SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO - 15 de Junio

SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO

Es este material se presentan algunas gráficas confeccionadas con el software MAPLE. A continuación de cada una se indica la sentencia utilizada para obtenerla. Tenga en cuenta que: 1) antes de realizar este tipo de gráficas es necesario cargar, por una sola vez durante la sesión de trabajo, el paquete de comandos gráficos, escribiendo with(plots):. 2) después de ingresar cualquier sentencia se debe terminar con ;. Ejercicio 1: Estudiar y representar gráficamente el lugar geométrico de los puntos del espacio, cuya ecuación es:

a) 93 =+ y . x

Esta ecuación representa (en R3) un plano proyectante sobre el plano coordenado XY.

3 y

9

z

x

b) 42 . (Implícitamente la variable y asume cualquier valor). 2 =+ zxLa ecuación podría escribirse y representa un cilindro circular proyectante sobre el plano XZ.

422 =+ zx 40 22 =++ zyx

> with(plots): > implicitplot3d(x^2+z^2=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); c) 16 . 9 22 =+ yx Esta ecuación representa en R3 un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. Se muestran las gráficas

de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones: . ⎩⎨⎧

==+

0169 22

zyx

Observación: La curva directriz es una elipse. Considerada como una curva de R3 se expresa a través de la intersección del cilindro elíptico con el plano coordenado XY. En la gráfica que se muestra, el eje Z es perpendicular al plano del papel. La ecuación de esa elipse como curva en R2 se expresa a través de la ecuación: . 169 22 =+ yx

> implicitplot3d(9*x^2+y^2=16,x=-2..2,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);

1

d) zx 42 = . Esta ecuación representa un cilindro parabólico proyectante sobre el plano X, cuya directriz está dada por

las ecuaciones: . ⎩⎨⎧

==0y

z4x2

> implicitplot3d(x^2=4*z,x=-2..2,y=-5..5,z=-1..1,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); e) 16 . 4 22 =− yxEsta ecuación representa un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XY, cuya directriz está dada por

las ecuaciones: ⎩⎨⎧

==−

0164 22

zyx

> implicitplot3d(4*x^2-y^2=16,x=-10..10,y=-15..15,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); f) 0=− yx . sen

Es la ecuación de un cilindro proyectante sobre el plano XY. Las ecuaciones corresponden

a la curva directriz que se representa en el segundo gráfico. ⎩⎨⎧

==−

00

zysenx

> implicitplot3d(sin(x)-y=0,x=-3*Pi..3*Pi,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); g) 1=zx . Es la ecuación de un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XZ. La curva de ecuaciones:

corresponde a la directriz que se representa junto a la superficie. ⎩⎨⎧

==01

yzx

2

> implicitplot3d(x*z=1,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,labels=[z,y,x],numpoints=9000); h) . Sea A=0=zx ( ){ }0 /,, 3 =ℜ∈ zxzyx .

PzxzxAP ⇔=∨=⇔=⇔∈ 000 pertenece al menos a uno de los planos coordenados YZ o XY. i) . Es la ecuación de un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. 08565 22 =−++ yyxx

>implicitplot3d(5*x^2+6*x*y+5*y^2-8=0,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); j) . No existe ningún punto del espacio R3 cuyas coordenadas verifiquen esta ecuación. 022 =+x Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica, en los siguientes casos:

a) Generatriz paralela al eje “z” y directriz dada por las ecuaciones: . ⎩⎨⎧

==

Γ0

22

zyx

La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:

(1), cuando

),,( zyxP

ℜ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+===

ttzz

yyxx

g

0

0

0

) ( )0,00 , zyx varia en Γ .

( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (2). ⎪⎩

⎪⎨⎧

==02

0

02

0

zyx

Despejando de (1) y reemplazando en (2) resulta: ( 000 ,, zyx ) .0

22

ℜ∈⎩⎨⎧

=−=

ttz

yx

En consecuencia: zyx ∀= 22 es la ecuación de la superficie cilíndrica parabólica proyectante sobre el plano XY pedida. Se muestra su gráfica y la de la curva directriz, contenida en el plano XY.

>implicitplot3d(x^2=2*y,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=10000);

3

b) Generatriz paralela al vector (1, -1, 3) y la directriz es la curva . ⎩⎨⎧

==−

Γ5

149 22

xyz

La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:

(3), cuando

),,( zyxP

∈t,t3zz

t-yytxx

)g

0

0

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+==

+=( )0,00 , zyx varía en Γ .

( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (4). ⎪⎩

⎪⎨⎧

==−

Γ5

149

0

20

20

xyz

Despejando de (3) y reemplazando en (4) resulta: .

