SUBTEMA: CALCULO PROPOSICIONAL Y LEYES LÓGICAS 7

FORMATO CONTROLADO: FR0044/ v1.1 / 11-05-2020

MATEMÁTICA

LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

PROPOSICIONES

Este compendio recoge textualmente documentos e información de varias fuentes debidamente

citadas, como referencias elaboradas por el autor para conectar los diferentes temas.

Se lo utilizará únicamente con fines educativos.


TABLA DE CONTENIDO DESARROLLO DE LOS SUBTEMAS DEL TEMA 1........................................................................................... 4

SUBTEMA: Proposiciones y Tablas de verdad ............................................................. 4

SUBTEMA: Operadores Lógicos ...................................................................................... 5

SUBTEMA: CALCULO PROPOSICIONAL Y LEYES LÓGICAS ............................................... 7

MATERIAL COMPLEMENTARIO ........................................................................................ 13

DESARROLLO DEL CONTENIDO DEL TEMA 1

TEMA 1

PROPOSICIONES

Objetivo

Comprender la importancia de la lógica simbólica en el estudio de los fundamentos de las

matemáticas, logrando desarrollar un pensamiento analítico y crítico

Introducción

La lógica de proposiciones es la parte más fundamental de la lógica matemática

moderna, estudia las relaciones formales extra proposicionales, es decir aquellas

relaciones existentes entre proposiciones y no las que se dan dentro de ella, se la

denomina también lógica de las proposiciones utilizando lenguaje simbólico para las

diversas comparaciones entre proposiciones y de esta forma llegar a determinar su

grado de veracidad o falsedad según sea el caso a analizar, para ello se utilizan los

conocidos conectores lógicas y diagramas tales como las tablas de verdad que

mediante las funciones lógicas como disyunción, conjunción, negación etc. nos

permiten formular la veracidad del mismo.


DESARROLLO DE LOS SUBTEMAS DEL TEMA 1

SUBTEMA: Proposiciones y Tablas de verdad

CONTENIDO DEL SUBTEMA

Los objetivos de esta sección son los siguientes Distinguir los diferentes tipos de razonamiento usados en un lenguaje natural para la

interpretación apropiada de un procedimiento lógico matemático. Comprender la importancia de la lógica simbólica en el estudio de los fundamentos de las

matemáticas, logrando desarrollar un pensamiento analítico y crítico Comprender las proposiciones y su clasificación Generar una tabla de valores donde se puedan comprar dos o más proposiciones.

La lógica es un procedimiento razonado que no acepta conclusiones erradas. Esto se puede lograr

definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. Todo debe definirse de tal forma que no

dé lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por

supuesto. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario, un enunciado u oración se puede definir como

“una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo”. Sin

embargo, en lógica simbólica una oración tiene un significado mucho más específico y se llama

proposición, que son los elementos fundamentales de la lógica. Una proposición es un enunciado

que sólo puede ser verdadero o sólo puede ser falso, El valor de verdad de una proposición es la

cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero (1)

o falso (0) para comparar dos o más proposiciones utilizaremos una herramienta denominada

tabla de verdad la cual es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar

dos o más proposiciones. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los

resultados posibles al realizar las operaciones lógicas por lo general se utilizan proposiciones del

tipo compuestas las mismas que son proposiciones relacionadas con un conector lógico.


SUBTEMA: Operadores Lógicos


Los objetivos de este tema son : Identificar los operadores lógicos y las proposiciones presentes en un determinado texto Traducir una proposición expresada en lenguaje simbólico a lenguaje natural. Analizar las condiciones necesarias y suficientes de una proposición condicional siempre

verdadera.

En el lenguaje cotidiano se usa frecuentemente proposiciones más complejas. Se torna en una

necesidad poder establecer nexos para las proposiciones, a los cuales se les denomina conectores

u operadores lógicos. Gramaticalmente, estos operadores lógicos, en su mayoría, son

denominados partes invariables de la oración.

Estos conectores lógicos son:

Negación: ~ , ¬ “no”

Disyunción: ∨ “o”

Conjunción: ∧ “y”

Condicional: → “si… entonces”

Bicondicional: ↔ “si y solo si”

Estos operadores lógicos tienen un orden o jerarquía: ( ), ~ , ∨, ∧, →,↔; que se debe

respetar al momento de su aplicación

NEGACIÓN: Dada una proposición p, su negación es la proposición ̚p, que será verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. Se lee “no p” y corresponde a la negación del lenguaje usual. Su tabla de verdad es


CONJUNCIÓN: Dadas 2 proposiciones p y q, su conjunción es la proposición p∧q, que será verdadera sólo cuando p y q son verdaderas y falsa en los demás casos. Se lee p y q y se corresponde con la “y” o con la yuxtaposición del lenguaje usual. Su tabla de verdad es:

