Superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica ...
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Superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica impresa en 3D a base de PLA/Agua Por Juan Luis Valdez García Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS EN EL ÁREA DE ELECTRÓNICA En el Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica Agosto de 2019 Tonantzintla, Puebla Supervisada por Dr. Alonso Corona Chávez ©INAOE 2019 Derechos Reservados El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes mencionando la fuente.
Transcript of Superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica ...
Superficie selectiva de frecuencia
totalmente dieléctrica impresa en
3D a base de PLA/Agua
Por
Juan Luis Valdez García
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el
grado de
MAESTRO EN CIENCIAS EN EL ÁREA DE ELECTRÓNICA
En el
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y
Electrónica
Agosto de 2019
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por
Dr. Alonso Corona Chávez
©INAOE 2019
Derechos Reservados
El autor otorga al INAOE el permiso de
reproducir y distribuir copias de esta
tesis en su totalidad o en partes
mencionando la fuente.
i
Resumen
El uso de los sistemas en el rango de las microondas (300MHz-300GHz) ha
crecido de manera drástica en los últimos años. Desde comunicaciones
(televisión, internet, conectividad de dispositivos móviles, etc.) además de
aplicaciones militares (radar, detectores de velocidad, máseres, etc.) y
aplicaciones en astronomía (filtros, detectores, etc.).
Debido a la cercanía de las bandas utilizadas en dichos sistemas, se necesitan
dispositivos capaces de seleccionar frecuencias específicas ya sea para
bloquear o dejarlas pasar a través de ellos. Actualmente existe una gran
variedad de dispositivos (filtros, superficies selectivas de frecuencia,
reflectores, radomos, etc.) que cumplen con estas tareas.
Las investigaciones recientes se concentran en nuevos materiales y el diseño
de técnicas para mejorar estos dispositivos (mínimas pérdidas de potencia,
bajo nivel de distorsión, mayor selectividad, materiales económicos y no
contaminantes).
En este trabajo se presenta el diseño, simulación y caracterización de una
superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica fabricada en una
impresora 3D a base de PLA (Polyactic Acid) y rellena de agua desionizada.
La respuesta de la transmisión en función de la frecuencia de este dispositivo
es del tipo Pasa-Bajas con frecuencia de corte de 5GHz y un FBW (Fractional
Bandwidth) de casi 65%, logrando alcanzar, durante el rechazo, una
transmisión mínima menor al 1% y máxima del 10%.
Esta superficie es relativamente fácil de elaborar y accesible económicamente,
comparadas con otras, debido a que se fabricó en una impresora 3D comercial
(no industrial) obteniendo una resolución aceptable con materiales
biodegradables y no tóxicos.
ii
iii
Abstract
In recent years, the use of systems in the microwave range (300MHz-300GHz)
has grown exponentially. Some of the applications are in communications
(television, internet, connectivity of mobile devices, etc.), military (radar, speed
detectors, masers, etc.) and in astronomy (filters, detectors, etc.).
Due to the proximity of the bands used in such systems, devices need to be
capable of selecting specific frequencies either to block or let them pass.
Currently, there is a wide variety of devices (filters, frequency selective surface,
reflectors, radomes, etc.), that fulfill such tasks.
Recent research focuses on new materials and the design of techniques to
improve these devices (minimum power losses, low distortion level, greater
selectivity, economical and non-polluting materials).
In this work we present the design, simulation and characterization of an all-
dielectric frequency selective surface 3D printed based on PLA (Polyactic Acid)
and filled with deionized water. The response of the transmission as a function
of the frequency of this device is low-pass with a cutoff frequency of 5GHz and
a FBW (Fractional Bandwidth) of almost 65%, with a minimum transmission of
less than 1% and maximum of 10% (after cutoff frequency).
This surface is relatively easy to elaborate and economical, compared with
others materials, because it was manufactured in a commercial 3D printer
(non-industrial) obtaining an acceptable resolution with biodegradable and
non-toxic materials.
iv
v
Agradecimientos
A mi madre Romana y mi padre Gerardo, por brindarme apoyo en muchos
momentos importantes a lo largo de toda mi carrera.
A mis amigos y amigas, por su compañía y aliento desde mí llegada al INAOE.
Al Dr. Alonso Corona por la oportunidad de desarrollar mi tesis bajo su
dirección y al Dr. José Luis Olvera por confiar en mí y aceptarme en su grupo
de trabajo.
Al INAOE, por aceptarme en la institución para realizar mi investigación y al
CONACYT por la ayuda económica a lo largo de todo mí trabajo.
vi
vii
Contenido
1 INTRODUCCIÓN…...…….……………………..………………………... 1
1.1 Introducción general………………………………………………. 1
1.2 Antecedentes………...........…………………………………........ 2
1.3 Motivación y planteamiento del problema……………………… 11
1.4 Objetivos…………………...………………..…………………….. 12
1.4.1 Objetivo general…………………….…………….………. 12
1.4.2 Objetivos específicos..................................................... 12
2 MARCO TEÓRICO……………….………………………………….…... 14
2.1 Resonadores………….……………………………………...…… 14
2.1.1 Teoría general................................................................ 14
2.1.2 Resonadores dieléctricos.............................................. 15
2.2 Parámetros S………………………………………………..……. 26
2.3 Tipos de filtrado básicos en microondas……………................ 30
2.4 Superficies selectivas de frecuencia (FSS).............................. 31
2.4.1 Primeras FSS: Principio de funcionamiento.................. 31
2.4.2 Clasificación y aplicaciones........................................... 32
3 DISEÑO Y SIMULACIONES….………………………………………… 36
3.1 Selección del tipo de estructura................................................36
3.2 Análisis de modos.....................................................................43
3.2.1 Sólido (𝑛 = 0)................................................................ 44
3.2.2 Anillo (𝑛 = 1)................................................................. 46
3.2.2 Revolver4 (𝑛 = 5).......................................................... 48
3.4 Conclusiones del capítulo.........................................................53
viii
4 MEDICIONES Y RESULTADOS………………………………………... 54
4.1 Método de medición..................................................................54
4.1.1 Descripción de las configuraciones................................54
4.1.2 Transmisión nula............................................................56
4.1.3 Diseño y simulación de la FSS de metal........................58
4.1.4 Medición de la FSS de metal..........................................60
4.1.5 Conclusiones..................................................................64
4.2 Resumen de la tesis..................................................................64
4.2.1 Caracterización de la estructura propuesta....................64
4.2.2 Conclusiones y comparación de resultados...................68
5 CONCLUSIONES................................................................................70
APÉNDICE A.......................................................................................72
APÉNDICE B.......................................................................................74
REFERENCIAS...................................................................................78
ix
1
1 INTRODUCCIÓN
1.1 Introducción general
Debido al gran incremento del uso de dispositivos inalámbricos en medios de
comunicaciones, áreas industriales y médicas, etc. [1], la búsqueda de
aparatos que puedan filtrar señales de manera eficiente ha sido incesante. El
resultado de esto es una gran variedad de dispositivos, tales como filtros de
microondas [1] [2], superficies selectivas de frecuencia [3-16], entre otros, así
como diferentes métodos de filtrado [17].
Una superficie selectiva de frecuencia (FSS) (o dicroicas) es, básicamente, un
conjunto de elementos idénticos colocados en una matriz infinita de una o dos
dimensiones [18], la cual, podría ser vista como un filtro óptico para ciertas
longitudes de onda. Con el paso de los años las FSS han ido evolucionando
tanto en las formas de los elementos individuales (celdas unitarias) como en
el uso de diferentes materiales para su fabricación.
Dentro de las aplicaciones de las FSS se encuentran radomos híbridos para
antenas [18] [19], reflectores de antenas [20], filtros rechaza bandas para
antenas [18], para la región de microondas, y polarizadores, divisores de haz
y espejos para mejorar la eficiencia de bombeo en los láseres moleculares [21]
[22], en la región del infrarrojo lejano [23]. Otra aplicación, en el infrarrojo
cercano y partes del visible, son pantallas periódicas selectivas para celdas
solares [24]. Estás pantallas son prácticamente transparentes en la banda de
frecuencias de trabajo de las celdas y reflejan las que están fuera de ella.
Aunque la mayoría de las FSS trabajan con ondas de baja potencia, existen
también para señales de alta potencia [25] [26]. Estos dispositivos están
2
fabricadas con materiales dieléctricos debido al poco calentamiento que sufren
debido a la falta de pérdidas por conductor.
En la actualidad, algunas superficies selectivas de frecuencia se utilizan como
radomos para antenas y controlan su sección transversal de radar (RCS
“Radar Cross-Section”).
1.2 Antecedentes
En esta sección se presentan algunos de los trabajos de investigación más
relevantes vinculados a las superficies selectivas de frecuencia.
Las primeras FSS en fabricarse fueron hechas sobre metal, es por eso que
son las más abundantes. Su funcionamiento se basa en la disipación de
energía que produce las corrientes generadas sobre el metal [18]. En [3], por
ejemplo, proponen una FSS del tipo rechaza banda, hecha de cobre de 1Oz
(35µm) sobre PET de 76.2µm. La forma de la celda unitaria es de un tripolo
con un lazo alrededor de su perímetro, como lo muestra la figura 1.1. En los
resultados de simulaciones se llega a alcanzar una transmisión menor a los -
40dB para las bandas de comunicación celular móvil coreana (800MHz) y la
de servicio de comunicación personal (PCS) (1.8GHz) y menor a las -50dB
para las bandas de radio industrial, científicas y médicas (ISM) (2.4GHz). Por
otro lado, los resultados experimentales muestran una transmisión menor a los
-20dB para las tres bandas.
En [4], se diseña una FSS, como se muestra en la figura 1.2.a, con respuesta
pasa-banda, para las frecuencias 1.73 y 2.46GHz. Se hace sobre cobre
encima de una placa dieléctrica de F4B-2 con εr = 2.65 y tangente de pérdidas
de 0.001, obteniendo una transmisión mayor a -1dB para ambas bandas. En
3
[5], al igual que en [4], se diseña una superficie selectiva (figura 1.2.b) del tipo
pasa banda, con una transmisión máxima de hasta -2dB.