Eliminando el parámetro t, obtenemos la ecuación:

( 000 ,, zyx )⎩⎨⎧

=−=−−−

51)2(4)3(9 22

txtytz

( )( ) ( )( ) 1524539 22 =−+−−− xyxz que representa la superficie cilíndrica hiperbólica buscada.

Se muestran las gráficas de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones: . ⎩⎨⎧

==−

Γ5

149 22

xyz

> implicitplot3d(9*(z-3(x-5))^2-4*(y+2(x-5))^2=1,x=4.5..5.5,y=-6..3,z=-2..5,labels=[x,z,y],numpoints=10000); c) Proyectante sobre el plano YZ, directriz la circunferencia en ese plano de centro (0, 1, 0) y radio 2. La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:

(5), cuando

),,( zyxP

ℜ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

+=t

zzyy

txxg

0

0

0

) ( )0,00 , zyx varia en Γ .

( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (6). ⎪⎩

⎪⎨⎧

==+−

Γ0

4)1(

0

20

20

xzy

Despejando de (6) y reemplazando en (5) resulta: . Luego ( 000 ,, zyx )⎩⎨⎧

=−=+−

Γ0

4)1( 22

txzy

( ) xzy ∀4=+1 22 es la ecuación de la superficie cilíndrica circular proyectante sobre el plano YZ buscada.

4

>implicitplot3d((y-1)^2+z^2=4,x=-5..5,y=-2..4,z=-2..2);

d) Generatriz paralela a la recta de ecuación 32

21 +=−

=− zyx cuya directriz es la hipérbola equilátera

con centro en el origen de coordenadas, eje focal se encuentra sobre la recta de ecuación xy = . La mitad de la distancia focal es de longitud igual a 2. Debemos encontrar la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus focos se encuentran sobre la recta

xy = . Pensando en que los ejes x e y han sido rotados 45º, llegamos a que la ecuación de la hipérbola en

el sistema rotado es: 12`

2` 22

=−yx

(7).

Reemplazamos en (7) las ecuaciones de rotación correspondientes: ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+=

)(22´

22´

yxy

yxx, y obtenemos las

ecuaciones (8). ⎩⎨⎧

==

Γ01

zyx

La superficie cilíndrica está formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:

(9) cuando

),,( zyxP

ℜ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

ttzz

tyytxx

g

0

0

0

2) ( )0,00 , zyx varia en Γ .

Despejando de (9) y reemplazando en (8) resulta: ( 000 ,, zyx ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=−=−−

012

tztytx

. Eliminando el

parámetro t obtenemos: ( ) ( ) 12 =−− zyzx .

> implicitplot3d((x-z)*(y-2*z)=1,x=-10..10,y=-4..4,z=-2..2,numpoints=10000,labels=[y,z,x]); e) Generatriz paralela a la recta de ecuación zyx −=+=− 31 y cuya directriz es la curva

(10). Estudiar y graficar la curva directriz. ⎩⎨⎧

==++

00

zyxyx

Como la curva directriz es una ecuación de 2º grado con término rectangular, efectuamos la rotación de ejes correspondiente a 45º para identificar de qué curva se trata.

5

Las ecuaciones de rotación están dadas por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

−=

´)´(22

´)´(22

yxy

yxx, reemplazándolas en (10) obtenemos

14´

42´ 22

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − yx, que es la ecuación de una hipérbola con centro en el punto de coordenadas:

( ) ( )0,2´´, =yx y vértices en ( ) ( )0,22´´, +±=yx . La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:

(11), cuando

),,( zyxP

ℜ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

ttzztyytxx

g

0

0

0

) ( )0,00 , zyx varia en Γ .

( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (12). ⎩⎨⎧

==++

00

0

0000

zyxyx

Despejando de (11) y reemplazando en (12) resulta: . ( 000 ,, zyx )⎩⎨⎧

=+=−+−+−−

00)()()()(

tztytxtytx

Eliminando t obenemos la ecuación de la superficie cilíndrica buscada:

( )( ) ( ) ( ) 0=++++++ zyzxzyzx

> implicitplot3d((x+z)*(y+z)+(x+z)+(y+z),x=-12..12,y=-12..12,z=-3..3,numpoints=10000,labels=[y,z,x]); Ejercicio 3: Hallar la ecuación de la superficie cónica, en los siguientes casos:

a) Vértice V (1,1,2) y directriz ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+Γ

0

194

22

z

yx.

La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 1, 2) y a un

punto de la directriz ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+Γ

0

194

22

z

yx.

