Habilidades Numericas II (2)

8/15/2019 Habilidades Numericas II (2)

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HABILIDADES NUMÉRICAS II.

Bloque I: Triángulos: ángulos y relaciones métricas.

Clasificación de los ángulos por la posición de sus lados.Cuando eras niño descubriste que al apilar o juntar tus dados podías construir torrespequeñas y también distinguías formas geométricas para introducir diferentespiezas en un juego didáctico. El círculo, el cuadrado, el hexágono y el triángulofueron las primeras figuras que te permitieron incursionar en el inmenso campo dela geometría.

Esta disciplina ayuda a desarrollar la imaginación. En la vida cotidiana, losdiseñadores de muebles, de autos o herramientas utilizan las formas y el lenguajegeométrico (como la simetría y la semejanza) para producir materiales y artículos

que se adapten a nuestras necesidadesCuando eras niño descubriste que al apilar o juntar tus dados podías construir torrespequeñas y también distinguías formas geométricas para introducir diferentespiezas en un juego didáctico. El círculo, el cuadrado, el hexágono y el triángulofueron las primeras figuras que te permitieron incursionar en el inmenso campo dela geometría.

Esta disciplina ayuda a desarrollar la imaginación. En la vida cotidiana, losdiseñadores de muebles, de autos o herramientas utilizan las formas y el lenguajegeométrico (como la simetría y la semejanza) para producir materiales y artículosque se adapten a nuestras necesidades

Elementos básicos de la geometría.

Punto: Unidad básica indivisible, no tiene grosor ni partes. Cuando apoyas la puntade tu lápiz en el cuaderno o cuando observas la punta de una tachuela, se trata deun punto.

Línea: es un conjunto infinito de puntos que también puede describirse como unalongitud.

Línea recta: es aquella en la que todos los puntos consecutivos tienen una mismapendiente y carece de anchura. Asimismo podemos definirla como la línea que pasaentre dos puntos y se denota como:

̅ .Línea curva: Todos sus puntos tienen una dirección diferente y se encuentransiempre unidos.

Segmento de recta: porción de recta comprendida entre dos puntos llamadosextremos los cuales se representan por letras mayúsculas. El nombre del segmentode la recta es la unión del nombre de los dos extremos. ̅ .


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Semirecta o rayo: Empieza en un punto fijo y se extiende indefinidamente en unadirección. El punto indica el inicio de la semirecta o rayo y la flecha indica quetermina. Se simboliza ⃗ .

• Ángulos en el plano.

Ángulo: Es una apertura comprendida entre dos rectas o segmentos, llamadaslados las cuales se cortan en un punto llamado vértice.

Formas de representar simbólicamente el ángulo:

∢ :la letra A representa el vértice. ∢BAC: BC representan los extremos.

Medición de ángulos. Unidades.

La unidad de medida básica de un ángulo es el Grado (°), se define como la 360vaparte de una circunferencia. Para unidades pequeñas se utiliza el minuto (‘) quedivide al grado en 60 partes iguales (1°=60’) y el segundo (“) cuya relación es lasiguiente 1’=60” por lo tanto 1°= 3600”.

Conversión de ángulos de forma sexagesimal a decimal y viceversa

Es común expresar un ángulo es en forma decimal. Para convertir es necesariosumar los resultados de dividir los minutos entre 60 y el de segundos entre 3600.

• Ejemplo:

Convierte los siguientes ángulos de forma sexagesimal a decimal o viceversa.

1. 45°20’35”

El valor está en forma sexagesimal. Para convertirlo se divide los 20’ entre 60, yaque representa los minutos.

2060 = 0.33333


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Ahora se dividen los segundos entre 3,600.

353600 = 0.09722 Sumamos los dos resultados para obtener la parte decimal.

0.33333 0.09722 = 0 Con este valor podemos decir que 45°20’35”=45.343055 Clasificación de los ángulos

Clasificación de los ángulos por la posición de sus lados

Adyacentes. Dos ángulos tienen un lado en común y el mismo vértice.

Opuestos al vértice. Son aquéllos ángulos que se forman cuando dos rectas secortan en un punto, debido a las prolongaciones de sus lados. Estos ángulossiempre son del mismo valor y se forman por parejas.

Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.

Los ángulos se clasifican según su medida en:

Agudo. Mide menos de 90°


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Recto. Es igual a 90°

Obtuso. Es mayor de 90° pero menor a 180°

Llano. Es igual a 180°

Cóncavo. Es mayor a 180° pero menor a 360°.Perígono o de una vuelta. Es una vuelta completa, es decir, es igual a 360°

Ejemplo

Encuentra el valor de la x en la siguiente figura:

Recuerda que una línea horizontal representa 180°, en consecuencia la suma delos tres ángulos será igual a ese valor:

70° 38° = 180° 108 = 180° , :

= 180° 108°

= 72° Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

La recta que solamente cruza en un solo punto a cada una de las rectas paralelasse le llama secante .

Los ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante son ocho y seclasifican de la siguiente manera:

Los ángulos A,B,G y H se denominan ángulos externos porque están fuera de lasrectas paralelas en ambos lados de la secante y los ángulos A,C,D,E y F se llamanángulos internos porque están dentro de las rectas paralelas en ambos lados de lasecante.


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Los ángulos siguientes se denominan ángulos correspondientes porque están delmismo lado de la secante, es decir, tienen la misma ubicación.

La ilustración siguiente muestra una serie de ángulos alternos externos, ya queestán fuera de las rectas paralelas en el lado distinto de la secante.

Los ángulos alternos internos que se muestran en la siguiente figura están dentro de las rectas paralelas en un lado distinto a la secante.

Ejemplo

En la siguiente figura encuentra el valor de todos los ángulos. Indica el resultado enforma decimal


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.

Por ser ángulos externos podemos decir que:

10 6 = 75 : 10 = 75 6

10 = 69

= 6910 = 6.9 …Continuación de Ejemplo.

Al sustituir el valor de 10 6, obtenemos:106.96 = 69 6 = 75 Por lo anterior, podemos decir que:

∢ = 180° 75 = 10

∢ = 10 6 = 75° Por ser opuestos por el vértice ∢C =< = 105° por ser opuestos por el vértice ∢ =< = 105° por ser correspondientes. ∢ =< = 75° por ser alternos internos. ∢ =< = 105° por ser alternos externos .Clasificación de los ángulos por la suma de sus medidas

Ángulos complementarios: cuyos ángulos sumados dan como resultado 90°.

Ángulos suplementarios: los que sumados dan 180°.


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Ejemplo

Encontrar el ángulo complementario de 32°.

Consideremos el planteamiento

32° = 90°

Ya que se busca que sean complementarios, despejamos la incógnita y tenemos

= 90 32° = 58° Triángulos

El triángulo es una de las figuras geométricas más utilizadas en diseño gráfico eindustrial y en la construcción. Estos lo podemos apreciar, por ejemplo, en laspirámides de Egipto.

