UNIDAD No. 5Series

Series y criterios de convergencia

SERIES

El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {an} es la sucesión a1, a2, a3,..., an, ..., entonces la suma a1+ a2+ a3+ … + an+ … se le llama serie infinita.

Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman los términos de la serie; ak se denomina término general.Se presentará una serie infinita en forma compacta como:

1kka

SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES

Para cada serie infinita existe una sucesión de sumas parciales {Sn}, definida como sigue:

1kka

nn aaaaS

aaaS

aaS

aS

321

3213

212

11

CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA

Se dice que una serie infinitaes convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es,

El número S es la suma de la serie.

Si no existe, se dice que

la serie es divergente.

1kka

SSn

Lima n

kk

1

nSn

Lim

SERIES TELESCÓPICAS

Determine si la serie infinita:es convergente o divergente

1 )3)(2(

1

k kk

SERIES GEOMÉTRICAS

A una serie infinita de la forma:

se le denomina serie geométrica.

12

1

1 n

k

k arararaar

CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS

Una serie geométrica converge apara |r|<1 y diverge para |r|>1.

Demuestre lo anterior. Para ello:1. Determine Sn

2. Multiplique Sn por r

3. Efectúe la diferencia Sn-rSn

r

a

1

PROBLEMA

Determine si la serie infinita es convergente o divergente. En caso de ser convergente, determine el valor de la suma.

1 10

3

kk

SERIES ARMÓNICA

Demuestre que la serie armónica

es divergente.

4

1

3

1

2

11

1

1k k

CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE

TEOREMA:

Si la serie es convergente, entonces:

Si no existe o si el ,

entonces la serie diverge.

1kka

0 kak

Lim

kak

Lim

0

kak

Lim

1kka

PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE LA SUMA

Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente y an=f(n).

Entonces, la serie es convergente si y solo si la integral impropia: es convergente.

1kka

1

)( dxxf

PROBLEMA Determine si la serie: es convergente.

Estime el valor de la suma.

Determine si la serie: es convergente.

12

1

k k

¨

1

1

k k

SERIE P

La serie p:

converge si p>1 y diverge cuando p<1.

1

1

npn

PRUEBAS DE COMPARACIÓN

En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.

TEOREMA

Suponga que y son series de términos positivos.Entonces:

Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge.

Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge.

1kka

1kkb

1kkb

1kka

1kkb

1kka

PROBLEMA

Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:

1

)ln(

n n

n

PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE

Suponga que y son series con términos positivos.

Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.

1kka

1kkb

cb

a

n

Lim

n

n

PROBLEMA

Pruebe la convergencia o la divergencia de la serie:

Utilice la prueba de comparación en el límite considerando:

y .

1 12

1

kk

12

1

kna knb 2

1

SERIES ALTERNANTES

Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos (alternando signo).

Ejemplos:

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

)1(

1

1

n

n

n

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1)1(

1n

n

n

n

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE

Si la serie alternante:

bn>0 satisface las siguientes dos condiciones:

1. bn+1 < bn para toda n.

2.

entonces la serie converge.

654321

1

1)1( bbbbbbbn

nn

0 nbn

Lim

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ

La serie: es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos converge.

1kka

1nna

PROBLEMA

Muestre que la serie: es absolutamente convergente.

12

1)1(

n

n

n

PRUEBA DE LA RAZÓN

Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y por lo tanto converge).

Si o ,

entonces la serie diverge.

11

La

a

n

Lim

n

n

1nna

11

La

a

n

Lim

n

n

n

n

a

a

n

Lim1

1nna

PROBLEMA

Pruebe la convergencia absoluta de la serie:

1

3

3)1(

nn

n n

PRUEBA DE LA RAÍZ

Si , entonces la serie

es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente).

Si o , entonces la serie es divergente.

1

Lan

Limn

n

1nna

1

Lan

Limn

n

n

nan

Lim

1nna

PROBLEMA

Compruebe la convergencia de la serie:

1 23

32

n

n

n

n