6

Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: 0

)2(12

)1(11

)1(11

)

0

0

0

≠

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

−+=

−+=

t

zt

z

yt

y

xt

x

g , con

variando en . (Notar que estas ecuaciones paramétricas no permiten obtener las coordenadas del vértice del cono). ( 000 ,, zyx ) Γ

Luego (13). ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−+=−+=

tzztyytxx

)2(2)1(1)1(1

0

0

0

( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+Γ0

194

0

20

20

z

yx(14)

Reemplazando (13) en (14) resulta: ( )( ) ( )( )

⎩⎨⎧

=−+=−++−+

0)2(236114119 22

tztytx

.

Eliminando el parámetro entre ambas se obtiene: ( ) 362

12142

)1(2192

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+z

yz

x.

La expresión del primer miembro no está definida en (1, 1, 2) que son las coordenadas del vértice.

La ecuación ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )zyzxz −=−+−+−+− 23612241229 22 , se satisface también para x = 1, y = 1, z = 2, y constituye la ecuación de la superficie pedida. (Por la razón dada anteriormente, la gráfica no muestra el vértice del cono. No se visualiza ese punto que también pertenece a la superficie)

> implicitplot3d(9*(1+2*((x-1)/(2-z)))^2+4*(1+2*((y-1)/(2-z)))^2=36,x=-10..6,y=-8..8,z=-1..5,numpoints=5000); d) Directriz constituida por todos los puntos P(x, y) cuya distancia al punto Q (1, 2) es igual a la mitad de la distancia de P(x, y) a la recta de ecuación y = 8. Vértice V (1, 0, 4). Con estas condiciones buscamos la ecuación de la directriz:

)),(21),( rPdQPd = )),(

41),( 22 rPdQPd =⇔

7

( ) ( ) ( ) ⇔=−+−+−+−⇔−=−+− 0164414418

4121 222222 yyyyxyyx ( ) 1

16121 22

=+− yx , que

representa a una elipse con centro en (1, 0) y focos sobre la recta x =1.

La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 0, 4) y a un

punto de la directriz ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+−

Γ0

11612

1 22

z

yx .

Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: 0

)4(14

1

)1(11

)

0

0

0

≠

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

=

−+=

t

zt

z

yt

y

xt

x

g , con

variando en Γ . ( 000 ,, zyx )

Luego (15). ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+==

−+=

tzztyy

txx

)4(4

)1(1

0

0

0

( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+−

Γ0

11612

1

0

20

20

z

yx (16).

Reemplazando (15) en (16) resulta: ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=+−−+

0)4(4

116

)(12

1)1(1 22

tz

tytx. Eliminando el parámetro entre ambas se

obtiene la ecuación: ( )( ) ( )

144

134

2

2

2

2

=−

+−−

zy

zx . El primer miembro no está definido en (1, 0, 4) que son las

coordenadas del vértice.

La ecuación ( ) ( )222 43314 −=+− zyx , se satisface también para x = 1, y = 0, z = 4 y constituye la

ecuación de la superficie pedida.

> implicitplot3d((3/4)*((x-1)^2/(z-4)^2)+y^2/(z-4)^2=1,x=-10..10,y=-10..10,z=-2..10,numpoints=5000); Ejercicio 4: Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al rotar las curvas siguientes alrededor del eje indicado. Identificar y representar gráficamente, si es posible, la superficie obtenida: a) Parábola de vértice en el origen de coordenadas y foco F (3,0), alrededor del eje X.

8

La Generatriz es la parábola de ecuaciones: . Si consideramos

, la ecuación de la superficie que se pide es:

0;0122 ==− zxy

xyyxF 12),( 2 −= 0)zy,x(F 22 =+± . Operando se obtiene la ecuación: 01222 =−+ xzy , que corresponde a un paraboloide de revolución.

> implicitplot3d(y^2+z^2=12*x,x=0..6,y=-10..10,z=-10..10,numpoints=5000); b) Hipérbola de focos (0,10) y (0, -10) que pasa por el punto P(2,3), alrededor del eje Y.

Las ecuaciones de la hipérbola son de la forma 1100 2

2

2

2

=−

−a

xay

, con z = 0.

La ecuación de la superficie de revolución que resulta de rotar dicha hipérbola alrededor del eje Y es:

1100100 2

2

2

2

2

2

=−

−−

−a

za

xay

El valor de a 2 se obtiene teniendo en cuenta que P (2, 3, 0) pretende a la superficie. Esta superficie de revolución recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas.