Figura 1.1: Superficie selectiva de frecuencia de tripolos encerrados en un lazo, propuesto en [3].
Figura 1.2: Celdas unitarias propuestas: a) en [4], b) en [5].
La tecnología de impresión, además de la fotolitografía, es un método de
fabricación que es cada vez más usado en el ambiente electrónico. En [6], por
ejemplo, se utiliza para la fabricación de una superficie selectiva de doble
banda (rechaza banda) para bloquear la señal de Wi-Fi (2.4 y 5.3GHz)
4
llegando a obtener, para resultados simulados y experimentales, una
transmisión menor a -40dB y -30dB, respectivamente. La celda unitaria tiene
la forma de dos hexágonos concéntricos, como lo muestra la figura 1.3.
En [7], se diseña una compleja FSS en forma de hexágono con un tripolo
concéntrico como se muestra en la figura 1.4, que al igual que [6], para
bloquear las señales de Wi-Fi (2.4 y 5GHz) utilizando la tecnología de
impresión. La fabricación se hace sobre un papel comercial llamado
metapaper usando una tinta con partículas de plata para aumentar la
conductividad. Se comparan dos tecnologías: Flexography y Screen Printing,
de las cuales la segunda resulta mejor, logrando resultados de una transmisión
menor a -20dB para ambas bandas.
Figura 1.3: Celda unitaria de hexágonos concéntricos, propuesto en [6].
Como la interacción entre el ambiente y el metal genera una variedad de daños
al material (corrosión, desgaste, calentamiento, etc.), un pequeño disco, cubo,
etc. de material dieléctrico poder ser también utilizado como resonador en
microondas. Este tipo de resonadores son principalmente de bajas pérdidas y
con una constante dieléctrica relativamente alta, permitiendo encerrar la
mayoría de los campos dentro de él.
5
Figura 1.4: Celda unitaria propuesta en [7]: a) Patrón propuesto, b) celda con los parámetros geométricos
Un resonador dieléctrico es, generalmente, de menor tamaño, costo y peso
que una cavidad metálica equivalente. Se utilizan resonadores con constantes
dieléctricas de entre 10-100 y con pérdidas muy bajas y con esto se logran
alcanzar factores de calidad 𝑄𝑂 de hasta varios miles. Por todas estas razones
los resonadores dieléctricos han sido cada vez más utilizados en el uso de las
microondas [18]. En [8], diseñan y simulan una FSS totalmente dieléctrica
(figura 1.5) con constante dieléctrica baja (ε =10). La respuesta es del tipo
rechaza banda centrada en 10GHz (8.8GHz-11.25GHz) alcanzando una
transmisión de hasta -30dB.
6
Figura 1.5: Geometría de la FSS propuesta en [8]: a) Vista superior, b) vista lateral, c) indicación del ángulo de incidencia.
Los resonadores dieléctricos más comunes en el mercado son los fabricados
en cerámica. Por ejemplo en [9] y [10], se utilizan este tipo de resonadores
para fabricar y simular un par de superficies selectivas del tipo rechaza banda,
12-14.5GHz y 7.19-9GHz, respectivamente. Las constantes dieléctricas son
38 para [9] y 110 para [10], con las celdas unitarias de la forma cilíndrica y cruz
de Jerusalén (como se muestra en las figuras 1.6 y 1.7), alcanzando una
transmisión de -50dB y -45dB, respectivamente.
7
Figura 1.6: Geometría de la FSS propuesta en [9].
Figura 1.7: Geometría de la FSS propuesta en [10].
La producción de materiales de alta permitividad, como los cerámicos, puede
llegar a ser muy costosa para fines prácticos. Por ejemplo, en la instalación de
una FSS en una habitación pueden llegar a necesitarse algunos miles de
resonadores unitarios, lo cual equivale a un precio muy alto en comparación
con materiales de baja constante dieléctrica o metales. Es por esto que se han
buscado otros medios para fabricar estos dispositivos. Por ejemplo la
combinación de medios conductivos y dieléctricos para la fabricación de
resonadores unitarios. En [11], por ejemplo, se utiliza una impresora 3D de
doble filamento para construir una superficie selectiva a base de PLA/grafito.
La respuesta de la transmisión es del tipo pasa bajas para una frecuencia de
8
corte de 6GHz. La transmisión llega a poco menos de -20dB. La forma de la
celda unitaria para caracterizar el material es de la forma de pirámide achatada
(como se muestra en la figura 1.8.a, la cual es caracterizada usando el
algoritmo propuesto en [12], dando como resultado una permitividad relativa y
tangente de pérdidas de 22 y 1.6-1.8, respectivamente. La superficie es
conformada por resonadores en forma de prismas rectangulares, como lo
muestra la figura 1.8.b.
Figura 1.8: Celdas propuestas en [11]: a) para caracterizar el material, b) componente de la FSS.
En [13], al igual que en [11], fabrican superficies selectivas a base de
impresiones en 3D, pero en lugar de usar el grafito para aumentar la
conductividad usan pintura a base de plata. Se hacen dos comparaciones: total
(TC) y parcialmente (PC) cubierta, como se muestra en la figura 1.9, ambas
del tipo rechaza banda. Se logra alcanzar una transmisión de hasta -25dB
(2.5GHz) y -20dB (1.5GHz) para TC y PC, respectivamente.
Utilizando el concepto de impresión en 3D agregando un material que aumente
la conductividad de los resonadores, en [14] imprimen una FSS utilizando un
filamento especial llamado Brassfill [15], que es el filamento normal de PLA
con partículas de metal (latón). Esta superficie es diseñada con respuesta
rechaza banda, para 10GHz. La forma de la celda unitaria es de una placa
9
impresa en 3D con huecos circulares, sobre una placa de Rohacell71 (como
se muestra en la figura 1.10), llegando a una transmisión menor de -25dB.
Figura 1.9: Celdas propuestas en [13]: a) TC-Volumétrica, b) TC-Volumétrica doblada, c) PC-Planar, d) PC-Planar doblada.
Figura 1.10: Geometría general propuesta en [14].
Las superficies selectivas de frecuencia pueden estar hechas de líquidos
dieléctricos, como agua, cristales líquidos, etc., que, aunque las pérdidas son
muy grandes (agua), su permitividad es muy grande y son accesibles
económicamente, lo que la hace un buen material para objeto de estudio.
10
Como en [16], que diseñan una FSS sobre la superficie de media esfera, como
se muestra en la figura 1.11. Las celdas son capilares cilíndricos que se
rellenan de agua. Se llevan a cabo varias mediciones de la constante
dieléctrica para diferentes números de capilares con agua, obteniendo una
variación de ε = (66-57) –j (26-33), con frecuencias de 8 a 12.5GHz. Este tipo
de dispositivo puede ser usado como “escudo” para filtrar cerca de antenas,
como se muestra en la figura 1.12.
Figura 1.11: FSS propuesta en [16]: a) Dispositivo real, b) vista lateral y superior del diseño.
Figura 1.12: Aplicación de FSS sobre media esfera propuesta en [16].
11
En esta sección se presentaron algunos de los trabajos relacionados con los
diferentes tipos de FSS (metálicas y dieléctricas) además de presentar algunos
de los diferentes tipos de fabricación (impresión electrónica, manufactura
aditiva, resonadores dieléctricos cerámicos) que ayudaron al estudio para el
diseño del dispositivo propuesto en este trabajo.
1.3 Motivación y planteamiento del problema
Desde la década de los 60’s, y debido a posibles aplicaciones militares, las
FSS han sido objeto de un gran estudio [18]. Las superficies selectivas se han
utilizado tradicionalmente en tecnología de sigilo para reducir el RCS (Radar
Cross Section) de los sistemas de comunicaciones militares.
En microondas para “limpiar” una señal o eliminar señales no deseadas o
espurias, normalmente se utilizan filtros de diferentes tipos, según la
aplicación. Pero en algunas ocasiones no es costeable agregar un filtro al
sistema de recepción o medición. Una superficie selectiva puede fabricarse en
PCB’s (Printed Circuit Board) de bajo costo (placa FR4) y diseñarse como
pantalla protectora que a su vez filtra la señal.
Otra ventaja es la facilidad de su fabricación. Las celdas unitarias pueden tener
formas tan simples como dipolos, ranuras o parches metálicos o una
combinación de todos estos elementos [18].
Debido al estudio intensivo y a que fueron las primeras en aparecer, las FSS
fabricadas en metal son las más abundantes en la actualidad, pero debido a
las bajas pérdidas y grandes valores del factor de calidad (Q), las superficies
selectivas totalmente dieléctricas (ADFSS “All-Dielectric Frequency Selective
Surfaces”) han ido apareciendo con mayor frecuencia.
Por otra parte, una desventaja de fabricar FSS con material dieléctrico de baja
permitividad (teflón, PLA, etc.) es que debido a que su resonancia depende
12
totalmente de la geometría, fabricar superficies selectivas para frecuencias
bajas implica un gasto mayor de material, ya que las dimensiones serán muy
grandes. Es por esto que muchas FSS están diseñadas con materiales con
alta constante dieléctrica (cerámica, por ejemplo). El inconveniente de este tipo
de material es que la fabricación de resonadores individuales (RI) resulta ser
muy costosa.
El reto de este trabajo es el diseño y la fabricación de una superficie selectiva
de frecuencia totalmente dieléctrica de alta permitividad que sea de bajo costo.
Además de que produzca la menor contaminación posible [27].
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo general
El objetivo general de esta investigación es diseñar, fabricar y caracterizar una
ADFSS (All-Dielectric Frequency Selective Surface) constituida por
resonadores individuales de un material amigable con el ambiente, del tipo
pasa-bajas con alta permitividad, fabricada en una impresora 3D y agregando
agua desionizada en su interior.
1.4.2 Objetivos específicos
Hacer una búsqueda exhaustiva de diferentes tipos de materiales para
la fabricación de ADFSS's.
1. Resistente al clima.
2. De alta constante dieléctrica.
3. Económico y accesible.
4. Amigable con el ambiente.
13
Simular diferentes FSS para obtener la más óptima para su fabricación.
