GENERACIN DE NMEROS ALEATORIOS

Simulacin ContinuaSistemas DinmicosSistemas Autnomos PlanosSimulacin y Modelos7mo Semestre

Prof. Luis A. Vivasluisvivas546@gmail.comSimulacin y ModelosSimulacin y Modelos Simulacin Continua21.Definiciones

2Simulacin y Modelos Simulacin Continua31.Definiciones

3Simulacin y Modelos Simulacin Continua42.Sistema Dinmico

4Simulacin y Modelos Simulacin Continua53.Dinmica en la Recta RealUn sistema dinmico definido en la recta real es una transformacin f:RR, cuyo dominio y contradominio es el mismo conjunto de los nmeros reales.

Dado un punto cualquiera x, el valor de la imagen bajo f de dicho punto tambin pertenece al dominio de la transformacin. As al aplicar la transformacin f, ahora al punto f(x), y obtener el valor de la segunda iteracin de f, en x, es decir, el punto:

f(f(x)) = f2(x)

de hecho, podemos volver a aplicar la funcin tantas veces como queramos.5Simulacin y Modelos Simulacin Continua63.Dinmica en la Recta RealDada una funcin f y cualquier punto a en R, la rbita positiva del punto y es el subconjunto de los nmeros reales:

Si un punto x es tal que f (x) = x, entonces x es un punto fijo. Si x es un punto fijo de x, la rbita de x consta de un nico elemento. Por otro lado, si existe k natural tal que fk(x) = x, entonces x es un punto peridico de f y su periodo es precisamente k.x6Simulacin y Modelos Simulacin Continua74.EjemploSea f(x) = x2 2, los puntos fijos de f son las soluciones de la ecuacin:

f(x) = xx2 2 = xx2 x 2 = 0Factorizando:(x + 1) (x 2) = 0

Los puntos fijos f son -1 y 2. El dominio del espacio de Estados o el Plano fase ser entonces: -1 0 27Simulacin y Modelos Simulacin Continua84.Ejemplo

En forma grfica, vemos lo que hacemos es superponer la grfica de f sobre la recta y = x.

Notamos que la recta corta la grafica de f directamente sobre -1 y 2. 8Simulacin y Modelos Simulacin Continua95.EjemploPara f(x) = x3, los puntos fijos de f son:

f(x) = xx3 = xx3 x = 0Factorizando:x(x + 1)(x 1) = 0

Los puntos fijos f son -1, 0 y 1. El plano fase, define 4 regiones de dominio: -1 0 19Simulacin y Modelos Simulacin Continua105.Ejemplo

10Simulacin y Modelos Simulacin Continua116.Puntos Fijos y rbitasDada una funcin f y un x0 en la cercana de un x* fijo, describimos la rbita de x0 en una regin del especio de estados como sigue:

Comenzando en el punto (x0,0), proyectamos una recta sobre la curva de f en el punto (x0,f(x0)).Buscamos un x1 en la recta cuya imagen sea f(x0), es decir un nuevo punto en la recta (x1,f(x0)).Trazamos nuevamente una recta sobre f y desde la recta hasta encontrar un nuevo punto (x1,f(x1)).

Siguiendo el mismo procedimiento, la rbita de x0 se muestra como una secuencia de puntos a lo largo de la recta.11Simulacin y Modelos Simulacin Continua126.Puntos Fijos y rbitas

x012

Simulacin y Modelos Simulacin Continua136.Puntos Fijos y rbitasEl proceso de dibujar lneas verticales a la grfica de f y horizontales a la recta, se denomina anlisis grfico. La figura resultante, que a veces parece una escalera, otras una telaraa, se denomina Diagrama de Red.13

x0x0,f(x0)x1,f(x0)x1,f(x1)x2,f(x1) -1 0 1Simulacin y Modelos Simulacin Continua146.Puntos Fijos y rbitas14

Simulacin y Modelos Simulacin Continua156.Puntos Fijos y rbitas15

Simulacin y Modelos Simulacin Continua166.Puntos Fijos y rbitas -1 0 116

Simulacin y Modelos Simulacin Continua176.Puntos Fijos y rbitas17

Simulacin y Modelos Simulacin Continua186.Puntos Fijos y rbitas -1 0 118Simulacin y Modelos Simulacin Continua196.Puntos Fijos y rbitas