> implicitplot3d(y^2/8.63-x^2/25.6-z^2/25.6,x=-5..5,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[y,x,z]);

c) eje Y. ,2

ℜ∈⎩⎨⎧

==

Γ ttytx

Son ecuaciones paramétricas de la parábola contenida en el plano XY. Pasando a la forma cartesiana y considerando a la curva en el espacio, sus ecuaciones son:

. 0;2 == zxy

La superficie de revolución que se genera tiene por ecuación: 222 zxy += y su gráfica presenta el siguiente aspecto:

9

> implicitplot3d(y^2=sqrt(x^2+z^2),x=-5..5,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[z,x,y] );

d) eje X ,0cos2

π≤≤⎩⎨⎧

==

Γ tseny

tx

Son ecuaciones paramétricas de un arco de elipse, cuya ecuación cartesiana es de la forma: 14

22

=+ yx

con . 10 ≤≤ y

Considerando a la generatriz como una curva en el espacio, sus ecuaciones son: 0;14

22

==+ zyx.

Al girar esta curva alrededor del eje X, se obtiene un elipsoide de revolución de ecuación:

14

222

=++ zyx

: > implicitplot3d(x^2/4+y^2+z^2=1,x=-3..3,y=-2..2,z=-2..2,numpoints=10000); Ejercicio 5: Dados los puntos A(3,2,0) y B(2,1,-5) verificar que el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) tal que BPAP⊥ es una esfera. Encontrar las coordenadas del centro y su radio.

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )032365

0312230

)5,1,2(,2,3

222 =+++−++−⇔

=++−−+−−⇔=

+−−=−−=

zzyyxxzzyyxxBPxAP

zyxBPzyxAP

427

25

23

25

0425

252

49

236

425

25

222

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇔

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

zyx

zyx

Se trata de la ecuación de una esfera con centro ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

25,

23,

25C y radio 3

23

=r .

10

> with(plottools):c := sphere([5/2,3/2,-5/2], sqrt(27/4)):plots[display](c, scaling=constrained); Ejercicio 6: Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto C(2,3,-1) y que además se intersecta

con la recta determinado un segmento de longitud 16. ⎩⎨⎧

=−+−=++−0843

020345zyxzyx

Unas ecuaciones paramétricas de la recta dada son: r)ℜ∈

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+−=

+−=

t

tz

ty

tx

22

25

241

.

Para encontrar el radio miremos el siguiente dibujo:

16

d C

Sea d la distancia del centro a la recta, sabemos que: ,),(0

u

uCPrCd

∧= donde es un punto de la

recta y

0P

u es un vector dirección de la misma. Haciendo los cálculos se obtiene que 15),( =rCd .

Aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la esfera es: 289815 22 =+=r .

La ecuación de la esfera es: ( ) ( ) ( ) 289132 222 =++−+− zyx . Su gráfica tiene el siguiente aspecto:

> with(plottools):c := sphere([2,3,-1], sqrt(289)):plots[display](c, scaling=constrained);

11

7) Identificar y graficar las superficies cuyas ecuaciones son las siguientes:

a) 191625

222

=++zyx

b) c) xzy 422 =+ 14916

222

=−−zyx

d) 11649

222

=−+zyx

e) 94

22 xyz −= f) 1494

222

=+−zyx

g) h) 04 222 =+− zyx 022 =− zy

a) 191625

222

=++zyx

. Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada elipsoide. Realizamos a

continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica:

i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados

• eje X: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −− ,,´ simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:

19

)(16

)(25

191625

222222

=−

+−

+⇔=++zyxzyx

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X. • eje Y: Por la misma razón, si el punto ),,( zyxQ pertenece a la superficie, el

punto ),, simétrico de Q con respecto al eje Y, también pertenece. (´ zyxQ −− La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Y.

• eje Z: Si ),,( zyx pertenece a la superficie, ),,R (´ zyxR −− simétrico de R con respecto al eje Z

también pertenece. La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Z.

En síntesis se trata de una superficie cuya gráfica es simétrica con respecto a los tres ejes coordenados, llamados ejes de simetría. Por lo tanto el origen de coordenadas es el centro de simetría.

Simetrías con respecto a los planos coordenados

• plano XY: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −,,´ simétrico de P con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que:

19

)(1625

191625

222222

=−

++⇔=++zyxzyx

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY. • plano YZ: Si el punto ),,( zyxQ pertenece a la superficie, el punto ),, simétrico de Q con

respecto al plano YZ, también pertenece. (´ zyxQ −

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano YZ. • plano XZ: Si ),,( zyx pertenece a la superficie, ),,R (´ zyxR −− simétrico de R con respecto al plano

XZ, también pertenece.

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ.

En síntesis, la gráfica es simétrica respecto a los planos coordenados.