1. Variando los parámetros de los DR’s (Dielectric Resonator).
2. Variando la separación entre los DR’s.
Fabricar una superficie selectiva de frecuencia del tipo pasa-bajas, con
frecuencia de corte de 5GHz, con un rechazo de al menos el 90%. Esto
con el fin de bloquear la banda del internet de las cosas y transmitir la
del Wi-Fi.
14
2 MARCO TEÓRICO
2.1 Resonadores
Un resonador es un dispositivo que oscila a ciertas frecuencias específicas,
que son llamadas frecuencias de resonancia. Las oscilaciones en el resonador
pueden ser electromagnéticas o mecánicas (acústicas). Son usados
generalmente para generar ondas a frecuencias específicas o para seleccionar
frecuencias de la señal. En el rango de las microondas son usados en varias
aplicaciones, tales como filtros, osciladores y amplificadores. La operación de
los resonadores de microondas es muy similar a la de elementos agrupados
de la teoría de circuitos resonantes RLC (Resistencia, Inductancia,
Capacitancia), por lo tanto a continuación se presenta un análisis general de
estos dispositivos [28].
2.1.1 Teoría general
Los circuitos resonantes RLC en serie y paralelo son mostrados en la figura
2.1. La energía eléctrica y magnética almacenada en un resonador, son dos
de los parámetros más importantes, y además se utilizan para definir la
frecuencia de resonancia. Esta última ocurre cuando 𝑊𝑒 (energía eléctrica
almacenada) = 𝑊𝑚(energía magnética almacenada), como se puede observar
en la tabla 2.1 [28].
Fig. 2.1: Circuitos RLC: a) Paralelo, b) Serie.
15
Tabla 2.1: Parámetros de los Circuitos RLC [28]
Parámetro Serie Paralelo
Impedancia de Entrada
(𝑍𝑖𝑛) 𝑍𝑖𝑛 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 − 𝑗
1
𝜔𝐶 𝑌𝑖𝑛 =
1
𝑅+ 𝑗𝜔𝐶 − 𝑗
1
𝜔𝐿
Energía Magnética
Almacenada (𝑊𝑚) 𝑊𝑚 =
1
4|𝐼|2𝐿 𝑊𝑚 =
1
4|𝑉|2
1
𝜔2𝐿
Energía Eléctrica
Almacenada (𝑊𝑒) 𝑊𝑒 =
1
4|𝐼|2
1
𝜔2𝐶 𝑊𝑒 =
1
4|𝑉|2𝐶
Frecuencia de
Resonancia (𝜔𝑂) 𝜔𝑂 =
1
√𝐿𝐶 𝜔𝑂 =
1
√𝐿𝐶
Factor de Calidad (𝑄𝑂) 𝑄𝑂 =
1
𝜔𝑂𝑅𝐶
𝑄𝑂 = 𝜔𝑂𝑅𝐶
Otro parámetro importante es el factor de calidad, el cual es definido de la
siguiente manera [28]:
𝑄𝑂 = 𝜔𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎/𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
Donde ω es la frecuencia circular.
2.1.2 Resonadores Dieléctricos
Un resonador dieléctrico, es una pieza de material no conductiva de alta
permitividad, diseñada para funcionar, generalmente, para el rango de las
microondas. Las ondas se confinan en el interior del dispositivo debido al
cambio brusco de la constante dieléctrica entre el material y el aire. En ciertas
frecuencias (frecuencias resonantes que son determinadas por las
dimensiones físicas del dispositivo y la constante dieléctrica), las microondas
16
forman ondas estacionarias dentro del resonador [28]. En cierta forma puede
ser comparado con una cavidad resonante, pero, como ya se mencionó, en
este caso las ondas quedan atrapadas por el cambio súbito de permitividad y
no por las paredes conductivas del metal, como en la cavidad metálica.
A. Campos eléctricos y magnéticos en cilindros dieléctricos
Para encontrar los campos �⃗� y �⃗⃗� en un cilindro dieléctrico de permitividad 휀𝑟,
de radio a y altura d, se usan coordenadas cilíndricas [28], como se muestra
en la figura 2.2.
Fig. 2.2: Cilindro en coordenadas cilíndricas.
Se definen los campos en función de estas coordenadas, donde �̂�, �̂�, �̂� son los
vectores unitarios en las respectivas direcciones:
�⃗� (𝜌, 𝜑, 𝑧) = 𝐸𝜌�̂� + 𝐸𝜑�̂� + 𝐸𝑧�̂� = (𝑒𝜌�̂� + 𝑒𝜑�̂� + 𝑒𝑧�̂�)e−𝑗𝛽𝑧 (2.1)
17
�⃗⃗� (𝜌, 𝜑, 𝑧) = 𝐻𝜌�̂� + 𝐻𝜑�̂� + 𝐻𝑧�̂� = (ℎ𝜌�̂� + ℎ𝜑�̂� + ℎ𝑧�̂�)e−𝑗𝛽𝑧 (2.2)
Donde 𝛽 es la constante de fase.
Se utilizan las ecuaciones de Maxwell [28] sin fuentes:
∇ × �⃗� = −𝑗𝜔𝜇�⃗⃗� (2.3)
∇ × �⃗⃗� = 𝑗𝜔휀�⃗� (2.4)
Donde 𝜇 y 휀 son la pemeabilidad magnética y permitividad eléctrica del medio,
respectivamente.
Desarrollando el rotacional [29] en (2.3), se obtiene:
∇ × �⃗� =1
𝜌(𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑− 𝜌
𝜕𝐸𝜑
𝜕𝑧�̂�) + (
𝜕𝐸𝜌
𝜕𝑧−
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌�̂�) +
1
𝜌(𝜕𝜌𝐸𝜑
𝜕𝜌−
𝜕𝐸𝜌
𝜕𝜑�̂�)=
1
𝜌(𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑+ 𝑗𝜌𝛽𝐸𝜑) �̂� − (𝑗𝛽𝐸𝜌 +
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌) �̂� +
1
𝜌(𝜌
𝜕𝐸𝜑
𝜕𝜌+ 𝐸𝜑 −
𝜕𝐸𝜌
𝜕𝜑) �̂� = −𝑗𝜔𝜇�⃗⃗� (2.5)
De la misma manera se obtiene:
1
𝜌(𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑+ 𝑗𝜌𝛽𝐻𝜑) �̂� − (𝑗𝛽𝐻𝜌 +
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌) �̂� +
1
𝜌(𝜌
𝜕𝐻𝜑
𝜕𝜌+ 𝐻𝜑 −
𝜕𝐻𝜌
𝜕𝜑) �̂� = 𝑗𝜔휀�⃗� (2.6)
De (2.5) y (2.6) se obtiene:
18
1
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑+ 𝑗𝛽𝐸𝜑 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝜌 (2.7a)
−𝑗𝛽𝐸𝜌 −𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌= −𝑗𝜔𝜇𝐻𝜑 (2.7b)
1
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑+ 𝑗𝛽𝐻𝜑 = 𝑗𝜔휀𝐸𝜌 (2.8a)
−𝑗𝛽𝐻𝜌 −𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌= 𝑗𝜔휀𝐸𝜑 (2.8b)
Se dejan las componentes ρ y φ de los campos �⃗� y �⃗⃗� en términos de la
componente en la dirección �̂�. Para esto, de (2.7a) y (2.8b) se obtiene:
𝑗
𝜌𝜔𝜇=
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑−
𝛽
𝜔𝜇𝐸𝜑 = 𝐻𝜌
−𝑗𝛽 (𝑗
𝜌𝜔𝜇
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑−
𝛽
𝜔𝜇𝐸𝜑) −
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌= 𝑗𝜔휀𝐸𝜑
−𝑗𝛽
𝜌𝜔2𝜇휀
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑+
𝛽2
𝜔2𝜇휀𝐸𝜑 +
𝑗
𝜔휀
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌= 𝐸𝜑
Utilizando la ecuación 𝑘2 = 𝜔2𝜇휀 = 𝑘𝑐2 + 𝛽2, se obtiene:
𝐸𝜑 =−𝑗
𝑘𝑐2 (
𝛽
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑− 𝜔𝜇
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌) (2.9a)
19
Siguiendo el mismo procedimiento se llega:
𝐸𝜌 =−𝑗
𝑘𝑐2 (𝛽
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌+
𝜔𝜇
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑) (2.9b)
𝐻𝜌 =𝑗
𝑘𝑐2 (
𝜔𝜀
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑− 𝛽
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌) (2.9c)
𝐻𝜑 =−𝑗
𝑘𝑐2 (𝜔휀
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌+
𝛽
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑) (2.9d)
B. Modos Transversal Eléctrico (TE)
Como su nombre lo indica, en estos modos no hay componente del campo
eléctrico en la dirección de propagación de la onda ( 𝐸𝑧 = 0 ). La única
componente que podemos conocer, que es diferente de cero, es 𝐻𝑧, la cual es
una solución a la ecuación de onda [30] o ecuación de Helmholtz (Apéndice
B):
∇2𝐻𝑧 + 𝑘2𝐻𝑧 = 0 (2.10)
Si se define 𝐻𝑧(𝜌, 𝜑, 𝑧) = ℎ𝑧(𝜌, 𝜑)e−𝑗𝛽𝑧, sabiendo que 𝐾𝑐2 = 𝑘2 − 𝛽2 y usando
la identidad siguiente:
∇2𝐹 =𝜕2𝐹
𝜕𝜌2+
1
𝜌
𝜕𝐹
𝜕𝜌+
1
𝜌2
𝜕2𝐹
𝜕𝜑2+
𝜕2𝐹
𝜕𝑧2 (Operador Laplaciano en
coordenadas cilíndricas)
Donde F es una función de ρ, φ, z. De (2.10) se obtiene:
20
(𝜕2
𝜕𝜌2 +1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌+
1
𝜌2
𝜕2
𝜕𝜑2 + 𝑘𝑐2) ℎ𝑧(𝜌, 𝜑) = 0 (2.11)
Usando el método de separación de variables:
ℎ𝑧(𝜌, 𝜑) = 𝑅(𝜌)𝑄(𝜑) (2.12)
Sustituyendo (2.12) en (2.11) y multiplicando por 𝜌2:
𝜌2
𝑅
𝑑2𝑅
𝑑𝜌2 +𝜌
𝑅
𝑑𝑅
𝑑𝜌+ 𝜌2𝑘𝑐
2 =−1
𝑄
𝑑2𝑄
𝑑𝜑2 (2.13)
Debido a que el lado derecho solo depende de φ y el izquierdo de ρ, ambos
son igual a una constante.
