1 de Julio de 1997 : LSS Vigente. Surgen AFORES y SIEFORES SISTEMA DE CAPITALIZACION INDIVIDUAL
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
LA ENTROPÍA COMO MEDIDA DE DIVERSIFICACIÓN DE MERCADO BAJO UNA PERSPECTIVA DE SUB-MARTINGALA: EVIDENCIA EMPÍRICA BAJO LA PRUEBA DE RAÍCES UNITARIAS PARA LAS AFORES (2000-2011).
T E S I S
PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS
(ECONOMÍA FINANCIERA)
P R E S E N T A
ROBERTO ALEJANDRO RAMÍREZ SILVA
MÉXICO D.F. DICIEMBRE DE 2012
Agradecimientos:
A cada uno de mis profesores, de la Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación, de la Escuela Superior de Economía, ya que de cada uno aprendí
algo, que contribuyó a este trabajo, y a mi familia por su apoyo incondicional.
I
INDICE
INDICE DE TABLAS Y GRAFICAS .......................................................................................... III
SIGLAS Y ABREVIATURAS ..................................................................................................... VI
RESUMEN ................................................................................................................................. VII
ABSTRACT ..................................................................................................................................... IX
INTRODUCCION ....................................................................................................................... XI
CAPITULO I ELEMENTOS TEORICOS ................................................................................... 1
Portafolio de inversión .......................................................................................................... 10
1.1.1 Mercado .................................................................................................................. 10
1.1.2. El modelo de Harry Markovitz (1952) ...................................................................... 11
1.1.2.1 Minimizando la varianza del portafolio.................................................................... 12
1.1.3 Frontera de un portafolio óptimo ................................................................................ 14
1.1.4 Portafolio continuo estocástico ................................................................................... 15
1.2 Martingalas ................................................................................................................. 17
1.2.1 Definición de martingalas ............................................................................................ 17
1.2.2 Martingalas continuas.................................................................................................. 17
1.2.3 Super-martingala ......................................................................................................... 18
1.2.4 Sub-martingala ............................................................................................................. 18
1.3 Definición de Entropía .................................................................................................... 19
1.3.1 El uso del término entropía en diferentes ciencias ................................................... 19
1.3.2 La entropia según el modelo de Shannon ................................................................. 19
1.3.3 La Entropia según Kullback-Leider ............................................................................ 20
1.3.4 El criterio de máxima entropía .................................................................................... 21
1.3.4.1 Principio de máxima entropía .................................................................................. 21
1.3.5 El criterio de mínima entropía cruzada ...................................................................... 22
1.3.6 La entropia representada bajo el lema de It풐 ............................................................ 24
1.3.7 La entropía vs índice Hersfindahl-Hirschman (IHH) ................................................. 26
1.4 Pruebas de raíces unitarias .......................................................................................... 26
1.4.1 Prueba aumentada tipo Dickey-Fuller ........................................................................ 26
1.4.2 Prueba tipo Phillips-Perron ........................................................................................ 27
II
1.4.2.1 Criterio Newey-West (Heteroscedasticidad auto- correlación) ............................. 28
1.4.3 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) ................................................ 29
1.4.4 Prueba de raíces unitarias para datos de panel Levin-Lin-Chu (LLC) .................... 30
1.5 Las AFORES en México ................................................................................................ 34
1.5.1 Tipos de SIEFORES y su clasificación ...................................................................... 36
CAPITULO II PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS ............................................................... 38
2.1 Las AFORES y su participación actual en el mercado ................................................ 38
2.1.1 Principales AFORES en México ................................................................................. 38
2.2. Características de diversificación de cartera en las SIEFORES ............................... 43
2.2.1 Diversificación de carteras de las SIEFORES y su estructura ................................ 43
2.3 Rendimientos de las SIEFORES ................................................................................... 48
2.4 Prueba de raíces unitarias a las entropías ................................................................... 53
2.5 Prueba Dickey-Fuller aumentada a las entropías ........................................................ 58
2.6 Prueba Phillips-Perron a las entropías .......................................................................... 59
2.7 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) alas entropias.......................... 60
2.8 Relaciones funcionales econométricas ......................................................................... 61
2.9. Prueba de raíces unitarias conjunta Levin-Lin-Chu (panel de datos inter-SIEFORES) ............................................................................................................................ 67
CONCLUSIONES. .................................................................................................................... 72
BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................... 78
APENDICE................................................................................................................................. 82
Movimiento browniano .......................................................................................................... 82
El lema de It풐 ......................................................................................................................... 85
III
INDICE DE TABLAS Y GRAFICAS
Tabla 1.1 Valores estadísticos 3
Tabla 1.1.1 Formación de los Sistemas de Pensiones en América Latina. 35
Tabla 1.1.2 Clasificación de SIEFORES básicas. 36
Tabla 2.1.1 AFORES en el mercado para los años
(2001,2003, 2009, 2011, 2012), selección arbitraria. 38
Tabla 2.1.2 Participación de las AFORES (Por número de trabajadores),
en el mercado mexicano al cierre del 2010. 40
Tabla 2.1.3 Participación (en porcentaje) de las AFORES
en el mercado mexicano 41
Tabla 2.1.4 Participación en número de asegurados % 41
Tabla 2.1.5 Participación en número de asegurados 42
Tabla 2.2.1 Limitaciones legales de composición de las SIEFORES 45
Tabla 2.2.2 Asignaciones de los fondos de pensiones países OCDE. 46
Tabla 2.2.3 Entropía por país. 47
Tabla 2.3.1 Rendimientos históricos de las AFORES
al cierre de diciembre del 2011. 49
Tabla 2.3.2 Comparativo SIEFORE básica 1
(rendimiento-diversificación) 50
Tabla 2.3.3 Comparativo SIEFORE básica 2
(rendimiento-diversificación) 50
Tabla 2.3.4 Comparativo SIEFORE básica 3
(rendimiento-diversificación) 51
Tabla 2.3.5 Comparativo SIEFORE básica 4
IV
(rendimiento-diversificación) 52
Tabla 2.3.6 Comparativo SIEFORE básica 5
(rendimiento-diversificación) 53
Tabla 2.4.1 Entropía de la Evolución general de la composición
de cartera de las SIEFORES. (1999:I-2011:II) 54
Tabla 2.4.1 Resultados de la Prueba Jarque-Bera 58
Tabla 2.5.1 Resultados de la prueba de raíces unitarias
(Dickey-Fuller Aumentada) 58
Tabla 2.6.1 Resultados de la prueba de raíces unitarias (Phillips-Perron) 59
Tabla 2.7.1 Resultados de las prueba de raíces unitarias
(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) 60
Tabla 2.7.2 Resultados de la Prueba de raíces unitarias
(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) 60
Tabla 2.8.1 Matriz varianza-covarianza 61
Tabla 2.8.3 Regresión econométrica en base a la ecuación 2.1 62
Tabla 2.8.4 Pruebas a residuos de regresión econométrica
en base a la ecuación 2.1 62
Tabla 2.8.4 Pruebas de causalidad tipo Granger.
(23 observaciones para 2 rezagos) 63
Tabla 2.8.5 Pruebas de causalidad tipo Granger.
(22 observaciones para 3 rezagos) 64
Tabla 2.8.6 Pruebas de causalidad tipo Granger.
(21 observaciones para 4 rezagos) 65
Tabla 2.8.7 Pruebas de causalidad tipo Granger.
(19 observaciones para 6 rezagos) 65
Tabla 2.9.1 Prueba Levin-Lin-Chu a entropías precio de cierre
(1998-2011) 68
V
Tabla 2.9.1.1 Estadísticos a entropías periodo 1998-2011 70
Tabla 2.9.2 Prueba Levin-Lin-Chu entropías de los rendimientos
de los precios de cierre (1998-2011) 71
Gráfica 1.1 Rendimientos históricos (2003:I-2010:IV) 2
Gráfica 1.2 Números aleatorios 4
Grafica 1.3 Función de distribución inversa 5
Gráfica 1.4 Histograma 5
Grafica 1.5 Valores distribución normal acumulativa 7
Gráfica 1.6 Logaritmos de las probabilidades acumuladas normales 8
Gráfica 2.4.1 Entropía 1999:I-2011:I 56
Gráfica2.4.2 d(entropia) 1999:I-2011:I 56
Gráfica 2.4.3 Cambio % (entropia) 1999:I-2011:I 57
Figura 2.8.1 Comportamiento de variables 62
Grafica 2.8.1 Covarianza acumuladas entropía-porcentaje 66
Grafica 2.8.2 Correlación acumulada entropía-porcentaje 66
Gráfica 2.9.1 Entropías de los precios de cierre (1998-2011) 68
Grafica 2.9.1 Entropías de los rendimientos de los precios de cierre
(1998-2011) 69
VI
SIGLAS Y ABREVIATURAS
CONSAR Comisión Nacional del Sistema de Ahorro para el Retiro
AFORES Administradoras de Fondos para el Retiro
SIEFORES Sociedad de Inversión Especializada en Fondos para el Retiro
AIOS Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de
Fondos de Pensiones
VII
RESUMEN
El análisis de los rendimientos de cualquier portafolio de inversión tiene diversos
caminos de acción y así como también factores explicativos, en lo que respecta a
la diversificación en las AFORES en México, siempre ha sido un tema de suma
importancia, ya que representa el ahorro de los trabajadores para la etapa del
retiro de la vida laboral, sin embargo aunque son fondos que no son manejados
por el trabajador, si se rigen bajo los términos comunes del análisis de portafolio,
es decir que debe estar diversificado el Portafolio de las SIEFORES, bajo las
restricciones que impone el marco legal y condiciones de mercado. El presente
trabajo pretende explorar la diversificación del mercado de las AFORES bajo un
enfoque teórico formal, partiendo de utilización de la Entropía como medida de
diversificación y atribuyéndole propiedades, tales como el comportamiento de una
sub-martingala, lo cual garantiza que el mercado de las AFORES está en equilibrio
en términos de diversificación.
Por lo anterior el presente trabajo busca analizar la Entropía como medida de
diversificación en el mercado de las AFORES, bajo un enfoque de pruebas
econométricas de Raíces Unitarias (Dickey-Fuller, Phillips-Perron,KPSS, Levin-
Lin-Chu), partiendo de la hipótesis central, de que el mercado de las AFORES ha
tenido un cambio creciente en la composición de las carteras de las SIEFORES,
esperando encontrar elementos de comportamiento tipo sub-martingala
(creciente), que muestren una mayor diversificación del mercado de las AFORES
en México. En una primera instancia se analizan las entropías estáticas con
respecto a los rendimientos históricos al cierre de diciembre del 2011, donde se
VIII
encontró que las AFORES de mayor diversificación medidas en términos de
entropía no les corresponde un mayor rendimiento, aunque a menor diversificación
si le corresponde ocasionalmente un menor rendimiento.
Por otra parte se realizó un análisis comparativo entre los países de la OCDE
(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico), donde México
aparece en el penúltimo lugar para el año 2009, por ello la necesidad de analizar
al mercado de las AFORES en lo que se refiere a los cambios en lo que se refiere
a los niveles de diversificación, por ello se analizaron las entropías para un
periodo 1999:I-2011:I en frecuencia semestral, donde se encontró bajo el enfoque
de pruebas econométricas de Raíces Unitarias, que el mercado ha tenido un
desenvolvimiento favorable en su diversificación.
Finalmente se realizó un análisis de Raíces Unitarias bajo un panel de datos,
utilizando la prueba econométrica Levin-Lin-Chu (2002), para los precios de cierre
de las SIEFORES, administradas por las ocho AFORES que han operado desde
inicio de la operación del mercado de AFORES, hasta el cierre de diciembre del
2011, encontrando que las series muestran econométricamente una tendencia
estacionaria y con ello, poca presencia de nueva información, lo que se puede
interpretar que los precios de cierre de cada SIEFORE y sus respectivos
rendimientos, se encuentran en un estado pasivo que no recogen los efectos que
ha tenido el mercado de las AFORES en lo que se refiere al dinamismo propio de
este, en lo que se refiere a la entrada y salida de competidores en el mercado.
IX
ABSTRACT
The analysis of the performance of any investment portfolio has several courses of
action and as well as explanatory factors, with respect to diversification in the
AFORE market in Mexico, has always been a matter of great importance,
accounting for saving workers for the withdrawl stage of working life, however
although funds are not handled by the worker it self, if the terms are governed by
common portfolio analysis, i.e. the portfolio should be diversified by SIEFORES
under restrictions imposed by legal framework and market conditions. This work
explores diversification AFORES market under a formal theoretical approach,
based on use of Entropy as a measure of diversification and attributing properties
such as the behavior of a sub-martingale, which ensures that the AFORES market
is balanced in terms of diversification.
Therefore this work analyzes the Entropy as a measure of diversification in the
AFORES market, with a focus on econometric Unit Root test such as (Dickey-
Fuller, KPSS, Levin-Lin-Chu), starting from the central hypothesis, that the market
has had a change AFORES market growing in the composition of the portfolios of
SIEFORES (a major diversification), hoping to find items of sub-martingale
behavior (increasing), showing a more diversified AFORES Mexican’s market. In
the first instance static entropies are analyzed with respect to past performance at
the end of December 2011, which found that AFORES more diversified in terms of
Entropy measures is not up higher performance, albeit at less diversified if it
corresponds lower performance.
X
Moreover we performed a comparative analysis of OECD counties (Organization
for Economic Cooperation and Development), where Mexico is in second lowest in
2009, hence the need to analyze the AFORE market referred to changes in regard
to the levels of diversification, the entropies were analyzed for a period 1999:I-
2011:I in a six months sample, which came under the focus of econometrics Unit
Roots test, that the market has had a favorable development in its diversification.
Finally an analysis of Unit Roots in panel data, using the econometric test Levin-
Lin-Chu (2002), to the closing prices of the SIEFORES, administered by the eight
AFORES market until the end of December 2011, finding that the series show a
stationary behavior, and thus present little new information, which can be
interpreted as the closing prices of each Siefore and their yield, are in a passive
state, which do not reflect the effect that the AFORE market has in regard to
dynamic characteristic of this. In regard to the entry and exit of competitors in the
market.
XI
INTRODUCCION
El cambio que se dio en el Sistema de Pensiones mexicano, al pasar de un
sistema de reparto a un sistema de Capitalización Individual, a partir del año 1997,
que tomó como base al sistema de pensiones chileno, con el fin de conseguir, que
cada trabajador en México tenga un ahorro al final de su vida laboral, genera
desde luego varias vías de análisis que por sí misma convergen a un punto en
común, que es el de conseguir el mayor monto de ahorro posible, para el final de
la vida laboral para el trabajador mexicano. Sin embargo la necesidad de analizar
bajo un enfoque teórico formal, la diversificación misma del Sistema de
Capitalización Individual en México, permite visualizar si este mismo sistema
tiende a la maximización del rendimiento de los ahorros de los trabajadores en
México, por medio del estudio de los portafolios de las SIEFORES, ya que permite
probar si las SIEFORES más diversificadas son efectivamente las que generan
mayor rendimiento a los ahorros de los trabajadores en México.
