x” e “y” se representa de la siguiente manera:

Clasificación de los polinomiosLos polinomios, según el número de términos, se clasifican en: • Monomio: Presenta un solo término. • Binomio: Tiene dos términos. • Trinomio: Consta de tres términos. • Polinomio: Es aquella expresión que tiene más de tres términos.

PolinomioUn polinomio es una expresión algebraica racional entera. Es decir, todos los exponentes de las variables en estudio deben ser números enteros positivos.

P(x; y) = –4,5x3y2 – 3x6y5 + x3y + 5x8 + y

Nombre genérico

Variables de estudioSe lee: "P de x e y" que significa:

P depende de "x" e "y"

Estructura de un término algebraico

– 3x5

Parte numérica o coeficiente de la variable

Parte literal o variable

Exponente de la variable

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IIIValor numérico de un polinomio (V.N.)

Es el resultado que se obtiene al reemplazar las varia-bles por números y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplos:1. Si Q(x) = x2 – x + 5, evalúa el valor numérico

del polinomio para x = –2

Forma general del polinomio de grado “n” de una sola variableP(x) = a0x

n + a1xn – 1 + a2x

n – 2 + … + an – 1x + an; (n +, n 0)

Observación:

• La suma de los coeficientes de un polinomio de una variable P(x) está dada por P(1).

• El término independiente es un polinomio de gra-do cero.

• El término independiente de un polinomio de una variable P(x) está dada por P(0).

Donde: a0; a1; a2; …; an – 1; an , a0 ≠ 0)x: Variablea0: Coeficiente principalan: Término independiente (T.I.)

2. Si P(x) = 2x –1, determina el valor de A = P(P(2)) + P(P(–1)).

Resolución:

Resolución:Se reemplaza el valor de x = –2 en el polino-mio:Q(–2) = (–2)2 – (–2) + 5Q(–2) = 4 + 2 + 5Q(x) = 11

Grado de un polinomioEs una característica de todo polinomio y está dado por el mayor valor del exponente de la va-riable.

Grado de las operaciones algebraicas

a. Grado de un productoEs la suma de los grados de los factores.Ejemplo:Si P(x) = 4x5 – 4x3 + 7; Q(x) = 6x4 – 7x – 2, se tiene que G.A.(P) = 5 y G.A.(Q) = 4Luego, se cumple que G.A.[P · Q] = 5 + 4 = 9.

b. Grado de un cocienteEs el grado del dividendo menos el grado del divisor.Ejemplo:Si H(x) = 3x5 + 2x4 + 4x3 + 6x y M(x) = 5x3 – 4x2 – 4,se observa que G.A.(H) = 5 y G.A.(M) = 3.Luego, G.A.[H ÷ M] = 5 – 3 = 2.

c. Grado de una potenciaEs el producto del grado del polinomio por el exponente.

Ejemplo:

El grado de P(x) = (3x5 + 3x3 – 6x2 – 1)3 será 5(3) = 15.

Grado relativo (G.R.)Es el mayor exponente que toma la variable que se está analizando.Ejemplo:

Q(x; y) = 5x2y3 – 2x6 y4 + 6x5y7

G.R.(x)G.R.(y)

Luego, G.R.(x) = 6; G.R.(y) = 7.

• P(2) = 2(2) – 1 = 3 P(P(2)) = P(3) = 2(3) – 1 = 5

• P(–1) = 2(–1) – 1 = –3 P(P(–1)) =P(–3) = 2(–3) – 1 = –7

Reemplaza en A:A = 5 – 7 = –2

Grado absoluto (G.A.)Se obtiene cuando se considera la mayor suma de los exponentes de todas las variables que presenta uno de los términos del polinomio.

Luego, G.A.(Q) = 8.

Ejemplo:P(x) = 7x 4 y 3

Entonces el G.A.(P) = 4 + 3 = 7Q(x; y) = 2x3y4 – 6x3y2 + 7x5y3

G.A. = 8 (mayor suma)G.A. = 5

G.A. = 7

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L. Act. Pág. 15

� Elabora un mapa mental con las definiciones y características de los polinomios.


d. Grado de una raízEs el cociente entre el grado del polinomio y el índice del radical.Ejemplo:El grado de R(x) = 4 x8 + 2x6 – x + 1 será 8 ÷ 4 = 2.

Polinomios especialesSon aquellos polinomios que presentan ciertas ca-racterísticas particulares relacionadas al exponente de las variables o a los coeficientes de las mismas. Los más importantes son:a. Polinomio mónico

Es el polinomio de una variable cuyo coeficiente principal es 1.Ejemplo:P(x) = x8 – 3x5 – x2 + 3

b. Polinomio ordenadoUn polinomio está ordenado con respecto a una de sus variables, si sus exponentes aumen-tan (ascendente) o disminuyen (descendente).Ejemplos:P(x) = 4 + x2 + 4x3 – 5x4 + 6x5 (Ascendente)Q(x) = x7 – 4x5 + 4x3 – x2 + 3 (Descendente)

c. Polinomio completoUn polinomio es completo con respecto a una de sus variables, si sus potencias aumentan o disminuyen desde el mayor exponente hasta el exponente cero en forma consecutiva.Ejemplo:P(x) = 5x2 + 3x5 – x3 – 8x4 + 7x – 2

Propiedad: El número de términos es igual al grado abso-luto más uno.

e. Polinomios idénticosEstos polinomios se caracterizan porque los coeficientes de sus términos semejantes, en ambos miembros, son iguales. Es decir, dados los siguientes polinomios:P(x) = axn + bxm + cxp Q(x) = dxn + exm + fxp

Si P(x) ≡ Q(x), entonces se cumple que:

f. Polinomio idénticamente nuloEs aquel polinomio cuyos coeficientes son to-dos iguales a cero.Ejemplo: Si P(x) = (a – 3)x2 + (b – 5)x + c + 10 = 0, cal-cula el valor de "a + b + c".

