T1 Introd Teo Circ CL

Fundamentos Tecnología Eléctrica

1

Fundamentos de Tecnología Eléctrica


2

Bloques Temáticos

1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CIRCUITOS

2. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

3. POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

4. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

5. TRANSFORMADORES ELÉCTRICOS


3

Tema 1: Introd. Teoría Circuitos

1.1. Introducción.1.2. Variables. Convenio de signos.1.3. Elementos pasivos.1.4. Impedancia y admitancia operacional.1.5. Elementos activos: fuentes o generadores.1.6. Tipos de excitación y formas de onda.1.7. Topología de redes: conceptos fundamentales.1.8. Lemas de Kirchhoff.1.9. Asociación de elementos pasivos.1.10. Asociación y transformación de fuentes.1.11. Análisis de circuitos por el método de las mallas.1.12. Análisis de circuitos por el método de los nudos.1.13. Principio de superposición.1.14. Teoremas de Thevenin y Norton.


4

1.1 Introducción

La teoría de circuitos se fundamenta en los mismos hechos experimentales de las leyes de Maxwell (electromagnetismo)

Fundamentalmente interesa la relación entre la tensión y la corriente

Aproximación: corrientes de carácter cuasiestacionario

Circuito Eléctrico: conjunto de elementos combinados de tal forma que existe la posibilidad de que se origine una corriente eléctrica.

• Activos: suministran energía eléctrica

• Pasivos: disipan o almacena energía eléctrica

CircuitoEléctrico

Excitación Respuesta

Continua Alterna Naturalno f(exc.)

Forzadaf(exc.)

si R

Transit. Perman.


5

1.2 Variables. Convenio de signos

Corriente eléctricaRepresenta la variación de carga con el

tiempo que se produce en la sección transversal de un conductor

( ) ( )dt

tdqti =

a

b

5

a

b

i(t)

corriente de 5A que circula de ‘a’ hacia ‘b’

a

b

-5

5

corriente de 5A que circula de ‘b’ hacia ‘a’

corriente variable en el tiempo que circula de ‘a’ hacia ‘b’

Tensión. Dif. potencial ( ) ( )dw tv t

dq= trabajo realizado al mover la carga

unidad entre dos puntos

Circuitoeléctrico

A

B

+

−+5V

la tensión en A es 5V superior a la tensión en B

, ,AB A masa B masav v v= −masa ≡ punto de origen del potencial

(vmasa=0)

Circuitoeléctrico

A

B

+

−vAB

AB A B BAv v v v= − = −diferencia de potencial entre el terminal A y B


6

1.2 Variables. Convenio de signos

Potencia eléctricatrabajo realizado por unidad de tiempo

( ) dw dw dqp t

dt dq dt= = → ( ) ( ) ( )·p t v t i t=

M

A

B

v(t)

i(t)+

-N

A

B

v(t)

i(t)+

-

Dipolo receptor

Si p(t)>0 absorbe potencia Si p(t)>0 entrega potencia

Dipolo generadorCorriente

entra por el +Corriente

sale por el +

DIPOLO 1

(GENERADOR)

DIPOLO 2

(RECEPTOR)

3 A

5 V

+

-

SENTIDO DE TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA

5 ·3 15genP V A W= = 5 ·3 15recepP V A W= =

entregada absorbidaP P=


7

1.3 Elementos Pasivos

• Son componentes que disipan o almacenan energía eléctrica (receptores o cargas)

• Pueden presentar las siguientes propiedades:

- Disipación de energía eléctrica (R: resistencia)

- Almacenamiento de energía en campos magnéticos (L: inductancia)

- Almacenamiento de energía en campos eléctricos (C: capacidad)

• Es necesaria una fuente de energía externa para que aparezcan tensiones y corrientes

• Simplificaciones:

- Respuesta independiente de amplitud y frecuencia de V e I

- Relación v=f(i) ecuaciones diferenciales con coeficientes ctes.

- Unidad concentrada


8


Resistencia

A

R

B

i(t)

+ -v(t)A

R

B

i(t)

+ -v(t)

Fija Variable

• Material: carbón, película metálica, hilo bobinado, liquidas, etc.

Efecto resistivo

Efecto inductivoR L

resistencia real de hilo bobinado

1ª Cifra significativa (5)

Multiplicador (106)

Tolerancia (5%)

2ª Cifra significativa (0)Coef. de temperat.