1
CAPITULO I ELEMENTOS TEORICOS
En el presente capítulo se revisaran los elementos básicos teóricos a utilizar
durante el presente trabajo, así como también se realizó un ejemplo práctico de
la utilización de Entropía como medida de diversificación y finalmente se
mencionaran algunos aspectos generales del Sistema de Pensiones en México
y la clasificación de los tipos de SIEFORES que existen en el mercado.
La utilización de la Entropía para fines teóricos y prácticos con diferentes
propósitos desde aplicaciones en la Física como también en el análisis
probabilísticos (Venegas1992) e incluso para fines de análisis de información
(Shannon 1948) y diversificación de portafolios y diversificación de mercados
(Fernholz 2002), tiene una importancia que para fines de la presente
investigación, busca como propósito poder explicar la diversificación en el
mercado de las AFORES en México; sin embargo, es importante destacar
algunos elementos para fines de explicación más detallada hacia los
interesados de exponer un ejemplo práctico de análisis de diversificación para
un conjunto de 1000 rendimientos simulados distribuidos normalmente a partir
de los rendimientos históricos trimestrales de una acción dada (2003:I-2010:IV)
y de los cuales obtendremos el valor de la Entropía, donde n representa el
número total de elementos para nuestro análisis.
2
Partiendo de la medida de Entropía propuesta por (Shannon 1948) para el
presente ejemplo queda representada de la siguiente forma.
La Entropía como medida de diversificación:
푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (1)
Donde:
휋 = 1 (2)
Gráfica 1.1
Rendimientos históricos (2003:I-2010:IV)
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Returnos historicos (2003:I-2010:IV)
3
Tabla 1.1
Valores estadísticos
Donde la media y la desviación estándar son obtenidas a partir de la formación
de sub-intervalos formados a partir de la definición Δx, empezando por el valor
mínimo y posteriormente ir incorporando, el valor acumulado hasta llegar al
valor máximo de los rendimientos históricos trimestrales es decir:
푥 = 푚푖푛 + Δx ∗ n, donde n ∈ [0,100]
A partir de los valores de media y desviación estándar obtenidos anteriormente,
podemos generar valores de rendimientos simulados y posteriormente obtener
su probabilidad acumulada correspondiente, y finalmente obtener el valor de
Entropía.
Max. 0.412 Min. -0.089 Δx = (MaxMin)/100
0.005
Promedio. 0.161 Desviación estándar.
0.147
4
Para ello primero obtendremos 1000 aleatorios que se encuentran entre cero y
uno.
Gráfica 1.2
Números aleatorios
Posteriormente, a partir de los números aleatorios se obtienen los valores
inversos de la distribución acumulativa normal para el promedio (0.16144046) y
desviación estándar (0.14681224) que fueron obtenidos anteriormente.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Numeros aleatorios
5
Grafica 1.3
Función de distribución inversa
Gráfica 1.4
Histograma
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Funcion de distribucion normal inversa.numeros aleatoriosPromedio. 0.16144046Desv est. 0.14681224
0
20
40
60
80
-0.250 -0.125 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625
6
Revisando el segundo y tercer momento así como también el valor-p del
estadístico Jarque-Bera (1987), obteniendo resultados satisfactorios:
푀 = 1푁
푦 − 푦휎 → 0 ≈ −0.140446 (3)
푀 = 1푁
푦 − 푦휎
→ 3 ≈ 2.813280 (4)
Estadístico Jarque-Bera p-valúe 0.093472
퐽퐵 = 푁 − 푘
6 (푀 ) +14 (푀 − 3) ~퓧ퟐ
ퟐ (ퟓ)
Posteriormente se obtiene los valores de la distribución normal acumulativa
para cada uno de los valores de la gráfica IV con los mismos valores del
promedio y de la desviación estándar anteriormente utilizados.
7
Grafica 1.5
Valores distribución normal acumulativa
Entonces partiendo de la definición inicial de Entropia:
푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (6)
Podemos realizar la operación en dos pasos I, II y posteriormente realizar la
suma, y multiplicarla por menos uno.
Paso Ilog (휋 )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
8
Gráfica 1.6
Logaritmos de las probabilidades acumuladas normales
Después de realizar el paso I, podemos ahora realizar el paso II, y visualizar
su distribución directamente como se mostró en la gráfica 1.2:
Paso II 휋 ∗ log (휋 )
Finalmente aplicando la definición tenemos para nuestro ejemplo:
푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (7)
-8
-6
-4
-2
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
9
푆(휋) = 252.26 (8)
Por otro lado, se puede obtener la Entropía a partir de los sub-intervalos
considerados como clase para los valores min-max de los rendimientos
históricos trimestrales que realizamos anteriormente para n = 100 y Δx =
0.00501063, con la condición de que Log(0)*0 = 0, con los valores que no son
considerados por ser negativos para obtener sus logaritmos, es decir que para
valores negativos de los rendimientos sólo se asume que tienen un valor igual
a cero, para ello es posible realizarse por medio de una función condicional que
filtre los valores negativos de los rendimientos históricos de la siguiente forma.
푠푖 푟 < 0 → 퐿표푔(푟 ) = 0 , log(0) ∗ 0 = 0
Y obteniendo las frecuencias a partir de los valores reales y considerando su
porcentaje individual, obtenido del porcentaje acumulativo, se procede de la
misma forma, pero trabajando con los porcentajes individuales.
푆(휋) = 3.19 (9)
10
Portafolio de inversión
Bajo un enfoque teórico un portafolio de inversión, en el cual el papel de la
diversificación juega un papel de suma importancia como elemento de
reducción de la varianza misma del portafolio, las condiciones mismas que
debe de tener un mercado, para la existencia eficiente de una diversificación
para un portafolio, juegan estas condiciones importantes para poder analizar la
diversificación de un mercado.
1.1.1 Mercado
Un mercado es una familia 훭 = {푋 , … ,푋 }, donde 휎(푡) es una matriz no
singular|휎(푡)| ≠ 0 para todo 푡 ∈ [0,∞) casi seguramente véase Fernholz
(2002).
Considerando la matriz-proceso valuado 휉 definido como 휉(푡) = 휉 (푡),
y definiendo el proceso de covarianza 휎, donde 휎(푡) = 휉(푡)휉 (푡).
Para cualquier 푥 ∈ ℝ , 푡 ∈ [0,∞)
푥휎(푡)푥 = 푥휉(푡)휉 (푡)푥 = 푥휉(푡) 푥휉(푡) ≥ 0 (10)
Por lo que 휎(푡) es una matriz positiva semidefinida para todo 푡 ∈ [0,∞)
11
El mercado 훭 es no- degenerativo si existe un número 휖 > 0 tal que:
푥휎(푡)푥 ≥ 휖‖푥‖ , 푥 ∈ ℝ , 푡 ∈ [0,∞) (11)
El mercado 훭 tiene varianza limitada, si existe un número M >0 tal que:
푥휎(푡)푥 ≥ 푀‖푥‖ , 푥 ∈ ℝ , 푡 ∈ [0,∞) (12)
1.1.2. El modelo de Harry Markovitz (1952)
Un portafolio 휋 es representado por sus pesos (ponderaciones) en cada activo
financiero, 휋 (푡), … ,휋 (푡), en el tiempo t y las ponderaciones son limitadas y su
suma es igual a 1.
휋 = 1 (13)
Donde el rendimiento esperado del portafolio siendo este más importante que
la riqueza final queda dada por:
12
퐸(푅) = 휋 ∗ 휇 (14)
El rendimiento esperado para cada activo financiero se representa como 휇 .
푉(푅) = 휋 휎 + 2 휋 휋 휎 (15)
1.1.2.1 Minimizando la varianza del portafolio
La finalidad de cualquier portafolio es la minimización de la varianza del retorno
del portafolio para un rendimiento esperado.
Para ejemplificación, dado dos activos financieros, el objetivo es buscar la
mínima varianza del rendimiento del portafolio.
푉푎푟 푟 = 휋 푉푎푟(푟 ) + (1 − 휋) 푉푎푟(푟 ) + 2휋(1 − 휋)퐶표푣(푟 , 푟 ) (16)
Y para n activos entonces la expresión es generalizada:
푉푎푟 푟 = 휋 휎 + 2 휋 휋 휎 (17)
13
La forma alternativa de expresar la varianza y covarianza es:
푉푎푟(푟 ) = 휎 (18)
퐶표푣 푟 , 푟 = 휎 (19)
Podemos representar finalmente la expresión.
푉푎푟 푟 = 휋 휋 휎 = 휋 훴 휋 (20)
Donde 훴 , 휋 representan la matriz de varianzas-covarianzas y el vector (흅) de
ponderaciones del portafolio de dimensión n (número de activos del portafolio).
Y en forma dinámica:
푉푎푟 푟 (푡) = 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡),
(21)
Bajo las restricciones lineales:
휋 (푡)훼 (푡) ≥훼 (22)
14
1.1.3 Frontera de un portafolio óptimo
La diversificación de un portafolio de inversión es de suma importancia ya que
con ello se diversifica el riesgo y se consigue un mayor rendimiento, es decir se
puede conseguir un rendimiento dado reduciendo el riesgo o maximizar el
rendimiento bajo un riesgo dado.
Frontera eficiente de un portafolio
Siempre existe un mejor portafolio que otro dado las preferencias completas, es
decir existen dos o más portafolios con el mismo rendimiento, pero con
diferentes niveles de riesgo.
sigma del portafolio (% )
returno med
io del portafolio (%
)
15
w π s ,…,π s < π s ,…,π s (23)
1.1.4 Portafolio continuo estocástico
La formalización del modelo de portafolio continuo estocástico se representa de la siguiente manera:
푍 (푡) = 휋 (푡)푋 (푡),
(24)
Bajo el modelo logarítmico sea 푍 (푡), que representa el valor de 휋 en el tiempo t.
푑푙표푔푍 (푡) = 훾 (푡)푑푡 + 휋,
(푡)휉 (푡)푑푊 (푡) (25)
Donde la tasa de crecimiento del portafolio es:
훾 (푡) = 훾 (푡)휋 (푡) + 훾∗(푡) (26)
Y el exceso de la tasa de crecimiento es:
16
훾∗(푡) = 12 휋 (푡)휎 (푡)− 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡)
,
(27)
휎 (푡) = 휉 (푡)휉 (푡) + ⋯+ 휉 (푡)휉 (푡) (28)
La selección de ponderación en la selección de asignación para cada activo
financiero para un nivel de inversión.
Minimizando la varianza del portafolio
휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡) (29),
Bajo las restricciones lineales:
휋 (푡)훼 (푡) ≥훼 (30)
Donde:
휋 (푡) = 1 (31)
휋 (푡), … ,휋 (푡) ≥ 0 (32)
Que representa un portafolio sin posición corta, dado una tasa de rendimiento.
17
Por otro lado, si se desea minimizar la varianza del portafolio bajo una
restricción en la tasa de crecimiento del portafolio en vez de la tasa de retorno
del portafolio entonces tenemos la siguiente restricción:
휋 (푡)훾 (푡) +12 휋 (푡)휎 (푡)− 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡)
,
≥ 훾 (33)
Representada en forma alternativa, queda de la siguiente forma:
휋 (푡)훾 (푡) +12 휋 (푡)휎 (푡) ≥ 훾 +
12 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡)
,
(34)
1.2 Martingalas
Una martingala se define como que el mejor pronóstico a un periodo adelante
es igual al valor del periodo presente dado un conjunto de información.
1.2.1 Definición de martingalas
퐸[푋 \푋 , … ,푋 ] = 푋 (35)
1.2.2 Martingalas continuas
Martingala en tiempo continúo.
18
Dado un espacio probabilístico (훺, {퓕풔}풔 ,ℙ)
퐸[푋 \푋 , 푟 ≤ 푠] = 푋 ,푝푎푟푎 푡표푑표 푠 ≤ 푡 (36)
퐸[푋 ∆ − 푋 ] = 0 (37)
Sea una familia de variables estocásticas en cada tiempo t donde el proceso es
estocástico continuo 푋 ,푡 ∈[0,∞]} 푦 푠푒푎 퐼 ,푡 ∈[0,∞]} , que representa una
familia de información que se interpreta continuamente con s<t<T y la familia
de información satisface la condición
퐼 ⊆ 퐼 ⊆ 퐼 ⋯
Este conjunto 퐼 ,푡 ∈[0,∞]} es llamado filtración.
1.2.3 Super-martingala
Super-martingala:
퐸[푋 \푋 , … ,푋 ] ≤ 푋 (38)
1.2.4 Sub-martingala
Sub-martingala:
퐸[푋 \푋 , … ,푋 ] ≥ 푋 (39)
퐸[푆(µ (t))\푆(µ (s)), 푟 ≤ 푠] ≥ 푆(µ (s)),푝푎푟푎 푡표푑표 푠 ≤ 푡
19
1.3 Definición de Entropía
1.3.1 El uso del término entropía en diferentes ciencias
La utilización de la Entropía ha tenido varias utilizaciones tanto en el campo de
la Física aplicada en el campo de la Termodinámica que representa la parte de
energía que no puede utilizarse para producir trabajo, es decir es una medida
de irreversibilidad en los sistemas termodinámicos y se representada la
Entropía bajo la letra S teniendo como traducción directa del griego “evolución
o cambio”, y fue Rudolf Clausius que en 1850 acuño el termino mismo, Ludwig
Boltzmann fue quien por primera vez le dio un tratamiento matemático para
aplicarlo al campo de la probabilidad y de ahí en adelante la utilización y el
estudio de la Entropía ha tenido varios campos de estudio como el campo de la
información que le dio Shannon en 1948.
1.3.2 La entropia según el modelo de Shannon
Definición de Entropía como medida diversificación de portafolios
푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (40)
Donde:
∆ = {휋 ∈ 푅 : 휋 +⋯+ 휋 = 1 ; 0 < 휋 < 1, 푖 = 1, … , 푛} (41)
20
Sea µ el portafolio de mercado (market portfolio), entonces la Entropía de
mercado S(µ) se define como:
푆(µ(t) = − π (t) logπ (t) (42)
Donde S(µ) es una semi-martingala continua donde 0< S(µ(t))≤ log n, para
todo t ∈[0, T].
1.3.3 La Entropia según Kullback-Leider
Criterio de Información Kullback-Leiber.