Cambio de variableConsiste en reemplazar una variable por una nue-va, de tal manera que se obtenga otro polinomio en función de la nueva variable.Ejemplo: Si P(x – 2) = 3x – 4, calcula P(x).

Resolución: • Paso 1: Se realiza el cambio de variable:

x – 2 = k → x = k + 2 • Paso 2: Se reemplaza en P(x – 2):

P(k) = 3(k + 2) – 4 P(k) = 3k + 6 – 4 → P(k) = 3k + 2 • Paso 3: Se cambia la variable “k” por “x”

P(x) = 3x + 2.

d. Polinomio homogéneoEste polinomio se caracteriza porque todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.Ejemplo: Para el polinomio:

P(x; y) = x12 – 4x5y7 + 6x3y9

12 12 12

G.A.(P) = 12

a xn + b xm + c xp = d xn + e xm + f xp

a = db = e c = f

Resolución:Se cumple:a – 3 = 0 → a = 3b – 5 = 0 → b = 5c + 10 = 0 → c = –10Piden: 3 + 5 + (–10) = –2.

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IIIAnaliza los ejemplos

2. Clasifica a las siguientes expresiones como mo-nomios, binomios y trinomios:

2x3 + x; 5x3; 6x7 – 3x3 + 4x; x3 – 1; x; 12x5; x2 + x – 1.

Resolución:

Monomios: 5x3; x; 12x5 Binomios: 2x3 + x; x3 – 1.Trinomios: 6x7 – 3x3 + 4x; x2 + x – 1

1. Un restaurante vendió durante una semana un número determinado de menúes y platos ex-tras a S/ 12 y S/ 17, respectivamente el plato. Determina una expresión algebraica que repre-senta el ingreso en soles que percibió durante la semana. Resolución:

Sea: x: N.° de menúes y: N.° de platos extrasLuego, la expresión algebraica pedida es 12x + 17y.

3. Si A(x) = (a – 2)x(2a2 – 1)y3, B(x) = (2a + 1)x31y3 son términos semejantes, determina la suma de coeficientes.

Por términos semejantes: 2a2 – 1 = 31 2a2 = 32 a = 4Piden la suma de coeficientes:(a – 2) + (2a + 1) = (4 – 2) + (2(4) +1) = 11

Resolución:

Rpta.: La suma de coeficientes es 11.

Resolución:

Rpta.: El valor de b2 es 16.

4. Si los monomios (3b – 1)xy2, (b + 7)xy2 presen-tan igual coeficiente, calcula el valor de “b2”.

Por coeficientes iguales se cumple:3b – 1 = b + 7 2b = 8 → b = 4Piden: b2 = 42 = 16

5. Si P(x) = x2 – 5x + 12, calcula el valor de: P(–2) – P(1).

P(–2) = (–2)2 – 5(–2) + 12P(–2) = 26P(1) = (1)2 – 5(1) + 12P(1) = 8Piden: 26 – 8 = 18

Resolución:

Rpta.: El valor de P(–2) – P(1) es 18.

6. Si se sabe que

R(2) = 2(2) – 1= 3R(R(2)) = R(3) = 2(3) + 1 = 7

Resolución:

Rpta.: El valor de R(R(2)) es 7.

R(x) = 2x – 1; x 22x + 1; x 2

determina el valor de R(R(2)).

7. Si P(x + 1) = 2x + 3, calcula el valor de la ex-

presión .

P(3) = P(2 + 1) = 2(2) + 3 = 7P(6) = P(5 + 1) = 2(5) + 3 = 13P(2) = P(1 + 1) = 2(1) + 3 = 5

Luego: 7 + 135

K = = 4

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión K es 4.

P(3) + P(6)P(2)

K =

8. Si A( x –1) = x2 + 1, calcula el valor de: E = A(1) + A(0) + A(2).

Resolución:

Rpta.: El valor de E es 101.

Dando forma a la expresión:A(1) = A(2 – 1) = A( 4 – 1) = 42 + 1 = 17A(0) = A(1 – 1) = A( 1 – 1) = 12 + 1 = 2A(2) = A(3 – 1) = A( 9 – 1) = 92 + 1 = 82E = 17 + 2 + 82 = 101

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III 9. Se tienen los siguientes monomios y polino-

mios, determina el G.R. y G.A. de cada uno de ellos:

Resolución:

• A(x; y) = 2ax3y5 G.R.(x) = 3; G.R.(y) = 5; G.A.(A) = 3 + 5 = 8

• B(x; y) = 3x6y7 – 14x5y9

G.R(x) = 6; G.R.(y) = 9 G.A.(B) = 5 + 9 = 14

• C(x; y) = 3,4x5y2 + x6y3 – 7x7y6

G.R.(x) = 7; G.R.(y) = 6 G.A.(C) = 7 + 6 = 13

• A(x; y) = 2ax3y5 • B(x; y) = 3x6y7 – 14x5y9

• C(x; y) = 3,4x5y2 + x6y3 – 7x7x6

11. Dado el siguiente monomio:P(x; y) = 2(m + n) x2m+n ym+5,

si su G.A. es 14, y el G.R. de y es 7, determina el valor de “m + n”.

Rpta.: El valor de “m + n” es 5.

2m + n + m + 5 = 14 ∧ m + 5 = 73m + n = 9 ∧ m = 23(2) + n = 9 ∧ m = 2n = 3 ∧ m = 2 → m + n = 2 + 3 = 5

Resolución:De los datos: G.A.(P) = 14 ∧ G.R.(y) = 7

Resolución:

Rpta.: La suma de coeficientes es –47.

Del polinomio:

10. Si el siguiente polinomio:P(x; y) = (n – 3)xy4 – 5nx2nyn – (n + 4)xn–1yn+1

tiene G.A. igual a 24, indica la suma de coefi-cientes.

