ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

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Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta

Lic. Lucrecia Iglesias Prof. María E.S. de Hernández

Prof. Elena García

Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Adherido al Comité Interamericano homónimo

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Ejemplar atrasado: 1.250.- A Exterior: 4 dólares

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ELEMENTOS DE MATEMATICA

; i | PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA

d e la UTlIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN IV NUMERO XIII S e t i e m b r e 1 9 8 9

SUMARIO

Editorial 3

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas Gregorio Klimovsky 5

Los problemas matemáticos en el aula Prof. María Esther S. de Hernández 11

Propuesta didáctica Lucrecia Delia Iglesias 13

Una curiosa multiplicación Dr. Enzo R. Gentile 18

La computación como recurso Prof. Elena García. 20

Noticias 25

El pequeño Teorema de Fermat Dr. Enzo R. Gentile 26

Congruencia módulo m en Z Prof. María Esther S. de Hernández 31

Bibliografía 39

ISSN 0326-8888

Comienzo nuestro cuarto año de vida manifestando el firme deseo de poder continuar y si es posible mejorar la labor desarrollada en los tres primeros de Elementos de Matemática. Hasta ahora nunca nos hemos referido en esta página de presentación a problemas relativos al costo de nuestraRevista. Lamentablemente los hechos por todos conocidos que se desarrollaron a partir de nuestro número de Junio, nos obligan a efectuar un reajuste de los valores de suscripción. Con la esperanza de que tal circunstancia sea comprendida por nuestros distinguidos colegas desearíamos también que esta fuera la primera y última vez en la que tratemos tal tema.

Y si nos referimos como siempre al contenido de este número cabe destacar:

1. Se mantienen las secciones fijas a cargo felizmente, de los mismos colegas que las prestigian desde la aparición de Elementos de Matemá-tica.

2. Se completan en este número, tal como se prometiera en el de Junio, los importantes trabajos "Congruencia módulo m en Z" y "El pequeño Teorema de Fermat" de nuestros asiduos colaboradores Prof. María E. Spivak de Hernández y Dr. Enzo Gentile.

3. Se incluye un simpático aporte del Dr. Gentile sobre un método curioso de multiplicación.

4. Comienza a publicarse un importante trabajo del Prof. Gregorio Klimovsky "La Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemá-ticas" que culminará con una formulación axiomática de la Teoría de Conjuntos, tema a no dudar que despertará el interés de todos los profesores.

Por último anunciamos que a partir del año próximo se pondrá en marcha el proyecto de corresponsales de Elementos de Matemática en el interior del país, según detalles que daremos en el próximo número.

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ta Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemáticas

Parte I

por Gregorio Klimovsky

Desde la época de los antiguos pensadores griegos, las ma-temáticas causaron gran impresión a los filósofos, tal vez porque proporcionaban el mejor ejemplo de un conocimiento nítido, eterno y seguro. Las ideas de Platón acerca de un mundo de ob-jetos ideales, formales y perfectos, estaban sin duda inspiradas en este dominio científico. El requerimiento que prohibía entrar a la Academia si no se sabía geometría no tenía, desde este punto de vista, nada de sorprendente. Y, aunque los Elementos de Euclides son posteriores en medio siglo a los "Segundos Analíticos" de Aristóteles, no cabe duda que las ideas de éste sobre el método demostrativo derivan de las de matemáticos griegos anteriores, como Eudoxio o Teetetes.

En realidad, la historia de las muy estrechas relaciones entre matemática y filosofía se origina aún antes, en las reflexiones y creencias semimísticas, semicientíficas, de la extraña logia de los seguidores de Pitágoras. Desde entonces se prolonga sin desfa-llecer a través de genios como Leibniz, Kant y, mucho más re-cientemente, Bertrand Russell. Todos estos personajes conside-raban a la ciencia o al conocimiento en general como uno de los grandes logros de la humanidad. Pero, como no se trataba de un mero acto de fe, era necesario justificar las proposiciones de los científicos. Para ello era conveniente comenzar discutiendo el va-lor de la aritmética y de la geometría, ya que éstas eran el producto por excelencia de las capacidades gnoseológicas humanas.

Entre las preguntas filosóficas más importantes que pueden ha-cerse acerca de las matemáticas están estas cuatro:

1. ¿Cuál es la naturaleza de los objetos o entidades de los que se ocupan la smatemáticas?

2. ¿Por qué hay que admitir las afirmaciones de los matemáti-cos?

3. ¿Qué procedimientos permiten hacer progresar el conoci-miento matemático?

4. ¿Qué relaciones hay entre las matemáticas y la realidad con-creta?

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En la tradición pitagórica-platónica, las entidades matemáticas serían objetos especiales, no concretos sino ideales, constituyen-do un mundo sui generis, una"ontología regional" según ladeno-minación del filósofo Husserl, fundador de la corriente denomina-da "fenomenología" y, sea dicho de paso, otro más de los muy in-fluidos por las matemáticas. Nuestra creencia o admisión de las afirmaciones matemáticas se debería a que poseemos una facul-tad, la "intuición racional", una especie de ojo mental que nos per-mite captar y estudiar directamente tales objetos. El progreso de estas ciencias se lograría estimulando nuestra intuición, nuestra capacidad de "ver racionalmente" los objetos matemáticos. En cuanto a la relación con la realidad, Pitágoras parece haber sido ambiguo. Por un lado parece haber pensado que el mundo de lo concreto es "isomorfo" (estructuraímente semejante) al mundo de lo abstracto o formal, por lo cual estudiar matemáticas es útil, atra-vés de ese isomorfismo, para comprender la realidad física. Pero, a veces, parecería que Pitágoras se inclina a pensar que todo es reductible a lo abstracto, a lo formal. Platón es decididamente partidario del primer punto de vista, la doctrina de los dos mundos. Hay que reconocer, como lo afirma e! pensador e historiador de la ciencia Arthur Koestler (en su historia de la astronomía titulada "Los Sonámbulos"), que la idea de estudiar el mundo concreto investigando estructuras matemáticas (numéricas) vía isomorfis-mo fue el movimiento inicial hacia la teoría de la medición, y constituyó una concepción análoga a la que hoy denominamos física-matemática y también "modelos matemáticos". Para Koest-ler, Pitágoras fue una verdadera revolución científica.

Latradición pitagórica-platónica siempre tuvo detractores, pues no todos están dispuestos a admitir que hay un mundo especial de seres matemáticos distinto del nuestro. Esa idea es vista por mu-chos como fantástica, pues consideran que "existencia" es algo que sólo puede aplicarse a este mundo concreto en el que vivimos; todo lo demás es ciencia ficción. La controversia prosigue hasta el día de hoy, provocando una división entre "platonistas" y "nomina-listas" (que creerían que hay palabras y nombres matemáticos, pero no objetos tales. Por ejemplo, habría cifras, pero no "núme-ros"). Como más adelante veremos, esta disputa tiene todavía un importante reducto, y éste es nada menos que la teoría de conjun-tos. Así, el célebre KurtGodel, autordel famoso teoremaque limita el alcance de la matemática—y que lleva su nombre—, profesó un decidido "platonismo" en relación con los conjuntos, en la última época de su vida. El célebre lógico Thoralf Skolem, por el contra-rio, era un nominalista entusiasta; no creía en los conjuntos, sino en los lenguajes conjuntísticos. El lector puede preguntarse en este punto cómo es posible que se admitan lenguajes conjuntís-:cos sin aceptar conjuntos, pero todos los familiarizados con la ~ 2-oe -paconcepción del "método axiomático" comprenderán esto co~¡o cosa natural.