El triángulo es un elemento fundamental de la geometría y tiene un sinnúmero deaplicaciones en la ingeniería, la mecánica e incluso en las artes plásticas.

Definición de triángulos

Un triángulo es un polígono o superficie plana formada por tres lados, tres vértices,tres ángulos internos y tres ángulos externos.

Los lados son segmentos de recta que forman el triángulo y se representan conletras minúsculas. Los puntos en donde se cortan los lados se llaman vértices y sedenotan con letras mayúsculas.

El nombre del lado siempre designa el nombre del vértice opuesto. Asimismo, tienetres ángulos internos, cuyos nombres pueden ser el mismo del vértice o alguna letradel alfabeto griego.

Los ángulos externos están formados por un lado y la prolongación del ladoadyacente.

Para designar un triángulo se usa el símbolo ∆ junto a las tres letras de los vértices,escritas en cualquier orden.


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Propiedades de los triángulos• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°• La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es 360°• Un ángulo externo es igual a la suma de sus ángulos internos no adyacentes.• En un triángulo solamente puede haber un ángulo recto. A demás, solo puede

existir un ángulo obtuso.• Cualquiera de los lados de un triángulo siempre será menor que la suma de

los dos restantes.• En un triángulo rectángulo, la suma de dos ángulos agudos es 90°

Ejemplo

1. Encontrar el valor del

∢

A en el triángulo ABC si:

50° 72° = 180°

Al despejar A:


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= 180° 50° 72° = 58° Bloque II: congruencia de triángulos.

Criterios de congruencia en triángulos

Congruencia de triángulos

En la geometría se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la mismalongitud. Asimismo, dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

La congruencia de los triángulos se utiliza para diseñar ejercicios de comparaciónen juegos de salón, en el trazo de señales y gráficos de localización para el tránsitovehicular, en el diseño mecanismos que permiten la operación de las fotocopiadoras

o en un pantógrafo, entre muchas otras cosas.El símbolo que representa la congruencia es≌.

̅ ≌̅ ∢ ≅ ∢

Triángulos congruentes son aquellos que coinciden en sus lados y ángulos, es decirque son exactamente iguales.

Llamaremos triángulos congruentes a aquellos que coinciden en sus lados yángulos, es decir que son exactamente iguales.

Criterios de congruencia:

Para determinar la congruencia entre dos triángulos cualquiera solo se necesitantres elementos determinados de cada uno de ellos. A partir de estos elementosdefinimos los siguientes criterios de congruencia:

Lado, Ángulo, Lado (LAL). Si dos lados de un triángulo y el ángulo formadopor ellos son congruentes con los que corresponden a otro, se dice que losdos triángulos son congruentes.


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Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Cuando en dos triángulos se tienen dos ángulosy un lado congruentes, estos triángulos son congruentes.

Lado, Lado, Lado (LLL). Cuando se tienen dos triángulos y sus tres ladoscorrespondientes son congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

Ejemplo

Si consideramos que se trata de un triángulo isósceles, ¿Cuáles son los valores dex y de y?

Los lados correspondientes son:


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…continuación Ejemplo

Por tanto, podemos plantear lo siguiente:

6 2 = 6 10 ó 1 = 12 4 ( ó 2) Para identificar los valores de cada lado, si se sustituye el valor de y de la ecuación2 en la primera ecuación para resolver el sistema:

6 212 4 = 6 10 6 24 8 = 6 1 Despejando:

24 6 = 10 6 18 = 12

= 1218

= 23 Para encontrar el valor de = 12 4

= 8 4 = 4 Por tanto:

=

,

= 4


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Bloque III: Resolución de problemas de semejanza de triángulos y teorema dePitágoras.

Identificación de las características de los triángulos semejantes

En tus actividades cotidianas puedes percibir figuras semejantes. Por ejemplocuando observas un mapa, la escala correspondiente te da una idea exacta de ladistancia que existe entre dos puntos; cuando tomas una fotografía, la imagen quecaptas es semejante al objeto fotografiado.

Dos triángulos serán semejantes cuando sus ángulos son congruentes o iguales, yla proporcionalidad entre sus lados se mantiene constante, los cuales se denominanhomólogos. Al cociente formado por el valor de estos se le llama razón desemejanza (≈).

Observa cómo se identificó a los lados homólogos para poder determinar con mayorsencillez la proporcionalidad entre ellos. Para que te sea más sencillo identificar loslados homólogos, puedes marcar con líneas, ya sean los lados o ángulossemejantes, como se muestra en las figuras anteriores.

La relación de semejanza de los triángulos anteriores sería:

̅ ′̅ = 105 = 2 ̅ ′̅ = 84 = 2 ̅ ′̅ = 63 = 2 Postulados de semejanza.

1. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes (AAA).

2. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ánguloque se forma entre ellos es congruente (LLA).

3. Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales (LLL).

Ejemplo

Encuentra el valor de las incógnitas en los siguientes triángulos semejantes:

Q Q ’


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De acuerdo con la posición de los lados, en los triángulos señalamos loslados homólogos.

Para resolver x relacionamos los lados homólogos que la incluyen y los doslados que tienen el valor numérico:

12 = 515 Observa que los datos de los lados del triángulo de la derecha están en elnumerador en ambos lados de la igualdad, y en el denominador se encuentran losdatos del triángulo de la izquierda.

12 = 515 ℎ Al resolver la proporción como si fuera una regla de tres y reduciendo la expresióntenemos:

= 12 515 = 6015 = 4 Hacemos lo mismo para y:

3 = 515 = 3 155 = 455 = 9 Resolución de problemas aplicando criterios de semejanza.

• Flor tiene una estatura de 1.50 metros y en un instante dado proyecta unasombra de 0.95m. En el patio de la escuela el asta presenta una sombra de1.20mm encuentra la altura del asta.

Aplicando la definición de semejanza de triángulos tenemos:

1.50 = .951.20


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Por tanto:

= 1.50 1.200.95 = 1.800.95 = 1.89

Identificación de los teoremas de Tales y Pitágoras

Teorema de Tales

“Si dos rectas se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinadospor los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a losdeterminados por los puntos correspondientes en la otra”

Este teorema se cumple también cuando en un triángulo cualquiera se traza unarecta paralela a cualquiera de sus lados, con lo que se forma un triángulo semejanteal original.

Ejemplo

Encuentra la longitud del segmento ̅ usando el Teorema de Tales.