P(x; y) = (n – 3)xy4 – 5n x2nyn– (n + 4)xn–1 yn+1

Del dato: G.A. = 24 3n = 24 → n = 8Entonces el polinomio es:P(x; y) = (8 – 3)xy4 – 5(8)x2nyn – (8 + 4)xn-1yn+1

P(x; y) = 5xy4 – 40x16y8 – 12x7y9

Piden: 5 + (– 40) + (–12) = –47

5 3n 2n

Resolución:

Rpta.: El valor de “a + b” es 17.

Para que el polinomio sea homogéneo los grados deben ser iguales:

13. Calcula el valor de “a + b” para que el polinomio: Q(x; y) = x4yb+3 + 6xbya – 2 – xya+5 sea homogéneo.

7 = a – 2 → a = 9b + a – 2 = 6 + a → b = 8Piden:9 + 8 = 17

4 + b + 3 = b + a – 2 = 1 + a + 5

Resolución:

Rpta.: El valor de “a” es 4.

Como el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente, se cumple:b2b – 8b = 0 b2b = 8b → b = 2Por propiedad:N.° de términos = G.A. + 14bb = a2 – a + 3 + 14(2)2 = a2 – a + 4a2 – a – 12 = 0 → a = 4

12. Determina el valor positivo de “a” si el siguiente polinomio:

P(x) = 7xb2b– 8b + 6x(b – 1)b + 5x2b – 2 + 4xb + 1 +...+ xa2– a + 3,es completo y ordenado, en forma ascendente, de 4bb términos.

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IIIOperaciones con polinomios

� ¿Qué operación se realiza cuando se desea calcular el área de un terreno rectangular?Activa tus saberes

a. Adición


Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=KYT1Q7pxhOwe n t o r n o VIRTUAL

Recuerda

Para sumar o restar polinomios:

• Busca términos semejantes, que son los términos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia.

• Usa la propiedad conmutativa de la suma para reagrupar los términos en una expresión y formar conjun-tos de términos semejantes.

• Los términos semejantes se com-binan al sumar o restar los coefi-cientes mientras que las variables y los exponentes se mantienen.

Ejemplo:Se tienen los siguientes polinomios:P(x) = –3x3 – 4x2 + 2xQ(x) = 5x3 – 2x2 – 3x

Determina P(x) + Q(x).


CARAL DEBE SU ÉXITO Y CRECIMIENTO AL SER UN CENTRO DE UNA AMPLIA RED DE INTERCAMBIO Y RECIPROCIDAD QUE SE EXTENDÍA POR LA COSTA, SIERRA E INCLUSIVE LA SELVA. EL PRINCIPAL CULTIVO ERA EL ALGODÓN, LO INTERCAMBIABAN CON PRODUCTOS DE OTRAS ZONAS. POR EJEMPLO ELLOS INTERCAMBIAN “X” CANTIDAD DE ALGODÓN POR “Y” CANTIDAD DE ANCHOVETA. DE LA INFORMACIÓN, BUSCA UNA OPERACIÓN DONDE SE

HAGA USO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Operaciones con polinomios

La adición de dos o más polinomios es otro polinomio que resulta de sumar los términos semejantes de cada uno de ellos.Para sumar dos o más polinomios se tiene en cuenta lo siguiente: • Se ordenan los polinomios, ya sea en forma ascendente o descendente (siempre y cuando sea posible). • Se escriben los términos de los polinomios uno debajo del otro, de manera que coincidan los térmi-

nos semejantes. • Se procede como en la suma de monomios.

P(x) = –3x3 – 4x2 + 2xQ(x) = 5x3 – 2x2 – 3x

P(x) + Q(x) = 2x3 – 6x2 – x

(+)

Resolución:Se coloca uno debajo del otro:

� ¿De qué forma se reducen dos términos algebraicos semejantes?



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Ejemplos:1. Se tienen los siguientes polinomios: P(x) = –3x3 – 4x2 + 2x Q(x) = 5x3 – 2x2 – 3x Calcula P(x) – Q(x).

Resolución:El sustraendo es 5x3 – 2x2 – 3x, su inverso aditivo es – 5x3 + 2x2 + 3x, luego la operación queda:

P(x) = –3x3 – 4x2 + 2x– Q(x) = –5x3 + 2x2 + 3x

P(x) – Q(x) = –8x3 – 2x2 + 5x

(+)

2. Dados los polinomios:P(x) = 3x + x2 + 3x3 – 2 y Q(x) = x3 – 2x2 – 5x + 7,determina P(x) – Q(x).Resolución:Se ordenan los polinomios y se busca el in-verso aditivo del sustraendo:– x3 + 2x2 + 5x – 7, luego se realiza la operación:

P(x) = 3x3 + x2 + 3x – 2– Q(x) = –x3 + 2x2 + 5x – 7

P(x) – Q(x) = 2x3 + 3x2 + 8x – 9

(+)

Ejemplo:Multiplica 5x4y3 con –4x3y6.

Resolución:Se multiplican los coeficientes: (5)(–4) = –20Se multiplica la parte literal: (x4+3)(y3+6) Finalmente, el producto será –20x7y9.

Multiplicación de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por cada uno de los tér-minos del polinomio. Luego, se suman los produc-tos obtenidos.

Ejemplo:Multiplica (–6x2)(3x2 – 4x – 4).

Resolución:(–6x2)(3x2 – 4x – 4)= (–6x2)(3x2) – 4x(–6x2) – 4(–6x2)= –18x4 + 24x3 + 24x2

Multiplicación de polinomiosPara multiplicar dos polinomios de aplica la pro-piedad distributiva y las propiedades de productos de potencias de igual base, y luego se reducen los términos semejantes.

Ejemplo:Se tienen los siguientes polinomios:P(x) = 2x – 3x2 – 5 y Q(x) = x2 – 3x + 1.Determina P(x) · Q(x).