R = 50 M 5%

• Valor: unidades Ohmio [Ω], código de colores

• Potencia:

- tensión (VDR)- luz (fotorresistor)- temp. (NTC, PTC…)- deformación (galgas)- posición (potenciómetro,

reostato)lR

Sρ=

1G

R= conductancia

(Siemens [S] ó [Ω-1])

• Relación v-i: ( ) ( )·v t i t R=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22·

v tp t v t i t R i t

R= = =


9


Bobina. Inductancia Fija Variable

• Conductor arrollado sobre un núcleo

inductancia real

• Valor: unidades Henrio [H]

• Potencia:

- núcleo vble.- entrehierro vble.- geometría vble.

• Relación v-i: ( ) ( )di tv t L

dt=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )·

di tp t v t i t L i t

dt= =

A

L

B

i(t)

+ -v(t) v(t)A

L

B

i(t)

+ -R

Efecto resistivo

Efecto inductivo

Efecto capacitivo

L

C

si i(t)=cte → v(t)=0 , equivalente a cortocircuito

i(t) no puede tener discontinuidades: i(t0+)=i(t0

-)

( ) ( )0

0

1( )

t

t

i t i t v t dtL

= + ∫

energía almacenada entre 0 y t

( ) ( )21·

2w t L i t=


10


Condensador Fijo Variable

• Dos conductores separados por un dieléctrico

condensador real

• Valor: unidades Faradio [F]

• Potencia:

- dieléctrico vble.- área vble.- separación vble.

• Relación v-i:Q

Cv

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )·

dv tp t v t i t C v t

dt= =

si v(t)=cte → i(t)=0 , equivalente a circuito abierto

v(t) no puede tener discontinuidades: v(t0+)=v(t0

-)

( ) ( )0

0

1( )

t

t

v t v t i t dtC

= + ∫

energía almacenada entre 0 y t

( ) ( )21·

2w t C v t=

A

C

B

i(t)

+ -v(t)A

C

B

i(t)

+ -v(t)R

CS

Ce

ε= condensador plano de placas paralelas

( )( )

dv ti t C

dt=


11

1.4 Impedancia Operacional

Se define el operador

• Resistencia

dp

dt≡

1 t

p≡ ∫

Impedancia operacional ( ) ( )

( )

v tZ p

i t= ( )( ) ( )v t Z p i t→ =

• Bobina

• Condensador

( )Z p R=

( )Z p Lp=

( ) 1Z p

Cp=

unidades [Ω] A B+ -v(t)

i(t) Z(p)

Admitancia operacional ( ) ( )

( )

i tY p

v t= unidades [S]

inversa de la impedancia


12

1.5 Elementos Activos

• También denominados fuentes o generadores. Son los encargados de suministrar energía al circuito.

Corriente

Tensión

Indepen.

Depend.

Reales

Ideales

Reales

Ideales

Reales

Ideales

Reales

Ideales

Indepen.

Depend.

Fuentes

corriente desconocidadepende del circuito

tensión desconocidadepende del circuito


13


Corriente

Tensión

Indepen.

Depend.

Indepen.

Depend.

Fuentes

FUENTES IDEALES

vg(t)

+

-

i(t)a

b

VG

+

-

Ia

b



+ig(t)o IG -

a

b

v(t)

Circ.eléc.

+

-vg=α·v

+ -v

Circ.eléc.

+

-vg=β·i

i

Circ.eléc.

ig=γ·v

+ -v

Circ.eléc.

ig=δ·i

i


14


Corriente

Tensión

Ideal

Real

Ideal

Real

Fuentes

FUENTES IDEALES vs REALES

-b

+V

Ia

VG



+IG

-

a

b

V

V

IIG

V

I

VG

V

I

VG

b

VG

+

-

I

a+

-

V

+

IG

-

a

b

V

I

I1V

IIG


15

1.6 Tipos de Excit. Formas Onda

Bidireccionales

Unidireccionales

• La magnitud toma valores positivos y negativos

• La magnitud tiene una única polaridad (positiva o negativa)

y(t)

t

Periódicas

No periódicas

• Se repiten a intervalos iguales de tiempo y en el mismo orden

• No tienen ciclos de repetición. Onda arbitraria

Ty(t)

tT

y(t)

t

T ≡ periodo

t

y(t)


16


Ondas Periódicas. Valores Asociados

• Periodo: tiempo mínimo necesario para que se repita la forma de ondaT ≡ periodo [s] ( ) ( ) ( 2 )...y g t g t T g t T= = + = +

• Ciclo: parte de la onda comprendida en el intervalo de tiempo de un periodo

• Frecuencia: número de ciclos que tiene lugar por segundo

1f

T=

• Valor medio: promedio integral en un periodo T

0

1( )

T

medY g t dtT

= ∫

• Valor eficaz: valor cuadrático medio (RMS). Valor medio del cuadrado de la función en un periodo T