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Al plantear la proporción tenemos:

3 = 107 Despejamos x: = = = 4.28 Teorema de Pitágoras

“La suma de los cuadrados de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de lalongitud de la hipotenusa”

ℎ = • Los despejes de las formulas quedarían así:

ℎ = = ℎ

• Ejemplo:

Encuentra el valor de x en los siguientes triángulos:1. Como hace falta la hipotenusa, sumaremos los datos de los catetos elevados

al cuadrado:

= 12 5 = √ 144 25 = √169 = 13


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Bloque IV: Propiedades de los polígonos.

Clasificación de los polígonos por sus características

Definición de polígono

Desde siempre, el ser humano ha identificado en la naturaleza diversas formasgeométricas, las ha clasificado según sus formas, tamaños y características, y lasha utilizado en la construcción, en representaciones artísticas y en diferentessituaciones de la vida cotidiana.

A manera de ejemplo, podemos observar las figuras geométricas en las pinturasrupestres, los adornos espirales en la cerámica primitiva, los relieves de laspirámides precolombinas y hoy día en las expresiones artísticas más modernas. Esimportante destacar que la humanidad siempre se ha interesado por larepresentación y estudio de las formas y sus proporciones.

Las líneas que no definen su área concreta, es decir no regresan al mismo punto;por esta característica se les denomina como líneas abiertas . En cambio, todas lasfiguras que inician y terminan en el mismo punto se les llaman líneas cerradas . Demanera coloquial, se dice que para dibujarlas no es necesario levantar la punta dellápiz. Asimismo, las líneas cerradas pueden clasificarse en simples, aquellas queno se cruzan o intersecan, y no simples las que sí lo hacen.

Definición de Polígonos

Se denomina Polígono a toda figura cerrada formada por tres o más lados nocolineales, que coinciden en sus extremos llamados vértices . Por ello, se dice quedos de sus segmentos tienen solo un punto en común. Los vértices se denotan conletras mayúsculas.

Para nombrar a los polígonos nos basamos en el número de lados que tienen y seutiliza el prefijo griego que lo relaciona:

Número de lados Nombre

3 Triángulo

4 Cuadrilátero


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5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Endecágono

12 Dodecágono15 Pentadecágono

20 Icoságono

Clasificación de los polígonos• Magnitud de sus lados:

Equiláteros: son los polígonos que tienen todos sus lados iguales; hexágono o elcuadrado.

• Magnitud de sus ángulos:

Equiángulos: son los que tienen todos sus ángulos congruentes o iguales, sin quetodos sus lados sean iguales.(rectángulo)


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• Por la forma de su contorno:

Regulares: tienen sus lados y ángulos iguales. Hexágono o pentágono.

Irregulares: cuando de menos de un lado o ángulo es diferente a los demás.Trapezoide.

Elementos de los polígonos y propiedades de sus ángulosLos polígonos regulares tienen los siguientes elementos:

Centro: punto interior que está a la misma distancia de todos los vértices delpolígono.


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Radio: línea que va del centro a cualquier vértice y coincide con el de unacircunferencia que pasa por todos los vértices.

Apotema: línea perpendicular al punto medio de cualquier lado y que vahacia el centro del polígono.

Diagonales: segmentos de rectas que unen dos vértices no consecutivos.

# = 32

En donde n, es el número de lados.

Ejemplos:

1. Calcula el número de diagonales que se puede trazar en un hexágono, siconsideramos n=6

# = 32 # = 6 362 = 182 = 9


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Ángulos en los polígonos

Los ángulos de un polígono se clasifican en:

Interiores < Ѳ Están formados por dos lados adyacentes y están dentrodel polígono. Existen tantos ángulos como lados que tenga la figura. Exteriores . Se forman por un lado y la prolongación del lado adyacente.

Son suplementarios de los ángulos internos.

Centrales. Son los que tienen como vértice el centro del polígono y sus ladospasan por dos vértices consecutivos. La suma de todos los ángulos centraleses de 360°

Obtención de áreas de figuras geométricas.

El perímetro se calcula multiplicando la magnitud del lado por el núm. Delados.

= . Para calcular el área A de un polígono regular se debe multiplicar el perímetroP, por la apotema a, dividido entre dos:

= El área de un rectángulo es la multiplicación de la base por la altura:

= ℎ Suma de ángulos de un polígono

Una vez que ya diferenciamos los tipos de ángulos, veamos cómo se realizala suma de los ángulos interiores de un polígono, la cual se calcula conla fórmula:

= 180n 2 Donde n es el número de lados del polígono.

Para encontrar el valor de cada ángulo interior en un polígono regular, sedivide la fórmula anterior entre el número de lados:

= − En el caso de la suma de los ángulos exteriores , es importante recordarque para cualquier polígono siempre es igual a 360°.

En el siguiente esquema se resume estudiado en el tema de los polígonos


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Bloque V: Circunferencia.

Propiedades de los elementos de una circunferencia

Observa a tu alrededor, ¿cuántos objetos poseen la forma de una circunferencia?En la escuela, en la cocina, en la calle, en casi todo, el ser humano emplea lacircunferencia. La naturaleza incluso ha privilegiado a la circunferencia en muchosde sus elementos, podemos encontrarla en las frutas y en formaciones naturales detodo tipo.

¿Te imaginas la llanta de un automóvil cuadrada o triangular? Sería un brincoteofenomenal cada vez que girara. La rueda ha sido de los inventos más destacadosde la humanidad, a partir de ella el hombre descubrió que era más fácil desplazarcosas sin la necesidad de fatigarse o que los carros de guerra podían avanzar másrápido que los trineos. La agricultura, las guerras, los viajes, el comercio, casi todosería imposible de lograr sin la rueda.

La industria ha utilizado la rueda en las máquinas para volver más eficiente laproducción de diversos artículos. Sin embargo, existe un problema con el que lahumanidad se ha enfrentado desde el descubrimiento de la circunferencia.Los matemáticos del siglo XVII observaron que existe una relación entre el diámetrode una circunferencia y su perímetro. Fue así como se propusieron que habría quedefinir si ese número se podría representar por el cociente de dos números.Entonces, la gran pregunta fue: ¿El diámetro de una circunferencia es un númeroracional o solo es una aproximación? Para contestar esa pregunta, también fue

Líneas cerradas simples

Polígonos

Cuadrilátero

Otros polígonos

Triángulos

No polígonos

circunferencia Otras curvas

Elipse


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necesario plantear si sería factible construir un cuadrado, utilizando solo regla ycompás, cuya área fuera igual a un círculo dado.

Definiciones y elementos

Llamamos C i r c u n f e r e n c i a a la curva cerrada cuyos puntos están en el mismo planoy a la misma distancia de un punto llamado centro.Circulo es la superficie plana que limita la circunferencia y cuyos puntos estándentro de ella.

Radio: segmento de recta que une al centro con cualquier punto de lacircunferencia.

Diámetro: línea que pasa por el centro y une a dos puntos de la circunferencia, ladivide simétricamente.

Cuerda: segmento que une a dos puntos de la circunferencia.