DISYUNCIÓN: Dadas dos proposiciones p y q, su disyunción es la proposición p∨q, que será falsa cuando p y q son falsas y verdaderas en los demás casos. Se lee “p ó q” y se corresponde con la “o” no excluyente del lenguaje usual. Su tabla de verdad es:

CONDICIONAL: Dadas dos proposiciones, p y q, su condicional es la proposición p → q, falsa sólo si q es falsa y p verdadera y verdadera en los demás casos. Se dice que p es el antecedente y q el consecuente del condicional. Se lee “si p entonces q” y se corresponde con expresiones tales como: “si ... entonces ...”, “cuando ... entonces ...” del lenguaje verbal. Su tabla de verdad es: BICONDICIONAL: Dadas dos proposiciones p y q, su bicondicional es la proposición p↔q, que será verdadera si ambas son verdaderas o si ambas son falsas y falsa en los demás casos. Se lee “p si y sólo si q”. Supone un doble condicional en el lenguaje usual: “si p entonces q y si q entonces p”. Su tabla de verdad es:


SUBTEMA: CALCULO PROPOSICIONAL Y LEYES LÓGICAS


Los objetivos para este tema son:

Identificar la diferencia entre proposiciones y formas proposicionales

Reconocer los diferentes tipos de formas proposicionales

Identificar implicaciones y equivalencias lógicas.

Reducir las expresiones lógicas moleculares empleando las leyes lógicas.

Tautología, contradicción y contingencia

Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo,

~ { (p → q) (s t) }

Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad son siempre verdaderos para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se dice que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo 1

Analizando la proposición p ~p mediante la tabla de verdad, se tiene:

p ~p p ~p

V

F

F

V

V

V

Se observa que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición

p ~p es siempre verdadera. Luego, la proposición compuesta p ~p es una tautología.


Ejemplo 2 Evaluar la fórmula lógica:

Se observa que, independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, r que el resultado de la fórmula lógica es siempre verdadero. Por lo tanto la fórmula es una tautología. Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, se dice que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo 1

Analicemos la fórmula lógica p ~p

p ~p p ~p

V

F

F

V

F

F

La fórmula es siempre falsa, es una Contradicción.


Ejemplo 2 Evaluar la siguiente fórmula lógica:

Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.

Ejemplo 1

EQUIVALENCIA LÓGICA Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, denotado por sí y solo si es una tautología. Cuando se requiere sustituir una estructura por otra que sea equivalente, alternativamente el símbolo se lo reemplaza por otra expresión que cumpla los requerimientos de tautología ante

poniendo el símbolo Ejemplo 3.4.1 Equivalencia lógica La forma proposicional se puede traducir al lenguaje común como “cada vez que se tiene p, se tiene q”, y es lógicamente equivalente a “cuando no se tiene q, entonces no se tiene p” Ejemplo 1


es equivalente a

Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas leyes del algebra de proposiciones o leyes lógicas y básicamente son expresiones equivalentes su demostración es mediante tablas de verdad similar al ejemplo anterior

En la tabla anterior queda demostrado una de las leyes de la implicación o condicional que la ecuación lógica es una equivalencia.


EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES LÓGICAS MOLECULARES APLICANDO LAS DIVERSAS LEYES.


MATERIAL COMPLEMENTARIO

Los siguientes recursos complementarios son sugerencias para que se pueda ampliar la

información sobre el tema trabajado, como parte de su proceso de aprendizaje autónomo:

Videos de apoyo:

Video de la calculo proposicional Tautologías https://www.youtube.com/watch?v=qAEgQRu6-NU

Video sobre Reducción al absurdo https://www.youtube.com/watch?v=gRaWPhtndCo

Video de la calculo proposicional Tautologías https://www.youtube.com/watch?v=qAEgQRu6-NU

Video sobre Reducción al absurdo https://www.youtube.com/watch?v=gRaWPhtndCo

Bibliografía de apoyo:

Basurto Hidalgo, Eduardo (2010), MATEMÁTICAS, Prentice Hall

Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vásquez, Fabián, Gallegos Ruiz Hernán Aurelio, Cerón Villegas

Miguel, Reyes Figueroa Ricardo (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, México, Pearson.

Conamat, (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, Pearson

Jiménez, (2015), MATEMÁTICAS Y VIDA COTIDIANA 1, Pearson.


REFERENCIAS

Basurto Hidalgo, Eduardo (2010), MATEMÁTICAS, Prentice Hall

Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vásquez, Fabián, Gallegos Ruiz Hernán Aurelio, Cerón Villegas

Miguel, Reyes Figueroa Ricardo (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, México, Pearson.

Conamat, (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, Pearson

Jiménez, (2015), MATEMÁTICAS Y VIDA COTIDIANA 1, Pearson.duardo (2010), MATEMÁTICAS,

Prentice Hall

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