Superficies
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SUPERFICIES. Martha Lara Cobos
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SUPERFICIES.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Una superficie está representada por
una ecuación en tres variables si las
coordenadas en cada punto de la
superficie satisfacen la ecuación y si
cada punto cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación pertenece a la
superficie.
Las superficies las podemos dividir en
cilíndricas o cilindros y las superficies
cuádricas o simplemente cuádricas .
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
CILINDROS
En el espacio, la gráfica de una ecuación en 2 de las 3
variables x, y, z, es un cilindro cuyas rectas
generatrices son paralelas al eje de la variable que
falta. Es decir, el cilindro se extiende paralelo al eje
correspondiente a la variable que falta.
X2 + Y2 = a2
Ecuación del cilindro en el
espacio
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
LOS CILINDROS LOS PODEMOS
OBTENER DE ACUERDO A LA CURVA
GENERATRIZ QUE LOS ENGENDRE,
ALGUNOS EJEMPLOS PUEDEN SER:
PARABÓLICOS, ELÍPTICOS O
HIPERBÓLICOS, SEGÚN SEAN
GENERADOS POR UNA PARÁBOLA,
ELIPSE O HIPÉRBOLA; SI SON
GENERADOS POR UNA CIRCUNFERENCIA
SE LLAMAN CILINDROS RECTOS
COMO EL VISTO ANTERIORMENTE.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
EJERCICIOS
Describir y representar cada uno de
los cilindros:
y2 + z2 = 16
y2 - x = 8
z2 + x = 4
x2 + y2 + 2x – 4y = 4
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
SUPERFICIES CUÁDRICAS
Una superficie cuádrica es la gráfica de una
ecuación de segundo grado en tres variables x,
y, z.
La forma más general de la ecuación es
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz +
J = 0, donde A, B, C, D, E, F, G, H, I y J son
constantes. Pero por rotación o traslación de
ejes, se puede llevar a alguna de las dos formas
estándar Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 o Ax2 + By2 + Iz
= 0
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
LAS SECCIONES CÓNICAS: ELIPSE, PARÁBOLA
E HIPÉRBOLA TIENEN SU GENERALIZACIÓN AL
ESPACIO TRIDIMENSIONAL EN ELIPSOIDE,
PARABOLOIDE E HIPERBOLOIDE, ES DECIR LAS
SUPERFICIES CUÁDRICAS SON LAS ANÁLOGAS
DE LAS SECCIONES CÓNICAS DEL PLANO PERO
EN TRES DIMENSIONES. ES NECESARIO
DETERMINAR LAS CURVAS DE INTERSECCIÓN
DE LA SUPERFICIE CON LOS PLANOS
PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS (
TRAZAS O SECCIONES TRANSVERSALES) DE
LAS SUPERFICIES.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
ELIPSOIDES.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
ELIPSOIDES
Graficar, hallando las
respectivas trazas
9x2 + y2 + 4z2 = 36
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
HIPERBOLOIDES
HIPERBOLOIDE ELIPTICO DE
UNA HOJA
Su ecuación es de la forma
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Su forma es característica de las
grandes torres de refrigeración, debido
a que esta forma permite crear
estructuras elevadas y resistentes
usando armazones rectilíneos.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
HIPERBOLOIDE ELIPTICO DE
UNA HOJA
Graficar, hallando las
respectivas trazas
-16x2 + 9y2 + 36z2 = 144
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
HIPERBOLOIDE DE DOS
HOJAS
Su ecuación es de la forma
- - = 1
Su gráfica consta de dos hojas
separadas. Sus trazas sobre planos
horizontales son elipses y sobre
planos verticales son hipérbolas. Su
gráfica se muestra en la figura
siguiente.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Graficar, hallando las
respectivas trazas
36x2 - 16y2 - 9z2 = 144
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
CONO ELÍPTICO.
Su ecuación es de la forma
+ - = 0
Tiene la particularidad que si P es cualquier
punto del cono la recta OP está por completo
dentro del cono. Las trazas en los planos xz y yz
son rectas que se intersecan en el origen:
=
=
Y = 0 X = 0
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
CONO ELÍPTICO.
Graficar, hallando las
respectivas trazas
36x2 - 16y2 + 9z2 = 0
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
PARABOLOÍDE ELÍPTICO
Su ecuación es de la forma + =c > 0
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Cúpula del Duomo de Florencia
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
PARABOLOÍDE ELÍPTICO
Graficar, hallando las
respectivas trazas
9x2 - 144y + 16z2 = 0
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
PARABOLOÍDE
HIPERBÓLICO
Su ecuación es de la forma
C > 0
- =
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
Restaurante del
Parque
Oceanográfico de
la Ciudad de las
Artes y de las
Ciencias de
Valencia.
Restaurante los
Manantiales,
Xochimilco, México
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
PARABOLOÍDE HIPERBÓLICO
Graficar, hallando las
respectivas trazas
4x2 - y 2 + 4z = 0
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
GRACIAS.
Ma
rtha
La
ra C
ob
os
