SUCESIONES NUMRICAS

Niveles: 2 Ciclo de la ESO y Bachillerato

Autora: Pilar Montes Rueda

I.E.S. MARE NOSTRUM

SUCESIONES Las secuencias ordenadas de objetos, figuras geomtricas, nmeros o configuraciones variadas, tienen un gran atractivo ldico: es divertido averiguar el criterio por el que han sido formadas y, por tanto, saber aadir los siguientes elementos. En la evolucin de la matemtica las sucesiones son tan antiguas como los nmeros naturales y sirven para estudiar, representar y predecir los fenmenos que ocurren en el tiempo de forma intermitente.

A continuacin se te proponen 15 ejercicios, curiosos e interesantes, que te animo a resolver para afianzar los conocimientos adquiridos sobre sucesiones numricas.Si tienes alguna duda terica o quieres ampliar informacin puedes recurrir a consultar: Las diapositivas de teora. La diapositiva de pginas web.

NDICE

2: Sucesin de Fibonacci 1: Nmeros poligonales

5: Construccin I 4: El papel plegado

3: Un nio llamado Gauss

6: Construccin II

7: Un secreto riguroso

8: Construccin III

11: Construccin V

10: Construccin IV

9: La rana saltarina

16: Teora y webs

15: Apilando naranjas

13:Un negocio rentable? 12:El Csar y el centurin

14: Construccin VI

Ejercicio 1: Nmeros poligonales Los pitagricos, grandes aficionados a los nmeros naturales, debieron de ser los primeros en interesarse por la construccin de sucesiones infinitas. Consideraron, en particular, sucesiones de nmeros originados jugando con piedras (clculos), colocadas en forma de polgonos. De ah viene nuestro nombre de Clculo.

Pitgoras de Samos(580 500 a.C.)

Los pitagricos construyeron nmeros poligonales: triangulares, cuadrados, pentagonales...

Encuentra el trmino general de la sucesin de nmeros triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales y heptagonales.

Ejercicio 2: Sucesin de Fibonacci

Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)

Un matemtico italiano de la Edad Media, Leonardo de Pisa, ms conocido como Fibonacci, public en 1202 uno de sus libros Liber Abaci en l introduce el sistema decimal Hind-Arbigo y usa los nmeros arbigos dentro de Europa. Un problema en Liber Abaci permite la introduccin de los nmeros de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado hoy en da.

Fibonacci propone en su libro Liber Abaci el siguiente problema:Un par de conejos, macho y hembra, encerrados en un campo donde pueden anidar y criar, empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento, engendrando siempre un nico

par macho y hembra, y a partir de ese momento cada uno de los meses siguientes un par ms de iguales caractersticas. Admitiendo que no desapareciese ninguno de los conejos, cuntas parejas contendr el cercado al cabo de un ao?

Ejercicio 3: Un nio llamado Gauss

Karl Friederich Gauss(1777-1855)

Hace poco ms de dos siglos, un maestro alemn que quera paz y tranquilidad en su clase, propuso a sus alumnos de 5 aos que calcularan la suma de los nmeros del 1 al 100. A Gauss se le ocurri que: 1 + 100 = 2 + 99 =... = 50 + 51

Era claro que la suma era 50 x 101 = 5050

Al pobre maestro le dur poco la tranquilidad.

T tambin puedes resolver problemas parecidos al

que efectu Gauss a los cinco aos. Por ejemplo

calcular cunto vale la suma de:

Los 200 primeros nmeros naturales.

Los 50 primeros nmeros pares.

Los 100 primeros nmeros impares.

Los 40 primeros mltiplos de 3.

Los mltiplos de 5 menores que 180.

Los 25 primeros mltiplos de 9.

Los mltiplos de 7 comprendidos entre 22 y 225.

Ejercicio 4: El papel plegado Cada vez que pliegas una hoja de papel se duplica su grosor. Cuando has hecho seis o siete dobleces ya no puedes doblarla ms, pero imagina que s pudieras. Comprueba que con diez dobleces superas el grosor del libro ms gordo de la biblioteca. Si suponemos que la hoja de papel tiene 0,14 mm de grosor:

a) Superaras con 22 dobleces la altura de la torre Eiffel? (321 m)

b) Cuntos dobleces necesitas para que su grosor sea mayor que la altura del Everest?(8848 m)

321 m

8848 m

c) Y si pudieras doblarlo 50 veces? Halla el grosor y compralo con la distancia de la Tierra al Sol.(150x106 km)

Pulse para aadir un ttulo

Calcula el nmero de bloques necesarios para construir una torre como la de la figura, pero de 50 pisos

Ejercicio 5: Construccin I

Ejercicio 6: Construccin II

Se construye un rectngulo, A, uniendo dos cuadrados de lado a. Sobre l se construye otro rectngulo, B, formado por dos cuadrados de lado la mitad de los anteriores. Se continua el proceso indefinidamente hacia arriba.a) Calcula la altura de la figura.b) Calcula su superficie

Ejercicio 7: Un secreto riguroso

Cada uno de ellos, al cuarto de hora, se lo han contado solamente a tres amigos; por supuesto, de toda confianza. Un cuarto de hora despus, cada uno se lo ha contado a otros tres amigos. Estos, a su vez, lo volvieron a contar a otros tres. Y as sucesivamente cada cuarto de hora.Cunta gente conoca el riguroso secreto a la hora de almorzar?

A Isabel y Santiago, a las nueve de la maana, les han contado un secreto con la advertencia de que no se lo cuenten a nadie.