Es definido como la pseudo distancia entre dos distribuciones de probabilidad
que para el caso de estudio son los pesos de los portafolios 휋
퐾퐿퐼퐶 (푝, 푞) = 푝 푙푛푝푞 (43)
Donde si la distribución de referencia q es establecida como uniforme KLIN
(p,q) es la misma como la negativa de la medida de Shannon Entropia.
21
1.3.4 El criterio de máxima entropía
Este enfoque toma a la Entropía máxima encontrada bajo un criterio de
maximización.
1.3.4.1 Principio de máxima entropía
휋∗(휃), 휃 ∈ 훩
푀푎푥푖푚푖푧푎푟 퐻(휋) = − 휋(휃)푙푛휋(휃)푑휃 (44)
Sujeto a:
휋(휃)푑휃 = 1 (45)
푎 (휃) ln 휋(휃) 푑휃 = 훼 (46)
Para k = 1,2..,n
휋∗(휃) = 푒푥푝 휆 + 휆 푎 (휃) (47)
휋∗(휃)푑휃 = 1 (48)
훼 − 푎 (휃) 휋∗(휃)푑휃 = 0 (49)
22
Donde 휆 , 휆 , … , 휆 representan los multiplicadores de Lagrange.
⎩⎪⎨
⎪⎧ 0 = 휆 + 푙표푔{ 푒 ( ) 푑휃}
0 = 훼 − 푎 (휃) 푒 ( )푑휃
(50)
휕휆휕휆 = 훼 (51)
1.3.5 El criterio de mínima entropía cruzada
El principio de mínima Entropía cruzada. Sea la información inicial del individuo
sobre 휃 esta representada por una distribucion a priori p = p(휃), 휃 ∈ 훩,
obtenida posiblemente a partir de la máxima Entropia, e información adicional
representada en términos de valores expresada mediante:
푎 (휃) ln 휋(휃) 푑휃 = 훼 (52)
23
Minimizar:
퐻(휋, 푝) = 휋(휃)푙푛휋(휃)푝(휃) 푑 휃 (53)
Sujeto a:
∫ 휋(휃)푑 휃 = 1
∫ 푎 휋(휃)푑 휃 = 훼 (54)
Para k = 1,2,.., n
La condición de primer orden.
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧휋∗(휃) = 푝(휃)푒푥푝 −휆 − 휆 푎 (휃)
휋∗(휃)푑휃 = 1
훼 − 푎 (휃) 휋∗(휃)푑휃 = 0
(55)
Para k = 1,2,…, n
⎩⎪⎨
⎪⎧ 0 = 휆 + 푙표푔 푒 ( ) 푑휃
0 = 훼 − 푎 (휃) 푒 ( )푑 휃
(56)
Para k = 1,2, …, n
24
1.3.6 La entropia representada bajo el lema de It풐
Si consideramos a la función de entropía como una función estocástica
tenemos entonces la siguiente función:
푑푆 µ (t) = 푑푆 µ (t)
dµ d µ (t) +12
d
d µ (t) d µ (t) (57)
d µ (t) = γ dt + σ dW (58)
Donde:
푑푊 = ∅√푑푡 (59)
Donde ∅ es una variable aleatoria proyectada de una distribución normal
estandarizada, donde tiene como media cero y varianza 1 y la probabilidad
función de densidad es:
1√(2휋)
푒 ∅ (60)
Para un operador de expectación 휀:
휀[퐹(∙)] = 1
√(2휋)퐹(∅)푒 ∅ 푑∅ (61)
휀[∅] = 0 (62)
휀[∅ ] = 1 (63)
Sustituyendo tenemos:
25
푑푆(µ ) =푑푆(µ )
dµ(γ µ dt + σ µ dW) +
12
d
d µ (t) (γ µ dt + σ µ dW) (64)
푑푆(µ ) = ( ) (γ µ dt + σ µ dW) +( ) (γ µ 푑푡 + 2σ γ µ dt dW +
σ µ dW ) (65)
Simplificando tenemos bajo la condición de que:
푑푊 → 푑푡 푐푢푎푛푑표 푑푡 → 0
푑(푑푆(µ ) → σ µ dt
푑푆(µ ) = 푑푆(µ )
dµ(σµ dW + γ µ dt) +
12σ µ
d 푆(µ )d µ
dt (66)
푑푆(µ ) = σµ푑푆(µ )
dµ dW + γ µ푑푆(µ )
dµ +12σ µ
d 푆(µ )d µ
dt (67)
.
26
1.3.7 La entropía vs índice Hersfindahl-Hirschman (IHH)
La Entropía desde el punto de vista comparativos en lo que respecta a la
diversificación de mercados, tiene mayores bondades de aplicación, por un
lado ya que es más sensible en pequeñas muestras y además puede dársele
un tratamiento matemático más amplio, sin embargo es importante mencionar
que ambas indicadores en términos estáticos representan lo mismo, aunque en
la evidencia empírica para fines de diversificación de una industria o mercado
el índice Hersfindahl-Hirschman ha sido mayormente utilizado.
Índice Hersfindahl-Hirschman:
퐻퐻퐼 = 휋 (68)
Donde: 휋 representa la participación de un mercado específico, de cada
empresa.
휋 = 1 68.1
1.4 Pruebas de raíces unitarias
1.4.1 Prueba aumentada tipo Dickey-Fuller
Prueba Dickey-Fuller Aumentada.
27
∆푦 = 휇 + 훾푦 + 훿 ∆푦 + 훿 ∆푦 + ⋯+ 훿 ∆푦 + 휀 (69)
Donde 훾 = 휌 − 1
∆푦 = 휇 + 훾푦 + 훿 ∆푦 + 휀 (70)
퐻 ∶ 훾 = 0 , 퐻 ∶ 훾 < 0 (71)
1.4.2 Prueba tipo Phillips-Perron
∆푦 = 훼 + 훽푦 + 휀 (72)
Usando Newey-West Heteroscedasticidad-autocorrelacion consistente con j
números de truncaciones.
휔 = 훾 + 2 1 −푗
푞 + 1훾 (73)
훾 = 1푇 푒̃ 푒̃ (74)
Test de Phillips-Perron (PP) entonces, queda definido de la siguiente forma:
28
푡 = 훾 푡휔 −
(휔 − 훾 )푇푠2휔휎 (75)
Donde 푡 , 푠 estadistico de t y error estándar de 훽,휎 respectivamente.
1.4.2.1 Criterio Newey-West (Heteroscedasticidad auto- correlación)
훴 = (푋 푋) 푉(푋 푋) (76)
푉 = 푇
푇 − 퐾 − 1 푒 푋 푋
+1 − 푣퐿 + 1 푋 푒 푒 푋 + 푋 푒 푒 푋 (77)
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡푧 = log(휋 )휋
⋮
푧 = log(휋 )휋⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(78)
29
1.4.3 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS)
Sea la varianza de largo plazo:
휎 = lim→
푇 퐸(푆 ) (79)
Donde se puede obtener un estimador de dicha varianza de largo plazo de la
siguiente forma:
푠 (푙) = 푇 푒 + 2푇 푤(푠, 푙) 푒 푒 (80)
Donde w(s,l) representa una función de ponderación opcional para la elección
de una ventana espectral, donde los autores utilizan la ventana de Bartllet
w(s,l) = 1-s/(l+1) como lo utilizaron (Newey y West (1987) con lo cual se
garantiza la no negatividad de 푠 (푙).
Los estadísticos para la prueba de Raíces Unitarias se definen de la siguiente
forma:
휂 = 푇 푆 (81)
휂̂ = 푇 푆 /푠 (푙) (82)
휂̂ = 푇 푆 /푠 (푙) (83)
30
1.4.4 Prueba de raíces unitarias para datos de panel Levin-Lin-Chu (LLC)
Es una prueba para series de tiempo con datos de Panel que mide
conjuntamente la no Estacionalidad de las variables en su conjunto.
Los supuestos básicos en los que se basa esta prueba radican bajo el
supuesto de que las series son independientes entre si y están distribuidas
normalmente entre ellas mismas.
∆푦 = 휌 푦 + 푧 훾 + 푢 (84)
Donde i representa cada variable individualmente, para una muestra
correspondiente 1,…,T.푧 Representa el componente determinista y 푢 es el
proceso estacionario.
Donde la hipótesis nula es:
퐻표 = 휌 = 0 푖 = 1,2, … ,푛 (85)
Que permite la heterogeneidad de los efectos individuales determinísticos
(constante, tendencia lineal) y estructura heterogénea correlación serial de los
términos de error, y se asume un parámetro de primer orden homogéneo.
También la prueba asume que N y T tienden hacia infinito, pero T crece a una
tasa más rápida tal que N/T→0.
La prueba utiliza un estadístico t combinado del estimador para evaluar la
hipótesis de que cada serie de tiempo individual contiene una raíz unitaria
contra la hipótesis alternativa de que cada serie de tiempo es estacionaria.
31
La prueba asume la existencia de coeficientes autorregresivos homogéneos
entre cada uno individualmente.
퐻표 = 휌 = 휌 (86)
퐻1 = 휌 = 휌 < 0 푖 (87)
Y en términos generales se puede expresar de la siguiente manera bajo una
homogeneidad de los coeficientes regresores de primer orden.
퐻표 = 휌 = 휌 =, … ,휌 (88)
퐻표 = 휌 = 휌 =, … ,휌 < 0 (89)
Que impone una ecuación cruzada de restricción en el primer coeficiente de
auto correlación parcial bajo la hipótesis nula anteriormente especificado, cabe
recalcar que este procedimiento tiene mayor poder que se realizara la prueba
de raíces unitarias por separado.
∆푦 = 휌 푦 + 훼 + 훼 푡 + 푢 , 푖 = 1,2, … ,푇 (90)
Donde 훼 representa el término constante y 훼 푡 el término de tendencia y el
termino de error sigue un proceso estacionario e invertible bajo un proceso de
ARMA para cada serie de tiempo.
32
푢 = 휃 푢 + 휀 (91)
El modelo puede ser representado en tres formas ya sea sin constante, con
constante o tendencia:
∆푦 , = 훿푦 , + 휃 퐿∆푦 , + 훼 . 푑 , + 휀 , , 푚 = 1,2,3 (92)
Donde se obtienen los vectores de errores por mínimos cuadrados ordinarios:
푒̂ , = ∆푦 , − 휋 , ∆푦 , − 훼 , 푑 , (93)
푣 , = ∆푦 , − 휋 , ∆푦 , − 훼 , 푑 , (94)
Los cuales se pueden estandarizar con los errores estándar obtenidos en cada regresión:
푒̃ , = 푒̂ ,
휎 , (95)
푣 , = 푣 ,
휎 , (96)
En una segunda parte de la prueba se obtiene la varianza de largo plazo de la
siguiente forma:
휎 , = 1
푇 − 푝 − 1 (푒̂ , − 훿 푣 , ) (97)
33
O alternativamente:
휎 , = 1
푇 − 1 ∆푦 , + 2 푤 ,1
푇 − 1 ∆푦 , ∆푦 , (98)
Con núcleo de Bartlett:
푤 , = 1 −1
푘 + 1 (99)
A su vez se puede estandarizar la desviación estándar de largo plazo a si como
su promedio:
푠 =휎 ,
휎 , (100)
푠̂ =휎 ,
휎 , (101)
푆 =1푁 푠 (102)
Finalmente se procede a obtener el estadístico como se muestra en las
ecuaciones 103,104,105:
푡 = 훿
푆푇퐷(훿) (103)
훿 =∑ ∑ 푣 , − 푒̃ ,
∑ ∑ 푣 , (104)
34
푆푇퐷 훿 = 휎 푣 ,
/
(105)
1.5 Las AFORES en México
El proceso de transición de los sistemas de pensiones de transferencia del
Estado hacia los sistemas de pensiones privados de cuotas, principalmente en
América Latina (véase tabla 1.1.1) a principios de los años noventas, tuvo
como consecuencia el replanteamiento de la perspectiva de ahorro para el
retiro del trabajador ya sea en el sector privado o publico, por lo que desde a
partir de entonces el mercado de las administradoras de fondos de pensiones
juega un papel de suma importancia para el análisis.
En México, a partir de 1997 el Sistema de Pensiones se modificó, dando pie a
un sistema de pensiones individual que son las AFORES, las cuales tienen
como misión primordial administrar los fondos de los trabajadores para que
estos tengan los mejores rendimientos posibles buscando el menor riesgo, y
que serán entregados en forma parcial o en una sola exhibición al final de la
vida laboral del trabajador. La Ley de los Sistemas del Ahorro para el Retiro
establece que los fondos que administran las AFORES sean asignados en
inversiones principalmente en actividades económicas, tales como en sectores
de la construcción y la producción o en papeles gubernamentales (Bonos
Federales, Bonos de Desarrollo o en renta variable en empresas de calificación
alta, lo cual garantice un bajo riesgo y un rendimiento competitivo, que
favorezca el estimulo del desarrollo económico del país principalmente (Ley de
los Sistemas de Ahorro para el Retiro de los estados Unidos Mexicanos).
35
El mercado de AFORES en México desde su inicio de operaciones en 1997,ha
tenido un comportamiento dinámico en lo que se refiere a las partes
participantes que son las AFORES, sin embargo las AFORES respaldadas por
instituciones bancarias grandes y de amplio arraigo en el país, han sido las que
se consolidaron con un mayor porcentaje en lo que respecta a participación de
mercado, es decir (mayor número de trabajadores afiliados y mayores montos
de operación), no obstante, la Ley (Ley de los Sistemas de Ahorro para el
Retiro de los estados Unidos Mexicanos), establece un límite no mayor al 20
por ciento del mercado potencial en participación de mercado en lo referente a
número de afiliados, con el fin de evitar prácticas monopolísticas, y así
fomentar la competencia entre las AFORES y poder ofrecer mejores servicios y
mayores rendimientos netos a los trabajadores bajo el marco de lineamientos
que rige esta misma ley (Ley de los Sistemas de Ahorro para el Retiro de los
Estados Unidos Mexicanos)
Tabla 1.1.1
Formación de los sistemas de pensiones en América Latina.
País. Año.
Chile 1990 Perú 1993
Argentina 1994 Colombia 1994 Uruguay 1996 Bolivia 1997 México. 1997
El Salvador. 1998 Costa Rica. 2001
República Dominicana. 2003
Fuente: Elaboración propia con datos de la Organización Internacional de Asociaciones Supervisoras de Fondos de Pensiones (AIOS).
