Ss cap7 - diseno filtros fir

CAPITULO 7:DISEÑO DE FILTROS FIRDISEÑO DE FILTROS FIR

•• DISEÑO DE FILTROS FIRDISEÑO DE FILTROS FIR

•• MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS FIRMÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS FIR- Diseño por Enventanado- Diseño por Muestreo en Frecuencia

CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR

- Diseño por Muestreo en Frecuencia- Diseño por Técnicas de Optimización


FILTROS FIR• Como ya se ha mencionado los filtros FIR son los únicos que pueden presentar un

comportamiento de fase lineal, aspecto de gran importancia en aplicaciones de video, detransmisión de datos o de electromedicina.

• Otro de los atractivos de los filtros FIR, y seguramente de los más importantes, es que siempreson estables al estar todos los polos en el origen del plano Z. Esto es importante en diseños dealgunos filtros, como podrías ser el caso de filtros pasa bajo o pasa alto con una fuertealgunos filtros, como podrías ser el caso de filtros pasa bajo o pasa alto con una fuertependiente entre las bandas de paso y atenuada, o el de filtros paso banda o de bandaeliminada muy estrechos. Para conseguir estos filtros con soluciones IIR hay que aproximarmucho los polos del filtro al a zona de inestabilidad, con el peligro que conlleva.

• En contrapartida, no se pueden diseñar los filtros FIR directamente a partir de prototiposanalógico y , para un mismo orden del filtro, su programacion requiere muchas másoperaciones que un filtro IIR. En consecuencia, el tiempo de muestreo será mayor que con unfiltro IIR para un filtro del mismo orden. A continuación se presentan los principales métodosde diseño de filtros FIR.


Métodos de DISEÑO DE FILTROS FIR

Diseño de filtros FIR por Enventanado

Diseño de filtros FIR por Muestreo en Frecuencias

Diseño de filtros FIR por Técnicas de Optimización


DISEÑO POR ENVENTANADOPara comprender la técnica de Enventanado, supóngase que se desea diseñar un filtro pasabajos ideal con frecuencia de corte ωc.

Como la respuesta frecuencial de un filtro FIR es periódica, esta puede expresarse comouna serie de Fourier de la siguiente forma:

∞

Hd(ejω) = Σ ( hd[n].ejωn )

Además se pueden trasladar las especificaciones al dominio temporal mediante latransformada inversa de Fourier:

hd[n] = ∫ ( Hd(ejω ) ejωn . dω)

∞

n = ∞

π

-π

1 .2 π


DISEÑO POR ENVENTANADOPara el filtro pasa bajos ideal, la correspondiente respuesta impulsiva hd[n] será deduración infinita y estará dada por una función sinc discreta:

hd[n] = ( )ωc .π

sin ωc n .ωc n

Se observa claramente que el filtro es un filtro IIR no causal. Este es inestable y por lo tantono realizable.

Para hacer el filtro realizable se buscará aproximarlo a un filtro FIR de orden M+1 medianteel truncamiento de la secuencia hd[n] a solo M+1 muestras


DISEÑO POR ENVENTANADOPara aproximar hd[n] a un filtro FIR de orden M+1 se truncará la secuencia de la siguienteforma:

h[n] = h0[n] para 0 ≤ n ≤ M

0 para n > M

Esta operación se puede interpretar como:Esta operación se puede interpretar como:

h[n] = hd[n] . w[n]

Donde w[n] corresponde a una venta rectangular:

w[n] = 1 para 0 ≤ n ≤ M W(ejω) = M+1 ( )0 para el resto

La ventana rectangular que aparece como efecto del truncamiento de la respuestaimpulsional hd[n] del filtro deseado presenta el problema de alterar la respuestafrecuencial del filtro resultante respecto a las especificaciones.

sin (M+1)ω/2(M+1)ω/2


DISEÑO POR ENVENTANADOAsí por ejemplo, para el caso del filtro pasa bajo ideal Hd(ejω) , la secuencia h[n] tendrácomo transformada la convolución de dicho filtro pasa bajo con una función sinc(transformada de la ventana rectangular):

H(ejω) = Hd(ejω) * W(ejω)

Respuesta

Fenómeno de Gibbs

Filtro Deseado

Filtro Obtenido del Diseño

Respuesta Frecuencial de la

Ventana Rectangular


DISEÑO POR ENVENTANADOSe observa que para conseguir H(ejω) = Hd(ejω) es necesario que W(ejω) = δ (ω), es decir, quew[n] sea una secuencia unitaria desde n =-∞ a n = +∞, lo que es claramente incompatible con elobjetivo de diseñar un filtro FIR. Una solución de compromiso es utilizar otras ventanas,alternativas a la rectangular.