−1
𝑄
𝑑2𝑄
𝑑𝜑2 = 𝐶 ⇒𝑑2𝑄
𝑑𝜑2 + 𝑄𝐶2 = 0 (2.14)
𝜌2 𝑑2𝑅
𝑑𝜌2 + 𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ (𝜌2𝑘𝑐
2 − 𝐶2)𝑅 = 0 (2.15)
La ecuación (2.14) es la ecuación del oscilador armónico [30], cuya solución
general es la siguiente:
𝑄(𝜑) = 𝐴𝑆𝑖𝑛(𝐶𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝐶𝜑)
21
Ya que la solución para ℎ𝑧 debe ser periódica en φ, 𝐶 = 𝑛 debe ser un número
entero:
𝑄(𝜑) = 𝑄(𝜑 + 2𝜋) = 𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑 + 2𝜋) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑 + 2𝜋)
(2.16)
Por lo tanto (2.15) queda de la siguiente forma:
𝜌2 𝑑2𝑅
𝑑𝜌2 + 𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ (𝜌2𝑘𝑐
2 − 𝑛2)𝑅 = 0 (2.17)
La ecuación anterior tiene la forma de la función de Bessel (Apéndice A), por
lo tanto su solución es:
𝑅(𝜌) = 𝐶𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌) + 𝐷𝑌𝑛(𝑘𝑐𝜌) (2.18)
Donde 𝐽𝑛 y 𝑌𝑛 son la funciones de Bessel de primer y segunda especie,
respectivamente. Como 𝑌𝑛 → ∞ cuando 𝜌 → 0 no es aceptable físicamente.
Por lo tanto D debe anularse. Con esto se obtiene:
ℎ𝑧(𝜌, 𝜑) = (𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌) (2.19)
Como 𝐶 , 𝐴 y 𝐵 son constantes, 𝐶 es absorbida por 𝐴 y 𝐵 . Aplicando las
condiciones de frontera para una pared magnética:
22
�̂� × �⃗⃗� = 0 ⇒ 𝐻𝑡⃗⃗⃗⃗ = 0
Donde 𝐻𝑡⃗⃗⃗⃗ es la componente tangencial del campo magnético y �̂� el vector
normal a la superficie del cilindro. Por lo tanto para los modos TE:
𝐻𝑧(𝜌 = 𝑎) = 0 (2.20)
𝐻𝑧(𝜌, 𝜑, 𝑧) = (𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.21)
De (2.20) y (2.21) se obtiene:
𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑎) = 𝐽𝑛(𝑃𝑛𝑚) = 0 ⇒ 𝑘𝑐𝑛𝑚 =𝑃𝑛𝑚
𝑎𝑛 = 0,1,2, . . . ; 𝑚 = 1,2,3, . ..
Donde 𝑃𝑛𝑚 es la m-ésima raíz de 𝐽𝑛(véase Apéndice A).
La frecuencia de corte se calcula de la siguiente manera:
𝑓𝑐𝑛𝑚 =𝑘𝑐
2𝜋√𝜇𝜀=
𝑃𝑛𝑚
2𝜋𝑎√𝜇𝜀 (2.22)
Usando (2.21), se reescriben las ecuaciones (2.9):
𝐸𝜑 =𝑗𝜔𝜇
𝑘𝑐𝑛𝑚
(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.23a)
23
𝐸𝜌 =−𝑗𝜔𝜇𝑛
𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌
(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.23b)
𝐻𝜌 =−𝑗𝛽
𝑘𝑐𝑛𝑚
(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.23c)
𝐻𝜑 =−𝑗𝛽𝑛
𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌
(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.23d)
Donde (𝐽𝑛′(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)) denota la derivada de la función de Bessel.
C. Modos Transversal Magnético (TM)
En estos modos, de manera análoga a los TE, no existe componente del
campo magnético en la dirección de propagación de la onda (𝐻𝑧 = 0). Ahora
calculamos 𝐸𝑧 usando la ecuación (2.10).
𝐸𝑧 = 𝑒𝑧(𝜌, 𝜑)e−𝑗𝛽𝑧
Por lo tanto se tiene:
(𝜕2
𝜕𝜌2 +1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌+
1
𝜌2
𝜕2
𝜕𝜑2 + 𝑘𝑐2) 𝑒𝑧(𝜌, 𝜑) = 0 (2.24)
Dado que tiene la misma forma que (2.11), su solución también es la misma:
24
𝑒𝑧(𝜌, 𝜑) = (𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌)
Aplicamos la condición de frontera para modos TM en una pared magnética:
𝜕𝐸𝑧(𝜌=𝑎)
𝜕𝜌= 0 (2.25)
Debido a esto se obtiene:
𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝑎) = 𝐽′𝑛(𝑃𝑛𝑚) = 0 ⇒ 𝑘𝑐𝑛𝑚 =𝑃′𝑛𝑚
𝑎 (2.26)
La frecuencia de corte:
𝑓𝑐𝑛𝑚 =𝑃′𝑛𝑚
2𝜋𝑎√𝜇𝜀 (2.27)
Donde 𝑃′𝑛𝑚 denota la m-ésima raíz de la derivada de la función de Bessel
(véase Apéndice A). Ahora se reescriben las ecuaciones (2.9) de la siguiente
manera:
𝐸𝜑 =−𝑗𝛽𝑛
𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌
(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.28a)
𝐸𝜌 =−𝑗𝛽
𝑘𝑐𝑛𝑚
(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.28b)
25
𝐻𝜌 =𝑗𝜔𝜀𝑛
𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌
(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.28c)
𝐻𝜑 =−𝑗𝜔𝜀
𝑘𝑐𝑛𝑚
(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.28d)
D. Ecuación de frecuencia de resonancia
Para que ocurra una resonancia (ondas estacionarias) dentro del resonador,
la fase debe ser de la siguiente manera:
𝛽𝑑 = 𝑙𝜋 (2.29)
Donde d es la altura del cilindro en la dirección �̂� y l es el número entero de
medias ondas que se forman en el interior del resonador, en la dirección de
propagación. Sabiendo que:
𝑘2 = 𝜔2𝜇휀 (2.30)
휀 = 휀𝑜휀𝑟 Y 𝜇 = 𝜇𝑜𝜇𝑟 (2.31)
𝑘𝑐2 = 𝑘2 − 𝛽2 (2.32)
Donde 휀𝑜 y 𝜇𝑜 son la permitividad y permeabilidad del vacío. Se obtiene la
ecuación para la frecuencia de resonancia de un cilindro dieléctrico:
26
𝜔2𝜇휀 = 𝑘𝑐𝑛𝑚2 + 𝛽2
𝑓𝑙 =1
2𝜋√휀𝜇√𝑘𝑐𝑛𝑚
2 + (𝑙𝜋
𝑑)2
Para modos TE [8] (𝑘𝑐𝑛𝑚=
𝑃𝑛𝑚
𝑎):
𝑓𝑛𝑚𝑙 =𝑐
2𝜋𝑎√𝜀𝑟𝜇𝑟
√𝑃𝑛𝑚2 + (
𝑎𝜋𝑙
𝑑)2
(2.33)
De manera análoga, para modos TM [8] (𝑘𝑐𝑛𝑚=
𝑃′𝑛𝑚
𝑎):
𝑓𝑛𝑚𝑙 =𝑐
2𝜋𝑎√𝜀𝑟𝜇𝑟
√𝑃′𝑛𝑚2 + (
𝑎𝜋𝑙
𝑑)2
(2.34)
Se denota que cuando 𝑙 = 0 (no se transmite la onda a través del cilindro), se
llega a las ecuaciones de la frecuencia de corte.
2.2 Parámetros S
Los parámetros S o de dispersión son valores que nos definen las pérdidas
por inserción y de retorno de una red eléctrica (figura 2.3) [1].
27
Fig. 2.3: Red simple de 2 puertos.
Para analizar las pérdidas por inserción y de retorno se usa la gráfica de flujo
de energía de una red de 2 puertos mostrada en la figura 2.4.
Fig. 2.4: Diagrama de flujo de energía en una red de 2 puertos.
La gráfica de flujo tiene dos nodos para cada puerto, uno para la onda incidente
y otro para la reflejada. El nodo incidente se denota con “𝑎” y el nodo reflejado
con “𝑏”.
En una red de dos puertos, al incidir una onda por el puerto 1, una parte será
reflejada a través del camino 𝑆11 y dejará la red por el nodo 𝑏1. El resto de la
onda se irá por el camino 𝑆21 y dejará la red por el nodo 𝑏2.
Si un dispositivo que tiene reflexión es conectado en el puerto 2, parte de la
onda que deja la red a través del nodo 𝑏2 será reflejada por dicho dispositivo
y ésta reingresará por el nodo 𝑎2. De forma similar que en el puerto 1, una
28
parte de esta onda reincidente pasará por el camino 𝑆22 y dejará la red por el
nodo 𝑏2 y el resto se irá a través del camino 𝑆12 y saldrá por el nodo 𝑏1.
Con lo anterior, siguiendo las flechas en la gráfica de flujo, podemos escribir
las siguientes ecuaciones.
𝑏1 = 𝑎1𝑆11 + 𝑎2𝑆12 (2.45)
𝑏2 = 𝑎1𝑆21 + 𝑎2𝑆22 (2.46)
Bajo ciertas condiciones, podemos encontrar cada uno de los parámetros de
dispersión. Primeramente, supones que no hay señal entrando por el puerto 2,
por lo tanto 𝑎2 = 0, con esto obtenemos las ecuaciones (2.47) y (2.48). De
manera análoga, suponemos lo mismo pero para el puerto 1, es decir, 𝑎1 = 0
y con esto obtenemos las ecuaciones (2.49) y (2.50).