12ii) Intersecciones con los ejes coordenados (vértices):

• eje X:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=++

00

191625

222

zy

zyx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=

⇔00

125

2

zy

x

. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==±=

⇔00

5

zyx

A (-5, 0, 0) y A´ (5, 0, 0) son los puntos en que la superficie intercepta al eje X.

• eje Y: B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0) son los puntos de intersección con el eje Y.

• eje Z: C (0, 0, -3) y C´ (0, 0, 3) son los puntos de intersección con el eje Z.

iii) Intersecciones con los planos coordenados (trazas o secciones principales):

• plano XY: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++

0

191625

222

z

zyx⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

0

11625

22

z

yx.

Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 4 sobre el eje Y.

• plano XZ: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++

0

191625

222

y

zyx⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

0

1925

22

y

zx.

Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.

• plano YZ: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++

0

191625

222

x

zyx⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

0

1916

22

x

zy.

Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 4 sobre el eje Y, y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.

iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:

• plano paralelo al plano coordenado YZ: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=+⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++

kx

kzy

kx

zyx25

1916

191625

222222

Si 5<k , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.

Si 5>k , no hay intersección.

Si 5=k , se obtienen los puntos A (-5, 0, 0) y A´(5, 0, 0).

• plano paralelo al plano coordenado XZ: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=+⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++

ky

kzx

ky

zyx16

1925

191625

222222

Si 4<k , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.

Si 4>k , no hay intersección.

Si 4=k , se obtienen los puntos B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0).

13

• plano paralelo al plano coordenado XY: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=+⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++

kz

kyx

kz

zyx9

11625

191625

222222

Si 3<k

, se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. Si 3>k , no hay intersección.

Si 3=k , se obtienen los puntos C (0, 0, -3) y C´(0, 0, 3). Se trata de una superficie acotada. La figura muestra el elipsoide junto con algunas trazas que resultan de las intersecciones del mismo con planos paralelos al plano coordenado XY.

> implicitplot3d(x^2/25+y^2/16+z^2/9=1,x=-5..5,y=-4..4,z=-3..3,labels=[y,x,z]); b) . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Paraboloide circular o de revolución. Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica:

xzy 422 =+

i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados

• eje X: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −− ,,´ simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:

xzyxzy 4)()(4 2222 =−+−⇔=+

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X.

• La gráfica no es simétrica con respecto a los ejes Y y Z.

Esta superficie carece de centro de simetría. Simetrías con respecto a los planos coordenados

• plano XY: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −,,´ simétrico de P con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que:

x zyxzy 4)(4 2222 =−+⇔=+

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY.

• plano YZ: Si el punto ),,( zyxQ pertenece a la superficie, el punto ),, simétrico de Q con respecto al plano YZ, también pertenece.

(´ zyxQ −

La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ. • El paraboloide circular no es simétrico con respecto al plano YZ.

ii) Intersecciones con los ejes coordenados: en todos los casos resulta el origen de coordenadas.

14iii) Intersecciones con los planos coordenados:

• plano XY: . ⎩⎨⎧

==+

0422

zxzy⇔

⎩⎨⎧

==0

42

zxy

Se trata de una parábola contenida en el plano XY, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0).

• plano XZ: . ⎩⎨⎧

==+

0422

zxzy⇔

⎩⎨⎧

==042

yxz

Se trata de una parábola contenida en el plano XZ, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0).

• plano YZ: , resulta el origen de coordenadas (0, 0, 0) ⎩⎨⎧

==+

0422

zxzy⇔

⎩⎨⎧

==+

0022

xzy


• plano paralelo al plano coordenado YZ: ⎩⎨⎧

==+

kxxzy 422

⇔⎩⎨⎧

==+

kxkzy 422

Si 0<k , no se obtiene ningún punto.

Si 0>k , se obtienen circunferencias con centro en (k, 0, 0) y radio k2 , que aumenta a medida que k crece.

Si 0=k , se obtiene el origen de condenadas.

• plano paralelo al plano coordenado XZ: ⎩⎨⎧

==+

kyxzy 422

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ky

kxz4

42

2

Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Y = k, con vértice en el

punto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0,,

4

2

kky foco en ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 0,,1

4

2

kk. Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida que

k aumenta.

• plano paralelo al plano coordenado XY: ⎩⎨⎧

==+

kzxzy 422

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ky

kxy4

42

2

Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Z = k, con vértices en el

punto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kk ,0,

4

2

y foco en ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ kk ,0,1

4

2

. Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida que

k aumenta

El Paraboloide circular es una superficie no acotada.

En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide con planos paralelos al plano coordenado XY. Las intersecciones de la superficie con planos paralelos al plano YZ son circunferencias, por lo tanto se trata de un Paraboloide de revolución.