- "stcteles expone en su célebre tratado de lógica, el "Organon",

una concepción algo diferente. Piensa que los individuos concre-tos se dividen en "substancias", que poseen existencia autónoma en el sentido de no depender para su existencia de ninguna otra entidad, y "accidentes", que serían cualidades o aspectos concre-tos localizados en alguna substancia (por ejemplo, un caso del matiz verde en determinado pizarrón). Reconoce que los acciden-tes se dividen en "categorías" distintas —por ejemplo, hay relacio-nes, que no deben confundirse con cualidades—. Entre las cate-gorías de accidentes están las cantidades. No es nuestra inten-ción examinar aquí las interesantes analogías que hay entre la concepción de Aristóteles de los números, que harían por ejemplo del número doce un universal o idea para clasificar cantidades concretas (es decir, determinados accidentes cuantitativos de substancias) y las ideas de Russell por las que "doce" sería un con-junto de conjuntos. Lo que sí importa es que para Aristóteles las propiedades de los números tienen aspectos lógicos o nomológi-cos que atañen a sus relaciones en cuanto universales (ideas) y también aspectos tácticos relativos a los accidentes a que corres-ponden. Los principios de la aritmética, como los de cualquier ciencia, se validarían por intuición racional, por "eviden-cia". En esto Aristóteles muestra que es discípulo de Platón. Pero sólo en lo relativo a la intuición; no parece creer en un mundo autónomo e independiente de universales. Además, la intuición es única-mente para unos pocos principios. Lo demás, que es casi todo, se obtiene por "demostración", es decir, deduciendo correctamente desde los principios. "Deducir correctamente" quiere decir "con garantía de conservación de la verdad". Paraconocercuando hay corrección, Aristóteles inventa (¿o descubre?) la lógica. El progre-so de las matemáticas consiste en ejercitarse en demostrar. La cuestión es producir "teoremas". Los "principios" están dados desde el comienzo una vez para siempre.

Los lectores de los "Elementos" de Euclides reconocerán, sin ^«¿-a, %¡s>\& Tte •aúmíiVi to qus a%ma e célebre Vi'is-toriadorde las matemáticas Thomas L. Heath, Euclides es un se-guidora pies juntillas del pensamiento aristotélico. En cuanto a las relaciones de nuestra ciencia con la realidad, es digno de señalar-se que, para nuestro filósofo, las matemáticas son metodológica-mente disciplinas científicas como cualesquiera otras y se ocupan de accidentes, proporcionando informaciones sobre el mundo real.

Durante el siglo pasado ocurrieron tres novedades que vendrían a poner en tela de juicio todas estas viejas afirmaciones y puntos de vista. Se trata de la aparición del método axiomático formal, del proceso llamado "aritmetización de las matemáticas" y de la crea-ción de la teoría de conjuntos.

La invención de la geometría no euclideana durante el siglo pa-sado, por parte de Janos Bolyai y Nicolai Lobachevsky, llevó a la ¡dea de que, subyaciendo al desarrollo de las disciplinas matemá-ticas, existía una metodología especial. Según ésta, los sistemas

de la matemática serían lenguajes formales especiales, constitui-dos por un vocabulario de términos primitivos sin significación al-guna, pero con los que se construirían "seudo-proposiciones", en-tre las que arbitrariamente se elegirían los "axiomas". Según el vocabulario y según los axiomas, resutlaría un sistema distinto. Todos los sistemas posibles (salvo los contradictorios) tendrían interés y democrático derecho a la existencia y a ser estudiados, aunque no tendrían significado y no serían más que ejercicios formales de lógica aplicada. Pero no serían inútiles. Para cada uno de ellos serían posibles infinitas interpretaciones, según el diccio-nario que se provea, con el objeto de devolver a los términos primitivos el significado que no se les dio. Cuando eso ocurre, las "seudo-proposiciones" se transforman en genuinas proposicio-nes. Si los axiomas devienen todos verdaderos, los teoremas también, la interpretación se denomina "modelo" del sistema, y la utilidad de todo esto es que el sistema proporcionó lo que ahora serían verdades para el modelo, para la interpretación elegida. Así, un newtoniano diría que el espacio físico es un modelo de la geometría euclídea (pensada como sistema axiomático formal), conunaconvenienteinterpretacióndelostérminosprimitivosgeo-métricos. Pero no es la única interpretación; Descartes y Fermat encontraron otra, muy útil y célebre, la "geometría analítica", que no es otra cosa que un diccionario aritmético que interpreta palabras geométricas como entidades numéricas o algebraicas.

Uno de los entusiastas de esta metodología fue David Hilbert, el célebre científico alemán, a quien al formulársele nuestras cuatro preguntas hubiera sin duda contestado así:

No hay cuestión de cuáles son las entidades matemáticas. Si se trata de sistemas axiomáticos, hay palabras y términos sin signi-ficación. La matemática es si mplemente lógica aplicada. La "acep-tación" de un sistema axiomático, como la de un juego, consiste simplemente en que deseamos "jugar" con él. Pero si se trata de uno de sus modelos, cualquier objeto puede corresponder a un término en un diccionario arbitrariamente elegido. No hay, pues, objetos que sean especialmente "matemáticos". En cuanto a la aceptación de las proposiciones, la única cuestión que hay es la de cómo nos damos cuenta que los axiomas se hacen verdaderos en una interpretación. Pero eso depende del diccionario y no hay aquí situación especial alguna. Por ejemplo, la cuestión de si la interpretación newtoniana del espacio real produce un modelo de la geometría euclideana no es un problema de matemática, es un problema de física.

En cuanto al progreso de la matemática, habría un aspecto crea-tivo en el arte de la invención de sistemas axiomáticos, una com-binación de factores artísticos y estéticos, con aspectos lógicos y también de utilidad pragmática localizada en el asunto de si existen modelos interesantes desde el punto de vista de la ciencia aplicada. La última pregunta, la relacionada con los vínculos en-tre matemáticas y realidad, se contesta fácilmente aquí señalando

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la obvia conexión entre la entidad formal (el sistema axiomático) y la entidad real, el modelo. Si se examina todo esto con ojos filosóficos, innegablemente hay aquí una curiosa reminiscencia de ideas pitagóricas con aristotélicas. Pero no hay ni misteriosas intuiciones ni reinos fantásticos de entidades formales. Sólo encontramos lenguajes, deducciones e interpretaciones. Es decir, lógica aplicada y semántica.

Más adelante vamos a discutir con más detalle toda esta meto-dología y las simplicaciones filosofías que acabamos de exponer. Por ahora basta afirmarque, en general, estas tesis son acertadas y reflejan con exactitud el presente estado de la fundamentación de la matemática. No obstante, hay una dificultad sensatamente indicada porel notable lógico y filósofo inglés Bertrand Russell, en su lúcido libro "Introducción a la filosofía matemática". El admite que la posición de Hilbert está bien cuando se trata de sistemas axiomáticos para la geometría. Pero, cuando se trata de aritmé-tica, y hablamos acerca de números naturales, es obvio —para Russell— que mencionamos "números de carne y hueso" y que nuestro lenguaje ya no es un formalismo vacío. Cuando la enfer-mera le informa al médico que en la sala de espera hay seis clientes esperándolo, está dando una información perfectamente inteligible y que, como toda proposición con sentido, puede ser verdadera o falsa. Es acerca de la aritmética que trata de esos números que Bertrand Russell quiere hacer las cuatro preguntas que antes hemos formulado, y es claro que la posición de Hilbert aquí no cuadra bien.

Desde el siglo XVII hasta comienzos de este siglo ocurrió un proceso conocido como "aritmetización de la matemática". Mu-chos nombres célebres contribuyeron a su realización. Por ejem-plo, el filósofo Descartes y el matemático Fermat descubrieron, como ya hicimos notar, que es posible traducir el lenguaje aritmé-tico al de la teoría de los números reales. Posteriormente, gracias a la obra de Weierstrass, Cauchy, Peano, Dedekind y otros, se vio que el lenguaje que permite hacer afirmaciones acerca de los números reales podía traducirse al de la teoría de los números ra-cionales. Y, análogamente, de éstos se pasa a los números enteros y, finalmente, se arriba a la aritmética de los números naturales. Esta sería la verdadera piedra fundamental de toda la matemática. Si se puede justificarla, toda la ciencia formal de la herencia euclídea quedaría bien construida.

Esta orientación no es formalista ni usa el método axiomático. Por el contrario, parece admitir que los números naturales son entidades, sólo que algunos de estos pensadores consideran que no es posible definirlos. Lo que ocurre es que con ellos es posible "construir" todas las otras entidades matemáticas. Los enteros, por ejemplo, serían clases (de equivalencia) de pares de natura-les, los puntos serían pares o ternas de reales, en tanto las figu-ras estarían caracterizadas por ecuaciones o sistemas de ecua-ciones en el campo de los números reales. Las afirmaciones de la

matemática quedarían justificadas cuando se deducen de las defi-niciones de las "construcciones" y de las propiedades elementales de los números naturales. Para hacer progresar la matemática, es necesario adquirir destreza en las construcciones, y también aprender a construir operaciones y algoritmos con ellas. Y, en cuanto a las relaciones con la realidad, se trata de encontrary ana-lizar los isomorfismos entre las estructuras reales y las construc-ciones matemáticas. Hay algo de pitagorismo en esto, pero en vez de números hay estructuras matemáticas e isomorfismos. Ade-más, claro está, la base es númerica.