Resolución:Se ordenan y se colocan los polinomios en forma horizontal:

� Explica con tus propias palabras cada una de las operaciones con polinomios.


c. Multiplicación de polinomios Se tienen los siguientes casos:

Multiplicación de monomios:Para multiplicar dos monomios se debe tener en cuenta lo siguiente: • Se establece el signo del monomio produc-

to, tener en cuenta la regla de los signos de la multiplicación.

• Se multiplican los valores absolutos de los coeficientes de los factores.

• Se multiplica la parte literal teniendo en cuenta la propiedad del producto de las potencias de igual base, es decir, se suman los exponentes de la variable.

– 3x2 + 2x – 5

– 3x4 + 2x3 – 5x2

9x3 – 6x2 + 15x– 3x2 + 2x – 5

x2 – 3x + 1

– 3x4 + 11x3 – 14x2 + 17x – 5

L. Act. Pág. 17

b. Sustracción de polinomiosPara restar dos polinomios se procede de la si-guiente forma: • Se ordenan los polinomios, de forma ascen-

dente o descendente. • Se cambian los signos a los términos del

polinomio sustraendo. • Se procede como en la suma de polinomios.

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2. Margarita va al mercado y compra 3 kg de to-mate, 4 kg de cebolla y 5 kg de limón. Donde el kg de tomate cuesta “x” soles; el de cebolla, “y” soles y el de limón, “z” soles. Si la siguiente semana compra 7 kg de tomate, 3 kg de cebo-lla y 8 kg de limón al mismo precio, indica me-diante una expresión algebraica el importe de todo lo gastado.

Semana 1: 3x + 4y + 5zSemana 2: 7x + 3y + 8zEl importe se calcula sumando las dos ex-presiones algebraicas:

Resolución:

Rpta.:El importe a pagar durante las dos se-manas es 10x + 7y + 13z.

3x + 4y + 5z7x + 3y + 8z

(+)

10x + 7y + 13z

3. Sean los polinomios: P(x) = 3x3 – 5x2 + 2x – 6, Q(x) = 2x3 + 4x2 – 8x –1,

determina el valor de:

• P(x) + Q(x) • P(x) – Q(x) • 2P(x) – 3Q(x)

Resolución:

Piden:

3x3 – 5x2 + 2x – 62x3 + 4x2 – 8x – 15x3 – x2 – 6x – 7

(+)

• P(x) + Q(x)3x3 – 5x2 + 2x – 6–2x3 – 4x2 + 8x + 1x3 – 9x2 + 10x – 5

(–)

• P(x) – Q(x)

• 2P(x) – 3Q(x)Se multiplica (×2) a P(x): 6x3 – 10x2 + 4x – 12

Se multiplica (×3) a Q(x): 6x3 + 12x2 – 24x – 3Se busca el inverso aditivo: – 6x3 – 12x2 + 24x + 3Luego, se realiza la operación: 6x3 – 10x2 + 4x – 12–6x3 – 12x2 + 24x + 3 – 22x2 + 28x – 9

(+)

4. Se tiene una piscina rectangular cuyo lado me-nor mide (2x – 3) m. Si el lado mayor es el tri-ple del lado menor, determina la expresión que representa el área de la piscina.

Por dato, lado menor: (2x – 3),lado mayor: 3(2x – 3) = 6x – 9

Resolución:

Rpta.: El área es (12x2 – 36x + 27) m2.

Piden el área (A): A(x) = (6x – 9)(2x – 3)A(x) = 12x2 – 18x – 18x + 27A(x) = 12x2 – 36x + 27

1. Roberto acaba de construir un corral para sus pollos y gallinas, tal como se muestra en la imagen:

Resolución:

Rpta.: El perímetro del corral es 3x2 + 9x – 16.

Piden calcular el perímetro del corral (2p):2p = 4x – 6 + x2 + 6 + 2x2 – 10 + 5x – 62p = 3x2 + 9x – 16

Expresa de manera algebraica la cantidad de alambre que debe comprar para poder cercar todo el corral.

2x2 – 10

5x – 64x – 6

x2 + 6

5. En la siguiente figura:

Se calcula el área de la figura:

Resolución:

Rpta.: El valor de A(x) es 8x2 + 6x.

A(x) = x(x + 6) + (2x)2 + (2x)(3x)

2

A(x) = x2 + 6x + 4x2 + 3x2 = 8x2 + 6x

A(x) representa el área sombreada. Expresa dicho valor algebraicamente.

x

x2x

3xx+6

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I Ángulos

� ¿Qué instrumento se utiliza generalmente para medir ángulos?


� ¿En qué situaciones observas los ángulos?Activa tus saberes



Slidesahre: https://es.slideshare.net/elamyns/angulos-42815460?qid=5c7fa6b1-7cf5-415e-e n t o r n o VIRTUAL

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

SEGÚN SU MEDIDA

Ángulo agudoEs aquel ángulo cuya medida es me-nor que 90°, pero mayor que 0°.

O α

0° α 90°

Ángulo rectoEs aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.

Ob b = 90°

Ángulo obtusoEs aquel ángulo cuya medida es menor que 180°, pero mayor que 90°.

q

O

90° q 180°

Ángulo Es la figura formada por dos rayos no coli-neales que tienen el mismo origen. Esta figu-ra se presenta en nuestro alrededor de mu-chas maneras; por ejemplo, al dar un paso se forma un ángulo entre ambas piernas.

O q

A

B

Elementos: Vértice: OLados: OA y OB

Notación: AOB, AOB

Su función era principalmente astronómica, pues una línea imaginaria ordenaba en una misma trayectoria la Huanca con el atrio en la cima de la

pirámide, pasando por el medio de la escalera principal que conduce del suelo

a la cima de la pirámide.

La pirámide de la Huanca lleva ese nombre porque está alineada con una piedra larga hincada en el suelo y que se

alineaba en diferentes ángulos con la pirámide.

DE LA IMAGEN, ¿QUÉ VALOR TOMA α APROXIMADAMENTE?

Donde q es la medida del ángulo AOB.