15> implicitplot3d(y^2+z^2=4*x,x=-1..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[x,z,y]);

c) 14916

222

=−−zyx

. Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de dos hojas.

Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías

Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores, podemos concluir que la superficie es simétrica con respecto a:

• Los tres ejes coordenados • Los tres planos coordenados. • El origen de coordenadas.

ii) Intersecciones con los ejes coordenados:

• eje X: (-4, 0, 0) y (4, 0, 0)

• no existe intersección con el eje Y

• no existe intersección con el eje Z

iii) Intersecciones con los planos coordenados:


⎪⎨⎧

=

=−

0

1916

22

z

yx, se trata de una hipérbola contenida en el plano XY con focos sobre el

eje X.


⎪⎨⎧

=

=−

0

1416

22

y

zx, se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre el

eje X.


⎪⎨⎧

=

−=+

0

149

22

x

zy, no existe ningún punto cuyas coordenadas verifiquen las ecuaciones

del sistema. Por lo tanto no hay intersección con el plano YZ.


• plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k, 11649

222

−=+kzy

Si 4>k , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k. A medida que k aumenta, las elipses “se agrandan” indefinidamente.

Si 4<k , no hay intersección.

Si 4=k , se obtienen los puntos (-4, 0, 0) y (4, 0, 0).

• plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, 9

1416

222 kzx+=−

Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.

• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 4

1916

222 kyx+=−

16

Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.

Se trata de una superficie no acotada.

En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de dos hojas con planos paralelos al plano coordenado XY.

> implicitplot3d(x^2/16-y^2/9-z^2/4=1,x=-15..15,y=-15..15,z=-10..10,numpoints=5000, labels=[y,x,z]);

d) 11649

222

=−+zyx

. Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de una hoja.

Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías

Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores podemos concluir que la misma presenta simetrías con respecto a:


ii) Intersecciones con los ejes coordenados:

• eje X: (-3, 0, 0) y (3, 0, 0)

• eje Y: (0, -2, 0) y (0, 2, 0)

• no existe intersección con el eje Z

iii) Intersecciones con los planos coordenados:


⎪⎨⎧

=

=+

0

149

22

z

yx, se trata de una elipse contenida en el plano XY con focos sobre el

eje X.


⎪⎨⎧

=

=−

0

1169

22

y

zx, se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre el

eje X.


⎪⎨⎧

=

=−

0

1164

22

x

zy, se trata de una hipérbola contenida en el plano YZ con focos sobre el

eje Y. 17



1164

222 kzy−=−

Si 3<k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.

Si 3>k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano X = k.

Si 3=k , se obtienen dos rectas de ecuaciones: zy21

±= sobre los planos X= ± 3.


1169

222 kzx−=−

Si 2<k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.

Si 2>k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano Y = k.

Si 2=k , se obtienen dos rectas de ecuaciones: zx43

±= sobre los planos Y= ± 2.

• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 4

149

222 kyx+=+

Cualquiera sea el valor de k, resultan elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los semiejes de las elipses aumentan indefinidamente.

Se trata de una superficie no acotada.

En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de una hoja con planos paralelos al plano coordenado XY.

> implicitplot3d(x^2/9+y^2/4-z^2/16=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]);

e) 94

22 xyz −= . Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Paraboloide hiperbólico.

i) Simetrías

Es simétrica con respecto a:

• eje Z

• planos coordenados YZ y ZX. ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas (0, 0, 0) iii) Intersecciones con los planos coordenados:

18


⎪⎨⎧

=

=−

0

049

22

z

yx, se trata de un par de rectas, contenidas en el plano XY que contienen al

de coordenadas, de ecuaciones: xy32

±= , z =0.

• plano XZ: , se trata de una parábola contenida en el plano XZ con foco sobre el eje Z

en el punto

⎩⎨⎧

=−=

092

yzx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

49,0,0 y ramas hacia el sentido negativo del eje z.

• plano YZ: , se trata de una parábola contenida en el plano YZ con foco sobre el eje Z,

en el punto (0, 0, 1) y ramas hacia el sentido positivo del eje z.. ⎩⎨⎧

==0

42

xzy



22 kzy+= , o ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

94

22 kzy . Se obtienen

parábolas cuyos vértices se alejan del plano YZ cuando k aumenta en valor absoluto. Las ramas de las parábolas son ascendentes en el sentido positivo del eje Z .


22 kzx+−= , o ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

49

22 kzx . Se trata de

parábolas cuyos vértices se alejan del plano XZ cuando k aumenta en valor absoluto.

Si 2<k , las ramas “se abren” en el sentido negativo del eje Z.