Secante: recta que corta en dos puntos a la circunferencia.

Circunferencia Círculo


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Tangente: recta que solo toca a la circunferencia en un solo punto.

Rectas tangentes a un círculo.

Cualquier recta tangente a una circunferencia es perpendicular a un radio de lamisma.

Asimismo, si prolongas el radio y eliges un punto exterior a la circunferencia, elsegmento que une el centro con el punto exterior divide exactamente a la mitad alángulo formado por las dos rectas tangentes.

Cuando una circunferencia está inscrita en un polígono, los lados de este sontangentes a la circunferencia.


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Cuando una circunferencia está circunscrita en un polígono, entonces los lados deeste son cuerdas de la circunferencia.

Arco en una circunferencia.

Es una parte de la circunferencia. Se simboliza ̂ . Está limitado por dos puntosllamados extremos del arco y se encuentran cuando se traza una cuerda sobre lacircunferencia.

̂ = ArcoAB El arco menor es aquel cuya longitud es menor que la longitud de unasemicircunferencia y el arco mayor es el que tiene una longitud mayor que lalongitud de una semicircunferencia.

• La fórmula para calcular la circunferencia es:

= 2 Y para sacar el área es: = Ejemplo:

1. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo, si su diámetroes de 20cm.

Si el radio es la mitad del diámetro, entonces: r=10cm

Al sustituir en la fórmula del perímetro:

= 2 = 2 3.1416 10 = 62.832

Para el círculo:

= = 3.141610 = 314.16


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Ejemplo 2.

Calcular el área de un círculo cuya circunferencia vale24. Si = 2 = 24.Para obtener el radio: 24 = 2 Despejamos a r: 242 = Sustituimos en = = 12 = 144 = 1443.1416 = 452.3904 Características y propiedades de los ángulos en una circunferenciaMedición de ángulos y arcos en una circunferencia

Una parte importante en el estudio de la circunferencia se refiere a la medición deángulos dentro de ella. Su denominación se basa en la posición de los ángulos enla circunferencia.

• Ángulo central. Está formado por dos radios, por tanto, su vértice se localizaen el centro de la circunferencia. La medida de un ángulo central en gradoses igual a la del arco correspondiente. El área que se produce entre los dosradios y el círculo se llama sector circular .

• Ángulo inscrito. Está formado por dos secantes y tiene su vértice sobre lacircunferencia. Todo ángulo inscrito forma a la mitad del arco comprendidoentre sus lados. Existen los siguientes casos:

a) Uno de sus lados es el diámetro.

b) El centro de la circunferencia está entre los lados del ángulo.

c) El centro es exterior al ángulo.


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• Ángulo exterior. Es el que está formado por dos rectas secantes, solamenteque el punto de intersección entre ellas (vértice del ángulo) se encuentrafuera de la circunferencia.

• Ángulo circunscrito. Se parece al ángulo exterior, ya que se encuentrafuera de la circunferencia, solo que este está formado por dos rectastangentes, que por definición.

•

Ángulo semiinscrito. Su vértice está en la circunferencia y se encuentraformado por una secante y una tangente.

• Ángulo interior. Está formado por dos cuerdas que se cortan en el interiorde la circunferencia.

Definiciones generales


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Cuando se estudia el tema de la circunferencia existen algunas definiciones que esimportante conocer, pues puedes necesitarlas posteriormente en temas degeometría analítica, trigonometría o cálculo.

• Semicircunferencia. Arco de longitud igual a la mitad de una circunferencia.Está definida por el diámetro, por ello también es definida como el arcocorrespondiente al ángulo de 180°.

• Semicírculo. Superficie del plano limitada por una semicircunferencia y eldiámetro.

• Corona circular. Es la región limitada entre dos circunferenciasconcéntricas.

• Trapecio circular. Región limitada por dos circunferencias concéntricas ydos radios.

• Segmento circular. Se refiere a la región limitada por la circunferencia y unacuerda.


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Bloque VI: Relaciones trigonométricas para la resolución de triángulosrectángulos.

Unidades de medida de los ángulos.• Consideremos una circunferencia cuyo radio es igual a 1cm. Ahora

recordemos la fórmula: = 2 Al sustituir r=1: = 21 = 2

Como una circunferencia completa vale 360°:

360° = 2 Al despejar :

= 360°2 = 180 En función del resultado anterior podemos definir que, en radianes, la longitud delarco de la semicircunferencia que comprende un ángulo de 180°, en cualquiercircunferencia, es igual a radianes, por lo que:

1 á = 1 = 180° = 57.29583°, 57°,1745“ Ejemplo: Convertir los siguientes ángulos a radianes o viceversa:

radianes a grados.

Para resolver el problema solamente deberemos cambiar el valor de por 180°

34180° = 3 180°4 = 540°4 = 135° Convertir 128° a radianes:

Si usamos la relación = 180 la resolución queda:180 = 128

Resolviendo la proporción:

= 128180 = 3245


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Como puedes observar, se deja indicado el valor de y no se multiplica.

Descripción de las funciones trigonométricas directas y recíprocas deángulos agudos

Funciones trigonométricas

Cuando caminas por alguna calle y descubres que te cuesta trabajo subir, debido aque esta tiene cierta inclinación, o cuando quieres alcanzar una ventana que está acierta altura y necesitas saber a qué distancia debes colocar una escalera paralograrlo, estás aplicando de manera empírica la Trigonometría , ya que estásutilizando implícitamente triángulos.

Un niño sabe que si la resbaladilla tiene una inclinación muy grande, la velocidadcon la que llega al piso es mayor. Asimismo habrás observado que cuando un rayode luz incide en un espejo, el ángulo con que se refleja es el mismo que con el queincide. Pero si el rayo incide sobre el agua de una alberca una parte se refleja y la

otra “penetra en el agua”, cambiando de dirección la trigonometría permite predecircuál será la magnitud en el cambio de dirección.

La astronomía utiliza la trigonometría para medir las distancias que separan a lasestrellas. La geografía la usa para medir las distancias entre diferentes puntosgeográficos. También se usa en la física, en la química y en casi todas las ramasde la ingeniería, sobre todo en el análisis de fenómenos periódicos, como sucedeen la acústica o en la representación de la corriente alterna.

Podemos definir a la trigonometría como la rama de las matemáticas que estudia larelación entre los lados y ángulos de los triángulos, sus propiedades y aplicaciones.

• Funciones o relaciones trigonométricas:

sin = cos = tan =

Para el siguiente triángulo las relaciones quedarían:

sin = cos =


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tan =

Si utilizamos las fórmulas de las relaciones trigonométricas para los triángulosrectángulos anteriores, se obtiene las siguientes expresiones:

Observa cómo el valor fue el mismo en todos los casos para el mismo ánulo. De loanterior se concluye que el valor de las relaciones trigonométricas, si se mantieneel mismo ángulo, es el mismo sin importar el tamaño del triángulo.