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Bisectriz de un ánguloEs el rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo y que pasa por un punto que forma con los lados dos ángulos congruentes.

Resolución:Por bisectriz se cumple:3x – 13° = x + 17°2x = 30° → x = 15°

Complemento de un ánguloEs lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 90°. En forma general, para un ángulo q, su complemento, C(q) está dado por:

C(q) = 90°– q

Ejemplo:La suma de la medida de un ángulo más el doble de su complemento es igual al triple de dicho án-gulo. Determina el valor del ángulo.

Resolución:Sea “x” el ángulo. Por dato:

Ejemplo:En el siguiente gráfico, OM es bisectriz del ángulo AOB. Calcula el valor de “x”.

Suplemento de un ánguloEs lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°. En forma general para un ángulo α, su suplemento, S(α) está dado por:

S(α) = 180°– α

Ejemplo:1. La suma del suplemento de un ángulo menos

el doble de la medida de dicho ángulo es igual a 120°. Calcula el complemento del ángulo.

Resolución:Sea “x” el ángulo. Por dato:S(x) – 2x = 120°180° – x – 2x = 120° 60° = 3x x = 20°Piden el complemento del ángulo:C(20°) = 90° – 20° = 70°

Ejercicio de aplicaciónEn el gráfico mostrado, determina el valor de “2α”.

Resolución:En el gráfico se cumple: 3α + 28° + α + 22° = 180° 4α + 50° = 180° 4α = 130° 2α = 65°

Oα+22°

A3α +28°

C

B

Ángulos adyacentesTienen un lado y un vértice común.

b

Oα

Ángulos consecutivosSon dos o más ángulos adyacentes.

b

Oα

q

Ángulos opuestos por el vérticeTienen el mismo vértice y sus lados son

los rayos opuestos.

αO

b

α = b

SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

x + 2C(x) = 3xx + 2(90° – x) = 3xx + 180° – 2x = 3x

180° = 4xx = 45°

O

AM

B

x + 17

°

3x – 13°

Si OM es bisectriz del ángulo AOB, entonces se cumple que: α = q.

qO

A

M

B

α

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L. Act. Pág. 19

� Parafrasea la definición de un ángulo y sus diferentes clasificaciones.


Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secanteDadas dos rectas paralelas L1 y L2, las cuales son secantes a una recta L3, se tiene el siguiente grá-fico:

α1

L1

L2

L3

α2

α3

α4

α6

α7

α8

α5

Las relaciones entre los ocho ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante se presentan en el siguiente cuadro:

Ángulos Internos Externos

Alternosα3 = α5

α4 = α6

α1 = α7

α2 = α8

Conjugadosα3 + α6 = 180°α4 + α5 = 180°

α1 + α8 = 180°α4 + α5 = 180°

Ángulos correspondientesα1 = α5

α2 = α6

α3 = α7

α4 = α8

PropiedadesSi L1 y L2 son rectas paralelas, se cumple:

a.

x = b + q

q

L1

L2

x

b

c.q

L1

L2

b

α

f

α + b + q + f = 180°

Ejemplos:1. Si L1 y L2 son paralelas, determina el valor

de “x”.

L1

L2

72°

x+12°

150°

Resolución:

L1

L2

72°

x+12°

150°30°

Se calcula el ángulo adyacente a 150°:180° – 150° = 30°

2. En el gráfico mostrado, L1 // L2 . Calcula el va-lor de “x”.

Resolución:Por propiedad:2x + 3x + 5x = 65° + 85° 10x = 150° x = 15°

Por propiedad:72° + 30° = x + 12° x = 90°

L1

L25x

85°

3x

65°

2x

q

L1

L2

b

f

x

y

x + y = b + q + f

b.

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1. En la imagen se muestra un columpio, don-de el ángulo indicado es agudo, determina el máximo valor entero de “x”.

2. La siguiente imagen muestra un foco que pro-yecta tres rayos. Si OM es bisectriz, calcula el valor de “x”.

Resolución:

Rpta.: El máximo valor entero de “x” es 23°.

Se cumple para un ángulo agudo:0°< 3x + 18° < 90°3x < 90° – 18°3x < 72°x < 24°→ xmáx. = 23°

Resolución:

Rpta.: El valor de “x” es 6°.

Por bisectriz, se cumple:38° = 2(x + 13°)38° = 2x + 26°12° = 2x → x = 6°

4. El suplemento de un ángulo, disminuido en su complemento, equivale al triple del ángulo. Calcula la medida de dicho ángulo.

3. Durante las clases de Geometría el profesor le pide a los alumnos construir un ángulo obtuso AOB, tal como se muestra en la figura. Luego, con el transportador, pide calcular la medida. Determina el suplemento de AOB aumentado en el complemento del suplemento de AOB.

Resolución:

Rpta.: El ángulo solicitado mide 90°.

Se observa que m AOB = 120ºPiden: S(120°) + CS(120°) = 60° + C(60°) = 60° + 30° = 90°

Resolución:

Rpta.: La medida del ángulo es 30°.

Sea "x" la medida del ángulo. Por dato:S(x) – C(x) = 3x(180° – x) – (90° – x) = 3x 180° – x – 90° + x = 3x 90° = 3x x = 30°

3x+18°

B

A O

5. Determina el complemento de 53° 42' 27''.

Se sabe que: C(x) = 90° – x, también: 1° = 60' y 1' = 60''Entonces: 90° = 89° 59' 60''En el problema:C(53°42'27'') = 89° 59' 60'' – 53° 42' 27'' = 36° 17' 33''

Resolución:

Rpta.: El valor pedido es 36° 17' 33''.

6. El suplemento de la diferencia entre el suplemen-to y el complemento de un ángulo "x", es igual al doble del complemento de dicho ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo?

S(S(x) – C(x)) = 2C(x)S(180° – x – (90° – x)) = 2(90° – x) S(90°) = 180° – 2x 90° = 180° – 2x x = 45°

Resolución:

Rpta.: La medida del ángulo es 45°.

