Integral definida: definición

• La integral definida se define como:

• Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b].

• a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

Área como límite de una suma

• Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo[a; b].

• Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular

El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = f(b) – f(a)

Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo ...

n = 3 rectángulos

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

Interpretación geométrica de la integral definida

b

a

dxxfÁrea )(

altura

ancho

Suma desde “a” hasta “b”

Ejemplo 2

¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”?

f(x) = 2x

0 2

R

Forma 1: Base*altura/2

2*4/2=4 u2

Forma 2: integral definida

2222

0

22

0

402)2( uxdxx

Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida:

a

bdxxfA )(

Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos?

Analicemos los siguientes ejemplos…….

Ejemplo 3: área debajo del eje X

La altura no puede ser negativa

b

a

dxxf )(Respuesta:

Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X

c

a

dxxf )( La altura no puede ser

negativa

b

c

dxxf )(

Respuesta:

Ejemplo 5: área entre dos curvas

¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico?

Si se sabe que: )()( xgxf bax ,

Ejemplo 5 (recordando..)

El área bajo la curva f(x) es…

El área bajo la curva g(x) es…

Ejemplo 5

Respuesta:

b

a

dxxgxf )()(

Aplicaciones de la Integral Definida

1. Excedente del Consumidor

2. El Excedente del Productor

3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de

reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresa

Aplicaciones de la Integral Definida

4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro

ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda

Una curva de demanda resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.

Una curva de demanda refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los

consumidores, ante determinados precios.

Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de

parte del consumidor.

Dem

andaAlimentos (unidades

mensuales)

Precio de los alimentos

G

E

F

2,00$

4 12 20

1,00$

0,50$

ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores

PS/

. por

uni

dad

0 1 2 3 4 5 6 …….

Demanda

q

6

0)( dqqD

0

0)(

qdqqDGeneralizando:

En el ejemplo….DTG

La disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.

La disponibilidad total a gastar de los consumidores está representada por toda el área de la región que está por

debajo de la curva de demanda

ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores

Ofe

rta

E

q

Demanda

0 1 2 3 4 5 6 …….

PS/

. por

uni

dad

4

3

2

Si se define al gasto como p.q....

¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo?

RTA: S/. 8

¿Cuál sería el área respectiva?

Gasto

RTA….

ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores

4

0)( dqqD

q

Demanda

0 1 2 3 4 5 6 …….

PS/

. por

uni

dad

4

3

2

q

Demanda

0 1 2 3 4 5 6 …….

PS/

. por

uni

dad

4

3

2

Análisis 2 La disponibilidad a gastar en este caso es….

Gasto

Análisis 3 El gasto efectivo (lo que realmente

gastan) en este caso es…. = 8u2

Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del

mercado (S/.2 por unidad), se benefician

El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :

Área de Disponibilidad total – Área de Gasto

4

0)4)(2()( dqqDEC

Resultado del ejemplo

En este ejemplo…

Generalizando:

p = D(q)

2

0 4 q

p

EC

0

0 00)(q

qpdqqDEC

• La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas.

(a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9?

(b) ¿Cuál es el EC?

Ejercicio Matemático

50 p

• Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas 672-674

Ejercicios del libro

28

La integral

• Determina la antiderivada más general.

• Interpreta la integral y su relación con la derivada.

• Define la integral definida.• Calcula áreas de regiones

limitadas en el plano.

29

Antiderivadas

Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

30

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema:

Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.

31

INTERPRETACION GEOMETRICA

32

INTERPRETACION GEOMETRICA

33

INTERPRETACION GEOMETRICA

34

INTERPRETACION GEOMETRICA

35

Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

n

x

xxfc

b

exfa

)( )

x1

f(x) )

)( )

36

xsen

x

e

x

nx

xgxf

xfc

x

n

cos

1

)1(

)()(

)(

Función

x

xsen

e

x

nx

xGxF

xcF

x

n

cos

ln

1

)()(

)(

1

Antiderivada particular

37

CALCULO DE ÁREAS

A2

A4

A3

A1

INTEGRAL DEFINIDA Y

¿Área?

38

39

1e)x(f x

Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

xxfxxfxxfAA nn

n

ii

n

**2

*1

1

...limlim

x

40

n

1iii

*

n

b

a

x)x(flimdx)x(f

b

a

dx)x(f

Integrando

Limite

superior

No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.

El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.

Limite Inferior

41

2° Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es una función continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:

Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

42

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:

b

a

b

a

b

adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(

Propiedad de linealidad

43

2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:

c

a

b

a

b

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

bac ,

44

La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.

31 1 -

10 x )(

2

xx

xxf

3

0

1

0

3

1

2 dx)1x(dxxdx)x(f

3

0

dxxf

Ejemplo:Si

y se quiere hallar:

45

)( abhdxhb

a

Y representa el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).

3.

46

DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:

a

a0dx)x(f.1

b

a

a

bdx)x(fdx)x(f.2

47

Definición:Sea f una función contínua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}

Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:

ò=b

adx)x(f)S(A

48

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

b

a

f(x)dxA

f(x)

dx

y

x0 a bx

49

Ejemplo 1:Calcular el área de la región:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}

50

dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

d

c

g(y)dyA

dA = g(y)dy

g(y)

51

Ejemplo 2:

Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.

52

dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

b

a

dxg(x)-f(x)A

dA =[f(x) - g(x)]dxba

53

3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;

2x1xy

-1 1

-1

1

x

y

54

4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;

x1y2