𝑏1 = 𝑎1𝑆11 (2.47)
𝑏2 = 𝑎1𝑆21 (2.48)
𝑏1 = 𝑎2𝑆12 (2.49)
𝑏2 = 𝑎2𝑆22 (2.50)
29
Por lo tanto podemos expresar los parámetros de dispersión de la siguiente
manera, acuerdo con las ecuaciones (2.47)-(2.50).
𝑆11 =𝑏1
𝑎1 | 𝑎2 = 0 (2.51)
𝑆21 =𝑏2
𝑎1 | 𝑎2 = 0 (2.52)
𝑆12 =𝑏1
𝑎2 | 𝑎1 = 0 (2.53)
𝑆22 =𝑏2
𝑎2 | 𝑎1 = 0 (2.54)
Para poder medir el parámetro 𝑆11 se necesita, en el puerto 2, una terminación
con la misma impedancia característica del dispositivo. Se mide solamente la
razón de la onda reflejada y la onda incidente en el puerto 1. Este parámetro
es en realidad el coeficiente de reflexión en la entrada.
De manera similar al parámetro 𝑆11, el 𝑆22 se mide colocando, en el puerto 1,
una terminación con la misma impedancia característica del dispositivo. Este
parámetro es el coeficiente de reflexión en la salida.
El 𝑆21 puede ser medido cuando el puerto 2 tiene una terminación igual a la
impedancia característica del dispositivo y la señal se aplica en el puerto 1. La
razón entre las señales medidas entre el nodo 𝑏2 y el 𝑎1 (voltaje entre los
puertos de salida y de entrada), define este parámetro. El 𝑆21 es el coeficiente
30
de transmisión entre el puerto 2 y 1. Para el parámetro 𝑆12, se hace lo inverso.
El puerto 1 se termina con la misma impedancia característica del dispositivo
y la señal de aplica en el puerto 2. . La razón entre las señales medidas entre
el nodo 𝑏1 y el 𝑎2 define ahora este parámetro. El 𝑆12 es el coeficiente de
transmisión entre el puerto 1 y 2 [31].
2.3 Tipos de filtrado básicos para microondas
Los filtros son dispositivos de dos puertos usados para el control de la
respuesta en frecuencia en RF o en sistemas de microondas, permitiendo el
paso de la señal en la banda de paso y atenuándola en la banda de rechazo
[1]. Los tipos de filtrado básicos son (mostrados en la figura 2.5): a) Pasa-Altas,
b) Rechaza-Banda, c) Pasa-Bajas y d) Pasa-Banda.
Fig. 2.5: Tipos de filtrado básicos ideales.
31
2.4 Superficies selectivas de frecuencia (FSS)
Las superficies selectivas de frecuencia, también llamadas dicroicas, son
básicamente un conjunto de elementos idénticos colocados en una matriz
infinita de una o dos dimensiones [18], las cuales transmiten o reflejan ciertas
ondas electromagnéticas en base a su longitud de onda.
2.4.1 Primeras FSS: Principio de funcionamiento
En la década de los 60’s se inició con el estudio de las FSS debido a las
potenciales aplicaciones militares. Se observó que al incidir una onda EM
sobre un conjunto de espiras idealmente infinitas y separadas una distancia
DX (figura 2.6a), estas tienen una respuesta en frecuencia similar a la de una
inductancia. De manera similar, se tienen otro conjunto de espiras pero ahora
de longitud finita (2𝑙) (figura 2.6b), la respuesta ahora en frecuencia es similar
a un circuito LC en serie, debido a que el espacio que queda a lo largo entre
espiras produce capacitancias parásitas [18].
Fig. 2.6: Primeras FSS [18].
Pero los primeros en reportar este fenómeno fueron Marconi y Franklin en
1919 [32]. Ellos fabricaron un reflector parabólico de secciones de alambre y
32
establecieron que la longitud de las espiras debe ser aproximadamente la
mitad de la longitud de la onda incidente o en estudio.
2.4.2. Clasificación y aplicaciones
Las superficies selectivas de frecuencia se pueden clasificar de muchas
maneras, por ejemplo: material de fabricación, respuesta en frecuencia, por la
geometría de sus elementos, etc.
A. Respuesta en frecuencia
En este grupo se encuentran las ya descritas en la sección 2.3. Las FSS
pueden tener respuestas Pasa-Bajas, Pasa-Altas, Rechaza-Banda, Pasa-
Banda o una combinación de las anteriores.
B. Geometría de los elementos
En esta clasificación se hacen divisiones en 4 grupos importantes:
Fig. 2.7: Grupo I: Centro conectado o N polos [18].
Fig. 2.8: Grupo II: Tipo lazo [18].
33
Fig. 2.9: Grupo III: Interior sólido o tipo plato [18].
Fig. 2.10: Grupo IV: Combinaciones [18].
Grupo I: “Centro conectado o N polos”. Aquí entran los dipolos, tripolos, etc.
Cruz de Jerusalén, espiral cuadrada, etc. Ver figura 2.7.
Grupo II: “Tipo lazo”. Todo elemento que sea un bucle, lazo, etc. entra en este
grupo, lazos circulares, cuadrados, etc. Ver figura 2.8.
Grupo III: “Interior sólido o tipo plato”. En este grupo entran todas las formas
que sean sólidas en el área transversal del elemento. Ver figura 2.9.
Grupo IV: “Combinaciones”. En este grupo entran todas las composiciones de
todos los otros grupos. Ver figura 2.10.
34
C. Material de fabricación
Esta clasificación es dividida, para fines de esta investigación, en dos grupos:
las FSS que están fabricadas en una placa metálica sobre una superficie
dieléctrica [3] (metálicas) y las que no se utiliza ningún material metálico en su
fabricación [9] (totalmente dieléctricas).
Al ser las primeras superficies selectivas en fabricarse, las metálicas son las
más abundantes en el medio. Normalmente son placas de cobre con el diseño
de elementos pertenecientes a uno de los cuatro grupos ya mencionados,
fabricados mediante fotolitografía (ver figura 2.11). Esta tarjeta se coloca
encima de una placa de dieléctrico, por ejemplo PET [3], F4B-2[4], etc. Además
de placas de cobre, también se utiliza la técnica de impresión electrónica, en
la cual se imprimen los elementos o celdas directamente sobre la placa
dieléctrica como PET [6] usando tinta metálica como plata, o sobre papeles
con características especiales [7].
Las FSS totalmente dieléctricas (ADFSS “All-Dielectric Frequency Selective
Surfaces), como su nombre lo dicen son enteramente fabricadas con
materiales dieléctricos (figura 2.12). Esto con el fin de obtener mejores anchos
de banda (menores o mayores dependiendo la aplicación y el diseño) debido
al gran factor de calidad (varios miles [33]) o las mínimas pérdidas que dichos
materiales tienen. En esta clasificación, el diseño varía bastante de acuerdo a
su constante dieléctrica y la frecuencia a bloquear [34]. Ya que como se puede
observar en las ecuaciones 2.33 y 2.34, la frecuencia de resonancia depende
puramente de la geometría y de la velocidad de la luz en el material.
35
Fig. 2.11: FSS metálica [35].
Fig. 2.12: FSS totalmente dieléctrica [36].
36
3 DISEÑO Y SIMULACIONES
En este capítulo se presentan los motivos principales por los cuales se eligió
la estructura fabricada en este trabajo de investigación. Así como los
resultados de la optimización de distintos parámetros.
3.1 Selección del tipo de estructura
El objetivo de esta tesis es obtener una superficie selectiva de frecuencia
totalmente dieléctrica a base de agua (휀𝑟 = 80 y 𝑇𝑎𝑛𝛿 = 0.089) y PLA (휀𝑟 =
2.75 y 𝑇𝑎𝑛𝛿 = 1.15𝐸 − 3 ), que transmita la banda de Wi-Fi de 2.4GHz y
bloquee la del internet de las cosas (5GHz). Utilizando la ecuación 2.33 y el
resultado de algunas simulaciones previas en HFSS [37] se obtienen las
siguientes dimensiones para el resonador mostrado en la figura 3.1 para el
modo 𝑇𝐸011 : 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚 . Al diseñar la FSS
correspondiente a esta estructura, mostrada en la figura 3.2, se obtiene la
curva de transmisión en función de la frecuencia mostrada en la figura 3.3. En
esta gráfica se observa una transmisión de 0-3GHz. Luego una banda de
rechazo de 3-5.6GHz, y para frecuencias mayores a 5.6GHz el
comportamiento contiene muchas oscilaciones.
Figura 3.1: Resonador diseñado en HFSS.
37
Figura 3.2: FSS diseñada en HFSS, PLA (blanco) y Agua (azul). 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑠 =1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚, 𝐺𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚, ℎ𝑠 = 2𝑚𝑚.
Figura 3.3: Transmisión en función de la frecuencia de la FSS.
En la gráfica mostrada en la figura 3.3, se puede observar que las primeras
dos resonancias caen en frecuencias de 2.2 y 3.5GHz, las cuales pertenecen
a los modos 𝑇𝐸011 y 𝑇𝐸111 que son identificados por las distribuciones de
campo mostradas en las figuras 3.4 y 3.5.
38
Figura 3.4: Distribución de campo eléctrico del modo 𝑇𝐸011: a) Simulación a 2.2GHz, b) teoría [38].
Figura 3.5: Distribución de campo eléctrico del modo 𝑇𝐸111: a) Simulación a 3.15GHz, b) teoría [38].
Usando el modo “Eigen” de HFSS se obtiene el factor de calidad 𝑄𝑂 de la
estructura de la figura 3.1 el cual está apenas por arriba de 10.5 (en 2.2GHz).
Con esto y debido al comportamiento poco estable que tiene la transmisión en
función de la frecuencia (véase la figura 3.3) se concluye que esta estructura
no es la adecuada para cumplir con los objetivos planteados para esta
investigación. Con lo anterior, se decide hacer 𝑛 número de orificios a través
del resonador, como se muestra en la figura 3.6 y 3.7, para bajar la
permitividad efectiva y subir el factor de calidad, los cuales se miden usando
el modo “Eigen” de HFSS obteniendo los resultados mostrados en las figuras
3.8 y 3.9.
39
Figura 3.6: Estructuras diseñadas en HFSS: a) 𝑛 = 0, b) 𝑛 = 1, c) 𝑛 = 3, d) 𝑛 = 5.