Toda esta cuestión plantea dos problemas. Uno, es el sentido de esta reducción. Se aduce con razón, que estos procedimien-tos no definen los números reales a partir de los racionales, por ejemplo, Lo que aquí se hace es verdaderamente una "elucida-ción", es decir, una reconstrucción artificial de los reales mediante entidades y estructuras que poseen propiedades semejantes a las que intuitivamente adscribimos con los reales. Para calcular sería lo mismo, pero desde un punto de vista filosófico podría haber dudas acerca de si hemos "explicado" o "captado" las verdaderas entidades matemáticas. Desde ya, a un filósofo pragmatista o instrumentalista semejante planteo le parecería un disparate; para un formalista hilbertiano no tendría el menor sentido. Si las estructuras construidas proporcionan modelos para los sistemas axiomáticos, eso basta.

El otro problema es más grave. La tal "aritmetización" no es en realidad pura y genuina. Basta examinar todos los pasos dados para ver que se emplea continuamente ia noción de "conjunto". Las cortaduras son pares de conjuntos. Los racionales y los ente-ros son conjuntos de pares. La propia noción de "par" es conjun-tística. Todo esto quiere decir que la matemática se reduce ver-daderamente a una ontología constituida por dos tipos de en-tidades: números naturales y conjuntos. Como se sabe, Frege, Russell y Cantor lograron reducir la noción de número natural y la de número cardinal a la de "conjunto". Esta es la primera ocasión en que advertimos que todo el problema de la fundamentación "constructiva" de las entidades matemáticas se reduce finalmente a la de la teoría de conjuntos. Y éste es el momento en que queda justificada la necesidad de ver qué es realmente esta teoría y cuál es el papel exacto que desempeña en la fundamentación de la ma-temática.

NOTA: El lector notará que a veces hablamos de "la matemática", en singular, y a veces de "las matemáticas", en plural; esto parecería indicar cierta in-consecuencia. No obstante, la primera manera de expresarse debe entender-se como refiriéndose a la unidad metodológica de todo este campo del saber, en tanto que el otro modo toma en cuenta que hay diferentes ramas, teorías, campos y sistemas axiomáticos, como la geometría no euclideana, la topolo-gía, el análisis funcional, etc., etc.

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Los problemas matemáticos en el aula

Prof. María Esther S. de Hernández

Congruencia módulo m en Z. Divisibilidad

1 - Si se conoce el día de la semana en el que se cumple cierto aniversario de un acontecimiento, es posible determinar el día de la semana en que el hecho ocurrió. Por ejemplo:

a) El 9 de julio 1989 fue domingo; establecer qué día de la semana fue el 9 de julio de 1816. (Notar que 1900 no fue bisiesto).

b) Sabiendo cuál es el día de la semana que corresponde a la fecha de su cumpleaños en el año en curso, averiguar en qué día de la semana nació.

2 - Calcular el resto de la división por 11 de los siguientes números:

a) 1,4,42,43, 44 y 45. ¿qué se puede prever teniendo en cuenta las relaciones que se verifican en las sucesiones de restos poten-ciales?

b) 45 ,410,415,420, 425, ...,45n, „ , c) 45n 45n+1

45n+2 45n+3 45n+4 45n+5 d) 4304 4732' 4877 ' e) 11257304', 11257732, 11257877

3 - Se consideran 3 enteros consecutivos, x, (x+1) y (x+2). Probar que hay uno y sólo uno que es múltiplo de 3 y, al menos, uno que es múltiplo de 2.

4 - Probar que si n no es múltiplo de 3, entonces 22n + 2n + 1 es múltiplo de 7.

5 - Demostrar que: si a + 1 = 0 (mód m), entonces a) a2n - 1 =0 (mód m) y b) a2n + 1 + 1 =0 (mód m).

6 - Se considera un número cba de 3 cifras; a designa la cifras

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de las unidades, b la cifra de las decenas y c la de las centenas. Determinar esas 3 cifras en cada uno de ¡os casos siguientes:

1) a = c y el número es múltiplo de 5 y de 3. 2) a = c y el número es múltiplo de 3 y de 11. 3) el número es divisible por 3, 5 y 11. 4) el número es un cuadrado perfecto y es divisible por 3 y por

5.

7 - Sea el número n = mcdu. Probar que el número s = mcdu + udcm es divisible por 11.

Progresiones

8 - En la progresión aritmética 3 23 59, el número de términos que hay entre 3 y 23 es la mitad del número de los comprendidos entre 23 y 59.

Hallar la razón o diferencia, el número de términos y la suma de éstos.

9 - El área de un triángulo rectángulo es 54 m2. Calcular las longitudes de sus lados, sabiendo que están en progresión aritmé-tica.

Logaritmos

10 - Resolver los sistemas a) J x - y = 8

log2x = 7 - log2 y

b) f l o g y ( 9 - x ) = l

logx (y + 9) = 2

{ { GRAGEA

Una "paradoja" sobre el volumen Llamemos volumen de un "cubo" de lado a en un espacio de dimensión n,

al número an; para n=1 el volumen es la longitud a, y para n=2 el volumen es el área a2. Si se elige como unidad de medida una longitud 10 veces mayor que el lado, se tiene a=0,1, y en consecuencia an=(0,1)n, de donde se obtiene que el volumen tiende a 0 al tender n a infinito. Y si se elige como unidad de medida una longitud 10 veces menor que el lado, se tiene a=10, y en consecuencia an=10n, de donde se obtiene que el volumen tiende a infinito al tendern a infinito. ¿Puede serque el volumen tienda a 0 o a infinito según sea la unidad de medida que se tome?. Es interesante examinar qué sucede para n=1, 2, 3...

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Propuesta Didáctica

Rectas, planos, poliedros GUIA DE TRABAJO

Lucrecia Delia Iglesias

1. Tome 12 pajitas de refresco de modo de tener 3 longitudes diferentes y 4 pajitas de cada longitud. Forme un cuerpo como el de la figura articulando las uniones con limpia pas

• ¿Qué aristas se cortan o tienen un punto en común?. Indique todos los pares que encuentre.

• ¿Qué aristas son paralelas?. Indique todos los pares que encuentre.

• ¿Hay algún par de aristas que no tengan un punto común ni sean paralelas?. Indicar todos los pares que encuentre.

2. Tome un par de varillas que le permitan representar las distintas posiciones relativas que pueden asumir dos rectas en el espacio. ¿En qué posiciones resultan coplanares, es decir, perte-necientes aun mismo plano?. Si hace falta, use una hoja de papel firme o cartulina para materializar el plano, mientras otra persona sostiene las varillas en cada una de las posiciones relativas.

3. Averigüe cómo se define:

• un par de rectas incidentes • un par de rectas paralelas • un par de rectas alabeadas

4. Tome una caja y analice las posiciones relativas de los planos de dos caras cualesquiera; numérelas y haga un cuadrado de doble entrada para anotar todas las posibilidades.

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5. Use dos cartones para materializar un par de planos que asumen diferentes posiciones relativas en el espacio: que sean paralelas, que sean incidentes. En este último caso ¿qué tienen en común: un punto, una recta u otra figura?