19Simulacin y Modelos Simulacin Continua206.Puntos Fijos y rbitas

-1 0 120

Simulacin y Modelos Simulacin Continua216.Puntos Fijos y rbitasx0x1x3x4 -1 0 121

Simulacin y Modelos Simulacin Continua22x1x3x4 -1 0 16.Puntos Fijos y rbitas22

x0x1Simulacin y Modelos Simulacin Continua236.Puntos Fijos y rbitas -1 0 123

Simulacin y Modelos Simulacin Continua246.Puntos Fijos y rbitasx3x4 -1 0 124Simulacin y Modelos Simulacin Continua256.Puntos Fijos y rbitas -1 0 1Un punto fijo es ATRACTOR si existe > 0 tal que para todo x* con |x x*| < se tiene que:

En palabras, un punto fijo x es atractor si la rbita de cualquier punto en alguna vecindad de x converge a l.25Simulacin y Modelos Simulacin Continua266.Puntos Fijos y rbitas -1 0 1Un punto fijo es REPULSOR si existe > 0 tal que para todo x* con |x x*| < se tiene que:

En palabras, un punto fijo x es repulsor si la rbita de cualquier punto en alguna vecindad de x diverge de l.26Simulacin y Modelos Simulacin Continua277.Sistemas Autnomos Planos. DefinicinUn sistema de ecuaciones de la forma:

es un Sistema Lineal Autnomo en el plano.

En esta clase supondremos que el sistema es Real, esto significa que las variables x, y toman slo valores reales y los coeficientes a, b, c, d tambin son nmeros reales.27Simulacin y Modelos Simulacin Continua287.Sistemas Autnomos Planos. DefinicinUna curva parametrizada y diferenciable en el plano:

Es una solucin, o bien una trayectoria, o bien una rbita del sistema inicial si yslo si se satisfacen en R, las dos identidades siguientes:

28Simulacin y Modelos Simulacin Continua297.Sistemas Autnomos Planos. DefinicinObservamos que x(t)=0, y(t)=0 es una parametrizacin trivial del origen y claramente es rbita del sistema inicial llamada Punto de Equilibrio. El origen es unpunto fijo y como solucin del sistema corresponde a una curva reducida a un nicopunto.|

29Simulacin y Modelos Simulacin Continua308.rbitas del Sistema Autnomo PlanoSea la matriz:la matriz de coeficientes del sistema inicial y P una matriz cuadrada no-singular de orden 22, tal que:

30Simulacin y Modelos Simulacin Continua318.rbitas del Sistema Autnomo PlanoRecordemos que un escalar (real, o bien, complejo) es por definicin un valor propio de la matriz A, si y slo si, la ecuacin matricial:

tiene soluciones diferente de la solucin nula. Las soluciones no nulas se llaman vectores propios de la matriz A.31Simulacin y Modelos Simulacin Continua328.rbitas del Sistema Autnomo PlanoSe sabe adems que los valores propios de la matriz A son las races de la ecuacin Caracterstica:donde tr(A) y det(A) designan la traza y el determinante de la matriz A, respectivamente.

32Simulacin y Modelos Simulacin Continua338.rbitas del Sistema Autnomo PlanoSi se elije la matriz P tal que P1AP = J es una matriz de Jordan, es decir, una matriz en trminos de los valores propios de la matriz A. El sistema inicial es cualitativamente equivalente por cambio de coordenadas a uno y slo uno de los cuatrocasos siguientes:

Sean 1, 2 los valores propios de A, es decir, las races de la ecuacin Caracterstica, entonces se tienen las siguientes matrices de Jordan:33Simulacin y Modelos Simulacin Continua348.rbitas del Sistema Autnomo Plano

Caso 1: Valores Propios Reales y DiferentesCaso 2.1: Valor Propio con multiplicidad 2

34Simulacin y Modelos Simulacin Continua358.rbitas del Sistema Autnomo Plano

Caso 2.2: Valor Propio con multiplicidad 2Caso 2.1: Valores Propios No Reales

35Simulacin y Modelos Simulacin Continua369.Clasificacin de Autovalores

36Simulacin y Modelos Simulacin Continua3710.Aplicaciones con Maple37