Ss clase 6

CAPITULO 5:FILTROS DISCRETOS

• FILTROS DISCRETOS

• CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS

- Según su Respuesta Impulsiva

Filtros: FIR-MA, IIR-AR, IIR-ARMA

- Según su Respuesta en Frecuencia

Filtros: Pasa Bajo, Pasa Alto, Pasa Banda, Rechaza, Pasa Todo

- Según su Orden

Filtros: de 1er y 2do Orden

CAP5: FILTROS DISCRETOS

FILTRO DISCRETO

• Un filtro discreto es la implementación en hardware o software de laecuación de diferencias que lo representa.

• Ventajas de los Filtros Discretos

- Alta inmunidad al ruido

- Alta precisión

- Fácil modificación de las características del filtro

- Muy bajo coste

• Por estas razones, los filtros discretos están reemplazando rápidamente a los filtros continuos.

Un filtro discreto es cualquier Sistema que realice un procesamiento sobre una señal de entrada discreta.



CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS: A) Según su Respuesta Impulsiva

Filtros FIR (Finite Impulse Response): Un filtro de orden N se describe por la siguiente ecuación de diferencia:

Lo que da lugar a la función de transferencia:

La secuencia {Bk} son los coeficientes del filtro.

- No hay recursión, es decir la salida depende solo de la entrada y no de los valorespasados de la salida.

- La respuesta es por tanto una suma ponderada de valores pasados y presentes de laentrada. De ahí que se denomine Moving Average (MA)

- La función de Transferencia tiene un denominador constante y solo tiene ceros.

- La respuesta es de duración finita ya que si la entrada se mantiene en cero durante Mperiodos consecutivos, la salida será también cero.

y[n] = B0.x[n] + B1.x[n-1] + B2.x[n-2] + … BM.x[n-M]

H(z) = B0 + B1.z-1 + B2.z-2 + … BM.z-M


Filtros IIR (Infinite Impulse Response): Presenta dos variaciones: Filtros AR y ARMA

FILTROS AR (Autoregressive): Un filtro AR de orden M se describe por la siguiente ecuación de diferencia:


La secuencia {Ak} son los coeficientes del filtro.

- Se observa que la función de transferencia contiene solo polos.

- El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino también de losvalores pasados de la salida (Filtros con realimentación).

- El término autoregresivo tiene un sentido estadístico en que la salida y[n] tiene una regresiónhacia sus valores pasados .

- La respuesta al impulso es normalmente de duración infinita, de ahí su nombre.

H(z) = 1 .

1 + A1.z-1 + A2.z-2 + … AN.z-N

y[n] = x[n] – A1.y[n-1] – A2.y[n-2] – … – AN.y[n-N]



FILTROS ARMA (Autoregressive Moving Average):

Es el filtro más general y es una combinación de los filtros MA y AR. La ecuación de diferencia que describe un filtro ARMA de orden N, M es:


La secuencia {Ak} y {Bk} son los coeficientes del filtro.

- Un filtro de este tipo se denota como ARMA (N,M), es decir es Autoregresivo de orden N yMedia en Movimiento de orden M.

- Su respuesta al impulso es también normalmente de duración infinita y por tanto es un filtrotipo IIR.

H(z) = B0 + B1.z-1 + B2.z-2 + … BM.z-M

1 + A1.z-1 + A2.z-2 + … AN.z-N

y[n] = B0.x[n] + B1.x[n-1] + B2.x[n-2] + … BM.x[n-M]

– A1.y[n-1] – A2.y[n-2] – … – AN.y[n-N]



FILTRO FIR: MA(Moving Average) FILTRO IIR: AR(Autoregressive)



FILTRO FIR: ARMA(Autoregressive Moving Average)



Tipo de Filtro Ecuación de Diferencia

FIR (Finite Impulse Response),No Recursivo,

Moving Average (MA) orden M,Todos ceros

y[n] = ∑ Ak.x[n-k]

IIR (Ininite Impulse Response),Recursivo,

Autoregressive (AR) orden N,Todos polos

y[n] = x[n] - ∑ Bk.y[n-k]

IIR (Ininite Impulse Response),Recursivo,

ARMA(N,M),Polos y Ceros

y[n] = ∑ Ak.x[n-k] - ∑ Bk.y[n-k]

M

k = 1

N

k = 0

N

k = 0

M

k = 1




Diferencias entre Filtros IIR y FIR

- Los filtros FIR son siempre estables.

- Los filtros IIR son pueden ser estables o inestables según la ubicación de sus polos respecto a la circunferencia unitaria.

- Los filtros FIR son de fase lineal.

- Los filtros IIR producen distorsión de fase, es decir que la fase no es lineal con la frecuencia.

- El orden de un filtro IIR es mucho menor que el de un filtro FIR para una misma aplicación.


CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS: B) Según su Respuesta en Frecuencia


CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS: B) Según su Orden

Orden de un Filtro

- En número de polos y ceros indica el orden del filtro y su valor determina las características del filtro, como su respuesta en frecuencia y estabilidad.

- El orden de un filtro describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte.

- Un filtro de primer orden, presentará una atenuación de 20dB/década (10 veces su frecuencia de corte).

- Un filtro de segundo orden tendría el doble de pendiente (representado en una escala logarítmica).

- Esto se relaciona con los polos y ceros: cada polo simple hace que la pendiente baje con 20dB/década y cada cero simple que suba con 20dB/década. De esta forma los ceros y polos pueden compensar su efecto.



FILTROS DE 1er ORDEN

- Los filtros de 1er Orden se caracterizan porque su Función de Transferencia H(z) presenta un solo polo.

• y[n] = x[n] + b1x[n-1]

• y[n] = x[n] - a1y[n-1]

• y[n] = x[n] + b1 x[n-1] - a1y[n-1]

H(z) = 1 + b1.z-1

1 + a1.z-1

H(z) = 1 + b1.z-1

H(z) = 1 .

1 + a1.z-1

Filtro FIR-MA

Filtro IIR-AR

Filtro IIR-ARMA



FILTROS DE 2do ORDEN

- Los filtros de 2do Orden se caracterizan porque su Función de Transferencia H(z) presenta solo dos polos .

• y[n] = x[n] + b1x[n-1] + b2x[n-2]

• y[n] = x[n] - a1y[n-1] – a2y[n-2]

• y[n] = x[n] + b1x[n-1] + b2x[n-2] - a1y[n-1] – a2y[n-2]

H(z) = 1 + b1.z-1 + b2.z-2

1 + a1.z-1 + a2.z-2

H(z) = 1 + b1.z-1 + b2.z-2

H(z) = 1 .

1 + a1.z-1 + a2.z-2

Filtro FIR-MA

Filtro IIR-AR

Filtro IIR-ARMA


EjercicioDeterminar los coeficientes de un filtro de segundo orden (a1,a2,b1,b2), que permitan que

dicho filtro actué como un Filtro Pasa Alto, en los siguientes casos:

i. Considerando que el filtro es del tipo FIR-AM

ii. Considerando que el filtro es del tipo IIR-AR

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