36
1.5.1 Tipos de SIEFORES y su clasificación
Las SIEFORES se clasifican en función de los niveles de edad del trabajador
véase tabla 1.1.2, con el fin de poder establecer mejores estrategias de
inversión para los trabajadores de acuerdo a la edad misma de este,
entendiendo que conforme va cambiando la edad del trabajador la asignación
de la SIEFORE que le corresponde de acuerdo a su edad será automática
dentro de la AFORE que el trabajador haya escogido previamente de acuerdo a
la clasificación vigente que dicte la Ley.
Las consecuencias en lo que se refiere a la clasificación de las SIEFORES
para cada trabajador es inmediata, ya que de acuerdo al perfil de edad de este,
la composición de la cartera de inversión, que tiene restricciones explicitas que
marca la Ley, tiene desde luego un impacto directo en el rendimiento neto del
ahorro para su retiro, ya que no se considera la aversión al riesgo individual. La
Ley considera como dada una mayor aversión al riesgo conforme aumenta la
edad del trabajador. Esto tiene un significado lógico si se trata de dar una
homologación de aversión a todos los trabajadores, en el funcionamiento
mismo del mercado de las AFORES, teniendo un mayor beneficio para las
AFORES con mayor participación de mercado, ya que si bien no utilizan al
máximo los beneficios de las economía de escala por la restricción que impone
a la participación de mercado potencial (20%) y son considerables las
diferencias de beneficios entre las AFORES grandes con respecto a las
AFORES pequeñas.
37
Tabla 1.1.2
Clasificación de SIEFORES básicas.
Clasificación Edad
Siefore Básica 1. Más de 55 años. Siefore Básica 2. 46 a 55 años. Siefore Básica 3. 37 a 45 años. Siefore Básica 4. 27 a 36 años. Siefore Básica 5. Menos 27 años.
Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.
<www.CONSAR.gob.mx/estadisticas>
38
CAPITULO II PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS
En el Presente capítulo se revisaran las Entropías para las SIEFORES básicas
para cada una de las AFORES en el mercado mexicano, además de que se
realizara un análisis comparativo en forma estática en un orden de mayor a
menor diversificación y su comparación con los rendimientos de los últimos 36
meses, así como también se obtendrá una tabla comparativa del Sistema de
Pensiones en México con respecto a otros países de la OCDE del cual forma
parte como miembro México. Por otro lado las pruebas de Raíces Unitarias
que se realizaran para las Entropías así como también para sus variaciones
porcentuales y primeras diferencias en la diversificación de cartera para de las
SIEFORES (1999:II-2011:I). Además de las Pruebas de Raíces Unitarias para
los Precios de Cierre de SIEFORES básicas (1-5) para cada AFORE en forma
conjunta, y además se realizaran las Pruebas de Causalidad tipo Granger para
las entropías y algunas variables que son significativas, así como también
algunas regresiones econométricas propuestas para el estudio que nos
permiten tener algunos elementos de base para un análisis más detallado.
2.1 Las AFORES y su participación actual en el mercado
2.1.1 Principales AFORES en México
Desde el comienzo de la operación del mercado de las AFORES en México a
partir de 1997, el número de AFORES ha ido variando (véase tabla 2.1.1), ya
que, por un lado la aparición de nuevas AFORES que compran a otras que
39
salen del mercado, o por fusión entre instituciones bancarias, y por nuevos
competidores que ingresan al mercado con la finalidad de poder captar parte
de la participación de mercado, con el fin de generar beneficios en el manejo
de los ahorros de los trabajadores.
Tabla 2.1.1
AFORES en el mercado para los años (2001,2003, 2009, 2011, 2012), selección arbitraria
2001 2003 2009 2011 2012
Bancomer Actinver ING Afirme Bajío Afirme Bajío. Santander Allianz Dresder XXI Azteca Azteca.
ING Azteca Inbursa Banamex Banamex. Banamex Banamex Argos Bancomer Bancomer. Banorte Bancomer Scotia Banorte Generali Coppel.
Garante Banorte Generali Coppel Coppel Inbursa.
Principal Inbursa Profuturo GNI HSBC SURA Profuturo GNP ING Banamex Inbursa Invercap.
AFORE XXI Principal HSBC ING Metlife. Inbursa Profuturo GNP ArfirmeBajio Invercap Pensionisste.
Tepeyac Santander Mexicano Principal Metlife Principal.
Zurich XXI Metlife Principal Profuturo. Previnter Azteca Profuturo GNP XXI- Banorte
Atlántico Invercap XXI
Genesis Banorte Genereli
Capitaliza Bancomer Allianz Dresder Ahorra Ahora
Fuente: Elaboración propia con datos la CONSAR
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
En lo que se refiere a datos de la CONSAR, al cierre de diciembre del 2010 la
participación de mercado de las diferentes AFORES, refleja un amplio dominio
de los grandes corporativos bancarios de presencia mundial (véase tabla
2.1.2), por un lado, las AFORES Banamex, ING, Bancomer tiene una
participación del 16.7%, 12.49%, 11.1% respectivamente, por otro lado la
40
AFORE de menor participación es la AFORE Afirme Bajío con una participación
del 1.74%, los datos anteriores están basados en a lo que se refiere al número
de trabajadores asegurados al IMSS (Instituto Mexicano del Seguro Social) y
asignados. Sin embargo, estas composiciones van variando en lo que respecta
al tiempo ya que la entrada de nuevos competidores o fusiones de los
corporativos financieros cambia en forma significativa la participación en el
mercado.
Por otro lado, la composición del número de trabajadores asegurados entre las
distintas SIEFORES básicas, muestra una composición que está influenciada
por la estructura de la pirámide poblacional en la Población Económicamente
Activa (PEA) en el país, ya que si bien los datos del número de trabajadores
asegurados para diferentes AFORES en la clasificación delas SIEFORES
Básicas, de acuerdo a la clasificación, reflejan datos interesantes en base a los
datos al cierre de diciembre del 2010 proporcionados por la CONSAR, (tablas
2.1.3 y 2.1.4) en estas tablas se puede apreciar la participación que tiene cada
AFORE de acuerdo a las SIEFORES básicas tanto en número detallado de
trabajadores registrados como también en porcentajes, sin embargo el análisis
por medio de razones porcentuales es insuficiente para poder apreciar la
diversificación que tienen las AFORES en las SIEFORES Básicas, por lo que
se recurrió a generar las Entropías (véase tabla 2.1.5) para cada AFORE y
posteriormente ordenándolas de mayor a menor en lo que se refiere a
diversificación, entre las cinco distintas SIEFORES Básicas quedando como
las mejores diversificadas en lo que se refiere a número de asegurados, entre
las cinco SIEFORES Básicas AFORES Bajío, Principal, Bancomer, de mayor a
menor respectivamente, y resaltando como dato sobresaliente a la menos
41
diversificada en los mismos términos señalados anteriormente, siendo la
AFORE Banamex que tiene el mayor número de trabajadores asegurados en la
SIEFORE Básica 2 (46 a 55 años), concentrando 2 401 056 trabajadores
asegurados según datos de la CONSAR.
Tabla 2.1.2
Participación de las AFORES (Por numero de trabajadores), en el mercado mexicano al cierre del 2010.
AFORE. SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3 Basica 4 Basica 5 Total
Afirme Bajío 390,384 144,355 78,642 50,427 33,682 697,490
Azteca 289,060 306,239 164,283 105,456 70,962 936,000 Banamex 1,142,315 2,401,056 1,457,517 873,748 689,574 6,564,210 Bancomer 382,323 1,628,542 1,178,215 725,791 544,717 4,459,588 Banorte Generali 873,478 1,413,100 774,093 478,398 349,822 3,888,891 Coppel 758,229 715,916 394,047 217,895 94,555 2,180,642 HSBC 209,329 614,353 366,231 222,136 180,797 1,592,846
Inbursa 616,128 1,089,562 755,752 507,896 354,398 3,323,736 ING 465,194 1,898,611 1,287,202 775,195 590,040 5,016,242
Invercap 360,797 459,407 302,294 186,219 85,047 1,393,764 Metlife 378,948 368,238 218,279 140,508 92,136 1,198,109
Principal 211,242 1,206,056 639,490 403,181 334,622 2,794,591 Profuturo
GNP 200,771 1,182,368 857,437 504,122 364,763 3,109,461 XXI 764,393 939,077 550,673 430,138 336,346 3,020,627
Total 7,042,591 14,366,880 9,024,155 5,621,110 4,121,461 40,176,197 Fuente. CONSAR al cierre de diciembre del 2010.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.1.3
Tabla 2.1.3 Participación (en porcentaje) de las AFORES en el mercado mexicano
AFORE. SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3 Basica 4 Basica 5 Total
Afirme Bajío 56.0 20.7 11.3 7.2 4.8 100% Azteca 30.9 32.7 17.6 11.3 7.6 100% Banamex 17.4 36.6 22.2 13.3 10.5 100% Bancomer 8.6 36.5 26.4 16.3 12.2 100% Banorte Generali 22.5 36.3 19.9 12.3 9.0 100%
42
Coppel 34.8 32.8 18.1 10.0 4.3 100% HSBC 13.1 38.6 23.0 13.9 11.4 100% Inbursa 18.5 32.8 22.7 15.3 10.7 100% ING 9.3 37.8 25.7 15.5 11.8 100% Invercap 25.9 33.0 21.7 13.4 6.1 100% Metlife 31.6 30.7 18.2 11.7 7.7 100% Principal 7.6 43.2 22.9 14.4 12.0 100% Profuturo GNP 6.5 38.0 27.6 16.2 11.7 100%
XXI 25.3 31.1 18.2 14.2 11.1 100% Total 17.5 35.8 22.5 14.0 10.3
Fuente. CONSAR al cierre de diciembre del 2010.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.1.4
Participación en número de asegurados %
Rango. AFORE. %
1 Banamex 16.34 2 ING 12.49 3 Bancomer 11.10 4 Banorte Generali 9.68 5 Inbursa 8.27 6 Profuturo GNP 7.74 7 XXI 7.52 8 Principal 6.96 9 Coppel 5.43 10 HSBC 3.96 11 Invercap 3.47 12 Metlife 2.98 13 Azteca 2.33 14 Afirme Bajío 1.74
Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR al cierre de diciembre del
2010.<www.consar.gob.mx/estadisticas>
43
Tabla 2.1.5
Participación en número de asegurados
Rango. AFORE. Entropia.
1 Afirme Bajío 1.54220988 2 Principal 1.54076765 3 Bancomer 1.51123921 4 Inbursa 1.49921525 5 XXI 1.49357446 6 HSBC 1.48723243 7 Invercap 1.48511414 8 Banorte Generali 1.48279646 9 Coppel 1.47895704
10 ING 1.47640786 11 Azteca 1.44655943 12 Metlife 1.42949298 13 Profuturo GNP 1.40790377 14 Banamex 1.23230546
Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR al cierre de diciembre del 2010.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
2.2. Características de diversificación de cartera en las SIEFORES
2.2.1 Diversificación de carteras de las SIEFORES y su estructura
La diversificación en la composición de carteras de inversión de las SIEFORES
está regulada de tal manera que los ahorros de los trabajadores no sean
expuestos a un riesgo que puedan provocar pérdidas bruscas en la operación
normal del mercado. Sin embargo estas composiciones de cartera
conservadoras, por llamarlas de esta forma, tienen como consecuencia un bajo
nivel de rendimiento, sin tomar las comisiones cobradas por operación por las
mismas AFORES, por ello los ahorros de los trabajadores dejan ver una baja
composición en lo que se refiere a su diversificación de inversión, si se
44
comparan estas diversificaciones con las diversificaciones con otros países de
la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico).
Podemos analizar por medio de la Entropía, vista como medida de
diversificación que México aparece en el antepenúltimo sitio (véase tablas 2.2.1
y 2.2.2). Si bien el objetivo del presente trabajo no tiene como finalidad un
análisis comparativo entre las diversificaciones de cartera de los Sistemas de
Pensiones a nivel mundial, no obstante nos permite ver que tan conservadora
puede ser la Ley en términos aversión al riesgo en la composición de cartera
en términos de diversificación. Lo anterior puede vislumbrar una de las tantas
causas por las que son cuestionados los bajos rendimientos de los ahorros de
los trabajadores para su retiro (véase tabla 2.2.)
En lo que respecta a diversificación de cartera de las SIEFORES en México, la
Ley (Ley de los Sistemas de Ahorro para el Retiro de los Estados Unidos
Mexicanos) establece en el artículo 43 que:
El régimen de inversión deberá tener como principal objetivo otorgar la mayor
seguridad y rentabilidad de los recursos de los trabajadores. Asimismo, el
régimen de inversión tendera a incrementar el ahorro interno y el desarrollo de
un mercado de instrumentos de largo plazo acorde con el sistema de
pensiones. A tal efecto, proveerá que las inversiones se canalicen
preponderantemente, a través de su colocación en valores, a fomentar:
45
a) La actividad productiva nacional;
b) La mayor generación de empleo;
c) La construcción de vivienda;
d) El desarrollo de infraestructura estratégica del país, y
e) El desarrollo regional.
De ahí que las disposiciones legales en lo que respecta a los lineamientos que
deben de tener las composiciones de cartera de las SIEFORES, representa
algunas de las limitantes para una mayor diversificación de cartera enfocada a
mayores rendimientos, acompañado de un mayor riesgo, las limitaciones
legales principales que regulan las carteras de inversión de las SIEFORES se
muestran en la tabla (2.2.1).
Tabla 2.2.1
Limitaciones legales de composición de SIEFORES
SIEFORE SIEFORES SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3. Basica 4. Basica 5 Valor en Riesgo
(1-α) 1 dia. 0.60% 1% 1.30% 1.60% 2.00% Renta variable. 0% 20% 25% 35% 35% Divisas 30% 30% 30% 30% 30% Derivados. Si Si Si Si Si Instrumentos mxAAA o en Divisas BBB+. 5% 5% 5% 5% 5% Instrumentos mxAA o en divisas BBB-. 3% 3% 3% 3% 3% Instrumentos mxA. 2% 2% 2% 2% 2% Instrumentos mxBBB o en divisas BB. 0% 1% 1% 1% 1% Instrumentos extranjeros A- un solo 5% 5% 5% 5% 5%
46
emisor o contraparte.
Sobre una misma emisión. 35% 35% 35% 35% 35% Valores extranjeros (en caso de ser deuda min. A-) 20% 20% 20% 20% 20% Instrumentos bursatilizados. 10% 15% 20% 30% 40% Instrumentos estructurados. 0% 10% 15% 15% 15% Protección inflacionaria. Si
(51%min) No No no No Instrumentos de entidades relacionados entre si. 15% 15% 15% 15% 15% Instrumentos de entidades con nexo patrimonial con la AFORE. 5% 5% 5% 5% 5% Fuente: CONSAR<www.consar.gob.mx/estadisticas>.
