Suce Siones
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SUCESIONES Función sucesión: es una función cuyo dominio es el conjunto de los números {1,2,3,4,…,n} Si la sucesión {a n } tiene un límite : la sucesión es convergente y a n converge a ese límite. Si la sucesión {a n } no tiene límite: la sucesión es divergente. Si {a n } y {b n } son sucesiones convergentes y c es una constante; entonces: La sucesión constante (c) tiene a c como límite. lim n→∞ ca n =c. lim n→∞ a n lim n→∞ ( a n ±b n ) =lim n→∞ a n ± lim n→∞ b n lim n→∞ a n .b n = ( lim n→∞ a n )( lim n→∞ b n ) lim n→∞ a n b n = lim n→ ∞ a n lim n→ ∞ b n ;si lim n→∞ b n ≠ 0 ycadab n ≠ 0 Una sucesión {a n } es: Creciente si a n ≤ a n + 1 ,para toda n decreciente si a n ≥ a n + 1 ,para toda n una sucesión es monótona si es creciente o decreciente SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS CONSTANT ES Serie infinitas: si u n es una sucesión y s n =u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + …. + u n , entonces: {s n } es una sucesión de sumas parciales denominada series parciales Denominadas series infinitas y de denota por ∑ n=1 ∞ u n =u 1 + u 2 +u 3 +u 4 + …+u n + … Suma de series infinitas: ∑ n=1 ∞ u n denota una serie infinita dada para la cual {s n } es la sucesión de sumas parciales. Si lim n→∞ s n =s , existe; entonces la serie es convergente y s es la suma de la serie. Si lim n→∞ s n ; no existe; entonces la serie es divergente y la serie no tiene suma. Para determinar si una serie tiene suma debe calcularse lim ¿ n→∞ ¿. a fin de determinar una formula por s n se utiliza la identidad algebraica: a 2 −b 2 =( a−b) ( a n−1 + a n−2 b +a n−3 b 2 +… ∓ ab n−2 +b n− Si la serie infinita ∑ n=1 ∞ u n es convergente, entonces lim n→∞ u n =0 Serie geométrica ∑ n=1 ∞ a ( 1−r ) | r| <1 , converge | r|≥ 1 ,diverge Serie armónica ∑ n=1 ∞ 1 n , es divergente Si c es cualquier constante ≠ 0 si la serie ∑ n=1 ∞ u n es convergente y su suma es s, entonces: ∑ n=1 ∞ c.u n es convergente y su suma es c.s si la serie ∑ n=1 ∞ u n es divergente, entonces: ∑ n=1 ∞ c.u n es divergente Si ∑ n=1 ∞ a n y ∑ n=1 ∞ b n convergen cuyas sumas son s y t respectivamente, entonces: ∑ n=1 ∞ ( a n + b n ) , es una serie convergente y su suma es ( s +t) ∑ n=1 ∞ ( a n −b n ) , es una serie convergente y su suma es ( s−t ) Si ∑ n=1 ∞ a n y ∑ n=1 ∞ b n son series que difieren únicamente en sus primeros m términos (es decir a k = b k , si k>m); entonces las series son convergentes o ambas son divergentes. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS positivos Criterio de comparación: Sea ∑ n=1 ∞ u n una serie de términos positivos i. Si ∑ n=1 ∞ v n convergente y u n ≤v n , para todos los numeros enteros positivos n entonces; ∑ n=1 ∞ u n es convergente. ii. Si ∑ n=1 ∞ w n divergente y u n ≥w n , para todos los numeros enteros positivos n entonces; ∑ n=1 ∞ u n es divergente Criterio de comparación por paso al limite Sea ∑ n=1 ∞ u n y ∑ n=1 ∞ v n dos series de términos positivos i. Si lim n→∞ u n vn =c , entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes. ii. Si lim n→∞ u n vn =0 ysi ∑ n=1 ∞ v n DERIVADAS D x ( u n ) =nu n−1 .D x ( u) D x ( u +v )=D x ( u)+D x ( v) D x ( u.v )=u.D x ( v )+v.D x ( D x ( u v ) = v.D x ( u )−u.D x ( v ) v 2 D x ( a u ) =a u . ln ( a) .D x ( u) D x ( e u ) =e u .D x ( u ) D x ( ln u )= 1 u .D x ( u) D x ( log a u ) = log a e u .D x (u ) D x ( log a u ) = 1 ln a .D x ( u) D x ( sen u) =cos ( u) .D x ( u ) D x ( cos u) =−sen ( u) .D x ( u D x ( tan u) =sec 2 ( u) .D x ( u) D x ( sec −1 u) = 1 u √ u 2 −1 .D x ( u) D x ( csc −1 u) = −1 u √ u 2 −1 .D x ( u) D x ( senh u ) =cosh( u) .D x ( u ) D x ( cosh u ) =senh( u) .D x ( u ) D x ( tanh u ) =sech 2 ( u) .D x ( u) D x ( coth u ) =−csch 2 ( u) .D x ( u ) D x ( sech u ) =−sech ( u) . tanh (u D x ( csch u ) =−csch ( u) . coth (u Producto suma y diferencia de senos y cosenos sen ( u) cos ( v )= 1 2 [ sen ( u + v ) +s cos ( u) sen ( v )= 1 2 sen ( u +v) − 1 2 cos ( u) cos ( v )= 1 cos ( u +v) + 1
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SUCESIONES
Funcin sucesin: es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros {1,2,3,4,,n}
Si la sucesin {an} tiene un lmite : la sucesin es convergente y an converge a ese lmite.Si la sucesin {an} no tiene lmite: la sucesin es divergente.
Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante; entonces:i. La sucesin constante (c) tiene a c como lmite.ii. iii. iv. v.
Una sucesin {an} es:i. Creciente si an an + 1 ,para toda nii. decreciente si an an + 1 ,para toda n una sucesin es montona si es creciente o decreciente
SERIES INFINITAS DE TRMINOS CONSTANTES
Serie infinitas: si un es una sucesin y sn=u1 + u2 + u3 + u4 + . + un, entonces:{sn} es una sucesin de sumas parciales denominada series parciales Denominadas series infinitas y de denota por
Suma de series infinitas: denota una serie infinita dada para la cual {sn} es la sucesin de sumas parciales.Si , existe; entonces la serie es convergente y s es la suma de la serie.Si ; no existe; entonces la serie es divergente y la serie no tiene suma.
Para determinar si una serie tiene suma debe calcularse . a fin de determinar una formula por sn se utiliza la identidad algebraica:
Si la serie infinita es convergente, entonces
Serie geomtrica
Serie armnica , es divergente
Si c es cualquier constante i. si la serie es convergente y su suma es s, entonces: es convergente y su suma es c.sii. si la serie es divergente, entonces: es divergente
Si y convergen cuyas sumas son s y t respectivamente, entonces:i. , es una serie convergente y su suma es ii. , es una serie convergente y su suma es
Si y son series que difieren nicamente en sus primeros m trminos (es decir ak= bk, si k>m); entonces las series son convergentes o ambas son divergentes.
DERIVADAS
Producto suma y diferencia de senos y cosenos
Angulo doble y semianguloSen(2u)= 2sen(u)cos(u)
SERIES INFINITAS DE TRMINOS positivos
Criterio de comparacin:Sea una serie de trminos positivosi. Si convergente y , para todos los numeros enteros positivos n entonces; es convergente.
ii. Si divergente y , para todos los numeros enteros positivos n entonces; es divergente
Criterio de comparacin por paso al limiteSea y dos series de trminos positivosi. Si , entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes.
ii. Si converge, entonces converge
iii. Si diverge, entonces diverge
SERIES INFINITAS DE TRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Serie alternante: sea an >0 para todos los nmeros enteros positivos n entonces:
Criterio de la serie alternantes:Suponga que tiene la o la donde an>0 y an+1
