Stackelberg

Repaso

• En las clases anteriores vimos los modelos de Cournot y Bertrand.

• En el primero se supone que las empresas piensan que sus rivales mantendrán la cantidad de producción constante.

• En el segundo las empresas suponen que sus rivales mantendrán el precio constante.

• En ambos modelos se llega a un equilibrio estable sin embargo no óptimo.

El modelo de Stackelberg

Objetivos

• Hasta ahora se ha analizado el caso del monopolio, es decir, un mercado donde sólo existe una empresa oferente de un cierto producto.

• El caso del monopsonio, el caso donde sólo existe un demandante de algún factor o producto

Objetivo

• Ahora analizaremos el caso del OLOGOPOLIO, es decir, el caso intermedio entre la competencia perfecta y el mercado monopolístico.

• Pueden existir varios competidores, pero no tanto como para afirmar que cada uno de ellos tienen un efecto determinante sobre el precio.

Objetivo

• Se estudiarán varios modelos en los que suele desarrollarse los mercados oligopólicos .

• Se observara que hay diferentes conductas de este tipo de mercados, en los cuáles se podrá llegar a un equilibrio maximizador de beneficios

Objetivo

• Entre los modelos de oligopolio que se estudiaran se encuentran:Liderazgo de preciosModelo de StackelbergModelo de CournotModelo de BertrandModelo de Sweezy

Objetivos

• Para analizar con mas sencillez estos modelos, analizaremos el caso de dos empresas, que nos ayudara a entender el comportamiento de cada una de ellas.

• Además supondremos que las empresas producen un bien homogéneo para evitar el problema de diferenciación del producto.

Elección de estrategia

• Cuando existen dos empresas en el mercado y producen un producto homogéneo, hay cuatro variables relevantes:

El precio que cobra cada una de ellas

El nivel de producción de cada una


• Cuándo una empresa elige los precios y las cantidades, puede saber ya lo que ha elegido la otra .

• Si una de ellas logra fijar su precio antes que la otra, decimos que se comporta como un líder en la elección del precio, y la segunda como seguidor.


• Del mismo modo, si una de ellas consigue elegir la cantidad antes que la otra, decimos que la primera se comporta como un líder en la elección de la cantidad, y la segunda como un seguidor.


• También puede ocurrir que cuando una empresa toma sus decisiones no conoce las que ha tomado la otra.

• Con esta información existen dos posibilidades:– Las empresas pueden elegir simultáneamente las

cantidades o los precios.

Liderazgo en la elección de la cantidad

• En el caso de liderazgo en la elección de la cantidad, una empresa elige antes que la otra.

• A veces se denomina

Modelo de Stackelberg

• El modelo de Stackelberg se utiliza para describir las industrias en las que hay una empresa dominante o un líder natural.

• Por ejemplo, en el sector de las bebidas refrescantes Coca-Cola es una empresa dominante.

• Las empresas mas pequeñas esperan a que ésta anuncie sus nuevos productos para ajustar sus decisiones.

• Pasemos a examinar un modelo teórico.

• Supongamos que la empresa 1 es líder y que decide introducir la producción .

• La empresa 2 responde eligiendo la cantidad

• Cada una sabe que el precio de equilibrio del mercado depende del nivel total de producción.

• Utilizamos la función inversa de la demanda para indicar el precio de equilibrio como una función del nivel de producción de la industria

• La interrogante a resolver es:

¿Qué nivel de producción debe elegir el líder para maximizar los beneficios?

La respuesta depende de cómo piense que reaccionará el seguidor ante su elección.

• Probablemente el líder debe esperar que el seguidor intente maximizar sus beneficios, dado la elección del líder.

• Para que el líder tome una buena decisión sensata respecto a su propia producción, tiene que examinar el problema de maximización del beneficio del seguidor.

El problema del seguidor

• Supongamos que el seguidor debe maximizar sus beneficios

El beneficio del seguidor depende del nivel de producción que elija el líder.

𝑦 2

• Pero desde el punto de vista del seguidor el nivel de producción del líder está predeterminado.

• Para el seguidor, la producción del líder, la ve simplemente como una constante.

• El seguidor desea elegir el nivel de producción en el que el ingreso marginal es igual al costo marginal:

Cuando el seguidor aumenta su producción, eleva su ingreso al vender más al precio de mercado

• Pero también presiona a la baja sobre el precio en , lo que reduce los beneficios generados por todas las unidades que antes vendía al precio más alto.

• Podemos darnos cuenta que la elección del seguidor que maximiza su beneficio depende de la elección del líder.

• Lo anterior se puede expresar de la forma siguiente:

La función anterior nos indica el nivel de producción maximizador del beneficio del seguidor como una función de la elección del líder.