Tabla 2.2.2
Asignaciones de los fondos de pensiones países OCDE
País
Efec
tivo
y
depó
sito
s.
Bon
os y
Bill
s (1
)
Pres
tam
o
s Acc
ione
s.
Tier
ra y
cons
truc
cFo
ndos
mut
uos.
Fond
os
priv
ados
de
Otr
as
inve
rsio
ne
s.
(2)
Con
trat
os.
Polonia. 2.32 66.53 0 30.21 .. 0.63 0 0.30 Chile. 0.14 36.66 2.48 19.25 .. 40.52 .. 0.94 Canadá. 3.19 24.47 0.36 26.31 5.81 34.48 .. 5.38 Noruega. 3.86 49.94 1.13 13.86 3.80 25.97 0.34 1.09 Portugal. 5.84 48.46 0 15.20 8.57 22.33 0 -0.40 Suiza. 8.09 23.90 4.25 13.53 9.51 36.57 3.60 0.56 Alemania. 2.25 26.64 29.55 0.47 2.33 36.47 0.84 1.44 Bélgica.
3.19 8.10 1.05 7.52 0.74 74.59 .. 3.95
0.85 Austria. 3.95 1.98 1.25 0.17 0.36 92.08 0.20 0 México 1.03 79.03 .. 13.86 0.01 2.55 0 3.52 Holanda. 2.15 42.9 2.78 8.39 2.27 32.26 .. 9.24 Australia 12.84 .. 5.02 21.66 5.01 52.21 .. 3.25 República Checa. 10.17 80.48 0 1.62 0.96 3.20 .. 3.57
Dinamarca. 0.51 70.95 0.17 15.26 1.27 2.40 .. 9.43 Finlandia. 3.49 37.50 9.60 40.61 6.95 .. .. 1.85 Francia. .. .. .. .. .. .. .. Grecia. 28.84 52.21 5.89 .. 9.51 .. 3.54 Hungría. 2.49 56.83 .. 10.76 0.23 27.29 .. 2.40 Islandia. 8.8 50.66 11.09 21.76 0.02 0 7.67 0. Irlanda. .. .. .. .. .. .. .. .. Israel 6.68 77.34 1.06 5.09 0.56 2.74 0.82 5.72 Italia
5.66 42.41 .. 10.04 4.01 8.46 1.30 5.70
22.41 Japón .. .. .. .. .. .. .. .. Corea
38.33 29.40 1.12 0.05 0 10.68 0 6.96
13.49 Luxemburgo
38.62 14.24 0 0.21 0 36.06 .. 10.75
0.12 Nueva .. .. .. .. .. .. .. ..
47
Zelanda. República Eslovaca. 29.19 68.42 .. 0.19 .. 0.71 .. 1.49
Eslovenia 19.83 64.30 3.96 2.87 0 7.84 0 1.19 España
16.45 56.36 0 11.14 0.22 6.06 0.35 0.54
8.89 Suecia. 1.87 53.49 0.03 12.42 3.89 27.47 .. 0.83 Turquía. 27.78 30.77 .. 26.54 0.40 0.08 .. 14.44 Reino Unido. 3.17 22.27 0.94 24.36 2.22 25.48 .. 15.31 6.25 Estados Unidos. 1.12 20.68 0.86 37.82 1.28 21.31 .. 12.64 4.30
País
Efec
tivo
y
depó
sito
s.
Bon
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Bill
s
(1)
Pres
tam
os
Acc
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s.
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Fond
os
priv
ados
de
inve
rsió
n.
Otr
as
inve
rsio
nes.
(2) C
ontr
atos
.
Promedio 10.06 44.18 3.33 13.70 2.42 22.86 1.16 4.33 8.04 México 1.03 79.03 .. 13.86 0.01 2.55 0 3.52
Fuente: OCDE (Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico).
<www.oecd.org/stats>, * Públicos y privados. ** Contratos de aseguramiento no asignados.
Tabla 2.2.3
Entropía por país
Rango País. Entropia.
1 Reino Unido. 1.72522383 2 Italia. 1.6501421 3 Estados Unidos. 1.56651861 4 Canadá. 1.51558119 5 Corea. 1.4760455 6 Holanda. 1.42424825 7 Suiza. 1.40775757 8 Alemania. 1.38031654 9 Turquía. 1.3772792 10 Portugal. 1.34853497 11 Australia. 1.34576472 12 Noruega. 1.34019419 13 Finlandia. 1.33491148 14 Islandia. 1.33316874 15 España. 1.31100313 16 Luxemburgo. 1.27353738 17 Grecia. 1.20676415 18 Chile. 1.19621799 19 Suecia. 1.19175185 20 Hungría. 1.11112014
48
21 Eslovenia. 1.08697333 22 Bélgica. 0.97919755 23 Dinamarca. 0.93617259 24 Israel. 0.909747 25 Polonia. 0.76984508 26 República Checa. 0.74754475 27 República Eslovaca. 0.72840262 28 México. 0.71926741 29 Austria. 0.38010884
Fuente: Elaboración propia con datos de la OCDE con datos del 2009.<www.oecd.org/stats>
Nota: Las Entropías se construyeron en base a las distribuciones empíricas
proporcionadas por la OCDE para cada país.
2.3 Rendimientos de las SIEFORES
Por otro lado, en lo que se refiere a los Rendimientos de las SIEFORES y su
diversificación de cartera, medida esta última por medio de la Entropía. La
teoría de portafolio señala Markowitz (1952), que es preferible casi
seguramente un portafolio que este mejor diversificado a otro que no lo este, es
decir se puede obtener el mismo rendimiento entre dos portafolios pero uno
expuesto a un mayor riesgo. Analizando los rendimientos netos (tomando en
consideración la metodología señalada en la circular de la CONSAR 71-1 de
los últimos 36 meses de las SIEFORES Básicas (véase tabla 1.1.10), con
respecto a las Entropías de composición de cartera de las cinco Siefores
Básicas generadas con datos de la CONSAR al cierre de diciembre del 2011,
si bien no se espera encontrar una correlación directa, es decir que a mayor
diversificación; se genera necesariamente un mayor rendimiento. Pero que si
49
nos permite ver en forma directa las SIEFORES con una mayor diversificación
y en contraparte los mayores rendimientos netos.
Tabla 2.3.1
Rendimientos históricos de las AFORES al cierre de diciembre del 2011
AFORES SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3 Basica 4 Basica 5
Afirme Bajío 8.20 9.36 10.21 10.65 11.31 Azteca 8.07 10.62 11.47 11.32 11.55 Banamex 10.09 11.51 12.49 14.11 15.63 Bancomer 9.58 10.92 12.32 13.02 13.36 Banorte Generali 8.74 8.30 8.10 8.66 10.61 Coppel 8.64 9.84 10.13 10.40 10.72 Inbursa 6.73 6.99 7.30 7.59 7.94 ING 9.52 11.50 12.78 14.09 15.29 Invercap 10.56 12.21 13.86 14.18 17.02 MetLife 9.70 11.31 11.90 12.85 14.07 PensionISSSTE* 9.38 10.62 11.30 11.59 11.55 Principal 10.03 11.39 11.97 12.56 13.13 Profuturo GNP 10.37 11.35 11.84 13.14 13.90 XXI 9.76 11.33 11.98 12.37 13.00 Promedio del sistema. 9.24 10.52 11.26 11.89 12.79
Fuente: CONSAR <www.consar.gob.mx/estadisticas>
(De los últimos 36 meses, al cierre de diciembre del 2011, rendimiento de los activos de las Siefores antes del cobro de comisiones).
Los resultados obtenidos para cada una de las SIEFORES Básicas se
muestran en las tablas 1.1.12-1.1.16, dentro de los resultados que sobresalen
entre otros muchos más el de la AFORE Banorte Generali, que en lo que se
refiere a diversificación para las cinco Siefores Básicas quedo en la primera
posición, pero que sin embargo en rendimientos netos aparece en los últimos
50
lugares, es decir existe una relación inversa, entre otros resultados que
destacan es lo referente a la relación directa entre bajos rendimientos y baja
diversificación de cartera que existe en la AFORE Azteca.
Tabla 2.3.2
Comparativo SIEFORE básica 1 (rendimiento-diversificación)
Rendimiento. Entropia.
Invercap 10.5635 Bancomer 2.3451507 Profuturo GNP 10.3749 Metlife 2.33827873
Banamex 10.094 XXI 2.21741589
Principal 10.0311 Banorte
Generali 2.21672373 XXI 9.7585 Invercap 2.19594926
MetLife 9.6959 Profuturo GNP 2.18419923 Bancomer 9.5833 PensionISSSTE 2.16570127
ING 9.5226 ING 2.1413313 PensionISSSTE* 9.3809 Principal 2.10129366 Banorte Generali 8.7397 Coppel 2.00146689
Coppel 8.637 Afirme Bajío 1.92153825 Afirme Bajío 8.1965 Banamex 1.77999693
Azteca 8.0731 Azteca 1.65529098 Inbursa 6.7326 Inbursa 1.5077365
Fuente: Elaboración Propia con datos de la CONSAR nota los rendimientos son de los últimos 36 meses y la composición de cartera es al cierre de diciembre del 2011.
*El rendimiento de Pensión ISSSTE no comprende los 36 meses por su reciente cotización.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.3.3
Comparativo SIEFORE básica 2 (rendimiento-diversificación)
Rendimiento. Entropia.
Invercap 12.2145 Metlife 2.63589198 Banamex 11.5106 Bancomer 2.5422613
ING 11.5021 Banorte
Generali 2.49263634 Principal 11.3911 ING 2.45147019
Profuturo GNP 11.3454 Coppel 2.44022142 XXI 11.3319 Profuturo GNP 2.40607973
MetLife 11.311 PensionISSSTE 2.37807188
51
Bancomer 10.9202 Banamex 2.35727234 PensionISSSTE* 10.6207 Principal 2.29090687
Azteca 10.6183 Afirme Bajío 2.17487173 Coppel 9.842 XXI 2.12333345
Afirme Bajío 9.3562 Invercap 2.06548042 Banorte Generali 8.295 Azteca 1.94191897
Inbursa 6.9897 Inbursa 1.86236021
Fuente: Elaboración Propia con datos de la CONSAR nota los rendimientos son de los últimos 36 meses y la composición de cartera es al cierre de diciembre del 2011.
*El rendimiento de Pensión ISSSTE no comprende los 36 meses por su reciente cotización.
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.3.4
Comparativo SIEFORE básica 3 (rendimiento-diversificación)
Rendimiento. Entropia. Invercap 13.86 Metlife 2.67985519 ING 12.78 Banorte
Generali 2.53119487 Banamex 12.49 Bancomer 2.5295061 Bancomer 12.32 Banamex 2.46222754 XXI 11.98 Profuturo GNP 2.42516761 Principal 11.97 PensionISSSTE 2.40969957 MetLife 11.90 Coppel 2.4091554 Profuturo GNP 11.84 ING 2.38718101 Azteca 11.47 Principal 2.3211546 PensionISSSTE* 11.30 Afirme Bajío 2.17532952 Afirme Bajío 10.21 Inbursa 2.12173363 Coppel 10.13 XXI 2.11527417 Banorte Generali 8.10 Invercap 2.02608366 Inbursa 7.30 Azteca 1.81072091
Fuente: Elaboración Propia con datos de la CONSAR nota los rendimientos son de los últimos 36 meses y la composición de cartera es al cierre de diciembre del 2011.
*El rendimiento de Pensión ISSSTE no comprende los 36 meses por su reciente cotización.
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR. <www.consar.gob.mx/estadisticas
52
Tabla 2.3.5
Comparativo SIEFORE básica 4 (rendimiento-diversificación)
Rendimiento. Entropia.
Invercap 14.18 Metlife 2.67602865 Banamex 14.11 Bancomer 2.59333709
ING 14.09 Banamex 2.46837797 Profuturo GNP 13.14 ING 2.43767465
Bancomer 13.02 Coppel 2.42665094 Metlife 12.85 PensionISSSTE 2.40323132
Principal 12.56 Banorte Generali 2.40109829
XXI 12.37 Profuturo GNP 2.36806244 PensionISSSTE 11.59 Principal 2.30439304
Azteca 11.32 Inbursa 2.22231387 Afirme Bajío 10.65 Afirme Bajío 2.19193732
Coppel 10.40 XXI 2.02737172 Banorte Generali 8.66 Invercap 1.98897369
Inbursa 7.59 Azteca 1.75217897
Fuente: Elaboración Propia con datos de la CONSAR nota los rendimientos son de los últimos 36 meses y la composición de cartera es al cierre de diciembre del 2011.
*El rendimiento de Pensión ISSSTE no comprende los 36 meses por su reciente cotización.
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR. <www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.3.6
Comparativo SIEFORE básica 5 (rendimiento-diversificación)
Rendimiento. Entropia.
Invercap 17.02 Metlife 2.51854383 Banamex 15.63 Bancomer 2.49209823
ING 15.29 ING 2.42009511 Metlife 14.07 PensionISSSTE 2.39229645
Profuturo GNP 13.90 Profuturo GNP 2.37078651 Bancomer 13.36 Banamex 2.3693511
Principal 13.13 Banorte Generali 2.35363527
53
XXI 13.00 Coppel 2.3221008 Azteca 11.55 Principal 2.19148538
PensionISSSTE 11.55 Afirme Bajío 2.15820642 Afirme Bajío 11.31 Inbursa 2.15469395
Coppel 10.72 XXI 1.98692269 Banorte Generali 10.61 Invercap 1.94357553
Inbursa 7.94 Azteca 1.85524976
Fuente: Elaboración Propia con datos de la CONSAR nota los rendimientos son de los últimos 36 meses y la composición de cartera es al cierre de diciembre del 2011.
*El rendimiento de Pensión ISSSTE no comprende los 36 meses por su reciente cotización.
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR. <www.consar.gob.mx/estadisticas>
Los resultados obtenidos, muestran claramente que los rendimientos mayores,
no tienen una relación directa con un mayor nivel de diversificación, esto ultimo
mostrado con las entropías obtenidas, como se muestran en las tabla 2.3.2,
2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6, no obstante se puede apreciar las cinco SIEFORES
básicas de Inbursa, si se encuentran en el ultimo lugar de rendimiento y su
nivel de diversificación oscila entre los últimos cinco lugares, es decir la
característica principal de cada una de las SIEFORES básicas es de que una
mayor diversificación no necesariamente representa un mayor rendimiento, sin
embargo una menor diversificación de las SIEFORES representa un probable
menor rendimiento.
