CALCULO II

Sergio SolanoSabie

Series

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

Sergio Stive Solano Sabie

Agosto de 2012

CALCULO II

Sergio SolanoSabie

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SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

Sergio Stive Solano Sabie

Agosto de 2012

CALCULO II

Sergio SolanoSabie

Series

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Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo

∞∑n=1

an o∑

an

¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·

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Series

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Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo

∞∑n=1

an o∑

an

¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·

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Series

Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo

∞∑n=1

an o∑

an

¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·

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Series

Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo

∞∑n=1

an o∑

an

¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·

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Ejemplo 1.1

Al sumar los terminos de la serie

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+ · · ·+ 1

2n+ · · ·

notamos que las sumas parciales se aproximan a 1.

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Series

Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determi-na si una serie tiene una suma. Consideremos las sumasparciales

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

y, en general,

sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n∑

i=1

ai

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Series

Series

Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determi-na si una serie tiene una suma. Consideremos las sumasparciales

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

y, en general,

sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =

n∑i=1

ai

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Series

Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determi-na si una serie tiene una suma. Consideremos las sumasparciales

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

y, en general,

sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =

n∑i=1

ai

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Definicion 1.1

Dada una serie∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · , se

denotara mediante el sımbolo sn a su n-esima suma parcial:

sn =

n∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

Si la sucesion {sn} es convergente y si existe el lımn→∞

sn = s

como un numero real, entonces la serie∑

an se diceconvergente y se escribe a1 + a2 + a3 + · · · = s o bien∞∑n=1

an = s.

El numero s se denomina suma de la serie. En casocontario, la serie {sn} se dice divergente.

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Series

Ejemplo 1.2Un ejemplo importante de series infinitas es la seriegeometrica

∞∑n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·

la cual converge si |r| < 1 y su suma es

∞∑n=1

arn−1 =a

1− r

Si |r| ≥ 1, la serie geometrica diverge.

La serie geometrica∞∑n=1

12n converge y su suma es 1.

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Ejemplo 1.3

Demuestre que la serie∞∑n=1

1n(n+1) converge, y calcule sus

suma.

Solucion. Calculemos sus sumas parciales.

sn =

n∑i=1

1

i(i + 1)=

n∑i=1

(1

i− 1

i + 1

)=

(1− 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+

(1

3− 1

4

)+ · · ·+

(1

n− 1

n + 1

)= 1− 1

n + 1

de modo que∞∑n=1

1n(n+1) = lım

n→∞sn = lım

n→∞

(1− 1

n+1

)= 1.

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Ejemplo 1.4

Demuestre que la serie armonica

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

es divergente.

Teorema 1.1

Si la serie∞∑n=1

an es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.

Prueba de la divergencia

Si lımn→∞

an no existe o lımn→∞

an 6= 0, entonces la serie∞∑n=1

an

diverge.

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Series

Ejemplo 1.5

Demuestre que la serie∞∑n=1

n2

5n2+4diverge.

Teorema 1.2

Si∞∑n=1

an y∞∑n=1

bn son series convergentes, entonces

tambien los son las series∞∑n=1

can (donde c es una

constante),∞∑n=1

(an ± bn), y

1∞∑n=1

can = c∞∑n=1

an

2∞∑n=1

(an ± bn) =∞∑n=1

an ±∞∑n=1

bn

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Series

Ejemplo 1.5

Demuestre que la serie∞∑n=1

n2

5n2+4diverge.

Teorema 1.2

Si∞∑n=1

an y∞∑n=1

bn son series convergentes, entonces

tambien los son las series∞∑n=1

can (donde c es una

constante),∞∑n=1

(an ± bn), y

1∞∑n=1

can = c∞∑n=1

an

2∞∑n=1

(an ± bn) =∞∑n=1

an ±∞∑n=1

bn

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Ejemplo 1.6

Halle la suma de la serie∞∑n=1

(3

n(n+1) + 12n

)Solucion. TareaNota. Un numero finito de terminos no puede afectar la con-vergencia de una serie. Por ejemplo, supongamos que la se-rie

∞∑n=4

n

n3 + 1

es convergente. Entonces, como∞∑n=1

n

n3 + 1=

1

2+

2

9+

3

28+

∞∑n=4

n

n3 + 1

se deduce que toda la serie es convergente.