Respuesta


Ventana Ideal

W(ejω) = δ (ω)


Ventana RectangularTruncamiendo para M=10


VENTANASUna ventana es simplemente una secuencia de muestras de longitud M+1 que semultiplica por las muestras originales de hd[n], a fin de obtener un filtro FIR, minimizandolos efectos de distorsión en frecuencia respecto al Hd(ejω).

Las ventanas han de cumplir con dos objetivos:

1. Aproximarse a una delta, en el sentido de que su transformada de Fourier se1. Aproximarse a una delta, en el sentido de que su transformada de Fourier seconcentre alrededor de ω = 0 (módulo estrecho alrededor de ω = 0 y muy realzadorespecto al módulo en frecuencias ω ≠ 0).

2. Su cálculo no debe ser demasiado dificultoso, ya que ello alargaría el periodo demuestreo de la señal.


VENTANAS


VENTANAS Ventanas en el Dominio del Tiempo


VENTANAS Respuestas Frecuenciales de cada Ventana


VENTANAS Filtros FIR Obtenidos con cada Ventana


VENTANA de KaiserLa ventana de Kaiser es una de las ventanas más utilizadas en el diseño de filtros, ya quepermite controlar las características de discriminación del filtro y su selectividad mediantela selección adecuada de sus parámetros.

La expresión que define la Ventana de Kaiser es la siguiente:

Donde:- I0 : es la Función Modificada de Bessel de primera especio y orden cero- β : es un número real arbitrario que determina la forma de la ventana- M : es la longitud de la ventana.

El parámetro β permite controlar la discriminación del filtro, y la longitud M su selectividad.

Las ventana de Kaiser según la selección de sus parámetros puede presentarcomportamientos similares a las demás ventanas presentadas anteriormente, por lo que sesuele decir que es una ventana cuyo comportamiento es programable


VENTANA de Kaiser

Variación de la forma de las Ventanas de Kaiser según β


VENTANA de Kaiser

Variación de las Respuestas Frecuenciales de las Ventanas de Kaiser según variaciones de β y M


VENTANA de Kaiser

Ecuaciones de Diseño para Filtros Pasa Bajo: β y M

min


VENTANA de Kaiser

Ejercicio:

Mediante el método de envetanado para el diseño de filtros FIR, diseñe un filtro pasabajos que respete las características del filtro deseado que se detallan a continuación.Utilice una ventana de Kaiser.

| H(ejω) | = 0.975 ≤ | H(ejω) | ≤ 1 para |ω| ≤ 0.2π| H(e ) | = 0.975 ≤ | H(e ) | ≤ 1 para |ω| ≤ 0.2π

| H(ejω) | ≤ 0.1 para 0.3π ≤ ω ≤ π


Fenómeno de GibbsCuando una función en el dominio del tiempo tiene una discontinuidad de salto en un punto, suserie de Fourier mantiene unas oscilaciones en dicho punto. Este comportamiento se llamafenómeno de Gibbs.

En el diseño de filtros FIR por enventanado, el fenómeno de Gibbs aparece cuando se hace untruncamiento a hd[n] con el propósito de aproximarlo a un filtro (FIR)

Entre más significativo sea el truncamiento, mayor será la cantidad de oscilaciones de Gibbs queaparecen en el dominio de la frecuencia. Por el contrario, mientras mayor sea la cantidad demuestras que se tomen (mayor M+1), el efecto de Gibbs se minimiza.muestras que se tomen (mayor M+1), el efecto de Gibbs se minimiza.

Otra forma de minimizar el fenómeno de Gibbs es elegir una ventana adecuada.


DISEÑO POR ENVENTANADO Resumen El método de diseño de filtros FIR por Enventanado se basa en obtener un filtro FIR h[n] que

se aproxime lo mejor posible al filtro hd[n] que resulta de la transformada inversa de larespuesta frecuencial del filtro que se desea diseñar: Hd(ω).