2.4 Prueba de raíces unitarias a las entropías
Con la información anteriormente analizada al ser de corte transversal, es decir
que está tomada solo para un periodo especifico de tiempo, la realización de
pruebas de raíces unitarias a la Entropía en términos dinámicos, es una de las
principales objetivos del presente trabajo, para poder buscar si efectivamente la
Entropía se puede considerar como una sub-martingala y con ello verificar que
el mercado de las AFORES en México se encuentra en proceso de
54
diversificación, y con ello está en equilibrio en términos de participación misma
de las AFORES, por ello la construcción de la variable de Entropía para el
periodo 1999-2011 en frecuencia semestral que se realizará con las
composiciones generales de cartera para cada periodo (véase tabla 2.4.1)
Tabla 2.4.1
Entropía de la Evolución general de la composición de cartera de las SIEFORES
(1999:I-2011:II)
Periodo Deuda
guberna
mental
Institucio
nes
Financier
as
Institucio
nes no
Financier
as.
Acciones Fondos
mutuos y
de
Inversión
Emisione
s
Extranjer
as
Otros Total. Entropia
1999-I 97% 0% 3% 0% 0% 0% 0% 100%
0.059186
1999-II 97% 0% 3% 0% 0% 0% 0% 100%
0.054195
2000-I 95% 1% 4% 0% 0% 0% 0% 100%
0.101765
2000-II 93% 2% 5% 0% 0% 0% 0% 100%
0.133348
2001-I 90% 3% 6% 0% 0% 0% 1% 100%
0.176369
2001-II 90% 2% 8% 0% 0% 0% 0% 100%
0.167249
2002-I 86% 2% 12% 0% 0% 0% 0% 100%
0.203898
2002-II 83% 2% 15% 0% 0% 0% 0% 100%
0.224846
2003-I 85% 3% 11% 0% 0% 0% 0% 100%
0.215467
2003-II 82% 5% 13% 0% 0% 0% 0% 100%
0.246316
2004-I 86% 4% 10% 0% 0% 0% 0% 100%
0.217127
2004-II 86% 5% 10% 0% 0% 0% 0% 100%
0.220051
2005-I 87% 4% 9% 1% 0% 0% 0% 100%
0.219438
2005-II 82% 4% 12% 0% 0% 0% 0% 100%
0.247257
2006-I 75% 4% 12% 1% 0% 9% 0% 100%
0.362503
2006-II 73% 5% 11% 2% 0% 10% 0% 100%
0.396410
2007-I 71% 6% 10% 3% 0% 10% 0% 100%
0.426927
2007-II 69% 6% 11% 4% 0% 10% 0% 100%
0.442992
55
2008-I 61% 5% 12% 8% 0% 14% 0% 100%
0.511971
2008-II 68% 4% 11% 6% 0% 10% 0% 100%
0.452070
2009-I 71% 4% 13% 5% 0% 7% 0% 100%
0.420611
2009-II 69% 3% 14% 7% 0% 7% 0% 100%
0.438063
2010-I 66% 3% 15% 8% 0% 8% 0% 100%
0.460852
2010-II 65% 2% 15% 8% 0% 9% 0% 100%
0.468222
2011-I 64% 2% 16% 8% 0% 11% 0%
0.474532
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
La necesidad de encontrar una evidencia empírica que pruebe que el mercado
de las AFORES se ha diversificado durante los últimos 12 años, en base a la
variable construida (Entropía), que permita encontrar en el aumento de la
Entropía dentro del periodo de estudio; para ello es necesario verificar que
evidentemente sea una sub-martingala, por la cual se pueda esperar que esta
diversificación sea creciente para los siguientes años, por ello una forma en la
que se puede representar bajo una evidencia econométrica, es por medio de
las pruebas econométricas de Raíces Unitarias, (Dickey-Fuller Aumentada,
Phillips-Perron, Kwiatkowski-Phillips-Smidt-Shin).
56
Gráfica 2.4.1
Entropía 1999-I-2011-I
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.Consar.gob.mx/estadisticas>
Gráfica 2.4.2
d(Entropia) 1999:I-2011:I
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.Consar.gob.mx/estadisticas
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
57
Gráfica 2.4.3
Cambio % (Entropía) 1999:I-2011:I
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
Gráficamente se puede apreciar en la figura 2.4.1 que la Entropía no se
encuentra alrededor de su media, es decir que no muestra un comportamiento
ergodico, por el contrario tiene un comportamiento creciente, por lo cual se
puede esperar a priori que el estadístico Jarque-Bera (1987) rechazara la
existencia de un comportamiento normal. Sin embargo, los resultados
econométricos nos muestran que no es posible rechazar la hipótesis nula de no
existencia de un comportamiento normal para La Entropía ni tampoco para la
misma variable en lo que se refiere a su primera diferencia.
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
58
Tabla 2.4.1
Resultados de la prueba Jarque-Bera
Variable. Kurtosis. Skewness Jarque-Bera. Probabilidad.
Entropía. 1.626514 -0.028024 1.968339 0.373750
D(Entropía). 4.416327 0.417184 2.702152 0.258962
Δ%(Entropia). 7.637147 2.032077 38.02049 0.000000
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
2.5 Prueba Dickey-Fuller aumentada a las entropías
∆퐸 = 휇 + 훾퐸 + 훿 ∆퐸 + 훿 ∆퐸 + ⋯+ 훿 ∆퐸 + 휀 (106)
Donde 훾 = 휌 − 1
∆퐸 = 휇 + 훾퐸 + 훿 ∆퐸 + 휀 (107)
퐻 ∶ 훾 = 0 , 퐻 ∶ 훾 < 0 (108)
Tabla 2.5.1
Resultados de la prueba de raíces unitarias (Dickey-Fuller aumentada)
Entropía. d(Entropía). ∆%(Entropia)
Entropía. Estadíst. T Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad. Intercepto. -1.078270 0.7072 -4.413061 0.0022 -4.336624 0.0027
Tendencia e intercepto
-1.869524 0.6387 -4.429739 0.0097 -5.442248 0.0011
Ninguno 1.600268 0.9693 -0.647743 0.0008 -3.559913 0.0011
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
59
Los resultados de la tabla 2.5.1 muestran que las entropías obtenidas para la
prueba de Dickey-Fuller Aumentada aceptan para cada una de sus tres
especificaciones de la prueba que las entropías no son estacionarias, que para
el presente trabajo tienen un comportamiento creciente, no obstante en las
primeras diferencias de las entropías y de variaciones porcentuales de un
periodo anterior se rechaza la hipótesis de que no son estacionarias las
entropías obtenidas.
2.6 Prueba Phillips-Perron a las entropías
∆퐸 = 훼 + 훽퐸 + 휀 (95)
Tabla 2.6.1
Resultados de la prueba de raíces unitarias (Phillips-Perron)
Entropía. d(Entropía). ∆%(Entropia)
Entropía. Estadíst. t
Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad.
Intercepto. -1.078270
0.7072 -4.413061 0.0022 -4.424970 0.0022
Tendencia e intercepto
-2.002937
0.5704 -4.429739 0.0097 -5.346813 0.0014
Ninguno 1.473769 0.9609 -3.636620 0.0009 -3.641405 0.0009
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
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Los resultados de la tabla 2.6.1 muestran que las entropías obtenidas para la
prueba de Phillips-Perron, aceptan para cada una de sus tres especificaciones
de la prueba que las entropías no son estacionarias, que para el presente
trabajo tienen un comportamiento creciente, no obstante en las primeras
diferencias de las entropías y de variaciones porcentuales de un periodo
anterior se rechaza la hipótesis de que no son estacionarias las entropías
obtenidas.
60
2.7 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) alas entropias
Tabla 2.7.1
Resultados de la prueba de raíces unitarias
(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin)
Constante. Entropia. d(Entropia). Δ% (Entropia).
EstadisticoLM. 0.698027 0.094921 0.316402 Valores Criticos
Nivel de confianza 1%
0.739000 0.739000 0.739000
Nivel de confianza 5%
0.463000 0.463000 0.463000
Nivel de confianza 10%
0.347000 0.347000 0.347000
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR).
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.7.2
Resultados de las prueba de raíces unitarias
(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin)
Constante y tendencia. Entropia. d(Entropia). Δ% (Entropia).
EstadisticoLM. 0.065789 0.068232 0.066079 Valores Críticos
Nivel de confianza 1% 0.216000 0.216000 0.216000 Nivel de confianza 5% 0.146000 0.146000 0.146000 Nivel de confianza 10% 0.119000 0.119000 0.119000
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
61
2.8 Relaciones funcionales econométricas
Tabla 2.8.1
Matriz varianza-covarianza
Administradoras Comisiones. Entropía. Porcentaje.
Administradoras. 8.774400 -0.252872 0.293754 -8.141440 Comisiones. -0.252872 0.008383 -0.008843 0.3114067
Entropía. 0.293754 -0.008843 0.020035 -0.466026 Porcentaje. -8.141440 0.314067 -0.466026 21.23574
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
푃표푟푐푒푛푡푎푗푒 = 푓(퐸푛푡푟표푝푖푎,퐶표푚푖푠푖표푛푒푠,퐴푑푚푖푛푖푠푡푟푎푑표푟푎푠). (2.1)
Dónde:
Porcentaje = Participación de las dos AFORES más grandes en el mercado.
Comisiones = Utilidades Anuales/Ingreso por comisión.
Administradoras= Numero de Administradoras en el mercado.
Entropía = Corresponde de la Entropía obtenida a partir de la tabla 2.4.1
62
Grafica 2.8.1
Comportamiento de variables
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>,<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.8.3
Regresión econométrica en base a la ecuación 2.1
Porcentaje/var.dep. Coeficiente. Error estándar. t-Estadístico. Probabilidad.
Constante. 4.928755 12.65169 0.389573 0.7008 Entropía. -19.85359 5.437998 -3.650900 0.0015 Comisiones. 65.33876 18.65785 3.501944 0.0021 Administradoras. 1.623158 0.605603 2.680236 0.0140
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>,<www.consar.gob.mx/estadisticas>
10
12
14
16
18
20
22
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
ADMINISTRADORAS
.04
.08
.12
.16
.20
.24
.28
.32
.36
.40
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
COMISIONES
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
ENTROPIA
28
32
36
40
44
48
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
PORCENTAJE
63
Tabla 2.8.4
Pruebas a residuos de la regresión econométrica en base a la ecuación 2.1
Prueba Breuch-Godfrey. LM Correlacion Serial
Estadístico F. N*R2
1.11681 2.629816 Probabilidad. Probabilidad. 0.347881 0.268499
Prueba de White. (términos cruzados).
Estadístico F. N*R2 0.499378 5.763710 Probabilidad. Probabilidad. 0.852845 0.763314
Prueba ARCH. Estadístico F. N*R2 1.119447 1.162084 Probabilidad. Probabilidad. 0.301517 0.281034
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.8.4
Pruebas de causalidad tipo Granger. (23 observaciones para 2 rezagos)
Variable. Tipo Granger. Variable. Estadístico F.
Probabilidad.
Porcentaje. No causa a Entropía. 0.91873 0.41695 Entropía. No causa a Porcentaje. 1.57007 0.23522
Comisiones. No causa a Entropía. 2.42536 0.11678 Entropía. No causa a Comisiones. 1.61976 0.22550
Administradoras. No causa a Entropía. 2.85983 0.08346 Entropía. No causa a Administradoras. 7.28440 0.00481
Comisiones. No causa a Porcentaje. 0.56101 0.58029 Porcentaje. No causa a Comisiones. 2.85368 0.08385
Administradoras. No causa a Porcentaje. 0.25815 0.77529
64
Porcentaje. No causa a Administradoras. 1.80366 0.19322 Administradoras. No causa a Comisiones. 0.31751 0.73195
Comisiones. No causa a Administradoras. 3.31342 0.05954
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas ,<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.8.5
Pruebas de causalidad tipo Granger. (22 observaciones para 3 rezagos)
Variable. Tipo Granger. Variable. Estadístico F.
Probabilidad.
Porcentaje. No causa a Entropía. 0.75884 0.53444 Entropía. No causa a Porcentaje. 1.99777 0.15764
Comisiones. No causa a Entropía. 1.92407 0.16907 Entropía. No causa a Comisiones. 1.27449 0.31893
Administradoras. No causa a Entropía. 2.35660 0.11288 Entropía. No causa a Administradoras. 4.90613 0.01430
Comisiones. No causa a Porcentaje. 0.411727 0.74318 Porcentaje. No causa a Comisiones. 3.46397 0.04320
Administradoras. No causa a Porcentaje. 0.25669 0.85539 Porcentaje. No causa a Administradoras. 1.05100 0.39891
Administradoras. No causa a Comisiones. 0.41600 0.74404 Comisiones. No causa a Administradoras. 1.65327 0.21948
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
65
Tabla 2.8.6
Pruebas de causalidad tipo Granger. (21 observaciones para 4 rezagos)
Variable. Tipo Granger. Variable. Estadístico F.
Probabilidad.
Porcentaje. No causa a Entropía. 0.52134 0.72203 Entropía. No causa a Porcentaje. 1.53254 0.25465
Comisiones. No causa a Entropía. 1.63270 0.22968 Entropía. No causa a Comisiones. 2.58338 0.09086
Administradoras. No causa a Entropía. 2.02151 0.15530 Entropía. No causa a Administradoras. 3.17925 0.05352
Comisiones. No causa a Porcentaje. 0.45694 0.76591 Porcentaje. No causa a Comisiones. 1.51752 0.25863
Administradoras. No causa a Porcentaje. 0.40068 0.80454 Porcentaje. No causa a Administradoras. 0.82362 0.53478
Administradoras. No causa a Comisiones. 0.73359 0.58642 Comisiones. No causa a Administradoras. 3.75473 0.03327
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.8.7
Pruebas de causalidad tipo Granger. (19 observaciones para 6 rezagos)
Variable. Tipo Granger. Variable. Estadístico F.
Probabilidad.
Porcentaje. No causa a Entropía. 0.89538 0.55164 Entropía. No causa a Porcentaje. 13.5560 0.00292
Comisiones. No causa a Entropía. 2.07467 0.19803 Entropía. No causa a Comisiones. 2.34909 0.16122
Administradoras. No causa a Entropía. 1.55434 0.30284 Entropía. No causa a Administradoras. 3.15482 0.09394
Comisiones. No causa a Porcentaje. 0.72258 0.64840 Porcentaje. No causa a Comisiones. 1.43885 0.33491
Administradoras. No causa a Porcentaje. 0.21471 0.95838 Porcentaje. No causa a Administradoras. 0.58705 0.73315
Administradoras. No causa a Comisiones. 0.65908 0.68729 Comisiones. No causa a Administradoras. 2.19749 0.18035
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas
66
Grafica 2.8.1
Covarianza acumuladas entropía-porcentaje
Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas> ,<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Grafica 2.8.2
Correlación acumulada entropía-porcentaje
Fuente: Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.