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Series

Series

Prueba de la integralSuponga que f es una funcion continua, positiva ydecreciente en [1,∞) y se an = f(n). Entonces

1 Si∫∞1 f(x)dx es convergente, entonces

∞∑n=1

an es

convergente.

2 Si∫∞1 f(x)dx es divergente, entonces

∞∑n=1

an es

divergente.

Ejemplo 1.7

¿Para que valores de p converge la serie∞∑n=1

1np ?.

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Series

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Solucion. Recordemos que∫∞1

1xp converge si p > 1 y di-

verge si p ≤ 1. Luego, por la prueba de la integral la serie∞∑n=1

1np converge si p > 1 y diverge si 0 < p ≤ 1.

La serie del ejemplo se conoce como serie p.

Prueba de comparacionSuponga que

∑an y

∑bn son series con terminos

positivos.1 Si

∑bn es convergente y an ≤ bn para toda n,

entonces∑

an tambien converge.2 Si

∑bn es divergente y an ≥ bn para toda n, entonces∑

an tambien diverge.

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Ejemplo 1.8

Determine si la serie∞∑n=1

52n2+4n+3

converge o diverge.

Solucion: Observe que

5

2n2 + 4n + 3<

5

2n2(converge por la serie p con p = 2 > 1)

luego por la prueba de comparacion∞∑n=1

52n2+4n+3

converge.

Ejemplo 1.9

Pruebe la convergencia o divergencia de la serie∞∑n=1

lnnn

Solucion. Note que lnn > 1, para n ≥ 3.

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Prueba de comparacion de lımitesSuponga que

∑an y

∑bn son series con terminos

positivos. Silımn→∞

anbn

= c

donde c es un numero finito y c > 0, entonces ambas seriesconvergen o divergen.

Ejemplo 1.10

Pruebe que la serie∞∑n=1

12n−1 converge o diverge.

Solucion. Usamos la prueba de comparacion de lımites conan = 1

2n−1 y bn = 12n

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Series alternantes

Una serie alternante es aquella cuyos terminos son positi-vos y negativos alternativamente. Por ejemplo

1∞∑n=1

(−1)n−1 1n

2∞∑n=1

(−1)n nn+1

Prueba de la serie alternanteSi la serie alternante∞∑n=1

(−1)n−1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + · · · (bn > 0)

satisface1 bn+1 ≤ bn2 lım

n→∞bn = 0

entonces la serie converge.

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Series alternantes

Ejemplo 1.11

La serie armonica alternante∞∑n=1

(−1)n−11

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

satisface1 bn+1 ≤ bn porque 1

n+1 < 1n

2 lımn→∞

bn = lımn→∞

1n = 0

por tanto la serie converge.

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Convergencia absoluta

Definicion 1.2La serie

∑an es absolutamente convergente si la serie

de valores absolutos∑|an| converge.

Teorema 1.3Si una serie

∑an es absolutamente convergente,

entonces es convergente.

Ejemplo 1.12

La serie∞∑n=1

(−1)n−1

n2 converge.

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Prueba de la razon

Prueba de la razon

1 Si lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = L < 1, entonces la serie∑

an esabsolutamente convergente (y por consiguienteconvergente).

2 Si lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = L > 1 o lımn→∞

|an+1

an| =∞, entonces la

serie∑

an diverge.

3 Si lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = 1, la prueba de la razon no decide.

Ejemplo 1.13

Pruebe la convergencia absoluta de la serie∞∑n=1

(−1)n n3

3n .

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GRACIAS POR SUATENCION