• A la función la podemos denominar función de reacción, pues nos dice cómo reaccionará el seguidor a la elección del nivel de producción del líder.

• Pasemos a construir una curva de reacción en el caso de la demanda lineal

• La función inversa de la demanda adopta la forma

La función de beneficios de la empresa 2 es:

O bien

• La expresión anterior se utiliza para trazar las líneas de isobeneficio.

• Estas líneas representan las combinaciones de e que genera un nivel constante de beneficio a la empresa 2.

• Es decir, las líneas de isobeneficio están formadas por todos los puntos que satisfacen la siguiente ecuación

• En la siguiente figura podemos observar que los beneficios de la empresa 2 aumentan conforme nos desplazamos a líneas de isobeneficio que se encuentran más a la izquierda.

• Esto porque a medida que si fijamos el nivel de producción de la empresa 2, sus beneficios aumentan conforme disminuye la producción de 1

producción de la empresa dos

producción de la empresa uno

Curva de reacción

Líneas de isobeneficio de la empresa 2

𝑓 2(𝑦1)

𝑦 1



Curva de reacción


𝑓 2(𝑦1)

𝑦 1

• La empresa 2 obtiene la mayor cantidad posible de beneficios cuando es un monopolista, es decir, cuando la empresa 1 decide producir cero unidades.

• Por cada elección posible de producción de la empresa , la dos desea elegir la que le reporte la mayor cantidad de beneficios.

• Es decir, que por cada elección de la empresa dos elegirá que la coloque en la línea de isobeneficio que se encuentre más a la izquierda



Curva de reacción


𝑓 2(𝑦1)

𝑦 1

Este punto satisface la condición de tangencia , según la cual la pendiente de la línea de isobeneficio debe ser vertical en el punto correspondiente a la elección óptima

El lugar geométrico de estas tangencias describe la curva de reacción de la empresa 2

• Al resolver se obtiene la curva de reacción de la empresa 2

Esta curva de reacción es la línea recta que se muestra en la figura.



Curva de reacción


𝑓 2(𝑦1)

𝑦 1

• Para analizar este resultado en términos alegebráicos se necesita la expresión de ingreso marginal correspondiente a la función de beneficios de la empresa 2

Al igualar al costo marginal, que en este ejemplo es de cero, tenemos:

El problema del líder

• Anteriormente hemos visto como elige el seguidor su nivel de producción dada la elección del líder

• Ahora examinaremos el problema de maximización del beneficio del líder

• Es posible que el líder sea consiente de que sus decisiones influyen en el nivel de producción del seguidor.

• La función resume esta relación. Por lo tanto, al elegir su nivel de producción debe darse cuenta de la influencia que ejerce en el seguidor

• Su problema de maximización del beneficio es entonces:

Sujeta a

𝑦 1

• Al introducir la segunda ecuación en a primera, obtenemos:

Con la condición anterior observamos que el líder se da cuenta de que cuándo elige el nivel de producción , la producción total es , es decir, su propio nivel de producción mas el del seguidor.

• Si introducimos la ecuación

en

Obtenemos

• Cuando el líder considera la posibilidad de variar su nivel de producción, se debe de dar cuenta de la influencia que ejerce en el seguidor.

• Examinemos esto por medio de la función de demanda antes descrita. Vimos que la función de reacción es

• Como hemos supuesto que los costos marginales son cero, los beneficios del líder son:

Pero el nivel de producción del seguidor , dependerá de la elección del líder a través de la función de reacción

• Simplificanco la expresión anterior se obtiene:

• El ingreso marginal de esta expresión es:

• Al igualar el IM y el CM, que es cero en este ejemplo, y despejando , tenemos que:

Para encontrar el nivel de producción del seguidor, introducimos el valor de en la función de reacción.

Las ecuaciones y nos dan el nivel total de producción de la industria.

• La solución de Stackelberg también se puede analizar gráficamente mediante las curvas de isobeneficio. Como se muestra en la figura.

• En esta gráfica se muestran las curvas de reacción de ambas empresas y las curvas de isobeneficio de la empresa 1.

𝑦 2

𝑦 1

Equilibrio de Stackelberg

Curvas de isobeneficio de la empresa 1

Curva de reacción de la empresa 1


𝑦 2

𝑦 1





La empresa 1 obtiene mas beneficio en las curvas isobeneficio mas bajo, ya que sus beneficios aumentan conforme disminuye la producción de la empresa 2.

La empresa 1, la líder, elige el punto de la curva de reacción de la 2 toca la curva de isobeneficio más baja posible de la 1, obteniendo mayores beneficios.

𝑦 2

𝑦 1





La empresa 2 se comporta como una seguidora, lo que significa que elige un nivel de producción situado a lo largo de la curva de reacción

Por lo tanto, la empresa 1 quiere elegir una combinación de producción de la curva a de reacción que genere los máximos beneficios posibles.