Ahora observa cómo encontrar la expresión de las funciones trigonométricas en elsiguiente triángulo:

sin37° = 915 = 0.6

cos37° = 1215 = 0.8 tan37° = 912 = 0.75 sin37° = 610 = 0.6

cos37° = 810 = 0.8 tan37° = 68 = 0.75 sin37° 35 =

cos37° 45 = tan37° 34 =


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Como podrás observar, el cateto opuesto es y, el cateto adyacente es z y lahipotenusa es x.

Aplicando las fórmulas de las funciones trigonométricas queda:

Resolución de triángulos rectángulos

Ejemplo:

Veamos a continuación cómo resolver el siguiente triángulo rectángulo:Identifiquemos primero los lados del triángulo:

Cateto opuesto = x, cateto adyacente = 8, e hipotenusa = y.

Determinemos ahora la longitud del cateto x.

Debido a que su posición con respecto al ángulo de 70° lo define como catetoopuesto, y el valor numérico de los lados está definido como el adyacente,

sin = ℎ

cos = ℎ tan = sin =

cos = tan =


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utilizaremos tan 70° porque es la relación trigonométrica que incluye el catetoopuesto y el cateto adyacente.

continuación Ejemplo.

tan70° =

2.7474 = 8 2.74748 = = 21.98 Para encontrar la longitud de la hipotenusa utilizaremos coseno, porque serelacionan con el cateto adyacente.

Resolviendo:

cos70° = ℎ 0.3420 = 8 = 80.3420 = 23.39

Ángulo de elevación y ángulo de depresión

Ángulo de elevación es el que se forma entre la línea visual de un observador y un

objeto cuando se encuentra arriba de la horizontal. Si está debajo de la horizontalse llama ángulo de depresión.

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

A continuación veremos algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas enla resolución de problemas aquí utilizarás los conceptos que has aprendido hasta elmomento.


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Ejemplo:

En un triángulo se sabe que la función seno es igual a , encuentra las demásfunciones.

Sabemos que sin = , sin =

.Deducimos que: cateto puesto = 3; hipotenusa = 5.

El dato que nos falta para encontrar el valor de las funciones que nos piden es elcateto adyacente.

Para calcularlo utilizaremos el teorema de Pitágoras.

= 5 3 = √ 25 9 = √ 16 = 4 Resolviendo:

cos = 45;tan = 34 Funciones recíprocas

Si se tiene una expresión x, su recíproco se define como . Cuando la expresión es

una fracción podemos definir su recíproco como .

Con base en lo anterior podemos definir las siguientes funciones trigonométricasrecíprocas:

Obtención de los valores de las funciones recíprocas en la calculadora

Para obtener el valor de las funciones trigonométricas recíprocas es necesario queno pierdas de vista la relación que guardan con las funciones trigonométricasdirectas.

sin = ℎ cos = ℎ

tan =

c ℎ secante ℎ

cotangente


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Ejemplo:

Obtener los siguientes valores

1. sec60° Recordemos que la secante es recíproca del coseno, entonces:

sec60° = 1cos60° Sicos60° = 0.5, entonces:

sec60° = 10.5 = 2 Cofunciones

Cuando dos ángulos son complementarios, su función y su cofunción son iguales.

Las cofunciones están definidas así:

Función Cofunción

Seno Coseno

Tangente Cotangente

Secante Cosecante

Considerando que en radianes equivale a 180°, matemáticamente podemosdefinir a las cofunciones de la siguiente forma:

sin = cos2

cos = sin2

tan = co2

co = tan2

s 2 c2


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Ejemplos.

1. sin78° Su cofunción es el coseno y su ángulo complementario se obtiene: 90 2 =,entonces:

sin78° = cos12 1. cot79° Su cofunción es tangente, por lo que la definimos como:

cot79° = tan90° 79° = tan11° Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°.

Ahora analizaremos el valor de las funciones para 45°, para esto necesitamos untriángulo isósceles cuyos lados iguales tengan una longitud de 1 cm y entre elloshaya un ángulo de 90°, como el que se muestra en la figura. LA hipotenusa seobtiene otra vez utilizando el teorema de Pitágoras.

Para cualquiera de los dos ángulos de 45° el cateto opuesto y el adyacente valen 1y la hipotenusa √ 2.En consecuencia:sin45° = √ 22 cos45° = √ 22 tan45° = 11 = 1

Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de mayor uso:

Función 0° 30° 45° 60° 90°

sen 0 12 √ 22 √ 32 1

cos 1 √ 32 √ 22 12 0


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tan 0 1√ 3 1 √ 3 ∞

Bloque VII: Aplicación de las funciones trigonométricasIdentificación de las funciones trigonométricas

El estudio de las funciones trigonométricas se realiza mediante el círculo unitario,mismo que tiene un radio cuya longitud vale 1.

Grafiquemos ahora una circunferencia unitaria en un plano cartesiano y localicemosun punto , en ella.

Tracemos las proyecciones del radio en ambos ejes para formar un triángulorectángulo de la siguiente forma:

Observa cómo se formó un triángulo rectángulo. Asimismo, podemos localizar elcateto opuesto en la proyección del eje Y y el cateto adyacente en la proyección deleje X. además, como se trata de un círculo unitario, la hipotenusa vale 1,considerando todo en relación al ángulo A. una vez definido esto, obtengamos el

seno y coseno del ángulo A

= ℎ sen A = y1 sen A = y = ℎ cos A = x1 cos A = x


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Aplicando lo anterior, podemos decir que: para obtener las coordenadas de un puntosituado en la circunferencia unitaria, se utiliza la siguiente relación:

, = cos , En el plano cartesiano, las regiones que están delimitadas por los ejes decoordenadas se llaman cuadrantes, como se indica en la figura.

Signos de las funciones en el círculo unitario.

Utilicemos los conceptos anteriores para definir el signo de las funciones seno ycoseno en cada uno de los cuadrantes, para esto es necesario considerar cómocambian de signo los valores de las coordenadas x y las coordenadas d y en cadauno de los cuadrantes

No olvides considerar que coseno es para x y que seno es para y.

Veamos cómo se comporta la tangente, para esto utilizaremos el cociente:

tan = cos En el primer cuadrante, como cos son positivos, el cociente:

tan = cos ; :tan = =


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Para el segundo cuadrante el resultado es negativo, en el tercer cuadrante espositivo, por último, en el cuarto cuadrante el resultado es negativo, es decir:

Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico

Denominamos ángulo dirigido al que medimos en el plano cartesiano y en el queconsideramos su amplitud y sentido. Es decir, se abre en el sentido que giran lasmanecillas del reloj o en el sentido contrario.