Figura 3.7: Estructuras diseñadas en HFSS (vista frontal): a) 𝑛 = 0, b) 𝑛 = 1, c) 𝑛 = 3, d) 𝑛 =5.
40
Figura 3.8: Permitividad efectiva de simulaciones vs número de orificios.
Figura 3.9: Factor de calidad en función de 𝑛 = 0, 1, 3, 5, 7, 9 en las frecuencias 2.2, 4.1, 5.5,
5.8, 6.1 y 6.4GHz, respectivamente.
Los parámetros utilizados son los siguientes: 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚 , 𝑟𝑐 = 8𝑚𝑚 ,
𝑟𝑏 = 4𝑚𝑚, 𝑔𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚, ℎ𝑠 = 2𝑚𝑚.
41
Al analizar las figuras 3.8 y 3.9, se decide realizar simulaciones de las
superficies selectivas de frecuencia con estructura compuesta por los
resonadores con 𝑛 = 0, 1, 3 y 5. Esto con el fin de comparar la transmisión en
función de la frecuencia de cada una de ellas y así elegir la adecuada para su
fabricación.
Las simulaciones son llevadas a cabo en HFSS en modo “Modal”, donde se
construye una caja usando la herramienta “box” para crear el soporte con
altura ℎ𝑠 y largo de 62mm con el material PLA. Se agrega la estructura a
simular (figuras 3.6 y 3.7) con los materiales de PLA (parte exterior) y agua
(parte interior de color azul). Con esto ya se tiene la FSS diseñada. Por último,
se encierra el diseño en una caja de aire con 𝐿𝑠 = 500𝑚𝑚, como se muestra
en la figura 3.10. Se realiza la simulación usando puertos floquet [39] y
fronteras master y slave, las cuales nos aseguran una respuesta igual a una
placa infinita compuesta por la celda unitaria. En el rango de frecuencias de
0.5 a 10GHz con un ancho de paso de 0.05GHz (191 puntos).
Figura 3.10: Estructura 𝑛 = 0 de una FSS diseñada en HFSS con caja de aire.
42
Como parte de la investigación, se simulan las 4 estructuras propuestas en las
figuras 3.6 y 3.7 con una permitividad relativa y tangente de pérdidas de 80 y
0.089 para el agua [40], 2.75 y 1.15E-3 para el PLA [41] respectivamente, las
cuales se tomaron constantes con la frecuencia.
La transmisión en función de la frecuencia para las 4 estructuras se muestra
en la figura 3.11. Se puede observar que para 𝑛 = 0, existe una banda (3-
5.5GHz aproximadamente) donde la transmisión es menor al 10% (-10dB),
luego una pequeña banda con mayor transmisión y después vuelve a bajar.
Para 𝑛 = 1, al igual que para 𝑛 = 0, existen bandas donde la transmisión es
menor y otras mayor a dicho porcentaje después de 6GHz. Analizando para
𝑛 = 3 𝑦 5 , se puede observar que a partir de 4GHz aproximadamente la
transmisión es menor del 10%. Pero para 𝑛 = 3 la transmisión pasa por
encima de -10dB en 9GHz aproximadamente, mientras que en 𝑛 = 5 se
mantiene por debajo de dicho nivel.
Debido a que el resonador con 𝑛 = 5 muestra una adecuada transmisión en
función de la frecuencia, según los objetivos planteados en esta investigación,
además de que dicha estructura tiene un factor de calidad mayor a las demás,
se selecciona para su fabricación y caracterización.
43
Figura 3.11: Respuesta en frecuencia para la transmisión de la onda incidente en el puerto 1
al puerto 2 (ver la figura 3.10) para diferentes 𝑛.
3.2 Análisis de modos
En esta sección del capítulo se analizan las estructuras con 𝑛 = 0, 1, 5 en
HFSS con solución tipo “Eigenmode” para el estudio de los modos
fundamentales y los espurios identificándolos mediante su distribución de
campo eléctrico. Además se utiliza un circuito de alimentación para la
excitación de los resonadores, el cual está constituido por dos líneas de
transmisión de tipo “MicroStrip (MS)” con una impedancia de 50Ω, como se
muestra en la figura 3.12. El resonador a medir se coloca en el centro de la
placa.
44
Figura 3.12: Circuito simple hecho en FR4 Diseñado en HFSS. 𝑃 = 50𝑚𝑚, 𝑤 = 3.01854𝑚𝑚,
𝐿 = 22.5𝑚𝑚, ℎ = 1.5875𝑚𝑚, 𝐿á𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 1 𝑂𝑧/𝑓𝑡2.
3.2.1. Sólido (𝑛 = 0)
Mediante el modo “Eigenmode” se simula la estructura con 𝑛 = 0 (figura 3.1)
y los siguientes parámetros: 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚 . Además
se lleva a cabo una simulación con el circuito propuesto en la figura 3.12. La
respuesta de la transmisión en función de la frecuencia se presenta en la figura
3.13.
Figura 3.13: Simulación de la transmisión del puerto 1 al 2 para el resonador con 𝑛 = 0.
45
Figura 3.14: Simulación de la transmisión para la FSS con 𝑛 = 0.
En la tabla 3.1 se muestran el modo fundamental y los espurios para la
estructura analizada junto con su frecuencia para los resultados en modo
“Eigenmode”, el resultado con el circuito de la figura 3.12 y el resultado de la
transmisión en función de la frecuencia para la FSS (figura 3.14) con dicha
estructura. Además se muestran las frecuencias de los modos según la teoría
(ecuación 2.33 y Apéndice A).
46
Tabla 3.1: Modos en el resonador 𝒏 = 𝟎
Modo Eigenmode
(GHz)
Líneas
(GHz)
FSS
(GHz)
Teoría
(GHz)
𝐻𝐸𝑀011 2.177 2.200 2.100 2.200
𝐻𝐸𝑀111 3.067 3.150 3.200 2.430
𝐻𝐸𝑀321 3.829 3.850 3.800 3.940
𝐻𝐸𝑀041 4.753 -- 4.650 4.550
𝐻𝐸𝑀141 5.224 5.100 5.200 5.030
𝐻𝐸𝑀251 6.765 6.700 6.800 6.520
𝐻𝐸𝑀171 7.942 8.100 7.900 8.120
𝐻𝐸𝑀471 9.587 -- 9.700 9.610 En la tabla 3.1 se puede observar que algunas resonancias no aparecen en
algunas configuraciones. Esto puede ser debido a la forma de incidencia de la
onda y pérdidas.
3.2.2. Anillo (𝑛 = 1)
De manera análoga se llevan a cabo las mismas simulaciones pero ahora con
la estructura de 𝑛 = 1 (figuras 3.6b y 3.7b). Los resultados de la simulación
con el circuito de la figura 3.12 se muestran en la figura 3.15 y de igual manera
se presentan los resultados de las resonancias en la tabla 3.2.
47
Figura 3.15: Simulación de la transmisión del puerto 1 al 2 para el resonador con 𝑛 = 1.
Figura 3.16: Simulación de la transmisión para la FSS con 𝑛 = 1.
48
En la tabla 3.2 se observa en los resultados de la simulación para FSS (figura
3.16) la desaparición de los primeros dos modos lo cual se debe al orificio
hecho en el centro del resonador y a la forma de incidencia de la onda. Además
se puede ver el corrimiento hacía frecuencias más grandes para los mismo
modos, lo cual significa que la constante dieléctrica del resonador es menor
que para 𝑛 = 0, de acuerdo a la ecuación 2.33.
Tabla 3.2: Modos en el resonador 𝒏 = 𝟏
3.2.3. Revolver4 (𝑛 = 5)
De la misma manera que en los dos puntos anteriores, se presentan los
resultados en la figura 3.17, 3.18 y la tabla 3.3.
En la tabla 3.3 se puede observar nuevamente la desaparición de los dos
primero dos modos en la FSS y el corrimiento a frecuencias mayores por la
disminución de la permitividad.
Modo Eigenmode
(GHz)
Líneas
(GHz)
FSS
(GHz)
Teoría
(GHZ)
𝐻𝐸𝑀011 2.476 2.500 -- 2.490
𝐻𝐸𝑀111 3.138 3.350 -- 2.750
𝐻𝐸𝑀221 3.963 3.950 4.100 4.020
𝐻𝐸𝑀321 4.318 4.500 -- 4.470
𝐻𝐸𝑀041 5.208 5.300 5.300 5.160
𝐻𝐸𝑀141 5.940 5.950 -- 5.710
𝐻𝐸𝑀151 6.923 6.900 -- 6.850
𝐻𝐸𝑀351 7.882 -- 7.800 7.940
𝐻𝐸𝑀161 8.045 8.100 -- 8.020
𝐻𝐸𝑀271 9.748 -- 9.700 9.790
49
Figura 3.17: Simulación de la transmisión del puerto 1 al 2 para el resonador con 𝑛 = 5.
Figura 3.18: Simulación de la transmisión para la FSS con 𝑛 = 5.
50
Tabla 3.3: Modos en el resonador 𝒏 = 𝟓
Modo Eigenmode
(GHz)
Líneas
(GHz)
FSS
(GHz)
Teoría
(GHz)
𝐻𝐸𝑀011 2.781 2.800 -- 2.810
𝐻𝐸𝑀111 3.450 -- -- 3.100
𝐻𝐸𝑀211 4.111 4.150 4.200 3.450
𝐻𝐸𝑀321 5.083 5.100 -- 5.030
𝐻𝐸𝑀231 5.740 5.950 5.700 5.750
𝐻𝐸𝑀341 7.564 7.700 7.150 7.620
𝐻𝐸𝑀251 8.619 8.700 8.250 8.340
𝐻𝐸𝑀071 9.816 -- 9.900 9.720
Teniendo en cuenta todos los resultados de las simulaciones realizadas en los
puntos anteriores, se decide fabricar la estructura de 𝑛 = 5 (Revolver 4), con
los siguientes parámetros.
𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑟𝑐 = 8𝑚𝑚
𝑟𝑏 = 4𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚
𝑔𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚
De la cual se espera una respuesta del tipo Pasa-Bajas, con una frecuencia
de corte en aproximadamente 4GHz. Además de un FBW del 85%, como se
muestra en la figura 3.19.