Si 2>k , las ramas “se abren” en el sentido positivo del eje Z

• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, kxy=−

94

22

. Estas ecuaciones representan

hipérbolas para distintos valores de k.

Si k > 0, el eje focal es paralelo al eje Y.

Si k < 0, el eje focal es paralelo al eje X.

Si k crece en valor absoluto, los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.

Es una superficie no acotada. En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide hiperbólico con planos paralelos al plano coordenado XY. MEJORAR LA SUP

> implicitplot3d(z=y^2/4-x^2/9,x=-10..10,y=-10..10,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[y,x,z]);

19

f) 1494

222

=+−zyx

. Es la ecuación de un Hiperboloide de una hoja. La superficie no se intercepta con el

eje coordenado Y. Se muestran dos gráficas de la misma superficie.

> implicitplot3d(x^2/4-y^2/9+z^2/4=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]); g) . Es la ecuación de una superficie cónica. Realizamos su estudio para representarla luego gráficamente.

04 222 =+− zyx

i) Simetrías

La superficie presenta simetrías con respecto a:


ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas iii) Intersecciones con los planos coordenados:

• plano XY: , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano XY.

Sus ecuaciones son: 0,⎩⎨⎧

==−

04 22

zoyx

2 =±= zyx .

• plano XZ: , se obtiene el origen de coordenadas. ⎩⎨⎧

==+

0022

yzx

• plano YZ: , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano YZ.

Sus ecuaciones son: 0,⎩⎨⎧

==+−

004 22

xzy

2 =±= xyz iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:

• plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k, 22 , o 24 kzy =− 14

2

2

2

2

=−kz

ky

. Para

distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y. Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano YZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.

• plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, 22 .Cualquiera sea el valor de k, resultan circunferencias con centro en (0, k, 0) sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta las circunferencias “se alejan” del plano XZ y su radio crece indefinidamente.

2 4kzx =+

20

• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 22 o su equivalente 24 kxy =−

14

2

2

2

2

=−kx

ky

. Para distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y.

Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.

Podemos concluir que se trata de una superficie no acotada. Esta superficie recibe el nombre particular de cono circular recto ya que las intersecciones con los planos Y = k son circunferencias con centros sobre el eje Y.

> implicitplot3d(x^2+z^2=4*y^2,x=-15..15,y=-6..6,z=-15..15,labels=[y,x,z]); h) . Esta ecuación es equivalente a: 022 =− zy ( ) ( ) 0=+− zyzy , que representa a un par de planos proyectantes, que contienen al eje X, de ecuaciones: xzyxzy ∀=+∀=− 0;0 . En la gráfica que sigue se muestran ambos planos.

> implicitplot3d([y=z,y=-z],x=-10..10,y=-5..5,z=-5..5,labels=[y,x,z]); 8) Hallar e identificar las ecuaciones de las proyecciones sobre los planos coordenados de las siguientes curvas:

a) ⎩⎨⎧

=−+=+

)18(02)17(

)22

zyxxzy

γ

La ecuación (17) es un paraboloide de revolución que tiene al eje X como eje de rotación. La ecuación (18) representa a un plano que contiene al origen de coordenadas. Si observamos las gráficas de ambas superficies, tal como se muestran en las figuras que siguen, vemos que la intersección entre ambas aparenta ser una circunferencia o una elipse.

• Si despejamos x en (18) y reemplazamos en (17) obtenemos la ecuación:

xzyzy ∀=−++ 0222 (19).

Todo punto cuyas coordenadas satisface el sistema también satisface la ecuación (19) que

es consecuencia del sistema. ⎩⎨⎧

=−+=+

02

22

zyxxzy

21

No vale la recíproca, es decir, existen puntos cuyas coordenadas satisfacen (19) pero no el sistema.

Completando cuadrados en (19) se obtiene: ( ) xzy ∀=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

45

211

22 , que representa una superficie

cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con generatrices paralelas al eje Z. La misma es un cilindro proyectante sobre el plano YZ.

La proyección de )γ sobre el plano YZ, resulta de la intersección del cilindro proyectante con el plano YZ. Se

trata de la circunferencia de ecuaciones: ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

045

211

22

x

zy. Su centro es (0, -1,

21

) y su radio 25

.

Las dos primeras gráficas muestran diferentes vistas de las superficies (17) y (18). La tercera y cuarta incluyen al cilindro proyectante cuyas ecuaciones están dadas en (19). La quinta muestra la circunferencia (proyección de )γ sobre el plano YZ).

> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,(y+1)^2+(z-1/2)^2=5/4],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4, numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot((y-1)^2+(z-1/2)^2=5/4,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000); • Procediendo de la misma forma, para obtener la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XZ despejamos la variable y de (18) y la reemplazamos en la (17), resultando:

yxzzx∀=−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 0

22

2

, que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con

generatrices paralelas al eje Y (cilindro proyectante sobre el plano XZ). La curva )γ proyectada sobre el plano XZ es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas verifican las ecuaciones:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

0

02

22

y

xzzxo ⎩⎨⎧

==−+−

00452 22

yxzxzx

Como en la primera de ellas aparece el término x z será necesario efectuar una rotación de ejes para obtener su forma reducida. Se deja como ejercicio comprobar que se trata de una elipse.

22

> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0,x=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000); • Por último, despejamos la variable z de (18) y la reemplazamos en (17), para obtener:

zxyxyx ∀0=5+4+ 22 , que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con generatrices paralelas al eje Z (cilindro proyectante sobre el plano XY).

La proyección de )γ sobre el plano XY es la curva de ecuaciones: . Es necesario

efectuar una rotación para obtener la forma reducida. Verifique que se trata de una elipse. ⎩⎨⎧

==−++

0054 22

zxyxyx

> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2+4*x*y+5*y^2-x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2+4*x*y+5*y^2-x=0,x=-5..5,y=-5..5,numpoints=5000);

b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−

)21(022

)20(234)

22

yx

zyxγ

La primera de las ecuaciones corresponde a un paraboloide hiperbólico y la segunda a un plano proyectante sobre el XY. • Si despejamos 22 −= yx en (21) y reemplazamos en (20) obtenemos la ecuación:

( ) xzyy∀=−

− 234

22 22

, Trabajando algebraicamente se obtiene: xzy ∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

413

23 2

, ecuación

que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con generatrices paralelas al eje X.

La proyección de )γ sobre el plano YZ resulta de la intersección del cilindro proyectante con ese plano.

23

Es una parábola de ecuaciones: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

0413

23 2

x

zy. En las figuras que siguen se muestran las

superficies y la curva.

> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(y-3/4)^2=3/2*(z+1)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((y-3/4)^2=3/2*(z+1),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]);

• Para obtener la ecuación del cilindro proyectante sobre el plano XZ , despejamos 12+=

xy de la

ecuación (21) y lo reemplazamos en la (20), obteniendo: ( ) yzx ∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

41121 2 . La proyección del

cilindro parabólico sobre el plano XY es la parábola de ecuaciones: ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

041121 2

y

zx. En las figuras

que siguen se pueden ver las superficies y la curva proyectada.

> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(x-1)^2=12*(z+1/4)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((x-1)^2=12*(z+1/4),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]);

• La curva 0=2+2

2=34)

22

yx

zyx

λ está contenida en el plano proyectante: zyx ∀=+− 022 .

La proyección de )λ sobre el plano XY son los puntos de la recta: (traza del plano

proyectante sobre el sobre XY). ⎩⎨⎧

==+−

0022

zyx

24

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=++

)23()22(16

)22

222

zyxzyx

γ

La ecuación (22) corresponde a una esfera y la (23) a un parabolide de revolución. • Para encontrar la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XY, reemplazamos en (22) 22 yx + por

z, resultando: yx . Esta ecuación se verifica para zz ∀∧∀=−+ 0162 yx ∀∧∀z +−=

2651

y

yxz ∀∧∀+−

=2

651(representan un par de planos paralelos al XY).

La curva λ ) está contenida en el plano yxz ∀∧∀+−

=2

651. Podemos representar a la misma a través

de los sistemas: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

=+

2651)

22

z

zyxγ o equivalentemente

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=+

2651

265122

z

yx. En el primer sistema la curva

se expresa como intersección del paraboloide de revolución con el plano, en el segundo sistema la curva se expresa como intersección del cilindro con el plano. La curva )γ es una circunferencia con centro en el punto

(0, 0, 2

651+− y radio

2651+−

.

X

Y

Z

La proyección de )γ sobre el plano YZ son los puntos del segmento que verifican:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

+−≤

=

26512

651

0

z

y

x

.

• La proyección sobre el plano XZ son los puntos del segmento que verifican:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

=

+−≤

2651

02

651

z

y

x

.

25

• La proyección sobre el plano XY es la circunferencia de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+−=+

02

65122

z

yx. ver

Se muestran las gráficas de las superficies que determinan )γ y su proyección sobre el plano XY.

> implicitplot3d([x^2+y^2+z^2=16,x^2+y^2=z],x=-5..5,y=-5..5,z=-4..8,numpoints=2000,labels=[y,x,z]); > implicitplot3d(x^2+y^2+(x^2+y^2)^2=16,x=-3..3,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000);

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SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO - 15 de Junio

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