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SUBTEMA 2.4.2. RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL TEOREMA DE VARIGNON.

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1.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas, una de 200 N y otra de 400 N como se ve en la figura. Determinar los esfuerzos de reaccin a que se encuentran sujetos los apoyos, considere despreciable el peso de la viga.

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200 N 400 N 1 m 2 m 1 m

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Diagrama de cuerpo libre: 200 N 400 N 1 m2 m1 m

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Para que la viga est en equilibrio de traslacin y de rotacin tenemos que: Aplicando la primera condicin del equilibrio tenemos: Fy = 0 = RA + RB + (-F1)+ (-F2)= 0.. (1) Fy = 0= RA + RB = F1 + F2 F y= RA + RB = 200 N + 400 N Fy= RA + RB = 600 N ecuacin 1.

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Aplicando la segunda condicin del equilibrio y eligiendo el soporte A para calcular momento de torsin tenemos: MA= RB (4 m)- 400 N (3 m) 200 N (1 m) = 0 MA= RB (4 m)- 1200 N.m-200 N.m = 0 MA= RB (4 m)- 1400 N.m= 0 MA= RB (4 m)= 1400 N.m. despejando RB tenemos: RB = 1400 N.m = 350 N 4 m Sustituyendo el valor de RB en la ecuacin 1 para hallar RA tenemos: RA = 600 N - RB RA = 600 N 350 N = 250 N

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2.- Sobre una barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3 metros del punto de apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se debe aplicar en el otro extremo para que la barra quede en equilibrio. b) La Tensin que soporta el cable que sujeta la barra. considere despreciable el peso de la barra.

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60 NP = ? T 3 m2 m

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Diagrama de cuerpo libre. P 2 = T = r 1 = 3 mr 2 = 2 m O 60 N

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a) Para que el cuerpo est en equilibrio de traslacin y rotacin tenemos que: Aplicando la primera condicin del equilibrio. Fy = 0 = T + (-P1)+ (-P2).. (1) Sustituyendo en la ecuacin 1 : Fy = T- 60 N-P2= 0 T = 60 N + P2.

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b) Para calcular el valor de la tensin debemos conocer el peso que equilibrar al sistema, de donde al sustituir en la ecuacin 2, tenemos que la suma de momentos en el punto O es igual a: Aplicando la segunda condicin del equilibrio y calculando momentos de torsin respecto al punto O donde se aplica la tensin tenemos_ Mo= P1r1-P2r2= 0 P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos: P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 N r22 m Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la tensin del cable es: T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N

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3.- Una viga uniforme de peso despreciable soporta 2 cargas de 300 N y 400 N en los extremos izquierdo y derecho respectivamente como se ve en la figura. Calcular a) Cul es el valor de la fuerza de reaccin R que se ejerce para equilibrar la viga? b) Dnde debe colocarse la fuerza de reaccin respecto al punto A?.

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C2 = 400 N R 6 m A

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Diagrama de cuerpo libre: 6 m r R = A C2 = 400 N C 1 = 300 N

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Solucin: Para que el cuerpo est en equilibrio de traslacin y de rotacin tenemos: Fy = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 . (1) MA = 0 = R rR + (-C2r2). (2) Sustituyendo en 1: F = R 300 N- 400 N= 0 R = 700 N

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b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos respecto al punto A: MA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0 MA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0 MA = 700 N (rR) = 2400 N.m despejando rR tenemos: rR = 2400 N.m = 3.43 m 700 N por lo tanto, la reaccin tiene un valor de 700 N, que equivale a la suma de las dos cargas y queda colocada a 3.43 m del punto A.

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4.- Una viga de 6 metros de longitud, cuyo peso es de 700 Newtons, soporta una carga de 1000 Newtons, que forma un ngulo de 60 y otra de 500 Newtons, como se ve en la figura siguiente. Determinar las fuerzas de los soportes A y B que la sostienen.

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A B 6 m 1 m F1 = 1000 N F2 = 500 N 60

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Diagrama de cuerpo libre. A 1 m P = 700 N 2 m B 3 m 60 F1 = 1000 N F2 = 500 N

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Solucin: Aplicando la primera condicin del equilibrio: Fy = A + B F1sen 60 P F2 = 0. Fy = A + B 1000 N (0.8660) 700 N 500 N = 0. Fy = A + B 866 N 700 N 500 N = 0 Fy = A + B 2066 N = 0. A + B = 2066 N (ecuacin 1).

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Aplicando la segunda condicin del equilibrio y eligiendo el punto A, para calcular momentos de torsin: MA = B (6 m) 866 N ( 1 m) 700 N (3 m) 500 N ( 6 m) = 0. Efectuando las multiplicaciones: MA = B (6 m) 866 N.m 2100 N.m 3000 N.m)= 0. Efectuando la suma algebraica: MA = B (6 m) 5966 N.m = 0. B (6 m) = 5966 N.m. Despejando a B tenemos: B = 5966 N.m = 994.33 N. 6 m

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Regresando a la ecuacin 1 y sustituyendo el valor del soporte B para hallar el valor del soporte A: A + B = 2066 N (ecuacin 1). Despejando A tenemos: A = 2066 N B. A = 2066 N 994.33 N = 1071.67 N.