38°2(x+13°)

A M B

O

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III 7. En la figura, m AOD = 90° y m BOC = 40°.

Calcula el valor de m AOB + m COD.

Resolución:

Rpta.: El valor de m MOC es 36°.

OB : Bisectriz del AOB→m MOB = 12° y m AOB = 24°.

8. En la figura, OM es bisectriz del ángulo AOB y OB es bisectriz del ángulo AOC. Indica el valor de m MOC.

9. En la figura, m BOD = 90° y OC es bisectriz del

AOD. Determina el valor de 7q2

.

10. En el siguiente gráfico, L1 //L2 . Calcula el com-plemento de “x”.

Resolución:

Rpta.: El complemento de “x” es 74°.

Por propiedad:58° = 26° + 2x32° = 2x → x = 16°Piden: C(16°) = 90° – 16° = 74°

Resolución:

Rpta.: El valor de “x” es 50°.

Por ángulos conjugados internos:3q + 3ω = 180º → q + ω = 60° Por dato: m + n = 110°Por la propiedad:q + x + ω = m + n 60° + x = 110° → x = 50°

11. En la figura, L1 //L2 y m + n = 110°. Calcula el valor de “x”.

A

B

C

D

O

Sea m AOB = α y m COD = b.

Resolución:

Rpta.: El valor de m AOB + m COD es 50°.

b

α

Luego: α + 40° + b = 90° α + b = 50°

A

B

C

D

O 40°

AM

B

CO

12°

OB : Bisectriz del AOC→m AOB = m BOC = 24°.Piden: m MOC = 24° + 12° = 36°

AM

B

CO

12°12°24°

En la figura, m BOC = 90° – 4q.Como OC es bisectriz del ángulo AOD, en-tonces m AOC = m COD.90° – 4q + q = 4q 7q = 90° 7q

2 = 45°

Rpta.:El valor de 7q

2 es 45°.

Resolución:

A

D

BC

O4q

q

26°

L1 L2

58°2x

L1

L2

ω2ω

mx

n

q2q

A

D

BC

O4q

q

90° – 4

q

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IIISistemas de medidas angulares

� ¿Cuál es la unidad del sistema radial o circular?


� ¿Qué sistema de medida angular es el más usual?

Activa tus saberes



Calameo: https://es.calameo.com/read/000641981cc93980421aee n t o r n o VIRTUAL

Nociones previas Ángulo trigonométricoEl ángulo trigonométrico es la figura generada so-bre un plano por la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final y en un sentido determinado.

Elementos:Origen: OLado inicial: OALado final: OBMedida del ángulo: q

CaracterísticasSi la rotación se realiza en sentido antihorario, la medida del ángulo será positiva y si se realiza en sentido horario, será negativa, tal como se muestra en la figura siguiente:

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Sistema sexagesimal o inglés (S)Su unidad angular es el grado sexagesi-mal (°), el cual se obtiene al dividir un án-gulo de una vuelta en 360 partes iguales.

Sistema centesimal o francés (C)Su unidad angular es el grado centesi-mal (g), el cual se obtiene al dividir un án-gulo de una vuelta en 400 partes iguales.

Sistema radial o circular (R)Su unidad angular es el radián (rad). Un radián es la medida de un ángulo central que subtien-de una longitud de arco de igual medida que el radio de la circunferencia que lo contiene.

Notaciones:1° = Un grado sexagesimal

1' = Un minuto sexagesimal

1'' = Un segundo sexagesimal

m 1 vuelta = 360°

1°de vuelta1

360

Notaciones:1g = Un grado centesimal

1m = Un minuto centesimal

1s = Un segundo centesimal

m 1 vuelta = 400g

1g

de vuelta1400

m 1 vuelta = 2p rad

1 rad

r

rO

Las plazas circulares construidas en la parte frontal de las pirámides fueron una tradición. Utilizaron conocimientos de aritmética y geo-metría en el diseño y ejecución arquitectónica. Los estudios astro-nómicos de la medición del tiempo y la predicción del tiempo es un claro ejemplo de que ellos conocían un sistema de medición circular.¿En cuántos sistemas de medida se puede medir la circunferencia mostrada?

B

A

qO

El ángulo α es positivo. El ángulo q es negativo.

B

A

αO

B

A

qO

r

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III

� Elabora un mapa mental con las definiciones y características de los diferentes sistemas de medidas angulares.


Factor de conversión

Se obtiene al dividir dos cantidades equivalentes, colocando en el numerador una medida en la uni-dad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar.

Relaciones entre S, C y RLa medida de un ángulo se puede representar en cualquiera de los 3 sistemas de medida angular.

Se cumple:

S° Cg R rad

Equivalencias fundamentalesEn general, si α es un ángulo cuya medida se da en uno de los tres sistemas de medida angular, se tiene:

Del gráfico, se obtienen algunas equivalencias:

m vuelta 360° 400g 2p rad

2p rad 360° → p rad 180°

2p rad 400g → p rad 200g

Luego, se cumple:

180° 200g p rad

Para el sistema sexagesimal y centesimal:

360° 400g ↔ 9° 10g

0°360° 200g 400g

0g

300g

90° 100grad

rad

0 rad2p rad

p rad180°

Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema radial

270°

p2

3p2

Algunos factores de conversión para los sistemas de medidas angulares son:

p rad180°

, 200g

p rad, 9°

10g, …

Donde:S: número de grados sexagesimalesC: número de grados centesimalesR: número de radianes

S°Cg

R rad

α

Se divide cada término de la equivalencia entre la medida del ángulo de una vuelta en su respectivo sistema y se obtiene:

Luego, se cumple:

Para S y C se cumple:

S360°

= C400g

= R2p rad

S180°

= C200g

= Rp rad

= k

L. Act. Pág. 23

Equivalencias:1° = 60'

1' = 60''

1' = 1

60

°

1'' = 1

3 600

°

1'' = 1

60

'

Equivalencias:1g = 100m 1m = 100s

1m = 1

100

g g

1s =

1s = 1

10 000

m1

100

Valores aproximados de p:

p ≈ 227

p ≈ 355113

p ≈ 3 + 2

S = 180k; C = 200k; R = pk

S = 9k ; C = 10k

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1. En la siguiente figura, se observa que una noria da una vuelta en 1 minuto sexagesimal.