Aunque el modo para el cual los parámetros fueron calculados fue el 𝑇𝐸011,
para esta estructura el primer modo en excitarse es el 𝐻𝐸𝑀211 con frecuencia
de 4.2GHz, el cual es identificado por la forma del campo eléctrico y magnético
mostrados en las figuras 3.20, 3.21 y 3.22 [38].
51
Figura 3.19: Respuesta en frecuencia Revolver 4.
Figura 3.20: Magnitud del campo eléctrico simulado en HFSS del modo 𝐻𝐸𝑀211: a)
Simulación para 𝑛 = 5 a 4.2GHz, b) simulación para 𝑛 = 0 a 2.7GHz, c) teoría [38].
52
Figura 3.21: Vector del campo eléctrico simulado en HFSS para 𝑛 = 5 del modo 𝐻𝐸𝑀211 a 4.2GHz: a) Vista frontal, b) vista lateral.
Figura 3.22: Vector del campo magnético simulado en HFSS para 𝑛 = 5 del modo 𝐻𝐸𝑀211 a 4.2GHz: a) Vista frontal, b) vista lateral.
Al observa la figura 3.20 se puede llegar a la conclusión de que el modo
excitado es el 𝑇𝐸211 [1], pero al observar detenidamente las figuras 3.21 y 3.22
se puede detectar componentes de los campos eléctrico y magnético en la
dirección de propagación, lo cual define un modo híbrido electromagnético
𝐻𝐸𝑀.
53
3.3 Conclusiones del capítulo
De acuerdo con las secciones anteriores se decide fabricar la superficie
selectiva formada por los resonadores de 𝑛 = 5 con los parámetros siguientes:
𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚 , 𝑟𝑐 = 8𝑚𝑚 , 𝑟𝑏 = 4𝑚𝑚 , 𝑔𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚 , 𝑠 = 1𝑚𝑚 , 𝑑 = 8𝑚𝑚 ,
ℎ𝑠 = 2𝑚𝑚.
Además, de acuerdo a las figuras 3.20, 3.21 y 3.22, el modo excitado es el
𝐻𝐸𝑀211 a pesar de que en un inicio se calcularon las medidas para la
excitación del modo 𝑇𝐸01. Lo anterior es debido a que se agregan orificios al
resonador y según las tablas 3.1, 3.2 y 3.3 son los causantes, además de la
forma de excitación, de suprimir los primeros dos modos.
También, al observar las tablas 3.1, 3.2 y 3.3 se concluye que los modos que
se transmiten en los resonadores dieléctricos diseñados en esta tesis son
híbridos ya que existen componentes eléctricas y magnéticas en la dirección
de propagación.
54
4 MEDICIONES Y RESULTADOS
4.1 Método de medición
La gran variedad de bandas de frecuencias de trabajo que existen hoy en día
aumentan la probabilidad de captar señales no deseadas en mediciones
realizadas en laboratorios de investigación. Por eso es necesario tener un
eficiente método de medición que capte el menor número de estas señales.
En esta sección se comparan dos configuraciones de medición, con el fin de
elegir la adecuada para su implementación en la caracterización de la
superficie selectiva de frecuencia propuesta.
4.1.1. Descripción de las configuraciones
A. Configuración 1
El primer método [42] (al cual llamaremos Setup 1), consiste en dos antenas
(𝑇𝑋 y 𝑅𝑋) dentro de una cámara anecoica, separadas una distancia 𝑑1 y 𝑑2 del
DUT (Device Under Test), como se muestra en la figura 4.1. El DUT se coloca
sobre una placa metálica con una ranura en el centro, como la que se muestra
en la figura 4.3.
55
Figura 4.1: Configuración del Setup 1.
B. Configuración 2
El segundo método [42] (Setup 2), consta de una antena dentro de la cámara
anecoica (𝑅𝑋) y otra fuera (𝑇𝑋), como se muestra en la figura 4.2 [42]. La puerta
de la cámara se mantiene abierta, en donde se coloca una pared metálica
como la de la figura 4.3, con las mismas dimensiones que la apertura de la
puerta. Esto último, con el fin de mantener aislada la cámara de las ondas
electromagnéticas no deseadas (ruido). En la ranura, se coloca el DUT para
su medición.
Figura 4.2: Configuración del Setup 2 [42].
56
En ambas configuraciones, las antenas están conectadas a los cables de un
VNA (Vector Network Analyzer) FieldFox N9918-A, previamente calibrado
mediante la técnica SOLT (Short-Open-Load-Through).
Figura 4.3: Pared metálica.
4.1.2 Transmisión nula
En este apartado, para ambas configuraciones, se coloca una placa, también
de metal, sobre la ranura de la pared metálica, como se muestra en la figura
4.4. Lo anterior para conseguir la menor transmisión del puerto 1 al 2.
Enseguida, se lleva a cabo la medición de la transmisión, esperando (en el
caso ideal) sea nula.
En la figura 4.5 se muestran los resultados de la transmisión del puerto 1 al
puerto 2 para ambas configuraciones. Se puede observar que el Setup 2
siempre se mantiene por debajo de los -45 dB, incluso, a partir de 1GHz
siempre está por debajo de -50dB. En cambio el Setup 1, puede llegar arriba
de -45dB.
57
Figura 4.4: Medición para transmisión idealmente nula: a) Setup 1, b) Setup 2.
Figura 4.5: Comparación de los resultados para ambos métodos.
58
4.1.3 Diseño y simulación de la FSS de metal
Basado en [18], se diseña y simula una FSS, sobre FR4, del tipo Rechaza-
Banda de tal manera que la banda de rechazo esté dentro del rango de
medición de las antenas (0.85-6.5GHz). Esta FSS es diseñada con el fin de
probar el método de medición y comparar los resultados con las simulaciones
antes de fabricar la ADFSS. Con lo anterior, el diseño de la FSS se muestra
en las figuras 4.6 y 4.7, con las siguientes dimensiones: a = b = 40mm; s =
2mm; gap = 3mm; t = 0.035mm (1 oz); h = 1.5875mm. Estos parámetros
son escogidos tal que las resonancias estén dentro del rango de medición de
las antenas (0.85 a 6.5GHz).
Figura 4.6: Representación de la vista superior.
59
Figura 4.7: Representación del corte transversal.
Tomando en cuenta los valores anteriores se lleva a cabo una simulación en
HFSS (figura 4.8) en el rango ya mencionado de las antenas, obteniendo los
resultados mostrados en la figura 4.9. En los cuales se puede observar un
rechazo desde 0.85GHz hasta 1.6GHz aproximadamente.
Figura 4.8: FSS en HFSS: a) Vista 45°, b) Vista frontal.
60
Figura 4.9: Resultados de la simulación en HFSS.
4.1.4 Medición de la FSS de metal
Con los parámetros obtenidos de la simulación, se construye la FSS sobre un
sustrato de FR4 de una cara (figura 4.10). La impresión del patrón se lleva a
cabo por el método de fotolitografía. Una vez fabricada, se mide la transmisión
mediante los métodos descritos anteriormente.
61
Figura 4.10: FSS de cobre fabricada sobre FR4 de una cara.
Debido a las diversas pérdidas y ruido que existen al momento de llevar a cabo
la medición (aire, antenas, aparatos electrónicos, etc.), se tiene que hacer una
normalización de los datos. Esto se logra midiendo primeramente sin el DUT
sobre la ranura (𝑆21 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 ), como se muestra en la figura 4.11. Enseguida,
se coloca la FSS y se mide la transmisión de nuevo (𝑆21 𝐹𝑆𝑆), como se observa
en la figura 4.12. Para obtener solo la respuesta de la superficie selectiva, se
introducen los datos obtenidos en la ecuación (4.1) [42] y se obtienen las
gráficas mostradas en las figuras 4.13 y 4.14.
𝑆21𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙(𝑑𝐵) = 𝑆21𝐹𝑆𝑆(𝑑𝐵) − 𝑆21𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒(𝑑𝐵) = 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛(𝑑𝐵) (4.1)
62
Figura 4.11: Medición de la referencia: a) Setup 1, b) Setup 2.
Figura 4.12: Medición de la FSS: a) Setup 1, b) Setup 2.
63
Figura 4.13: Resultados experimentales vs simulación para el Setup 1.
Figura 4.14: Resultados experimentales vs simulación para el Setup 2.
64
4.1.5 Conclusiones
De acuerdo a los resultados mostrados en las figuras 4.5, 4.13 y 4.14, se
puede concluir que el método del Setup 2 es mejor debido a que los datos
experimentales coinciden de mejor manera con las simulaciones y la antena
receptora se encuentra con mayor aislamiento. Además el método es bastante
simple para su construcción y es también económicamente accesible. Por lo
tanto se escoge esta configuración para llevar a cabo la caracterización de la
FSS propuesta en esta tesis.
4.2 Resumen de la tesis
4.2.1 Caracterización de la estructura propuesta
Una vez seleccionado el método de medición, la caracterización de la FSS,
mostrada en la figura 4.15, se lleva a cabo utilizando un VNA (Vector Network
Analyzer) FieldFox N9918-A previamente calibrado mediante la técnica SOLT
(Short-Open-Load-Through), un par de antenas Vivaldi (1 - 10GHz) y los
materiales ya mencionados previamente en la descripción del Setup 2 (placa
metálica, tapa metálica, cámara anecoica, etc.).
65
Figura 4.15: FSS Impresa en PLA-Agua [43].
Según el método a utilizar, se siguen los siguientes pasos (después de la
calibración):
Medición del parámetro 𝑆21 de la referencia (𝑆21 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒).
Medición del parámetro 𝑆21 del DUT (𝑆21 𝐹𝑆𝑆).
Se ingresan los parámetros de los puntos anteriores en la ecuación 4.1.
El resultado de la aplicación de la ecuación 4.1 se grafica contra la
frecuencia.
66
Figura 4.16: Resultados experimentales: Transmisión vs Frecuencia.
Figura 4.17: Resultados experimentales vs simulación.
67
El resultado experimental de la transmisión vs frecuencia se muestra en la
figura 4.16. En esta figura se observa una transmisión mayor a -10dB de 0.5-
5GHz aproximadamente, y menor a ese mismo nivel de 5GHz en adelante.