La maximización indica que la curva de reacción debe ser tangente a la curva de isobeneficio

El liderazgo en la elección del precio

• En lugar de fijar la cantidad, el líder puede fijar el precio

• Para tomar una decisión adecuada, el líder debe predecir el comportamiento del seguidor.

• Debemos analizar primero el problema de maximización del beneficio del seguidor

• En el equilibrio, el seguidor siempre debe fijar el mismo precio que el líder, debido al supuesto de que las dos empresas venden producto homogeneos.

• En caso contrario, si alguna de las dos vende a precio diferentes, todos los consumidores preferirán la que cobre el precio más bajo, y no podrá haber un punto de equilibrio en el que produzcan las dos.

• Supongamos que el líder a elegido el precio y el seguidor lo considera dado y elige el nivel de producción que maximiza su beneficio.

• El seguidor maximiza sus beneficios:

Lo que nos lleva a cumplir la condición de que el seguidor deseará elegir el nivel de producción en el que el precio es igual al costo marginal.

• Con la condición anterior se determina la curva de oferta del seguidor, .

• En el caso del líder, éste se da cuenta de que si fija el precio , el seguidor ofrecerá

• Esto significa que la cantidad de producción que venderá el líder será

• A la relación

Se le denomina curva de demanda residual del líder.

Supongamos que este tiene un costo marginal constante de producción . En ese caso, los beneficio que obtiene, cualquiera que sea el precio , serán

• Para maximizar los beneficios el líder desea elegir un precio y un nivel de producción en los que el ingreso marginal sea igual al costo marginal.

• Si embargo, el ingreso marginal debe ser igual al ingreso marginal correspondiente a la demanda residual, es decir, la curva que mide el nivel de producción que podrá vender a cada uno de los precios dados.

• En la siguiente figura se muestra la curva de demanda residual y su curva de ingreso marginal correspondiente tendrá la misma ordenada al origen y será el doble de inclinada.

• La curva de demanda residual es la curva de demanda del mercado me nos la curva de oferta del seguidor.

Precio

Cantidad

CM del líder

Demanda del mercado

Curva de demanda a la que se enfrenta el líder (demanda residual)

IM del líder

Oferta del seguidor

• Ejemplo algebraico

Supongamos que la curva de demanda es

El seguidor tiene la función de costos

Su costo marginal es

• Al igualar el precio y el costo marginal, tenemos que

Despejando la curva de oferta del seguidor obtenemos

La curva de demanda a la que se enfrenta el líder, la curva de demanda residual, es

• Despejamos en función del nivel de producción del líder , tenemos que

Ésta es la curva inversa de demanda del líder

• La curva de ingreso marginal correspondiente tiene la misma ordenada en el origen y es el doble de inclinada, lo que significa que es

• Igualando el ingreso marginal y el costo marginal, obtenemos:

Al despejar el nivel de producción maximizador del beneficio del líder, tenemos

Precio

Cantidad

CM del líder

Demanda del mercado

Curva de demanda a la que se enfrenta el líder (demanda residual)

IM del líder

Oferta del seguidor

𝑝∗

𝑦 𝐿∗ 𝑦 𝑟

∗

La curva a la que se enfrenta el líder es la curva de demanda del mercado menos la curva de oferta del seguidor.

El líder iguala el ingreso marginal y el costo marginal para hallar la cantidad óptima que debe ofrecer, . La cantidad total ofrecida en el mercado es y el precio de equilibrio es

Resumen

• El modelo de Stackelberg se esta basado en la existencia de un líder en la elección de precio o en la cantidad

• Existe un líder que determinada la cantidad producida y una empresa seguidora, que basa su producción dependiendo de la cantidad producida por la líder

Resumen

• La empresa seguidora maximiza sus beneficios tomando a la cantidad producida de la empresa líder como una constante.

• La empresa seguidora elige el nivel de producción donde el ingreso marginal es igual al costo marginal

Resumen

• Cuando una empresa fija la cantidad, está determinando, de hecho, cuánto será capaz de ofrecer en el mercado.

• Si una empresa es capaz de ser la primera en invertir en capacidad, lo lógico es considerarla líder en la elección de la cantidad.

Resumen

• La elección del seguidor que maximiza su beneficio depende de la elección del líder.

• Los beneficios de la empresa seguidora aumentan conforme nos desplazamos a líneas de isobeneficio que se encuentran más a la izquierda

Resumen

• Cuando la empresa líder toma la posibilidad de variar su nivel de producción debe tener en cuenta la influencia que ejerce en el seguidor.

• La empresa líder elige el punto de la curva de reacción de la 2 que toca la curva de isobeneficio mas baja posible de la líder, obteniendo así mayores beneficios.

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