Ejercicio 8

Observa los diferentes cuadrados que hay en esta figura. Se han obtenido uniendo los puntos medios de dos lados contiguos.

a) Calcula la suma de las reas de los infinitos cuadrados generados de esta forma.b) Escribe la sucesin formada por las longitudes de los lados.

Ejercicio 8: Construccin III

Observa los diferentes cuadrados que hay en esta figura. Se han obtenido uniendo los puntos medios de dos lados contiguos.

a) Calcula la suma de las reas de los infinitos cuadrados generados de esta forma.b) Escribe la sucesin formada por las longitudes de los lados.

Ejercicio 9: La rana saltarina

Una rana da saltos en lnea recta hacia delante, y cada vez salta los 2/3 del salto anterior. Quiere atravesar una charca circular de 5 m de radio, y el primer salto es de 2 m. Llegar al centro de la charca? Llegar al otro lado de la charca siguiendo el dimetro?

Ejercicio 10: Construccin IV

Averigua cuntos palos y cuntas bolas son necesarios para hacer una estructura como la de la figura A, pero de n pisos. Y para la figura B?

Ejercicio 11: Construccin V Observa la serie de rectngulos en a) y en b):

Cuntos cuadrados rojos tiene cada figura? Y blancos? Cuntos cuadrados rojos y cuntos blancos tendr

la figura que ocupa el lugar 22? Y el lugar n?

Ejercicio 12: El Csar y el centurin Un centurin le pidi al Csar que cumpliese su promesa de recompensarle por su valenta. El Csar, mostrndole grandes montones de monedas, le dijo:

Puedes tomar un denario; maana 2; al da siguiente, 4; al otro 8. As sucesivamente, cada da duplicars lo del anterior. Pero debers llevarte lo de cada da t slo de una vez. Te permito usar un carro. Suponiendo que un denario pesara 20 g y que lo mximo que consiguiera llevar en un carro es una tonelada. Cuntos das dur la recompensa? Cul fue el nmero de denarios de la ltima carretada?

Ejercicio 13: Un negocio rentable?

El da 1 de cierto mes, un amigo le propone a otro un trato: Cada da de este mes t me das 100000 euros y yo duplico el dinero que hay en esta caja que, a fin de mes, te podrs llevar -le dijo, mostrando un cntimo que haba dentro-. Podemos empezar hoy, si quieres. El otro despus de pensar y echar

cuentas con la calculadora, contest riendo: Por qu no me lo propones dentro de un ao exactamente?Por qu crees t que le contest de esta forma?

Ejercicio 14: Construccin VIDibuja un tringulo equiltero de 16 cm de lado. Une los puntos medios de sus lados. Cuntos tringulos obtienes? Cunto miden sus lados?

En estos tringulos vuelve a unir los puntos medios y as sucesivamente. Escribe las siguientes sucesiones:a) Nmero de tringulos que tienes cada vez.

b) Longitudes de los lados de esos tringulos.c) reas de los tringulos.d) Si multiplicas cada trmino de la sucesin obtenida en a) por el correspondiente de la sucesin obtenida en c), qu obtienes?

Ejercicio 15: Apilando naranjas Tenemos una pila de naranjas, hecha en forma de pirmide triangular, cuyo primer piso es un tringulo que tiene cuatro naranjas de lado, el segundo piso un tringulo de tres naranjas de lado, el tercer piso un tringulo de dos naranjas de lado y el cuarto piso una naranja. Cuntas naranjas hay en la pila?

Si consideramos una pila de naranjas formando una pirmide cuadrangular cuyo primer piso tiene cuatro naranjas de lado. Cuntas naranjas hay en la pila?

Con qu base se pueden apilar ms naranjas?Qu apilamiento es ms ventajoso?

Se llama sucesin a un conjunto de nmeros (u otros objetos) dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo... Los elementos de una sucesin se llaman trminos y se suelen designar mediante una letra con los subndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesin: a1, a2, a3, a4... Se llama trmino general de una sucesin y se simboliza por an, al trmino que representa un elemento cualquiera de la misma, n simboliza un nmero natural cualquiera n = 1, 2, 3, 4... Las sucesiones cuyos trminos se obtienen a partir de los anteriores, se dice que estn dadas en forma recurrente. Una progresin aritmtica es una sucesin en la que se pasa de cada trmino al siguiente sumando un mismo nmero (positivo o negativo) al que se llama diferencia, d, de la progresin. El trmino general a n de una progresin aritmtica cuyo primer trmino es a1 y la diferencia es d, se calcula segn la siguiente frmula: an = a1 + (n 1)d

TEORA

La suma de los n primeros trminos de una progresin aritmtica es: S = (a1 + an)n/2

Una progresin geomtrica es una sucesin en la que se pasa, de cada trmino al siguiente, multiplicando por un mismo nmero, llamado razn, r, de la progresin.El trmino general a n de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es a1 y la razn r, se obtiene segn la siguiente frmula:

an = a1 r n-1

La suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica de razn r es:

Sn =(anr - a1)/(r-1) = (a1rn a1)/(r-1)Suma de todos los trminos de una progresin geomtrica de razn |r|

Recursos web Para buscar informacin sobre el tema de sucesiones numricas o sobre sucesiones famosas o matemticos que han aparecido en esta actividad, puedes consultar las siguientes direcciones:Unidades Didcticas del Proyecto Descartes:http://www.cnice.mecd.es/Descartes/En concreto, en las unidades del primer curso de Bach. De HH. Y CC. SS. encontrars un tema llamado progresiones aritmticas y geomtricas.Historia de Matemticos Famasos:http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.Recursos didcticos de la S.A.E.M.Thales:http://thales.cica.es/Pgina del profesor de Matemticas Antonio Prez:http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/