Con este comportamiento y tomando -10dB como el nivel límite donde menor
a ese valor no transmite y transmite para valores mayores, se puede concluir
que el resultado experimental tiene un comportamiento del tipo Pasa-Bajas.
En la figura 4.17 se compara el resultado experimental con los resultados de
las simulaciones con y sin pérdidas. En esta gráfica se puede observar que
para la simulación sin pérdidas (verde) de 0-3GHz la transmisión
prácticamente es completa. Para frecuencias mayores (3-6GHz aprox.) la
transmisión es menor a -10dB. Para frecuencias altas (> 6GHz) el
comportamiento es caótico, lo cual puede ser debido a los espurios (mostrados
en la tabla 3.3), además que en 6.5GHz aproximadamente, se observa una
transmisión total de la onda lo que es debido a la configuración de los campos
en esa frecuencia. Para la simulación con pérdidas (roja) y el resultado
experimental (azul) en frecuencias bajas (< 3.5GHz) podemos observar que
hay pérdidas en la transmisión lo cual es debido a las pérdidas de material. El
comportamiento de la simulación es estable, disminuyendo de forma suave,
mientras el resultado experimental tiene oscilaciones alrededor de la curva de
la simulación. Para frecuencias altas (> 4GHz para la simulación y > 5GHz
para la experimental) la transmisión se mantiene por debajo del nivel límite
teniendo muy baja transmisión del puerto 1 al puerto 2. En ambas curvas (roja
y azul) existen muchas oscilaciones las cuales se comprueban que son modos
espurios en la sección 3.3. Con esto se puede concluir que el comportamiento
resultante (tanto simulado como experimental) es del tipo Pasa-Bajas, que es
lo que se esperaba.
De acuerdo con los resultados anteriores se obtiene un filtrado del tipo Pasa-
Bajas con frecuencia de corte en aproximadamente 5GHz obteniendo un FBW
de casi el 65%.
68
4.2.2 Conclusión y comparación de los resultados
Debido al gran uso de dispositivos inalámbricos y a la gran cantidad de bandas
de frecuencias utilizadas para la transmisión de información, los aparatos de
medición quedan expuestos a múltiples interferencias debido a otras señales
que operan alrededor del mismo espectro de frecuencias.
En este trabajo se presenta el diseño, simulación y fabricación de un
dispositivo que da solución a dicha problemática. Además de ser fabricada con
materiales biodegradables y económicos. Se diseña una ADFSS que logre
transmitir la banda de Wi-Fi de 2.4GHz y que bloquee la del internet de la cosas
(5GHz). En las mediciones experimentales (figura 4.16) se puede observar un
comportamiento Pasa-Bajas, con frecuencia de corte en 5GHz,
aproximadamente, con una transmisión mínima menor al 1% (8.2GHz
aproximadamente).
En la tabla 4.1 se comparan los trabajos previos más relevantes con el
resultado de esta tesis.
Tabla 4.1: Comparación de trabajos previos para FSS
Material Tipo de
respuesta
Frecuencias de
Trabajo (corte) (GHz)
BW (GHz)
Metálicas
[3] 2006 Cu-PET B-S 0.8, 1.8 y 2.4 -
[4] 2012 F4B-2 B-P 1.73 y 2.64 1.56-1.87 y
2.55-2.81
[5] 2013 Cu-FR4 B-P 5 4.50-5.41
[6] 2016 Cu-PET B-S 2.4 y 5.3 -
69
[7] 2015 Metapaper B-S 2.4 y 5.4 -
Dieléctricas
[8] 2016 * B-S 10 8.8-11.25
[9] 2016 Cerámico B-S 13 12-14.5
[10] 2016 Cerámico B-S 8 7.19-9.07
[11] 2018 Grafito/PLA L-P 6 0-6
[14] 2016 Brassfill B-S 10 9.8-10.2
[16] 2018 Agua/Silicon B-P y B-S ** **
Este
Trabajo
PLA/Agua L-P 5 0-5
*Simulación. **Depende del No. de Tubos. B-S: Rechaza-Banda. B-P: Pasa-Banda. L-P: Pasa-Baja.
70
5 CONCLUSIONES
Se presenta el diseño, fabricación y caracterización de una superficie
selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica fabricada con materiales
biodegradables (PLA/Agua), la cual tiene una respuesta del tipo Pasa-
Bajas con frecuencia de corte en 5GHz aproximadamente.
Se utiliza la tecnología de impresión en 3D [39] (manufactura aditiva)
para la impresión detallada de contenedores cilíndricos con múltiples
cavidades (orificios) que componen la superficie selectiva presentada
en esta investigación.
Se logra aumentar el factor de calidad 𝑄𝑜 agregando orificios llenos de
aire en la estructura del resonador propuesto en este trabajo.
Se logra una disminución considerable de la constante dieléctrica de los
resonadores individuales al agregar orificios llenos de aire. La
permitividad efectiva inicial era de poco menos de 85 llegando al final a
52.
Se logra suprimir los primeros dos modos de transmisión del resonador
al agregar orificios llenos de aire, como se muestra en las tablas 3.1,
3.2 y 3.3.
71
72
APENDICE A
Las funciones de Bessel son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel:
𝑥2 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ (𝑥2 − 𝛼2)𝑦 = 0 (A.1)
Como A.1 es de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente
independientes [44].
La ecuación de Bessel (A.1) aparece en las soluciones de las ecuaciones de
Laplace y Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas
cilíndricas o esféricas.
Existen dos formas de la solución general de la ecuación diferencial de Bessel
con parámetro 𝛼, que son llamadas funciones de Bessel ordinarias de primera
y de segunda especie.
Funciones de Bessel de primera especie
Las funciones de Bessel de primera especie y orden 𝛼, denotadas como 𝐽𝛼,
son las soluciones a la ecuación de Bessel que son finitas en el origen para 𝛼
no-entero positivos y divergen cuando 𝑥 → 0 para 𝛼 no-entero negativos.
Se define la función de Bessel mediante su expansión de Taylor.
𝐽𝛼(𝑥) = ∑(−1)𝑛
𝑘!Γ(𝑛+𝛼+1)(𝑥
2)2𝑛+𝛼
∞𝑛=0 (A.2)
Donde Γ(𝑧) es la función gamma.
Mediante la herramienta Matlab se encuentran las raíces de dicha función y su
derivada mostradas en las tablas A.1 y A.2.
73
Tabla A.1: Raíces 𝑷𝒏𝒎 de la función de Bessel.
n 𝑷𝒏𝟏 𝑷𝒏𝟐 𝑷𝒏𝟑
0 2.405 5.520 8.654
1 3.832 7.016 10.174
2 5.135 8.417 11.620
Tabla A.2: Raíces 𝑷′𝒏𝒎 de la derivada de la función de Bessel.
n 𝑷′𝒏𝟏 𝑷′𝒏𝟐 𝑷′𝒏𝟑
0 3.832 7.016 10.174
1 1.841 5.331 8.536
2 3.054 6.706 9.970
Funciones de Bessel de segunda especie
Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas como 𝑌𝛼 , son
también soluciones a la ecuación de Bessel pero estas divergen en el origen.
Son definidas mediante la función de primera especie.
𝑌𝛼(𝑥) =𝐽𝛼(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝛼𝜋)−𝐽−𝛼(𝑥)
𝑆𝑖𝑛(𝛼𝜋), ∀𝛼 ∉ ℤ (A.3)
74
APÉNDICE B
Las ecuaciones de Maxwell en la materia se definen:
∇ ∙ �⃗⃗� = 𝜌 (B.1a)
∇ ∙ �⃗⃗� = 0 (B.1b)
∇ × �⃗� = −𝜕�⃗�
𝜕𝑡 (B.1c)
∇ × �⃗⃗� = 𝐽 +𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡 (B.1d)
Para medios no conductores lineales libres de fuentes caracterizados por ε y
μ (𝜎 = 0), las ecuaciones de Maxwell se reducen:
∇ ∙ �⃗� = 0 (B.2a)
∇ ∙ �⃗⃗� = 0 (B.2b)
∇ × �⃗� = −𝜇𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡 (B.2c)
75
∇ × �⃗⃗� = 휀𝜕�⃗�
𝜕𝑡 (B.2d)
Usando (B.2c) y (B.2d) se obtiene:
∇ × ∇ × �⃗� = −𝜇𝜕(∇×�⃗⃗� )
𝜕𝑡= −𝜇휀
𝜕2�⃗�
𝜕𝑡2 (B.3)
Se usa la ecuación (B.2a) y la identidad:
∇ × ∇ × 𝐹 = ∇(∇ ∙ ∇𝐹 ) − ∇2𝐹 (B.4)
∇ × ∇ × �⃗� = −∇2�⃗�
Se sustituye en (B.3):
∇2�⃗� = 𝜇휀𝜕2�⃗�
𝜕𝑡2 (B.5)
De la definición de velocidad de fase:
𝑣𝑝 =𝜔
𝑘=
1
√𝜇𝜀 (B.6)
Usando (B.6) en (B.5):
∇2�⃗� −1
𝑣𝑝2
𝜕2�⃗�
𝜕𝑡2 = 0 (B.7)
76
De manera análoga:
∇2�⃗⃗� −1
𝑣𝑝2
𝜕2�⃗⃗�
𝜕𝑡2 = 0 (B.8)
Como los campos eléctricos y magnéticos tienen dependencia armónica
temporal, es decir:
�⃗� = ℜ(𝜓𝑜⃗⃗ ⃗⃗ e−𝑗𝜔𝑡)
Donde ψ puede ser �⃗� o �⃗⃗� . Por lo tanto se obtiene [28]:
∇2�⃗� +𝜔2
𝑣𝑝2 �⃗� = ∇2�⃗� + 𝑘2�⃗� = 0 (B.9)
∇2�⃗⃗� +𝜔2
𝑣𝑝2 �⃗⃗� = ∇2�⃗⃗� + 𝑘2�⃗⃗� = 0 (B.10)
Cada componente de los campos eléctrico y magnético debe satisfacer las
ecuaciones (B.9) y (B.10), respectivamente.
77
78
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