6. a) Recorte en cartón unacolección de rectángulos, triángulos, etc. como los que indica la figura (cuidando de dejar aletas en cada lado) de modo de disponer de una media docena de cada forma. Flexione cada aleta para que unida a otra usando banditas elásticas permita la construcción de cuerpos (las aletas quedan hacia afuera).

b) Analice cómo estas uniones de dos caras encierran una parte de espacio más o menos amplia según la inclinación de una cara respecto de la otra. Averigüe qué es un ángulo diedro, también un ángulo triedro y un ángulo poliedro. Trate de construir-los con su material. Investigue acerca de sus medidas.

c) Construya una variedad de cuerpos. Registre su descripción del modo más completo posible. ¿Hay alguna relación entre el número de vértices, el número de aristas y el número de caras?. Compare su producción con las de los demás.

ch) Si le piden que use sólo dos caras que sean polígonos ¡guales y que al unirse formen ángulos poliedros iguales ¿cree que cualquier polígono regular sirve para construir un cuerpo en esas condiciones? Si no, explique porqué.

d) Corte dos triángulos equiláteros (con aletas) y trate de formar cuerpos que tengan sus ángulos poliedros iguales. Descríbalos. Compare sus construcciones con las de otros compañeros. ¿A qué conclusiones llegan?. ¿Pueden explicarlas?

e) Repetir con cuadrados (corte los que vaya necesitando). Repetir con pentágonos (corte los que vaya necesitando).

La organización de grupos capaces de interactuar en el curso de estas experiencias y la forma en que sus resultados y conclusio-nes se expongan en el momento de una puesta en común, dependerá de cada aula en particular; lo mismo que la institucio-nalización que cada docente haga para fijar la nomenclatura, los enunciados y los criterios que deben ser recordados.

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91.

Una curiosa multiplicación

Dr. Enzo Gentile

En los tiempos de los Zares, en Rusia, los campesinos del sur del país, utilizando solamente la multiplicación y la división por 2 y la adición, efectuaban la multiplicación de dos números natura-les cualesquiera aplicando el siguiente procedimiento:

1. Construían dos columnas de números encabezadas por los naturales dados; en la primera escribían sucesivamente el duplo del número que tenían arriba y en la segunda la mitad por defecto del número de arriba, hasta llegar a un cociente igual a 1.

2. En una tercera columna escribían las de la 1 - que correspon-dieran -en la misma fila- a impares de la 2a.

3. Sumaban los números de esa tercera columna y el resultado era el producto buscado.

Ilustremos primero con ejemplos:

873 24 1746 12 3492 6 6984 3 6984 3968 1 13968

873 x 24 = 20952

ii) 873 x 26

18

^

873 26 1746 13 1746 3492 6 6984 3 6984

13968 1 13968 873 x 26 = 22698

iii) 873 x 27 873 27 873 1746 13 1746 3492 6 6984 3 6984

13968 1 13968 873 x 27 = 23571

Veamos una demostración de la validez de ese algoritmo. Sean a0 y b0 los factores dados; a,, a2... ar los duplos sucesivos;

b v b2,... br = 1, las mitades por defecto sucesivas y e , e r ... los restos de las divisiones por 2, que sólo podrán valer o ó 1.

Se tienen entonces los siguientes pasos:

V b o = a o ( 2 b i + eo) = 2a 0 b 1 + e0a0

a,- (2b2 + e t) + e0- a o = 2a { b 2 + a^ e1 + a0- e0

= a2- (2b3+ e2) + e • a, + e0- a o - a 3 b 3 + e2-a z + e { a1 + e0- a0

Y en el último paso ar

parabr = 1ye r = 1=a r- er + e r 1 - a r - 1 + ... + e0- a0

El producto entonces es la suma de los múltiplos a¡: a0 • b0 = r X e¡- a. en la que sólo interesan aquellos e. = 1, o sea los que

i = o 1 1

corresponden a b¡ impares. Ilustrando con uno de los ejemplos anteriores, se tiene:

a0 = 873 b0 = 27 V • a0 = 873 eo = 1 2a0 = a, = 1746 13 e1' ' a1 = 1746 e i = 1 2a, = a2 = 3492 b2 = 6 62 •a2 = 0 e2 = 0 2a2 = a3 = 6984 b3 = 3 V ' a

3

= 6984 e3 = 1 2a3 = a4 = 13968 b4 = 1 V ' a

4

= 13968 e4 = 1

a0 • b o = a4 + a3 + a, + a0

O sea 873 x 27 = 13.968 + 6.984 + 1.746 + 873

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La Computación como recurso

Prof. Elena García

Problemas y computadoras

Tal como lo hicimos en el número VII de nuestra revista, presentamos hoy una serie de problemas que pueden resolverse con herramientas elementales de programación, pero que inten-tan incentivar la imaginación y la creatividad de los alumnos en la búsqueda de las soluciones, así como despertar su curiosidad en diversos temas.

Sucesiones

1) Un reloj atrasa una cantidad de tiempo distinta en cada hora, de acuerdo al siguiente cuadro:

hora tiempo atrasado

1 1/2 minuto 2 1/4 minuto 3 2/8 minuto 4 3/16 minuto 5 5/32 minuto 6 8/64 minuto

n f(n)/2n minutos

Donde f(n) es el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci, en la cual:

f(1) = 1 f(2) = 1 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) si > 3

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Se coloca en hora el reloj, ¿cuántos minutos atrasará al cabo de 24 horas?

Límite de sucesiones

2) Calcular:

^ 6 + + V s + V 6 + ...

Tenemos que determinar el límite de la sucesión S definida así:

Analicemos sus primeros términos: s 0 = o

52 = v t e + S 1 = a/6+ V g

53 = J 6 + S 2 =

Sn = V 6 + S n - 1

Desarrollaremos un algoritmo para calcular los distintos térmi-nos de la sucesión dando por terminado el proceso cuando dos elementos consecutivos resulten ser iguales.

Acción "Calculando el límite" es

inicio

TERMINO 0; SIGUIENTE < - V 6 ;

'mientras (SIGUIENTE-TERMINO) * 0 hacer TERMINO SIGUIENTE SIGUIENTE < - V 6 +TERMINO

f mientras; emitir TERMINO

fin

21

Como cada término se calcula en base al anterior sólo necesi-tamos dos variables: TERMINO que contiene un término de la sucesión, y SIGUIENTE donde calculamos a su siguiente. Al encontrar dos términos consecutivos iguales interrumpimos el ciclo iterativo y emitimos el valor de TERMINO como límite buscado.

3) Generalice el algoritmo de modo tal que le permita calcular:

•J a + J~a + V a+ V a + (1)

y escriba el correspondiente programa. Calcule los correspondientes límites para

1) a = 2 2 ) a = 12

¿Siempre el límite será un entero? Pruebe con a = 3. 4) Encuentre por lo menos otros cuatro naturales menores que

100 para los cuales el límite de (1) sea un entero. 5) ¿qué pasa si considera raíz cúbica? Encuentre todos los naturales menores que mil para los cuales:

im sea entero

6) Determine todos los naturales menores que 100 que pueden escribirse como producto de dos naturales consecutivos.

Determine todos los naturales menores que 1000 que pueden escribirse como producto de tres naturales consecutivos.

7) Compare los resultados obtenidos en 2) y 3).

Divisibilidad

Un entero positivo se dice "perfecto" si resulta igual a la suma de sus divisores naturales menores que él.

Por ejemplo:

6 es un "número perfecto" pues 6 = 1 +2 + 3

también 28 es perfecto pues 28 =1 + 2 + 4 + 7 + 14.

8) Determine todos los números perfectos de 1,2, 3 y 4 cifras.

22

Fracciones

Ciertas fracciones pueden escribirse como suma de otras dos de numerador uno.

Por ejemplo:

11 = 1 + 1 30 5 6 1 = 1 1 2 3 + 6

9) Desarrolle un programa para que dada una fracción la descomponga, si fuera posible, como suma de otras dos de numerador 1 (uno).

Algunas fracciones admiten más de una descomposición de este tipo:

Í_L 4 + ! 36 4 +

7 1 = 9 + .36

1 = 9 +

5 1 i 1 360 360 i 90 5 1 + 1

360 180 + 120 5 1 + 1

360 144 + 144

10) Modifique el programa anterior para que encuentre todas las descomposiciones posibles de este tipo para la fracción ingresada.

11) Considere las fracciones 1 , 1 1 1 ...

¿Cuál es el menor denominador para el cual la fracción puede descomponerse en la suma de dos fracciones de numerador uno, al menos de cuatro maneras distintas?

12) Considere las fracciones 1 , ...

¿Cuál es la menor fracción de este tipo que puede descompo-nerse como suma de dos fracciones de numerador uno, por lo menos de tres manera distintas?