<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas
-.5
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99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
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99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
67
2.9. Prueba de raíces unitarias conjunta Levin-Lin-Chu (panel de datos inter-SIEFORES)
A partir de los precios de cierre de las AFORES mas representativas del
mercado (Banamex, Banorte Generalli, Inbursa, ING, Principal Profuturo GNP,
Siglo XXI) se obtuvieron los datos del periodo 01/01/1998-14/10/2011 con una
muestra de 3483 por cada Siefore básica de la 1 hasta la 5, obteniendo un total
de 135,837 observaciones, posteriormente se obtuvieron las Entropias anuales
consiguiendo finalmente una muestra para un periodo de 14 años 1998-2011 y
una muestra transversal de 490 observaciones con las cuales se realizo la
Prueba Conjunta de Raíces Unitarias (tipo Corte Transversal), tanto para los
precios de cierre de cada Siefores básicas de la 1 a la 5, así como también
para los rendimientos de los mismo precios de cierre de las Siefores, para las
ocho AFORES mas representativas del mercado mexicano.
68
Gráfica 2.9.1
Entropías de los precios de cierre (1998-2011)
Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Tabla 2.9.1
Prueba Levin-Lin-Chu a entropías de precio de cierre (1998-2011)
Efecto Individual Estadistico t Probabilidad. Coeficiente Combinado.
Efecto Individual -9.97415 0.0000 -0.66456 Efecto Individual y Tendencia. -7.58404 0.0000 -0.72956 Ninguno. -3.15363 0.0008 -0.01519 Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
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SB58
69
Las probabilidades obtenidas de la prueba Levin- Lin-Chu de las entropías de
los precios de cierre, nos muestran que las entropías obtenidas de los precios
de cierre tienen un comportamiento estacionario para las especificaciones de
intercepto (0.0000) e intercepto y tendencia (0.0000), y ninguna (0.0008),
respectivamente. Nos muestran que las entropías a los precios de cierre no
generan información nueva.
Grafica 2.9.1
Entropías de los rendimientos de los precios de cierre (1998-2011)
Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
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3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
RSB57
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
RSB58
70
Tabla 2.9.1.1
Estadísticos a entropías periodo 1998-2011
Serie Sesgo Kurtosis
Jarque-
Bera. Probabilidad Serie Sesgo Kurtosis
jarque-
Bera Probabilidad
SB11 -0.364926 2.820582 0.32951 0.848101 RSB11 -0.173792 2.375251 0.298157 0.861502
SB12 -0.364926 2.820582 0.32951 0.848101 RSB12 -0.173792 2.375251 0.298157 0.861502
SB13 0.633776 2.074406 1.436991 0.487485 RSB13 -0.778849 3.776029 1.766708 0.413394
SB14 -0.155511 2.094443 0.534782 0.765374 RSB14 -0.833341 2.773278 1.650384 0.438151
SB15 0.633776 2.074406 1.436991 0.487485 RSB15 -0.778849 3.776029 1.766708 0.413394
SB16 -0.878241 3.359674 1.875181 0.39157 RSB16 -0.308903 3.873814 0.668053 0.716035
SB17 -1.221679 4.402022 4.629138 0.098809 RSB17 0.256251 3.437455 0.264848 0.875969
SB18 -0.500656 2.965385 0.585563 0.746185 RSB18 -0.173451 2.81347 0.090495 0.955761
SB21 -0.278751 2.668328 0.245475 0.884496 RSB21 -0.002864 1.978139 0.609135 0.737442
SB23 0.418662 2.061845 0.922394 0.630529 RSB23 -0.716947 3.536033 1.366972 0.504854
SB24 0.210179 2.600673 0.196095 0.906606 RSB24 -0.592762 1.897679 1.528671 0.465643
SB25 0.651933 2.076 1.489741 0.474796 RSB25 -0.213098 2.359757 0.345073 0.841527
SB26 -0.956512 3.428445 2.241881 0.325973 RSB26 0.137213 2.577457 0.14808 0.928634
SB27 -1.296795 4.338837 4.969532 0.083345 RSB27 0.078375 2.192871 0.394349 0.821047
SB28 -0.660829 3.117756 1.027044 0.598384 RSB28 -0.016505 2.214438 0.360615 0.835013
SB31 -0.233459 2.598529 0.221195 0.895299 RSB31 0.040178 1.897653 0.712615 0.700257
SB32 -0.197692 1.870489 0.835405 0.658558 RSB32 -0.131826 2.577116 0.144867 0.930128
SB33 0.285869 1.897609 0.899588 0.63776 RSB33 -0.488668 3.436537 0.668354 0.715927
SB34 0.325086 2.216616 0.604575 0.739125 RSB34 -0.459215 1.610475 1.618338 0.445228
SB35 0.615668 2.067999 1.391142 0.498789 RSB35 0.015266 2.147758 0.424228 0.808872
SB36 -0.944511 3.449774 2.199574 0.332942 RSB36 0.361358 2.744941 0.342635 0.842554
SB37 -1.348831 4.524139 5.600218 0.060803 RSB37 -0.05803 2.271777 0.317205 0.853336
SB38 -0.609066 2.998342 0.865577 0.648698 RSB38 -0.115136 2.242528 0.365627 0.832923
SB41 -0.216987 2.608623 0.199213 0.905193 RSB41 0.076798 1.905349 0.712748 0.700211
SB42 -0.181573 1.866631 0.826233 0.661585 RSB42 0.145014 1.999493 0.632993 0.728698
SB43 0.43492 1.996852 1.028375 0.597986 RSB43 -0.597462 3.371106 0.913244 0.63342
SB44 0.288603 2.028479 0.744928 0.689034 RSB44 -0.651473 1.894891 1.702712 0.426836
SB45 0.569294 1.848578 1.52959 0.465429 RSB45 -0.185787 2.310368 0.357968 0.836119
SB46 -0.930931 3.462398 2.146866 0.341833 RSB46 0.55752 2.698526 0.778284 0.677638
SB47 -1.29046 4.35666 4.959307 0.083772 RSB47 0.145058 2.701615 0.101034 0.950738
SB48 -0.583914 2.979237 0.795813 0.671725 RSB48 -0.004096 2.214448 0.360009 0.835266
SB51 -0.267963 2.658526 0.235562 0.888891 RSB51 0.05452 1.933407 0.670548 0.715142
SB52 -0.166886 1.853627 0.831585 0.659817 RSB52 0.043913 2.083932 0.494021 0.781132
SB53 0.525272 2.010442 1.215006 0.544709 RSB53 -0.262182 2.600172 0.253645 0.88089
SB54 0.271904 2.017516 0.735585 0.692261 RSB54 -0.659466 2.036466 1.556321 0.45925
SB55 0.599332 1.895582 1.549646 0.460785 RSB55 -0.350275 2.499959 0.43214 0.805679
SB56 -0.907573 3.458902 2.044785 0.359733 RSB56 0.489366 2.815511 0.57864 0.748773
SB57 -1.257618 4.271226 4.633081 0.098614 RSB57 0.283645 2.736805 0.228135 0.892198
SB58 -0.572277 3.032325 0.764779 0.682229 RSB58 0.113536 2.327726 0.293717 0.863416
Elaborada con datos de la CONSAR al 16 de octubre del 2011 www.consar.gob.mx/estadisticas
71
Tabla 2.9.2
Prueba Levin-Lin-Chu entropías de los rendimientos de los precios de cierre (1998-2011)
Especificación de la prueba Estadistico t
Probabilidad. Coeficiente Combinado.
Intercepto -8.89106 0.0000 -0.96541 Intercepto y Tendencia. -4.78098 0.0000 -1.32900 Ninguno. -1.04732 0.1475 -0.00196
Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.
<www.consar.gob.mx/estadisticas>
Las probabilidades obtenidas de la prueba Levin- Lin-Chu de las entropías de
los rendimientos de los precios de cierre, nos muestra que las entropías
obtenidas de los precios de cierre tienen un comportamiento estacionario para
las especificaciones de intercepto e intercepto y tendencia, salvo en la
especificación de omisión de tendencia e intercepto, donde la probabilidad es
de 0.1475.
72
CONCLUSIONES.
El mercado de pensiones por su misma naturaleza ha mostrado un
comportamiento muy dinámico en lo que se refiere al número de competidores,
desde que comenzó a operar, el cual no es asimilado a la misma velocidad que
el usuario último, que para nuestro caso es el trabajador, los factores que
afectan al número de competidores es muy diverso, tanto por restructuraciones
de fuentes externas al país como es el caso último de la venta de AFORE ING
a la empresa colombiana de pensiones y seguros SURA que con ello
representa 13.52% de numero de cuentas y de la fusión entre la AFORES XXI
y Banorte representando el 24.09% en el número total de cuentas ambas al
cierre de enero del 2012 véase tabla 3.1, o por la baja captación de afiliados y
con lo cual no pueden alcanzar economías de escala, entre otras muchas
razones. Con ello la posibilidad de realizar un análisis al menos para diez años
se complica por el cambio en el número de AFORES o por la falta de
información, para un caso de análisis comparativo particular.
En el comienzo de la presente investigación se tenía claro el objetivo de esta
última, que era básicamente buscar que tanto a cambiado el mercado de las
AFORES, por una parte analizar si han alcanzado un nivel de equilibrio
permanente o si este ultimo, tiende estar en constante cambio y así
encontrarse en un equilibrio continuo, al hacer mención a un equilibrio nos
referimos en que forma, por medio de la Entropía nos permite encontrar nueva
información revelada en el mercado mismo pará el periodo de estudio, sin
embargo el reto de poder encontrar información que fuera relevante para el
presente trabajo, representaba uno de los principales retos, no obstante la
73
información que se logró encontrar se fue adaptando y obteniendo resultados
muy importantes e incluso diferentes a los resultados que se esperaban
encontrar en el presente trabajo.
En un principio en lo que se refiere al primer capítulo se enumeró básicamente
los elementos teóricos que sirvieron de base para el desarrollo del presente
trabajo, en lo que se refiere al capítulo segundo tomando la información que
proporciona la CONSAR al cierre del 2011, se procedió a obtener las entropías
para cada SIEFORE básica de cada AFORE que opera en el mercado
mexicano, como se mostró en los cuadros 2.31-2.3.6, suponiendo encontrar
que a una mayor diversificación de las AFORES, se podría esperar hallar un
mayor rendimiento, tomando los rendimientos históricos de los últimos 36
meses, sin embargo, los resultados obtenidos nos muestran que una mayor
diversificación no necesariamente produce un mayor rendimiento, por lo que la
interpretación en base a la teoría de portafolio de Markowitz (1952), nos revela
que las AFORES, por medio de sus SIEFORES solamente han disminuido el
riesgo, para un rendimiento dado, ello debido en mayor parte por las
restricciones legales qué aun regulan el mercado. Por otra parte la necesidad
de poder encontrar un indicador que muestre que tanto esta restringido el
mercado de las AFORES, por el marco legal, realizando un análisis
comparativo entre sus entropías correspondientes a la composición de cartera
entre los países de la Organización para la Cooperación y Desarrollo
Económico (OCDE), con datos disponibles para el 2009, se encontró que
México se situaba sorpresivamente en el penúltimo lugar, solamente por
encima de Austria véase tablas 2.2.2 y 2.2.3. por ello la necesidad de buscar
por medio de la Entropía si el mercado ha cambiado en el periodo de estudio,
74
donde se pudo encontrar que en un principio el marco legal que rige al
mercado de pensiones en México, tenía la característica de ser muy restrictivo,
sin embargo con base a la información que suministra la Asociación
Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de pensiones (AIOS)
con sede en Buenos Aires Argentina y de la CONSAR, se obtuvo la Entropía
empírica para cada periodo para una frecuencia semestral 1999:I al 2011:II,
donde al realizarse las pruebas econométricas de Raíces Unitarias y con ello
se pudo encontrar que la Entropía empírica tiene la característica de sub-
martingala véase tablas 2.5.1,2.6.1.7 y 1,2.7.2 y graficas 2.4.1, 2.4.2 y 2.4.3,
por lo qué permite ver básicamente que la normatividad legal se ha ido
aligerando, por lo tanto las AFORES tienen una mayor diversificación y con
ello pueden buscar un mayor rendimiento a un menor riesgo, ya que si bien en
un principio casi el total de las inversiones de las AFORES, era canalizado a
valores gubernamentales, dejando con ello un costo de oportunidad en la
busca de un mayor rendimiento, por lo que podemos concluir que aunque
México se encuentra en el penúltimo lugar en el nivel de diversificación,
también podemos señalar que de acuerdo a los parámetros del presente
trabajo, que se han realizado modificaciones al marco legal, que permite una
mayor diversificación, aunque con ello no necesariamente represente un mayor
rendimiento, tal y como se revisó en la presente sección.
Por otro lado, la necesidad de establecer alguna relación econométrica que nos
permita encontrar información de relevancia para el presente trabajo se
encontró que la variable porcentaje formada por las dos AFORES más grandes
del mercado para el periodo de estudio, estadística realizada por la AIOS,
75
como una medida de variable proxy, de concentración de mercado, que este en
función de la Entropía obtenida en la sección anterior, del número de
administradoras en el mercado y de la variable comisión definida como (utilidad
anual/ingreso por comisión), de igual forma información recabada por la AIOS
se encontró una relación de impacto positivo para las Comisiones (65.33876),
Administradoras (1.6232) y Entropía (-19.8536) véase tablas 2.8.3 y 2.8.4, por
lo que arroja resultados importantes dentro de los más importantes, se refiere
que a mayor Entropía tiene un impacto negativo en el porcentaje de
concentración de mercado por las dos AFORES más grandes, un impacto
positivo de las variables comisiones, por lo que se puede interpretar que las
dos AFORES más grandes pueden obtener rendimientos a escala de mejor
forma en comparación a las AFORES más pequeñas y de igual forma la
variable número de administradoras ejerce un impacto al porcentaje de
concentración de mercado.
Por otra parte se realizaron pruebas de Causalidad tipo Granger, y dentro de
las cuales no se encontró alguna causalidad para 2, 3, 4 y 6 rezagos. Salvo
algunas excepciones tales como Entropía a Administradoras para 2 rezagos,
Porcentaje a Comisiones para 3 rezagos, Comisiones a Administradoras para 3
rezagos véase tablas 2.8.5, 2.8.6 y 2.8.7. Por lo que no es posible afirmar
alguna relación directa de causalidad bajo el enfoque propio de dicha prueba,
entre las variables de estudio, salvo la relación econométrica en un principio
mencionado.