Determina en cuántos segundos recorre 30°.

Del enunciado: 1 vuelta → 1 minuto

360° → 60''

30° → x

Por regla de tres:360°x = 30° (60'')360x = 1 800'' → x = 5''

Resolución:

Rpta.: 30° recorre en 5'.

2. En el siguiente gráfico, el péndulo de un re-loj, al oscilar, describe un ángulo tal como se muestra. Determina su equivalente en radianes.

El ángulo es 45° 30'= 45° + 30'

= 45° + 30' × 1°60'

45° + 1°2

= 91°2

Convierte a radianes:91°2

× p rad180°

= 91p rad360

Resolución:

Rpta.: Su equivalente es 91p rad360

.

3. Calcula el valor de la siguiente expresión:

E = 1° 3'3'

+ 2g 50m

10m .

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión es 46.

Se convierten las expresiones a minutos sexa-gesimales y centesimales:

E = 60' + 3'3'

+ 200m + 50m

10m

E = 63'3'

+ 250m

10m

E = 21 + 25 = 46

4. Determina el valor de la expresión M, si:

M =

2p3

rad + 50g

p9

rad – 15° .

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión M es 33.

Se convierte al sistema sexagesimal:2p3

rad × 180°p rad

= 120°

50g × 9°10g

= 45°

p9

rad × 180°p rad

= 20°

Reemplaza en M:

M = 120° + 45°20° – 15°

= 165°5°

= 33

5. Determina el valor de “m”, si se cumple que:(12m)° + (20m)g = p rad.

Resolución:

Rpta.: El valor de "m" es 6.

Se convierte al sistema sexagesimal:

(20m)g × 9°10g = (18m)°; p rad = 180°

Reemplaza en la ecuación:(12m)° + (18m)° = 180° 30m = 180 m = 6

30°

45° 30'

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III 6. La suma de dos ángulos es 100g y su diferen-

cia, 38°. Calcula el mayor ángulo en el sistema radial.

Sean los ángulos α y b (α b):Por dato: α + b = 100g …(I) α – b = 38° …(II)De (I):

α + b = 100g × 9°10g

α + b = 90° …(III)Suma (II) y (III):2α = 128° → α = 64°Convierte al sistema radial:

64° × p rad180°

= 16p45

rad

Resolución:

Rpta.: El mayor ángulo es 16p45

rad.

7. Determina el valor de “x” en el gráfico mostrado:

Se cumple que:(27x)° + (11x – 5)g = 180°

(27x)° + (11x – 5)g · 9°

10g = 180°

27x + 9(11x – 5)10

= 180°

270x + 99x – 45 = 1 800 369x = 1 845 x = 5

Resolución:

Rpta.: El valor de "x" es 5.

8. Si S y C son el número de grados sexagesima-les y centesimales, respectivamente, para el do-ble de un ángulo recto, calcula el valor de:

M = S + 20C

.

Se tiene que: • 2(90°) = 180° → S = 180

• 180° × 10g

9° = 200g → C = 200

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión M es 1.

Reemplaza en la expresión M:180 + 20

200 = 200

200 = 1

9. Reduce la siguiente expresión:

Se tiene que:

Resolución:

Reemplaza en E:

si S y C son lo convencional.

S9

E = C + SC – S

+ C + SC – S

+ 17 ,

= C10

= k → S = 9kC = 10k

E = 10k + 9k10k – 9k

+ + 1710k + 9k10k – 9k

Rpta.: La expresión reducida es 5.

E = 19 + = 19 + 6 = 519 + 17

10. Si C y S son lo conocido para un mismo ángu-lo, de modo que:

S = 10x – 6 y C = 10x + 4,calcula el valor de "x".

Se sabe que:S9

= C10

Resolución:

10(10x – 6) = 9(10x + 4) 100x – 60 = 90x + 36 10x = 96 x = 9,6

10x – 69

10x + 410

=

Rpta.: El valor de “x” es 9,6.

(27x)°(11x – 5)g

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IIIIntroducción a la Estadística

� ¿Qué representa una variable cualitativa?


� ¿Qué entiendes por estadística?

Activa tus saberes

EstadísticaEs la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para recolectar, organizar, cla-sificar e interpretar datos, en forma confiable, para tomar decisiones sobre determinados hechos o fenóme-nos de estudio.



8cho: https://www.youtube.com/watch?v=njgYCEOdb6ke n t o r n o VIRTUAL

Conceptos básicos: MuestraEs un subconjunto de la población que será anali-zada para su estudio.Datos estadísticosSon números o medidas que han sido recopilados, como resultado de las observaciones.

PoblaciónEs el conjunto de elementos u objetos que pre-sentan una característica particular y del cual se desea conocer información.

Meses VisitantesEnero 3 426

Febrero 3 552

Marzo 5 499

Abril 3 458

Mayo 4 512

Junio 7 109

Julio 7 349

Agosto 6 071

Septiembre 7 181

Octubre 5 732

Noviembre 5 393

Diciembre 2 812

Total 62 094

LA CIUDAD SAGRADA DE CARAL HA RECIBIDO UN TOTAL DE 62 094 VISITANTES. ESTE ES UN RESULTADO QUE CADA AÑO VA EN SUBIDA, PUES MUCHAS PERSONAS LLEGAN Y SE INTERESAN POR CONOCER UNA DE LAS PRIMERAS CIVILIZACIONES QUE SE ASENTÓ EN EL PERÚ. Y TÚ; ¿CUÁNTAS

PERSONAS VISITARON CARAL EN OCTUBRE DEL 2018?