23

'Números persistentes"

Multipliquemos los dígitos que conforman el entero 432:

4 * 3 * 2 = 24

Multipliquemos los dígitos que conforman el entero 24:

2 * 4 = 8

4 * 3 * 2 2 * 4 432 24 8

Necesitamos dos productos para llegar desde 432 a un entero de un dígito; decimos entonces que 432 tiene "persistencia" 2.

1231 tiene "persistencia" 1 (uno) pues

1 * 2 * 3 * 1 1231' "

96 tiene "persistencia" 3 (tres) pues

9 * 6 5 * 4 2 * 0

96 54" 20 0

13) ¿Cuál es el número natural menor que 100 cuya persisten-cia es mayor que 3 (tres)?

14) ¿Cuáles son los menores naturales de persistencia 2, 3, 4 y 5 respectivamente?

Y seguimos descomponiendo números en los dígitos que los conforman.

15) Trabajando con los enteros de 0 a 1000.

¿Qué enteros resultan ser iguales a la suma de los cubos de sus dígitos?

¿Y cuáles resultan iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos?

16) El propietario de una flota de camiones decidió identificar a cada vehículo con un número menor que 500. Eligió sólo los números cuyos cuadrados terminaran precisamenté en ese número. Por ejemp cuadrado de 6 es 3

o a un camión lo identificó con 6 pues el

24

¿Cuántos camiones forman la flota? ¿Cuáles son sus nú-meros?

Bibliografía

- "Juegos matemáticos de ingenio en Basic"de Snover y Spikell. - "Algebra recreativa" de Perelman.

Noticias

Próximos Congresos en Educación Matemática

ICOTS-3. Tercer Conferencia Internacional sobre enseñanza de la estadística. Tendrá lugaren Dunedin, NuevaZelandiadel 19 al 24 de agosto de 1990. Detalles sobre el mismo pueden solici-tarse a Mrs. A.S. Hawkins, Centro para la Educación Estadística, Instituto de Educación, Universidad de Londres, 20 Bedford Way, Londrs WC1H OAL.

_ 12 Congreso Iberoamericano de Educación Matemática Sevilla, España, Setiembre 1990. Informes a G. Sánchez-Vásquez 41012. Sevilla. Calle Jucor6, España.

Segundo Simposio de Educación Matemática. Dirección: Dr. Elfriede Wenzelburgen, Coordinadora de la

Maestría en Educación en Matemática. Oficina Administrativas, 1e

Piso Av. Universidad 3000, México D.F., Código Postal 04510.

Las actividades de este Simposio estarán centradas sobre propuestas de cambios en la curricula de matemática en diferen-tes países.

25

El pequeño Teorema de Fermat (Continuación)

Dr. Enzo R. Gentile

Una forma conceptual de demostrar el teorema de Fermat es la siguiente.

Sea a un entero coprimo con p, o sea p/fa. Formemos los p-1 números: (1) a, 2a, 3a, ..., (p-1).a

Se afirma que los restos de la división de esos números por p, son exactamente 1, 2 p-1 . salvo una permutación (o sea, son los mismos restos pero no respectivamente). Por ejemplo s i p = 5 y a = 8 s e tienen los números 8,16,24,32, y los restos en la división por 5 son respectivamente

3 ,1 ,4 ,2 Para probar la afirmación de más arriba notemos que el resto

0 no puede aparecer en la sucesión (1) dado que si p I i . a, 1 < i < p-1 entonces p I i o p I j, pero ninguna de esas cosas puede ocurrir. Además, dos elementos distintos de (1) producen restos distintos. En efecto, si ia y ja producen el mismo resto, con 1 < i < j < p-1 entonces (j - i) . a es divisible por p y por idéntico razonamiento al precedente se llega a que j - i debe ser 0 o sea j = i.

Es claro ahora que a . 2a . 3a ... (p-1) a s 1 . 2 . 3 . . . (p-1) (mód p)

es decir aP"1 . 1 . 2 . 3 . . . (p-1) = 1 . 2 . 3 . . . (p-1) (mód p)

y siendo 1 . 2 . 3 ...(p-1) coprimo con p se puede cancelar en ambos miembros de la congruencia, para obtener el

PTF: a?-1 s 1 (mód p).

Es interesante notar que la recíproca del Teorema de Fermat no es cierta.

O sea, dado n natural con la propiedad que para todo entero a se verifica que an =a (mód n), no se sigue (en general) que n sea primo. En efecto, R. D. Carmichael descubrió en 1909 el menor entero no primo con esa

26

propiedad, a saber, n = 561 =3 .11 .17. En efecto, dado a entero habrá que probar que a561 - a es divisible por 3, por 11 y por 17. Por aritmética elemental se seguirá que a¿61 - a es divisible por el producto 3.11.17=561. Debemos pues analizar separadamente esos casos. Observemos que siempre podemos restringirnos a los coprimos con 3,11 y 17, dado que si por ejemplo 31 a entonces obviamente 31 a561 - a.

Por Fermat sabemos que a2 =1 (mód 3) o sea a560 =1 (mód 3), es decir

a561 = a (mód 3) a10 =1 (mód 11)o sea a560 = 1 (mód 11), es

decira561 =1 (mód 11) a16 = 1 (mód 17) o sea a560 =1 (mód 17), es

decir a561 =a (mód 17)

Por lo tanto hemos probado nuestra afirmación. Números como 561 se denominan pseudoprimos o números de Carmichael. Otro ejemplo es 1729 = 7 . 13 . 19. No se sabe si hay infinitos pseudoprimos. Es posible probar que un tal número es necesaria-mente producto de primos distintos.

El Teoremade Fermat provee un criterio bastante efectivo para analizar la no primalidad de un entero positivo n. Es claro que si n no es primo hay valores O < a < n tales que an 1 é 1 (mód n). Precisamente este criterio sirve para probar la no primalidad del

2 número de Fermat 2 + 1. En una carta que escribió en 1640 al monje francés Marin Marsenne, Fermat conjeturaba la primalidad

m 2

de números de la forma2 + 1, pero decia que no podía probarlo para m = 5. Precisamente en ese mismo año Fermat anunciaba su teorema!. El número 232 + 1 tiene 10 cifras decimales, es, en efecto

32 232 + 1 = 429467297. Podemos calcular 32 elevando 32 veces al cuadrado: 32, (32)2, ((32)2)2,... para obtener modulo 232+ 1, el valor 3029 o 26160, lo cual dice bien que 232 + 1 no es primo. Fue Euler quien probó la no primalidad de 232 + 1 descubriendo que 641 era un divisor de este número.

Dejamos a cargo del lector llevar a cabo esta verificación utilizando la siguiente expresión: 641 = 5 . 27 + 1 = 54 + 24.

El PTF es particularmente útil en el diseño de sistemas de encriptación de clave pública. Demos alguna idea de esto.

Sean p y q primos distintos, digamos p < q y sea n = p . q. Denotemos con <¡> (n) al producto (p -1). (q -1). Sea e un entero

tal que q < e <n y además e es coprimo con <{>(n). Por ejemplo cualquier número primo e, con q < e <n sirve a este fin. Puesto que

27

e es coprimo con ((> (n) se sigue de la teoría elemental de con-gruencias que existe un entero d, 0 < d < n, tal que e.d=1 (mód <j) (n)). Según el PTF si a es un entero coprimo con p y q se verifica que

ap1 =1 (mód p) y aq-1 = 1 (mód q).

Consecuentemente deducimos que si a es coprimo con p y q entonces ,

=a(p-i).(q-i)^-| (mód n) Puesto que e . d (mod <¡> (n)) se tiene 1 = e . d + h (n). Por

lo tanto a = a1 = a e d . a ^ ; = aed (mód n)

si a es coprimo con n. En la encriptación de clave pública se publica e y n, pero se

mantiene en secreto p, q y d. Supongamos queremos codificar un mensaje. Utilizando la

correspondencia: A -»00, B —>01, ..... Z ->25 convertimos un mensaje en letras en un número M. Partimos el número M en bloques de igual longitud M v ..., Mk tal que cada bloque representa un número menor que n, coprimo con p y q.