Un concepto útil es el ángulo de referencia, el cual es el más pequeño que se formacon el eje x, medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Valores de las funciones trigonométricas del círculo unitario.

Con base en lo anterior aprenderemos a definir las coordenadas de un punto dadopor un segmento en el círculo unitario, utilizando las funciones trigonométricas.

0° 30° 45° 60° 90°

Sen 0 12 √22 √ 32 1

Cos 1 √ 32 √22 12 0


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Tan 0 1√3 1 √3 ∝

Ejemplo:Encontrar las coordenadas en el círculo trigonométrico para los segmentos de rectacuyo ángulo tiene un valor de:

1. 30° Aplicando P(cos A, sen A) considerando que A=30°

Buscando en la tabla ambos valores, tenemos:

cos30° = √32 sin30° = 12 Las coordenadas son: P( √ ,)Identidades pitagóricas La identidad básica es:

cos = 1 Si se divide entre tenemos:

cos

= 1

Por lo que resulta:

1 cot = csc Ahora, si nuestra identidad se divide entre cos quedará: cos cos cos = 1cos Se reduce:

1 =

Comportamiento gráfico de las funciones seno, coseno y tangente

Valores de la función seno.


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Valores de la función coseno

áng 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225°

coseno 1 0.87 0.71 0.5 0 -0.5 -0.71

-0.87

-1 -0.87

-0.71

Valores de la función tangente

áng 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225°

tang 0 0.57 1.00 1.74

∞ -

1.74-1 -

0.570 0.57 1

Bloque VIII: Aplicación de las leyes de senos y cosenos

Identificación de las leyes de senos y cosenos

Leyes de senos y cosenos

La trigonometría deriva de los problemas relacionados con los triángulosrectángulos. Las relaciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, el círculotrigonométrico, son temas que se desarrollan en esta rama de las matemáticas.Sin embargo, surgen las siguientes preguntas obligadas: si un triángulo no esrectángulo, ¿de qué forma se puede resolver?, ¿existe otro tipo de triángulos queestablecen relaciones generales como las que se obtuvieron en los triángulosrectángulos?

áng 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225°

seno 0 0.5 0.71 0.87 1 0.87 0.71 0.5 0 -0.5 -

0.71


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La respuesta es que mediante triangulación podemos obtener dichas relaciones,para esto dividimos en triángulos rectángulos a fin de encontrar algunas leyes queserán aplicables para cualquier tipo de triángulo. A este tipo de relaciones lesdenominamos leyes de los senos y cosenos.

Triángulos oblicuángulos

Es preciso considerar que dentro de la clasificación de los triángulos, se encuentralas de los triángulos oblicuángulos, definidos como aquellos que no tienen un ángulorecto. Es importante recalcar que solamente pueden tener 2 ángulos agudos y unobtuso, o tres ángulos agudos.

Ley de senos.

Esta ley se define: “la relación entre el lado de un ángulo cualquiera y el valor delseno del ángulo opuesto siempre será la misma”.

sin = sin

= sin

La ley de senos se puede utilizar cuando se conozcan dos ángulos y un lado en untriángulo oblicuángulo. En caso de que uno de los ángulos no sea el opuesto al ladoconocido, el valor del otro ángulo se obtiene realizando una diferencia entre la sumade los ángulos conocidos y 180°.

Como conocemos el valor de dos ángulos y un lado, será necesario que apliquemosla ley de senos.

Para determinar el valor de todos los ángulos del triángulo la magnitud del ánguloC, se obtiene restando a 180° el resultado en la suma de los dos ángulos conocidos:

= 180° 39° 63°

C = 180° 102 C = 78° Ahora apliquemos la ley de los senos:

63° = 12 78°


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Observa que la relacionamos el lado que contiene la incógnita con el seno delángulo de enfrente.

Resolviendo tenemos:

0.8910 = 120.9781

Despejando queda:

= 12 0.89100.9781 = 10.6920.9781 = 10.93 Para encontrar la longitud del lado realizamos un proceso similar:

39° = 12 78° 0.6293 = 120.9781

= 12 0.62930.9781 = 7.550.9781 = 7.72 En las fórmulas de las leyes de senos y cosenos no están despejados los ángulos.Para ello es necesario utilizar la función inversa de seno o coseno según convenga.

Cabe indicar que los triángulos rectángulos no están excluidos de las leyes de senosy cosenos.

Ley de los cosenos

Es una expresión que te permite conocer la magnitud de un lado de un triángulocualquiera, siempre y cuando conozcas los otros dos lados y el ángulo que forman.

Su definición es: “El cuadrado de la longitud de un lado es igual a la diferencia entrela suma de los cuadrados de los lados conocidos menos el doble del producto desus longitudes por el coseno del ángulo conocido”

= 2 cos Donde C es el ángulo formado por los lados A y B y se encuentra enfrente del ladodesconocido.

Ejemplo

Resolver el triángulo utilizando la ley de cosenos.

x B

8cm


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Como tenemos los datos de dos lados y el ángulo que forman, utilizaremos la leyde los cosenos:

= 8 = 12 c = 37° Se utiliza la fórmula:

= 2 cos

= 8 12 2 8 12 cos3

= 64 144 192 0 = √ 208 153.33 = √ 54.67 = 7.39 Resolución de ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que aparece alguna funcióntrigonométrica y cuya incógnita es un ángulo. Para una mayor comprensión en estetema, la solución solamente estará restringida para ángulos positivos ubicados entre0° y 360°, y la podemos indicar en grados:

0° ≤ ≤ 360° En radianes: 0 ≤ ≤ 2 Recuerda que en radianes = 180°.

A diferencia de las identidades trigonométricas, las cuales siempre se cumplen paracualquier valor, una ecuación trigonométrica solo se satisface para ciertos valores.

Para resolver este tipo de ecuaciones será necesario que investigues para quévalores, entre 0° y 360°, la función del ángulo cumple con la igualdad que se planteay en qué cuadrante está, basándote en el signo.Ejemplos:

1. 2 = √ 2 Despejemos primero :

37° 12cm A


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= √ 22 Aplicando la función inversa o arc seno:

= √ 22 Según lo aprendido, es preciso plantearnos un par de preguntas:¿A qué ángulo corresponde el valor de seno igual a √ ? Utilizando la tabla de valorespara 0°. Corresponde a un ángulo de 45°.

¿En qué cuadrante el seno es positivo? En el 1° y 2° cuadrantes.

…Continuación de Ejemplo.

Con base en esas dos respuestas, graficaremos para identificar las soluciones.

Como podemos observar, los dos valores que hacen cierta la ecuación son 45°, quees un ángulo ubicado en el primer cuadrante, y 135 que está en el segundocuadrante, por tanto, la solución queda:

= 45°, = 135° Expresada en radianes:

= 4; = 34 Bloque IX: Aplicación de la estadística elemental

Identificación y características de las medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central.