Para ello, el filtro h[n] se obtendrá truncando la secuencia de hd[n] a la longitud escogidaque determinará el orden del filtro FIR. Con ello ya se tendría el diseño concluido si no fuerapor los sobre impulsos y rizados que aparecen en la respuesta frecuencial comoconsecuencia del truncamiento (Fenómeno de Gibbs).consecuencia del truncamiento (Fenómeno de Gibbs).

Estos rizados pueden reducirse seleccionando adecuadamente la ventana con que seefectúe el truncamiento de hd[n], por ello según el filtro a diseñar se deberá elegir laventana adecuada.

En el diseño de filtros FIR la selección de la ventana es un compromiso entre el rizadoañadido a la respuesta frecuencial deseada y el ancho de la banda de transición de dichofiltro.

La ventana de Kaiser es una de las ventanas más utilizadas en el diseño de filtros, ya quepermite controlar las características de discriminación del filtro y su selectividad mediantela selección adecuada de sus parámetros.


DISEÑO POR ENVENTANADO Conclusiones

Si bien el diseño de filtros FIR por enventanado de la respuesta impulsional truncada es fácilde diseñar, pierde algo de sistemática al tenerse que “tantear” el mejor tipo de ventana.

Por otro lado, el efecto del truncamiento y posterior enventanado de la secuencia puedealterar las frecuencias de corte, por lo que es conveniente permitir una cierta tolerancia enlas especificaciones del filtro.

La respuesta impulsional hd[n] es fácil de obtener para prototipos ideales. Sin embargo, si elperfil de la respuesta frecuencial del filtro Hd(ejω) es más complicada, resulta muy engorrosala obtención de la respuesta impulsional hd[n]. En este caso, es preferible el método dediseño por muestreo en frecuencia o por técnicas de optimización.


DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIAOtra forma para diseñar filtros FIR es ajustando la respuesta frecuencial del filtro a diseñarH(ω) a la de las especificaciones de la respuesta frecuencial del filtro deseado Hd(ω)directamente en el dominio frecuencial, sin calcular la transformada inversa de Fourierhd[n] como en el caso anterior.

Para realizar el ajuste del filtro a diseñar H(ω), este método consiste en muestrear enfrecuencia la respuesta frecuencial del filtro deseado H (ω), de modo que H(ω) estaráfrecuencia la respuesta frecuencial del filtro deseado Hd(ω), de modo que H(ω) estaráformado por todas las muestras que se obtengan de Hd(ω) y la respuesta impulsional h[n]del filtro diseñado se obtendrá por la transformada de Fourier Discreta Inversa de H(ω)


DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIAPara comprender la técnica de Muestreo en Frecuencia, supóngase que se desea diseñarun filtro pasa bajos ideal con frecuencia de corte ωc.

Como la respuesta frecuencial de un filtro FIR es periódica, esta puede expresarse comouna serie de Fourier de la siguiente forma:

∞

Hd(ejω) = Σ ( hd[n].ejωn )

Si se muestrea la respuesta frecuencial deseada Hd(ejω) en los N puntos ω=2πk/N(diseñando un filtro FIR de orden N), siendo k = 0, 1, …, N-1, se tiene la Transformada deFourier Discreta de la secuencia h[n] será:

H[k] = Σ ( h[n].e ) h[n] = Σ ( H[k].e )

∞

n = 0

2πN

N-1

n = 0

j k.n IDFT 1N

N-1

k = 0

2πN

j k.n


DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIAPara comprender la técnica de Muestreo en Frecuencia, supóngase que se desea diseñarun filtro pasa bajos ideal con frecuencia de corte ωc.

H[k] = Σ ( h[n].e ) h[n] = Σ ( H[k].e )

H(z) = Σ ( h[n].z-1 ) = Σ [ Σ ( H[k].e )] z-1

[ ]

1N

N-1

n = 0

2πN

j k.nN-1

n = 0

N-1

k = 0

n2πj kN-1N-1

H(z) = Σ H[k] Σ [e . z-1)]

H(z) = Σ [ ]

1N

n2πN

j kN-1

n = 0

N-1

k = 0

1 – Z-N

N

N-1

k = 0 1 – e .z-1

H[k] .2πN

j k


DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA

Variación de las Respuestas Frecuenciales de los filtros Obtenidos según la cantidad de Muestras M

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