Efectuamos ahora para cada i, M® = E (M.) (modn) con 0 < E (M¡) < n

La sucesión E (M,),..., E (Mk) es dada entonces a publicidad. El receptor descifra el mensaje efectuando la operación inver-

sa E (M¡)d = M®d = M¡ (mód n)

y reconstruye asi el mensaje. Para seguridad del sistema es conveniente tomar por ejemplo

p y q primos muy grandes, con por lo menos 100 dígitos. Luego n p . q tiene aproximadamente 200 dígitos y el tiempo de factorización, como lo señalamos anteriormente, insumiría unos 3 .8 x 109 años de operación. Otras condiciones sobre p y q hacen aún más difícil quebrar este código. A la referencia del Scientific American agreguemos un artículo aparecido en The College Mathematical Journal, Vol. 18, N° 1 (1987) que es una publica-ción de la Mathematical Association of America.

La generalización del PTF hecha por Euler se hace para todo n eN utilizando la llamada función de Euler 0(n).

0 (n ) : = número de enteros k tales que 1< k < n y (n,k) = 1

Por ejemplo: 0(1) = 1 0 (2) = 1 0(3) = 2 0(4) = 2 0(5) = 4 0 ( 6 ) = 2

28

0 (7) = 6 0(8) = 4 0(9) = 6 0(10) = 4 0(11) = 10 0(12) = 4

Notar que si p es primo positivo entonces 0(p) = p-1. Ei Teorema de Euler (también llamado de Euler - Fermat)

establece que si n es natural, entonces para todo entero a, coprimo con n, se verifica

a0 (n ) = 1 (módn) Si en particular n = p es primo se tiene 0(p) = p -1 y se obtiene

el teorema de Fermat. La demostración de este resultado es enteramente análoga a

la del teorema de Fermat. Si (a,n) = 1 y r, r0 ( p )

es la totalidad de restos positivos módulo n, coprimos con n, entonces

a. rv . . . ,a . r 0 ( n )

producen exactamente los mismos restos. Por lo tanto n . r. = n . a . r. (módn)

i i i i x '

IT. r. = a0 (n ) . IT. r. (módn)

y cancelando n . r. resulta a0 ( n ) s 1 (módn)

El problema que se plantea ahora es el cálculo de la función 0(n). Afortunadamente esta función tiene propiedades interesan-tes que hacen muy fácil su cálculo. La propiedad fundamental de la función 0es la de ser una función "multiplicativa", o sea

(2) (n,m) = 1 0 (n . m) = 0 (n ) . 0(m)

Por lo tanto reduce el cálculo de 0(n) al caso en que n es una potencia de un primo : n = pm. Es fácil ver que si p es primo entonces 0(pm) = pm"1 . (p-1).

En efecto, notemos que los enteros k, 1 < k < pm coprimos con pm son exactamente los k, 1 < k < pm con p>k. Los k, 1 < k < pm

divisibles por p satisfacen

k = p . t con p < t . p < pm

por lo tanto t recorre los enteros de 1 a pm_1. Hay pues pm"1 enteros k, 1 < k < pm divisibles por p. Por lo tanto

0(pm) = pm - pm"1 =pm"1 (p-1).

Probemos (2). Sea H la totalidad de restos módulo n coprimos con n . H tiene exactamente 0 (n) elementos. Análogamente definimos J con respecto a m y L con respecto a m . n. Formemos el producto cartesiano H x J que tiene 0(n). 0(m) elementos.

29

Definimos una aplicación L H x J por x -> (resto x mód n, resto x mód m)

Notar que esta función está bien definida, dado que (x, m . n) = 1 => (x,n) = (x,m) = 1

La propiedad (n,m) = 1 implica que esa aplicación es inyectiva. Utilizando la Proposición que sigue al ejemplo 4., se sigue que la aplicación es sobre. Por lo tanto concluimos que

0(n.m) = 0(n). 0(m).

A manera de ejemplo de aplicación del Teorema de Euler calcularemos las tres últimas cifras del desarrollo decimal del número 7 " " , que tiene 8451 cifras.

Si escribimos 7 " " = ak . 10k + ... + a2 . 102 + a1 . 10 + a0

0 < a, < 10 se trata de calcular los tres dígitos a2, av a0o sea el número a2av a0. Es claro que a2 a1 a0 no es otra cosa que el entero a que satisface

9999 7 = a (mod 1000)

0 < a<1000 Calculemos 0(1000). Se tiene

0 (1000) = 0(53.8) = 0(53). 0 (8) = 25. 4. 4 = 400. Se sigue del Teorema de Euler que 7400 = 1 (mód 1000). Por ío

tanto dado que 9999 = 400 . 24 + 399 se tiene

79999 = ( 7 4 0 0 ) 24 J399= J399 (mód -| Q00)

Como 7400 = 1 (mód 1000) se sigue que 1 = 7399. 7 (mód 1000), y debemos resolver la ecuación 7. x = 1 (mód 1000) o equivalen-temente la ecuación 7 . x = 1001 (mód 1000).

Pero 1001 es divisible por 7:1001 = 7.143. Por lo tanto x = 143.

Se concluye que

79999 s 7399 = 1 4 3 ( m ó d 1 0 0 0 )

El desarrollo decimal de 79999 termina en 143. Ejercicio para el lector: Sea n natural impar. Probar que n! 2n! -1 .

30

Congruencia módulo m en Z (Continuación)

Prof. María Esther S. de Hernández

IV. Leyes de composición en Zm.

Una de las clasificaciones de los números enteros más cono-cidad desde tiempos remotos es la de pares e impares. Ella no es sino, desde el punto de vista actual, que la partición de Z por la relación de congruencia módulo 2. Los pares son los enteros que divididospor 2 dan resto 0 y los impares los que dan resto 1.0 sea, los pares constituyen la clase del 0 y los impares la clase del 1, módulo 2.

También son conocidas las leyes relativas a la adición y la multiplicación

El conjunto de los pares es cerrado para la adición y para la multiplicación mientras que el de los impares sólo lo es para la multiplicación.

Dichas leyes pueden considerarse no sólo como propiedades de los enteros sino como las definiciones de dos operaciones que también se llamarán adición y multiplicación, respectivamente, en el conjunto cuyos elementos son dos: un objeto llamado par y otro llamado impar. Tales objetos son factibles, a su vez, de asimilarse con los dos enteros o clases residuales módulo 2, determinados por los restos 0 y 1. Estos dos restos se pueden sumary multiplicar del modo usual en Z y reemplazar luego cada resultado por su resto módulo 2. Esta operatoria queda representada en los si-guientes cuadros, en los que se advierte que Z2es cerrado para ambas operaciones.

0 = { . . . - 6 , - 4 , - 2 , 0,2, 4, 6,.. .} 1 = { . . . - 5 , - 3 , - 1 , 1 , 3 , 5 , 7 , . . . }

par + par = par impar + impar = par par + impar = impar

par. par = par impar. impar = impar par. impar = par

31

1 1 0 T 0 T tabla de la adición en Z2 tabla de la multiplicación en Z2

Vemos así como un conjunto fmito Z2, de dos elementos, queda algebrizado por la introducción de estas dos leyes de composición internas.

Este criterio puede extenderse al conjunto finito Zm, de m elementos, para cualquier entero positivo m, es decir, sumar y multiplicar clases residuales o enteros módulo m, operando con enteros representantes de ciases y de modo que el resultado sea también elemento de Zm.

Para que las nuevas operaciones sean, efectivamente, leves de composición interna, como lo son las homónimas en Z, debe garantizarse, además, la unicidad del resultado, o sea que éste no depende de los representantes elegidos.

Definición 5. Se llama suma de dos clases residuales módulo m a la clase módulo m de la suma de dos enteros cualesquiera pertenecientes a las dadas.

Definición 6. Se llama producto de dos clases residuales módulo m a la clase módulo m del producto de dos enteros cualesquiera pertenecientes a las dadas.

La estabilidad demostrada como propiedad 4 asegura que el resultado no depende de los representantes elegidos. En efecto: sean a, b e Z m y los representantes a y b.

Entonces: a + 5 = a+ b y a . 5 = aTb

Si se eligen otros representantes a 'ea y b' e 5 resulta

a' = a (mód m) y b' = b (mód m). Por la estabilidad citada

a' + b' = a + b (mód m) y a'. b' = a . b (mód m) Por lo tanto a' + b' = a + b y a'. b' = a . b.