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La estadística se encarga de recopilar, ordenar, analizar y presentar datos pormedio de gráficas los cuales servirán para tomar decisiones relacionadas consituaciones que se representan en cierto grupo o población.

En el transcurso de tu vida has estado en contacto con la estadística de forma muydirecta. Por ejemplo, cuando calculas el promedio de tus calificaciones al fin desemestre, cuando analizas algún deporte o cuando lees una revista o periódico laspreferencias sobre alguno de tus artistas o equipos de tu deporte favorito.

La estadística se clasifica en descriptiva y la estadística inferencial.

La estadística descriptiva es la cual solo presenta la información obtenida a manerade tablas y diagramas, sin obtener conclusiones.

La estadística inductiva o inferencial pronostica y realiza conclusiones basándoseen los datos simplificados de una muestra de la población y se utiliza para tomardecisiones.

GENERALIDADES

Algunos conceptos relacionados con la estadística.

Población. Conjunto de datos o elementos que presentan característicasobservables comunes y son fáciles de contar. Si es posible contar los elementos dela población se llama finita, en caso contrario se llama infinita.

Muestra. Si una población es muy grande es poco práctico y, en algunos casos muycostosos, hacer cálculos con la totalidad. Cuando esto ocurre, se analiza una parterepresentativa, un pequeño grupo, el cual nos proporciona información generalizada

similar a la que se obtendría si se analizara el total de la población. Los elementospor elegir deben tener la misma oportunidad de ser seleccionados.

Por ejemplo, si quisieras saber cuál es el promedio de edad de los alumnos queasisten a una escuela, si existe una gran cantidad de ellos será más sencillo elegiruna muestra que represente al total.

Número de datos. Cantidad total de datos que presenta el problema. Larepresentaremos por N y para este ejemplo N =50.

Frecuencia absoluta . Cantidad de elementos que hay de cada intervalo.

Frecuencia relativa . Valor de la frecuencia absoluta en forma de porcentaje.Se obtiene dividiéndola entre el número de datos.

= ∗ 100% La suma de las frecuencias relativas siempre será igual a 100%.


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Frecuencia acumulada . Es la suma de las frecuencias absolutas de todoslos valores inferiores o iguales al valor considerado.

Distribución de frecuencia. Forma de ordenar los datos. Cuando hay que manejaruna gran cantidad de estos, se distribuyen en clases o categorías con lasfrecuencias correspondientes.

Rango (R). Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de losdatos. Podemos calcularlo mediante esta fórmula:

= () Intervalos de clase. Rango de datos utilizado para dividir un conjunto de valoresen grandes cantidades.

El número de intervalos depende de la cantidad de datos que se tengan y del tipoque sean.

Para obtener la amplitud del intervalo de clase, se dividen el rango entre el total deintervalos que se tienen, los cuales, de preferencia, deben de ser iguales. Asimismo,es necesario que cada elemento quede en una sola clase. Se sugiere que existanentre 6 y 15 intervalos, aunque el número exacto dependerá e la cantidad de datosque se tengan.

Marcas de clase . Es el punto medio del intervalo de clase y lo calculamossumando sus límites dividiendo entre 2.

Representación gráfica de las distribuciones de frecuencia

Existen diversos tipos de gráficas que permiten representar variables. Es importanteque siempre se coloquen los valores de las variables en el eje horizontal, y en el ejevertical se indique la frecuencia.

• Histogramas

Representación gráfica de una variable en forma de barras rectangulares, donde lasuperficie de cada una de las barras es proporcional a la frecuencia de los valoresrepresentados. La base tiene el ancho del tamaño de la clase y en consecuencia lamarca de clase queda al centro.

Se utilizan en procesos en los que se necesita comparar cantidades.


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• Polígonos de frecuencia

Están formados por una línea continua que une los puntos determinados por lasmarcas de clase y la frecuencia en un sistema de ejes cartesianos, lo cual generauna línea poligonal abierta. En ocasiones se dejan las barras del histograma y seunen sus centros de la parte superior para realizar algún comparativo.

• Polígono de frecuencia relativa.

Se grafica de forma similar que el polígono de frecuencia, solo que ahora se utilizanlas frecuencias relativas en el eje vertical.

• Polígono de frecuencia acumulada.

Utiliza los valores de la frecuencia acumulada. A esta gráfica se le llama ojiva y alobservarla se puede analizar con qué rapidez creció la variable.


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• Diagrama de sectores circulares

Utiliza las frecuencias relativas dividiendo un círculo en porciones proporcionalestomando una forma similar a un pastel

Para graficar se multiplica la frecuencia relativa por 360° y se busca el valor

acumulado de estos valores, para así poder localizarlos con exactitud en el círculo.

• Pictogramas

Está formado por imágenes denominadas pictóricas, las cuales están relacionadascon los datos o variables y ayudan de una forma más ligera a entender una gráfica.

• Cartogramas.

Utilizan pictogramas basados en mapas geográficos en los cuales se diferenciasdatos estadísticos, ya sea con colores diferentes, tramas, figuras.


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Media aritmética.

Promedio. El promedio o la medio aritmética ̅ de una serie de datos, se calculasumándolos todos y dividiendo entre el total.

̅ = ⋯ Ejemplo. 1. Encuentra la media de los siguientes números:

2,6,5,9,7,8,3,4,6,8,2,8,10.

̅ = 2 6 5 9 7 8 3 13

̅ = 7813 = 6

Para datos agrupados tendremos que sumar el producto que resulta de multiplicarlas frecuencias absolutas por el valor de cada calificación y el resultado dividirloentre el total de datos.

En la fórmula quedaría:

̅ = ∑ En donde representa los valores que toma la variable y de los cuáles se necesitasaber la media.

Mediana.

Es el valor central de una serie de datos ordenados, lo cual implica que tiene lamisma cantidad de datos superiores e inferiores. La representaremos como .Cuando la cantidad de datos es par, representa el valor central. En caso contrariose suman los dos datos centrales y se dividen entre dos.

A continuación calcularemos la mediana de estos datos:


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a) 5,9,7,6,4,8,4

Primero los ordenaremos del valor menor al mayor

4 4 5 6 7 8 9

Como la cantidad de datos es impar, el dato central es la mediana4 4 5 6 7 8 9

En consecuencia es 6.b) 7,10,2,8,6,9,7,4,5,1,3,3,6,4

1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 8 9 10

Ahora la cantidad de datos es par, en consecuencia, para determinar el valor de lamediana obtendremos la media de los dos datos centrales

La mediana queda: = + = = 5.5 Moda. Son aquellos valores que más frecuencia tienen en el grupo de datos, es decir, eldato que más se repite.

Es posible que en un grupo de valores existan varias modas. Si hay una moda sellama unimodal; si son dos, bimodal, y así sucesivamente.