ESTADÍSTICA

Recopila

Clasifica

Analiza

Interpreta

DATOS

Brinda conclusiones

Tomar decisiones

FLUJO MENSUAL DE VISITASCiudad Sagrada de Caral

8 0007 0006 0005 0004 0003 0002 0001 000

0

Enero

Febre

roMarz

oAbril

Mayo

JunioJulio

Agosto

Septiem

bre

Octubre

Noviembre

Domingo

Flujo de visitantes a la Ciudad Sagrada de Caral 2018

3 4263 552

3 458

5 499

7 109

4 5126 071 5 732

5 393

2 812

7 349 7 181

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III

� Elabora un cuadro resumen sobre lo aprendido en este tema.


Variable estadísticaEs una característica observable de los elementos de una población, o de una muestra, que pueden ser medidas, adaptando diferentes valores para cada uno de los casos que se puedan presentar en un determinado estudio.

Tipos de variablesA. Variable cualitativa o categórica

Son aquellas variables cuyos valores son cuali-dades o atributos que presenta la población y que son objeto de estudio.

• Variable cualitativa nominalEs aquella que no lleva ordenación

• Variable cualitativa ordinalEn este caso, existe una jerarquía.

B. Variable cuantitativa Son aquellas variables cuyos valores se obtie-nen como resultado de mediciones o conteos. • Variable cuantitativa discreta

Se obtiene por el procedimiento de conteo. Los valores que toman son números enteros.

Tablas de distribución de frecuencias para datos no agrupadosEstas tablas de frecuencias o de distribución se uti-lizan para la variable cualitativa y cuantitativa dis-creta. Los datos utilizados se pueden presentar de diferente manera.

Distribución de frecuencias de una variable discretaSi “n” representa los valores que se recogen de una variable discreta “x”, estos valores numéricos se or-denan en forma ascendente.

• Frecuencia absoluta acumulada (Fi)Es el número de veces que aparece en la muestra un valor menor o igual que el de la variable.

• Frecuencia relativa (hi)Es el cociente entre la respectiva frecuencia ab-soluta (fi) del dato y el número total de datos (n).

• Variable cuantitativa continuaSe obtiene por el procedimiento de una medición. Los valores que toman son nú-meros reales. (Decimales)

• Frecuencia relativa porcentual (hi)Se obtiene al multiplicar la frecuencia relativa por 100 %.

Ejemplo:En una escuela de padres, Sergio realiza una en-cuesta sobre el número de hijos que tiene cada familia. Los resultados son:

2 3 5 1 2 4 3 4 2 31 2 3 4 2 6 2 5 3 2

Elabora una tabla de distribución de frecuencias:Resolución:Se construye la tabla de frecuencias:

Indica el porcentaje de la familia con mayor y menor número de hijos. • % con mayor número de hijos: 5 % • % con menor número de hijos: 10 %

Elementos: • Frecuencia absoluta (fi)

Es el número de veces que aparece el valor de la variable estadística.

N.° de hijos por familia fi Fi hi =

fi

n hi % = hi × 100 %

1 2 2 0,10 10 %

2 7 9 0,35 35 %

3 5 14 0,25 25 %

4 3 17 0,15 15 %

5 2 19 0,10 10 %

6 1 20 0,05 5 %

20 1 100 %

L. Act. Pág. 26

hi % = hi × 100 %

hi = fi

n

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1. Clasifica los siguientes datos estadísticos según sean variables cualitativas, variables discretas o variables continuas.

Nota fi hi

8 a 10 7 0,23

11 a 13 11 0,37

14 a 16 8 0,27

17 a 19 4 0,13

Total 30 1

a. La variable estadística es la nota prome-dio que viene a ser cuantitativa discreta.

b. Es de h3 ≈ 0,27.

Resolución:I. Meses del año

II. Empresas de transporte III. Número de empleados varones de cierta

edad en una fábricaIV. Peso de mascotas V. Edad de un grupo de personas

I. Es una variable cualitativa nominal.II. Es una variable cualitativa ordinal.

III. Es una variable cuantitativa discreta.IV. Es una variable cuantitativa continua.V. Es una variable cuantitativa discreta.

Resolución:

2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Al resultado de medir una característica de la población o muestra se le llama dato es-tadístico.

II. La frecuencia absoluta de un dato es la suma de todas las frecuencias relativas.

III. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de datos.

IV. La variable superficie de las viviendas de una ciudad es una variable cuantitativa dis-creta.

Rpta.: I. V - II. F - III. V - IV. F

3. Los siguientes números representan las notas promedio de los alumnos del tercer año:08 16 18 19 15 14 09 17 15 1413 11 13 12 13 11 09 13 13 1210 09 14 08 17 11 13 14 14 09Organiza los datos en la siguiente tabla:

a. La variable estadística, ¿es cualitativa o cuantitativa?

b. ¿Cuál es la frecuencia relativa para las notas de 14 a 16?

4. Se realizó una encuesta a los estudiantes del tercer año de secundaria sobre los cursos que más prefieren. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

a. Número de estudiantes: 15 + 12 + 8 + 7 + 13 = 55

Resolución:

Rpta.: a. 55 b. 27,3 c. 21,35

a. ¿Cuál es la cantidad de estudiantes encues-tados?

b. ¿Qué porcentaje tiene el curso que más prefieren los alumnos?

c. Calcula el valor de "f3 + f5 + h2 + h4".

Cursos N.° de estudiantes

Educación Física 15

Comunicación 12

Matemáticas 8

CTA 7

Inglés 13

b. El curso que más prefieren es Educación Física. Luego:

c. De la tabla: f3 = 8 ; f5 = 13

h2 = 1255

≈ 0,22

h4 = 755

≈ 0,13

Piden: f3 + f5 + h2 + h4 = 8 + 13 + 0,22 + 0,13 = 21,35

1555

× 100 % ≈ 27,3 %

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