Finalmente la importancia de analizar los precios de cierre y los rendimientos
respectivos para cada SIEFORE en términos de Entropía para cada año de
1998-2011, se fundamenta básicamente en el sentido de que también las
76
variables financieras puras, por sus características aleatorias propias, aun con
colas pesadas, pueden aportar alguna nueva conclusión en el funcionamiento
del mercado de las AFORES, para ello se implementó una vez de obtenidas las
Entropías para cada año en base 135,857 datos y aplicando prueba Levin-Lin-
Chu LLC (2002) de Raíces Unitarias para un panel de datos para el periodo de
estudio, previamente realizando las pruebas de normalidad a las Entropías,
véase tabla 2.9.1.1, resultando cada una de ellas tener una distribución
normal, al menos bajo el enfoque del estadístico de Jarque-Bera. Sin embargo
en lo que refiere a los resultados obtenidos de la prueba LLC, para las Raíces
Unitarias véase las tablas 2.9.1 y 2.9.2, estadísticamente se encontró que las
Entropías tienen un comportamiento estacionario, por lo que el mercado tiende
a su nivel promedio, con ello la interpretación lógica a este resultado se centra
en que aún con cambios constantes en el mercado de pensiones en México, en
lo que se refiere al número de AFORES y al cambio que se ha dado en el
marco regulatorio, que ha conducido a una mayor diversificación en los
portafolios de las SIEFORES, el mercado tiende a su nivel medio, por ello no
se encontró evidencia que exista nueva información que pudiera cambiar la
estructura general del mercado, y por lo tanto la mayor diversificación
encontrada, no influye necesariamente en un mayor rendimiento de las
AFORES mismas.
El trabajo desde un principio se encontró una de sus principales limitaciones
pero también una de sus principales áreas de oportunidad, que es la nula
existencia de investigaciones hechas acerca del tema, por ello las fuentes de
información son pocas y de poco tiempo, es decir que no existe una
continuidad en las variables que fueran mas propicias para poder analizar los
77
cambios del mercado de la AFORES en lo que se refiere a su grado de
concentración, en donde la única forma es estar monitoreando constantemente
a las dependencias correspondientes y realizar una base de datos propia,
actividad que desde luego llevaría algunos años formarla y así poder realizar
aportaciones nuevas al presente trabajo para los próximos diez años.
Dentro los potenciales de investigación son desde luego un análisis
comparativo de Entropías para los países que forman parte de la Asociación
Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones (AIOS),
por los países que han modificado sus sistema de pensiones en años similares
a los de México y por pertenecer al rango de países latinoamericanos, con el fin
de comparar bajo un análisis de panel de datos, si dichas Entropias han
cambiado conjuntamente, o en caso contrario poder esperar un cambio parcial
entre los países miembros, ya que es un campo aún no explorado que tiene un
potencial de suma importancia que pueden servir de base para otros estudios
posteriores.
78
BIBLIOGRAFIA
Andreia Dionísio, Rui Menezes y Diana A. Mendes.(2005) “Uncertainty analysis in
financial markets: can Entropy be a solution?”.*Universidad de Evora Portugal.
Barbieri Laura (2003) “Panel Unit Root test: A Review” Universidad Catolica del Sacro
Coure. Piacenza Italia.
Benth Fred Espon (2000) “Option Theory with stochastic analysis” Springer.
Black Fischer y Scholes Myron. (1973). “The Pricing of options and Corporate
Liabilities”, The Journal of Political Economy, Volumen81, No. 3 (Mayo-Junio
1973),pp637-654.
Brook Chris (2002) “Introductory econometrics for finance” Cambridge University
Press.
Brooks, Daniel R., and Wiley, E. O., (1988) Evolution as Entropy, Toward a Unified
Theory of Biology, Second Edition, University of Chicago Press, Chicago.
CEFP (Centro de Estudios de las Finanzas Publicas) (2004), “El Sistema de
pensiones (AFORES) en México 1997-2003. Cámara de Diputados de los Estados
Unidos mexicanos.
Dickey, D.A. y W.A. Fuller (1979) “Distribution of the Estimators for Autorregressive
Time Series with a Unit Root.” Journal of the American Statical Association, 74, pp
427-431.
Engle, Robert. (2001). “GARCH 101: The use of ARCH/GARCH Models in Applied
Econometrics”. Journal of economic Perspectives-Volumen 15, no. 4 (Octubre 2001)
pp. 157-168.
Feller, W.,(1957) “An Introduction to Probability Theory and Its Applications”, Wiley,
New York.
Fernholz, Erhard Robert . (2002) “Stochastic Portfolio Theory” Springer-Verlag, New
York Inc.
79
Granger, C. W. J. (1969).“Investigating Causal Relations by Econometric Models and
Cross-Spectral Methods”.Econometrica, 37, 424-438.
Greven, A., Keller, G., Warnecke, G. (2003), “Entropy” Princeton Univ. Press,
Princeton, 2003.
Harrison, M. J. y S.R Pliska, (1981) “Martingales and Arbitrage in multiperiod securities
markets”.Journal of Economic Theory.29 pp. 381-408.
Hausman ,J. A. (1978). “Specification Test in Econometrics”, Econometrica, Vol. 46,
No.6 (Noviembre 1978), pp1251-1271.
Jarque Carlos M y Bera Anil K (1987) “A test for Normality of Observations and
Regression Residuals”, International Statistical Review, Vol 55 No. 2
Johansen ,Søren, Juselius Katarina. (1990) .“Maximum likelihood estimation and
inference on cointegration-with application to the demand for Money” Oxford Bulletin of
Economics and Statics, 52.2 pp 169-210.
Johnston Jack y Dinardo John (1997) “Econometric methods”.McGraw Hill.
Karatzas, I S.E. Shreve (1988) “Brownian Motion and Stochastic Calculus”, Springer
Berlin.
Kullback, S and Leibler, R.A., 1951, “On information and sufficiency", Annals of
Mathematical Statistics, 22, 79-86.
Kwiatkowsky Denis, Phillips Peter C.B., Schmidt Peter y Shin Youngcheol (1992)
“Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root” Journal
of Econometrics 54 pp 159-178. North Holland.
Ledoit, O. and Wolf, M., (2003), “Improved Estimation of the Covariance Marix of Stock
Returns with an Application to Portfolio Selection.",Journal of Empirical Finance, 10,
603-621.
Levin, A., Lin. C.-F. and C-S. Chu, (2002).“Unit root tests in panel data: Asymptotic and finite sample properties”.Journal of Econometrics 108, 1–24.
Ley de los sistemas de Ahorro para el Retiro de los Estados Unidos Mexicanos.
80
Markowitz, Harry (1952) “Portfolio Selection” The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. pp.
77-91.
Martin, N. F. G., and England, J. W. (1981), ”Mathematical Theory of Entropy” ,
Addison-Wesley, Reading.
Merton, R. C., (1972), “An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier", Journal
of Quantitative Analysis, 7, 1851-1872.
Michaud, R., (1989), “The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?
“Financial Analysis Journal, 45, 31-42.
Phillips, P.C.B yPerron (1988) “Testing for a Unit Root in Time Series
Regression.”Biometrika, 75, pp 335-346.
Renyi, A., (1960), “On measures of entropy and information", Proceeding of the fourth
Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics, and Probability, Vol I, 547.
Revuz, D y Myor (1191) Continuos Martingales and Brownian Motion” Springer Berlin.
Ross, S. M. (1999). Simulation.Second edition, Prentice Hall.
Shannon, C.E., (1948), “The mathematical theory of communication", Bell System
Technical Journal, Julio-Octubre.; reimpreso: C.E. Shannon and W. Weaver, The
mathematical theory of communication (Universidad de Illinois Press, Urbana, IL), 3-
91.
Sharpe, W., (1963), “A Simplifed Model for Portfolio Analysis", Management Science,
9, 277-293.
Varian, H. R. (1192) “Microeconomic Analysis” W.W. Norton.
Venegas Martínez Francisco (2008) “Riesgo Financiero y Económico: productos
derivados y decisiones bajo incertidumbre” Editorial Cengage Learning editors México.
Venegas Martinez Francisco, (1992) “Entropy maximization and Cross Entropy”.
Venegas Martínez, Francisco, (1992) “Decisiones de consumo y portafolio bajo
condiciones de riesgo e incertidumbre”. Revista mexicana de Economia y Finanzas,
Vol. 5 No 1, pp 3-11.
81
Venegas Martínez, Francisco, (1992) “Entropy Maximization and Cross Entropy
minizationon Quantiles, A matrix Approach”, Agrociencia, Serie Matematica Aplicada y
computacion, Vol 3 No 2 pp 71-76.
Williams,D (1991) “Probability with Martingales”, Cambridge University Press.
82
APENDICE
Para un trabajo de investigación la especificación si será un trabajo bajo un
enfoque determinístico o estocástico, estático o dinámico es de suma
importancia, por ello esta investigación se desarrolla bajo un enfoque
estocástico en el tiempo, lo anterior resalta la necesidad de al menos
mencionar algunos aspectos básicos a lo que se refiere a la teoría del cálculo
estocástico que serán utilizados durante alguna parte del trabajo para fines de
desarrollo, ya que el análisis bajo un enfoque estocástico sobre todo bajo una
perspectiva económica-financiera dejaría de lado aspectos explicativos
importantes útiles para el fin mismo de esta.
Movimiento browniano
Partiendo de una ecuación diferencial ordinaria donde 푆 representa una función
que depende del tiempo:
푑푆푑푡 = 휇푆
Tendríamos una solución para un valor inicial 푆 en el tiempo t = 0.
푆 = 푆 푒
Por otro lado expresando la ecuación a manera de razón de cambio tendríamos entonces:
83
푓 (푥)푓(푥) ≈ ∆%
푑푆푆 = 휇푑푡
Integrando ambas partes pasando ser integrales definidas y resolviendo tenemos:
푑푦푦 = 휇 푑푥
푙푛푆푆 = 휇푡
Sin embargo la solución propuesta anteriormente es válida para una ecuación
que e determinístico de crecimiento exponencial, que puede ser utilizada para
modelar tasas de crecimiento poblacional, tasas de crecimiento bacteriológico,
pero que sin embargo que los valores de las variables que para nuestro caso
son de carácter financieras tienen un comportamiento en lo que se refiere a su
crecimiento en el largo plazo, un patrón exponencial, pero no determinístico
sino que presenta comportamiento aleatorio podremos añadir a solución de la
ecuación diferencial ordinaria un componente más que se le conoce como
movimiento Browniano (en honor al Biólogo Robert Brown) que tiene como
características principales una media cero y una varianza creciente con el
tiempo, y que puede ser representado de la siguiente forma:
84
푊 ≅ √푡푍~풩(0, 푡)
Donde Z representa una distribución normal estándar 푍~풩(0,1).
Así una vez integrado el factor estocástico a la solución general de una
ecuación diferencial ordinaria donde 휇 es la tasa de crecimiento anualizada
(vista como rendimiento para fines financieros) de la variable aleatoria 푆 , 휎
representa la volatilidad anualizada de un rendimiento de la variable 푆 , la cual
puede representar el precio de cierre de cualquier acción que cotice en una
bolsa de valores, como ejemplo de un modelo para la variable 푆 que muestre
tanto un patrón de crecimiento tipo exponencial, pero con movimientos tipo
browniano se muestra la gráfica 1.3 para fines de ilustración.
푆 = 푆 푒푥푝( ∆ )
Movimiento BrownianoGraficamente:
85
Grafica I
Movimiento Browniano
El lema de It풐
Por otra parte el análisis de una función que tiene como argumento al menos
una variable aleatoria y la variable tiempo tiene distintas aplicaciones tanto par
el campo de matemáticas puras y como también para aplicaciones de
matemáticas aplicadas, entre ellas las matemáticas financieras, así podemos
expresar a una función F que es al menos dos veces diferenciable y continua y
que tiene como argumentos a la variable tiempo (t) y a la variable
anteriormente modela 푆 .
40
50
60
70
80
90
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
86
Teniendo como condición que:
푠푒푎 퐹(푆 , 푡) 퐶
Considerando como el cambio instantáneo de 푆
푑푆 = 푆 휇푑푡 + 푆 휎 푑푊 , 푡 ≥ 0
Por ello el cambio instantáneo de F definida anteriormente que depende una
variable estocástica explicada previamente y de la variable tiempo (t), puede
ser explicada bajo el Lema de It표 en honor al matemático japonés (It표 − 1942),
el cual definimos a continuación:
Definición para 퐹(푆 , 푡) 퐶 la variación instantánea de F está definida bajo el Lema de It표:
푑퐹 = 휕퐹휕푆 푑푆 +
휕퐹휕푡 푑푡 +
12휕 퐹휕푆
푆 휎 푑푡
Expresada en forma alternativa la ecuación:
푑퐹(푆 , 푡) = 퐹 푑푆 + 퐹 푑푡 + 12퐹 휎 푑푡
87
El Lema de It표 se fundamenta en gran parte por el polinomio de Taylor de
orden 2, ya que a mayores órdenes el impacto numérico es mínimo, por cual se
puede suponer que se puede omitir para fines prácticos
Polinomio de Taylor
푃 (푥) = 푓(푎) + 푓 (푎)(푥 − 푎) +푓 (푎)
2! (푥 − 푎) + ⋯+푓 (푎)푛! (푥 − 푎)
Para una función Cndiferenciable
푑퐹 = 휕퐹휕푆 푆 휇푑푡 + 푆 휎 푑푊 +
휕퐹휕푡 푑푡 +
12휕 퐹휕푆
푆 휎 푑푡
푑퐹 = 휕퐹휕푆 푆 휇 +
휕퐹휕푡 +
12휕 퐹휕푆
푆 휎 푑푡 +휕퐹휕푆 푆 휎 푑푊
Integral estocástica
Sea el activo financiero descompuesto de la siguiente forma:
푋(푡) = 푋(0) + 푀 (푡) + 푉 (푡), 푡 ∈ [0,∞)
88
Que por definición es una semi-martingala continúa
Donde 푀 es una martingala continua, integrable y cuadrada local y 푉 es una
variación continua bajo un proceso de variación adaptada y limitada.
Aplicando el lema de Itô
푙표푔푋(푡) = 푙표푔푋 + 훾(푠)푑푠 + 휉 (푠)푑푊 (푠), 푡 ∈ [0,∞)
X(t) es una semi-martingala continua con un componente de variación
limitada.
훾(푡)푑푡, 푡 ∈ [0,∞)
Y un componente de martingala local:
휉 (푡)푑푊 (푡)
Donde 푋 representa el valor inicial, 훾 la tasa de crecimiento (tasa de retorno)
de X y휉 es el proceso de volatilidad de X.
89
En forma exponencial la expresión anterior queda de la siguiente forma:
푋(푡) = 푋 푒푥푝 훾(푠)푑푠 + 휉 (푠)푑푊 (푠)