Lo usual, entonces, es tomar como representante de cada clase al resto respectivo por ser el menor entero positivo que pertenece a la misma.

Así en Z5

2 + 4 = 1" pues 2 + 4 = 2 + 4 = 6 y 6 s T ( m o d 5 )

32

en Z6

5 . 4 = 5 pues 5 . 4 = 2 . 4 = 8 y 8 = 2 ( m o d 6 )

El anillo Zm. De acuerdo con lo anterior, quedan definidas en Zm, dos leyes de composición que se llaman adición y multiplica-ción en Zmque a cada par de elementos de Zm les hacen correspon-der, respectivamente, el elemento suma y el elemento producto que hemos definido. Estas leyes de composición tienen propieda-des análogas a las de las homónimas en Z.

Así (Z , +, .) es un anillo conmutatitvo con unidad; o sea, se verifican las siguientes propiedades:

Adición

A r es ley de composicion interna en Zm

3 , 5 e Z m = > 3 + 5 = a + b e Zm

A2 es conmutativa 5 + 5 = 5 + 3 A3 es asociativa(3 + 5 ) + ü = 3 + (5 + ü) A 4 existe neutro ("cero" o nulo)

V 3 e Zm: 3 + Ü =Ü + 3 = a A5 existe opuesto: V 3 e Zm existe

- (3) e ZTO: 3 + [ - (3)1 = [ - (3)1 + 3 = 0

Multiplicación

M f es ley de composicion interna en Zm

3, 5 e Zm => 3 . 5 = 3 . 5 e Zm

M2. es conmutativa 3 . 5 = b . a M3. es asociativa(3 . 5). ü = 3 .(5 .c) M4. existe neutro ("uno" o unidad)

V 3 e Zm : 3 . T = T . 3 = 3 M5. es distributiva respectode la adición

(3 + 5). ü = 3 . ü + 5 . ü

El opuesto dea, o sea -(a) no es sino -a que es m-a. Si m es par, el elemento es opuesto de sí mismo.

La demostración de estas propiedades es inmediata; queda a a cargo del lector.

Por cumplirse las propiedades A1( A2, A3, A4 y As> (Zm, +) es grupo aditivo conmutativo; por cumplirse, además M1f M3 y Ms, (Zm, +,.) es anillo y con el agregado de M2 y M4, (Zm, +,.) es anillo conmutativo con unidad.

Por simplicidad, al referirnos al (Zm, +) o a (Zm, +,.) diremos el grupo Zm o el anillo Zm por estar bien determinadas las leyes de composición relativas a una u otra estructura.

Por ser el grupo Zm un grupo aditivo, queda definida la sustrac-ción u operación inversa de la adición como ley de composición interna en Zm. En efecto: la ecuación F + x = a"tiene siempre solución en Zm, pues sumando a ambos miembros el opuesto de b resulta

x~= a + (-b) y esta solución está en Zm pues la adición es L.C.I. en el conjunto.

Definición 7. Dados los enteros de módulo m, a y 5 se llama diferencia entre a y Id, en ese orden, y se indica a - "5" al entero módulo m que se obtien^sumandoja "ael opuesto de"5".

Por ejemplo, en Z6: 2_- 4_= 2+ (-_4) y_como -(4) = 6 - 4 = 2 resulta 2 - 4 = 2 + 2 = 4

También se cumple la propiedad cancelativa de la adición, como en todo grupo aditivo, a saber:

"a +~5 = a + c =>15 = c

Nota: La propiedad cancelativa de la multiplicación, en cambio, no se cumple siempre. Esto se debe aque la existencia de inverso multiplicativo de los elementos no nulos de Zm, depende de m, es decir, en general Zm no es cuerpo.

Más adelante se verá que condición debe verificarse para que lo sea.

Estudiaremos a continuación algunos anillos Zm particulares, a través de las respectivas tablas de operaciones.

lnd¡caremosZ*mal conjunto de los elementos no nulos de Zm.

34

Estudio de Z2. Como se ha visto al comienzo de este capitulo:

2 2 = {<5,T} Las tablas de la adición y multiplicación_se han dado también

anteriormente y de ellas surge que -(1) = 1.

Siseconsidera Z*2 = {T} se observa que el único elemento de Z*p tiene a sí mismo como inverso multiplicativp pues 1 .1. = 1

Entonces Z2es grupo aditivo conmutativo y e s grupo multi-plicativo conmutativo ¡además la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. Portales razones

Z2 es un cuerpo conmutativo

Estudio de Z3 Z3 = { D , T , 5 } y lastablasson

Z*3 = { 1 ,_5 } y ambos elementos tienen inverso multiplicativo: el de 1 es 1 y el de 2 es 2. En estas condiciones: 2L es cuerpo conmutativo por ser Z3grupo aditivo conmutativo, Z^ grupo mul-tiplicativo conmutativo y cumplirse ladistribuitividad que relaciona a ambas leyes.

Estudio de Z4. Z 4 = {0, T, 5, 3}

+ 0 T 5 3 0 1 5 3 ü 0 T 5 3 0 0 Ü 0 0 1 T 5 3 0 1 0 1 5 3 5 5 3 0 1 5 0 5 0 5 3 3 0 1 5 3 0 3 5 1

Se observa que en {1,2,3} el inverso de 1 es 1, el de 3 es 3, pero 2 no tiene inverso. Por lo tanto Z4 no es cuerpo.

Además se observa que 2.2 = 0 lo cual se expresa diciendo que 2 es divisor de cero en Z.. Entonces: Z, es un anillo conmutativo

4 4 con unidad y con un divisor de cero.

En general: Si A es un anillo y a e A, se dice que a es un divisor deceroenA sii a * 0 y existe beA tal que b * 0 y ab = 0.

35

El anillo Z de los enteros es un anillo sin divisores de cero pues si a * 0 y b necesariamente ab*0.

Un anillo sin divisores de cero se dice que es un anillo íntegro o un anillo de integridad.

Queda a cargo del lector efectuar un estudio análogo de Z5 y de Z6; del mismo surgirá que en Z5 no hay divisores de cero, mientras que en Z6 el 2, 3 y 4 son divisores de cero.

Observando las tablas de multiplicación en Z2 y en Z3 se verá que no existen en ellos divisores de cero.

Luego: Z2, Z3y Z5 son anillos de integridad; Z4 y Z6 no lo son. De estos dos ejemplos puede surgir un indicio acerca de la condición de integridad del anillo Zm

Propiedad 6. Una condición necesaria y suficiente para que el anillo Zm sea íntegro es que m sea primo.

Probaremos primero que si m es primo, Z ^ o admite divisores de cero, o sea si a_. b_= 0 entonces a = 0 o b = 0.

En efecto: si a. b = 0, entonces ab = 0, es decir ab = km. De aquí resulta que m | ab. Pero: si un número primo divide a un producto de dos factores, necesariamente divide a uno de éstos. Entonces

m | a o m | b , es decir a es múltiplo de m, o b es múltiplo de m, o sea: a = 0 o b = 0.

Recíprocamente, si Zm es íntegro, entonces m es primo. En efecto: si m no es primo, admite al menos un divisor estricto m,, es decir

m = m m con m é{1, - 1, m, - m} (1) Entonces

0 = fn1 fh2 , y como Zm es integro debe ser TTi = Ü o Tft = ü

Si m1 =Ü, existe k eZ tal que m1 = km. Reemplazando en la igualdad (1): m = k . m . m2, de donde km2 = 1, es decir k = 1 o k = -1 (los únicos enteros inversibles son 1 y -1) y por lo tanto m1 = m o m1 = -m lo cual contradice la condición (1).

Análogamente si ~m2 = 0 se llega a la contradicción de que m1 = 1 o m1 = -1.

Luego: m es primo.

Propiedad 7. Una condición necesaria y suficiente para que el anillo Zm sea íntegro es que se cumpla la ley cancelativa de la multiplicación en Zm.

36

Probaremos primero que si Zm es íntegro, a 5 = a c A a * Ü = > 5 = c en efecto

de a.b = a c resulta já (b - c) = 0 y como Zm es íntegro y a =¿0, necesariamente esTT- c = 0 o seaB ="c.