En una gráfica queda así:

Identificación de las medidas de dispersión.

Medidas de dispersión Las medidas de tendencia central nos dan solo una idea aproximada delcomportamiento estadístico de una serie de datos. Por tanto, es necesario realizarun análisis con respecto de qué tanto están separados de la media, mediana ymoda.


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Así, definiremos las medidas de dispersión a los valores numéricos que se encargande analizar el tipo de dispersión de los datos de los valores centrales. Las másempleadas son rango, varianza y la desviación típica.

Desviación media

Está definida como el promedio de los alores absolutos de las desviaciones de cadadato de la variable con respecto de la media. Se obtiene mediante la fórmula:

= ∑ | ̅|

Desviación típica y varianza

Se define como la raíz cuadrada de la división entre la suma de los cuadrados delas desviaciones típicas entre el número de datos de estudio. Se refieredirectamente al promedio de las distancias de los datos en relación con el promedio.

Su fórmula es:

= ∑ | ̅| Por su parte, la varianza se define como:

= ∑ | ̅| Ejemplo:

Una empresa de transportes reporta los kilómetros recorridos por sus camionescuando tienen el tanque lleno de gasolina.

200 201 198 199 200

205 199 201 197 203

201 205 202 199 198

201 202 198 197 197


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Encuentra la:

a) Media

b) Desviación típicac) Varianza

Para el cálculo de la media se tiene: ̅ = = 200.15 Kilómetros recorridos (x)

197 3.15 9.9225 197

3.15

9.9225

197 3.15 9.9225 198 2.15 4.6225 198 2.15 4.6225 198 2.15 4.6225 199 1.15 1.3225 199 1.15 1.3225 200 0.15 0.1225 200 0.15 0.1225 201 0.85 0.7225 201 0.85 0.7225 201 0.85 0.7225 201 0.85 0.7225


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202 1.85 3.4225 202 1.85 3.4225 203

2.85

8.1225

205 4.85 23.5225 205 4.85 23.5225 Suma de 112.55

Utilizando la información de la tabla tenemos:

b) Desviación típica

= ∑ | ̅| = 112.5520 = √ 5.6275

= 2.3722 c) Por lo que varianza queda:

= ∑ | ̅| = 5.6275

Bloque X: Uso de conceptos elementales de probabilidad

Definición de la probabilidad clásica de un evento aleatorio.

Eventos determinísticos y aleatorios

A lo largo de tu vida se te han presentado situaciones en las cuales eres capaz dedeterminar qué va a suceder. Por ejemplo, si una olla está caliente u acercas tumano sabes con seguridad que te vas a quemar y dejas caer un objeto, puedesasegurar con certeza que el objeto llegará al piso.


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Sin embargo, cuando decides quién paga la cena por medio de un volado o cuando juegas a la lotería estás frente a eventos que rige el azar. Son procesos en dondees imposible predecir qué va a ocurrir. En este bloque desarrollaremos el estudio dela probabilidad, la cual nos permitirá comprender los resultados de un experimentoaleatorio.

Experimentos y espacio muestra

El espacio muestra es el conjunto de todos los posibles resultados individuales deun experimento aleatorio.

Un experimento es un proceso en el cual es posible obtener, verificar y analizarresultados definidos. Si se repite el mismo experimento y siempre se obtiene elmismo resultado, en igualdad de condiciones, es predecible. Se dice que es unexperimento determinístico.

Un experimento aleatorio está definido como el que, en las mismas condiciones, es

imposible determinar su resultado ya que depende directamente del azar. Alconjunto de resultados posibles en este tipo de experimentos se le denominaespacio muestra . Para efectos de análisis en este bloque lo denotaremos E.

Variables aleatorias y eventos

Si los resultados de un experimento aleatorio son cuantificables, se dice que sonvariables aleatorias. Dichos resultados cumplen con una regla de correspondenciaentre atributos y posibilidades.

Un evento aleatorio es un subconjunto de resultados del espacio muestra.Básicamente es el resultado de un experimento.

La cantidad de elementos que forman el conjunto que hace cierto el evento sedenomina n(A), donde n es la cantidad de elementos y A es el conjunto.

Ejemplo:

Lanzar al aire un dad de seis caras.

El espacio muestra que se genera en este experimento sería:

= {1,2,3,4,5,6} Algunos eventos generados por este experimento serían:

a) Cae un número par = {2,4,6} = 3 b) Cae un número mayor a cuatro B = {5,6} = 2

Observa que los resultados obtenidos son subconjuntos del espacio muestra.


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Si existe un solo elemento, este evento se denomina simple. Si se refiere a lanzardos dados al mismo tiempo o una moneda y un dado, el evento se denominacompuesto.

Asimismo, cuando en un evento el resultado es∅, o conjunto vacío, se denominaimposible.c) cae el número ocho. = ∅ Técnicas de conteo

En experimentos en donde el espacio muestra es muy pequeño, resulta muy sencillodeterminar y contar los valores posibles que hacen válido l evento.

Para situaciones en donde es muy tedioso enlistar los posibles resultados de unevento se utilizan diversas técnicas para contar.

Técnica de la multiplicación y el diagrama de árbol

La primer técnica de conteo es la de la multiplicación: si hay m formas de hacer unacosa y hay n formas de hacer otra, entonces hay m * nformas de hacer ambas.

En términos de la fórmula queda:

ú = Esto puede ser extendido a más de dos eventos.

Para tres eventos m, n y o.

ú

=

El diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar yencontrar las combinaciones posibles en un experimento múltiple.

Considera un experimento en el que se lanza una moneda dos veces, los posibleseventos quedan reflejados de la siguiente manera:


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Como puedes observar, existen cuatro posibles resultados en este evento. Lacantidad de eventos que ocurren al lanzar una moneda es igual a dos. Si losmultiplicamos entre sí el resultado es igual a cuatro.

Probabilidad.

Cuando se presenta un experimento o evento aleatorio, la probabilidad refleja laposibilidad de que ocurra. Se representa mediante un cociente que relaciona elnúmero de veces que pase el evento entre el espacio muestra. Debido a que unevento es subconjunto del espacio muestra, el resultado de la probabilidad de unevento se refleja como el tanto por uno de veces que ocurre el suceso dentro delexperimento.

Cuando el evento es poco probable, la probabilidad es cercana a cero. En caso deque la probabilidad sea igual a cero, es imposible que ocurra el evento.

La fórmula de la probabilidad de un evento A:

= ú En relación a lo expuesto anteriormente, la probabilidad de P(A) fluctuará entre 0 y1.

0 ≤ ≤ 1

Ejemplo.

= Ex = {á ,} () = 2


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a) Sol = {} = 1 = = b) Águila = {á } = 1 = á =

En forma quedaría:

= = 0.5 = á = 0.5

Habilidades Numericas II (2)

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