Recíprocamente, veremos que si se cumple la propiedad can-celativa de la multiplicación, Zm es íntegro. En efecto:

si aT5 = 0 deberá ser"a =TJ o"5 = 0 . Supongamos que a ¿ 0

La primera igualdad puede escribirse a ."5 = "a. 'frcon'a ¿ H Por ley cancelativa:

b = Ci" Observación 1. En la teoría de las estructuras algebraicas se

demuestra que "una condición necesaria y suficiente para que un anillo A sea íntegro es que se cumpla la ley cancelativa de la multiplicación en A". Resulta así que la propiedad 7 se refiere aun caso particular de esa propiedad general y, por lo tanto, su demostración sería innecesaria en aquel contexto. No obstante y según nuestro propósito de encuadrar el estudio de los anillos Zmen el marco más elemental posible, se ha dado la correspon-diente demostración sin otros recursos que los que se han desarrollado en esta nota; demostración que, por otra parte, sigue el mismo lineamiento que el de la propiedad general citada.

El cuerpo Zm con m primo. Vimos que para cualquier entero m > 0, Zm es anillo conmutativo con unidad, pero que no siempre se cumple la propiedad que falta para completar la estructura del cuerpo, o sea la de que los elementos no nulos tengan inverso multiplicativo. Probaremos que dicha propiedad se cumple si y sólo si m es primo, o sea si y sólo si Zm es anillo íntegro.

Partiendo de que m es primo, probaremos que Zm es cuerpo. Si m es primo, Zm = {0 , T, 5 , . . . , m - 1} es dominio de inte-

gridad, finito, de m elementos. Hay que llegar a que todo elemento de (ZJ* tiene inverso multiplicativo en el conjunto.

Sea r. e (Zm)* = {T, 5 m~1> Multiplicando a r¡ por cada uno de los m -1 elementos de (ZJ*

se obtienen m -1 productos y cada uno de ellos pertenece a (ZJ* pue_s Zm es íntegro. Esos productos son todos distintos pues sí r ^ U I ) .

y r . r. =T~. r h , la validez de la cancelación en Zm asegura que _7 = 7h (contradicción con (1))

Por lo tanto7¡ r.

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Entonces entre los m - 1 productos distintos que dan por resultados_elementos de (ZJ* debe haber uno igual al, o sea, existe un r e í z ^ tal que

O sea, existe r que es inverso multiplicativo de r¡ y está en el conjunto.

Se tiene entonces que (Zm, +) es grupo aditivo conmutativo, ( (ZJ*, . ) es grupo multiplicativo conmutativo y que la multiplica-ción es distributiva con respecto a la adición, o sea Zm es cuerpo y, además, conmutativo.

Recíprocamente, si Zm es cuerpo , m es primo. Basta probarque si Zm es cuerpo, entoncers es anillo íntegro (no tiene divisores de cero).

Sea a .15. = T), entonces deberá ser a = 0 o"5 = 0 Si a¿TT, atiene inverso multiplicativo, puesZm es cuerpo, que

indicamos (5)1. Multiplicando a ambos miembros de la igualdad anterior por (a)1:

(a)-1.a.F=0~ osea T ."5 = Ü", es decir T5"="ü Entonces Zm es íntegro y por lo tanto m es primo.

Observación 2. Cabe destacar que lo anterior también es un caso particular de la propiedad general que afirma que "todo dominio de integridad finito es un cuerpo". Vale, a este respecto, todo lo dicho en la Observación 1.

Notemos, de paso, la importancia del subrayado: el conjunto Z de los enteros es un dominio de integridad, pero no es finito y no es un cuerpo.

Los enteros como dominio de operadores de Zm. En un anillo cualquiera A cuyo elemento nulo se indica 0, se define una ley de composición externa con operadores en Z. Se llama producto de un entero n por un elemento a e A y se indica na, al elemento de A tal que

na = a + ...+ a si n > 0 n

na = 0 (nulo de A) si n = 0 na = - [(-n) a] si n < 0

Por ejemplo, en el anillo Z7 4_."3 = 3 + 3 + 3 + 3 =_5 e_Z7 (-2). 6 = -(2.6) = -(12) = -5 = 2 e Z7

Obsérvese que si u es el "uno" o unidad de A, el producto n . u

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no es, en general, igual a ru Puede ser n . u = 0 con n 4 0 Por ejemplo, en Z4: 4 . 1 = 0 El menor entero positivo n tal que n . u = 0 se llama caracte-

rística del anillo A. Si no existe, se dice que la característica es infinita.

Así, Z4 es de característica 4 como se_ha visto_en el ejemplo Z2 es de característica 2 pues 2 . 1 = 1 + 1 = 0 Z es de característica infinita, o sea no existe un entero

positivo n tal que n . 1 = 0 (como Z es anillo íntegro, debe ser n = 0).

Análogamente el anillo (o el cuerpo) de los reales es de característica infinita.

Bibliografía

ENSEÑANZA EFECTIVA Comité para la enseñanza DE LAS MATEMATICAS de las matemáticas

de nivel universitario. Grupo Editorial

Iberoamérica, 1989

El libro expone un conjunto de sugerencias elaboradas por el comité para la enseñanza de las matemáticas de nivel universita-rio, dependiente de la Asociación Matemática Norteamericana.

Es importante destacar que estas sugerencias se basan en el supuesto de que "el dominio de las técnicas de enseñanza sin un dominio de la matemática no dará como resultado una instrucción eficaz".

Las ideas que se ofrecen están basadas en el modelo de clase tradicional para la enseñanza de la matemática; por esta razón la estructura general contiene lo que la mayoría de los lectores esperarían.

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Paradoxes in probability theory and mathematical statistics

G. L. Szekely - Akademai Kiadó, Budapest 1986

Este libro ofrece una invalorable colección de paradojas en la teoría de probabilidades,planteadas en forma amena e inmersas en su con-texto histórico, por lo que resulta ampliamente recomendable para todos aquellos dedicados a la enseñanza de la teoría de probabilidades y es-tadística desde los niveles más elementales.

A fin de apreciar el desarrollo con que cada paradoja es narrada en el texto expondremos la denominada paradoja de la división:

a) Historia de la paradoja Esta paradoja fue publicada por primera vez en Venecia en 1494 por

Fra Luca Pocciolo (1445-1509) en su libro "Suma de aritmética, geome-tría, proporciones y proporcionalidad", aunque recientemente se ha en-contrado un manuscrito italiano de 1380 donde también es mencionada. Pese a su edad el problema demoró bastante en ser correctamente re-suelto; cabe señalar una solución incorrecta de Nicolás Tartaglia. Final-mente Pascal y Fermat dieron independientemente la respuesta en 1654, designándosele tal importancia a este descubrimiento que esta fe-cha es considerada como la del nacimiento de la teoría de probabilidades.

b) La paradoja Dos jugadores juegan a un juego equilibrado; esto es, cada uno de

ellos tiene la misma chance de vencer. Ambos han acordado que el primero en ganar seis "rounds" obtendrá el premio establecido. Supon-gamos, sin embargo, que el juego se detiene antes de que alguno de ellos gane los seis "rounds" (por ejemplo cuando el primero venció cinco y el segundo tres). ¿Cómo se realiza una división equitativa del premio? Uno de los requisitos fue dividir el premio en la razón 5:3 (proporciona-lidad con la cantidad de "rounds" ganados). Tartaglia sugirió la razón 2:1 (quizá pensando que el primer jugador había vencido en dos rounds más que el segundo, que es un tercio de los seis rounds necesarios, de modo que el primer jugador se acredita un tercio del premio y el resto se divide mitad y mitad).

Más allá de estas respuestas que aparecieron históricamente, la razón correcta es 7:1 que difiere sustancialmente de los primeros resultados. c) Explicación de la paradoja

Ambos, Pascal y Fermat lo consideraron como un problema de cálculo de probabilidades. De tal modo, una división equitativa debe ser proporcional a la chance que el primer jugador tiene de vencer al segundo.

Observemos que el primer jugador necesita solamente vencer un round para ganar el premio, mientras que el segundo necesitó tres. Si continuamos el juego por tres rounds más, existen ocho posibles secuencias de resultados y solamente uno de ellos conduce al segundo jugador a la victoria (cuando vence los tres rounds) mientras que en los otros siete casos vence el primero; por lo tanto la proporción de distribución del premio es 7:1.

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