[ ]2

0

1( )

T

efY g t dtT

= ∫

[Hz]


17


Ondas Periódicas. Valores Asociados

10A

0 0.01 0.02 0.03 0.04

t (s)

Ejemplo de aplicación

• El periodo es de 0.03 s

• La frecuencia es la inversa del periodo:1 1

33.30.03

f HzT s

= = =

La ecuación de la onda es:

0<t<0.01s

0.01s<t<0.02s

0.02s<t<0.03s

10· 1000 ·

0.01

A Ai t tss= =

10i A=

0i A=

i(t)

• El valor medio viene dado por:0.01 0.02 0.03

0 0.01 0.02

11000 · 10 0 5

0.03

s s s

med s s

AI t dt Adt Adt A

s s⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

• El valor eficaz es: ( ) ( )2

0.01 0.02 0.032 2

0 0.01 0.02

1 201000 · 10 0

0.03 3

s s s

ef s s

AI t dt A dt A dt A

s s

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫


18

1.7 Topologías de redes

Nudo

• Punto de unión entre tres o más elementos de un circuito. Nudo secundario unión de 2 elementos de un circuito

A B A B CA y B: Nudos

3 ramas

A y B: Nudos secundarios

Rama

• Elemento o grupo de elementos conectado entre dos nudos

Red plana

• Red que puede dibujarse sobre una superficie plana sin que se cruce ninguna rama


19


Lazo

• Conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal forma que si se elimina cualquier rama del lazo, el camino queda abierto

Malla

• (sólo para circuitos planos). Lazo que no contiene ningún otro en su interior.

c

b

A

+

-

B

C

D

a

M

N

Lazos:

• camino ‘a’

• camino ‘b’

• camino ‘c’

• camino MADCN

• camino ADCB

• camino MABCN

• camino MABDCN

Mallas:

• camino ‘a’

• camino ‘b’

• camino ‘c’


20


Grafo

• Dibujo simplificado de un circuito en el que cada rama se representa por un segmento

Árbol• Parte de un grafo formado por ramas que no contengan a todos los nudos, sin que

se formen lazos

2,3,4 forman árbol

1,5,6 son eslabones

Eslabones• Ramas del grado no incluidas en el árbol. También llamadas cuerdas y ramas de

enlace

+-

1

2 3

45 6

Grafo

En una red de ‘r’ ramas y ’n’ nudos:

•nº ramas árbol=n-1

•nº eslabones=r-n+1


21

1.8 Lemas de Kirchhoff

Primer Lema de Kirchhoff

• La suma algebraica de todas las corrientes que entran a un nudo es igual a cero

( ) 0i t =∑i1

i2

+

-

i3

i4i5

1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0i t i t i t i t i t− + − + =

1 3 5 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t i t i t+ + = ++iva si entrante-iva si saliente

• Generalización: La suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier superficie cerrada es igual a cero.

+

-bd

a

c

ib(t)

ia(t)

id(t)

ic(t)

N

2

N1

-+

N1 N2

i1(t)

i2(t)

i3(t)

i4(t)

C

( ) ( ) ( ) ( ) 0a b c di t i t i t i t− + − = 1 2 3 4 0i i i i− − + =


22


Segundo Lema de Kirchhoff

• La suma algebraica de todas las tensiones a lo largo de un camino cerrado (lazo, malla) es igual a cero

( ) 0v t =∑

1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0v t v t v t v t v t− − + + − =

+iva si vamos de + a --iva si vamos de - a +

+

-v5(t) v2(t)

v4(t) v3(t)

v1(t)A B

CD

-

+

+-

++ --1 2 5 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t v t v t v t v t+ + = +


23


Kirchhoff para la resolución de circuitos

+

-

+

-

- +

a b

c

I1 I3

I4 I5

I6

I2

R1 R3

R5

R6

R4

vg1 vg2

vg3

+-

+ -

+ -

++ --

-

+

R2

E A F

CB D

H G

6 ramas → 6 incógnitas → 6 ecuac. indep.

4 nudos → 1ª LK, 4 ecc.

1 2 3 0Nudo A I I I− − =

2 4 5 0Nudo B I I I− − =

4 6 1 0NudoC I I I+ − =

3 5 6 0Nudo D I I I+ − =

3 ecc. indep

(1 siempre es la suma de las otra s 3)

7 lazos, 3 mallas → 2ª LK, 3 ecc.

En una red de ‘r’ ramas y ’n’ nudos:

•nº ramas árbol=n-1

•nº eslabones=r-n+1

1 1 2 2 4 4 1) 0ga R I R I R I V+ + − =

3 3 2 5 5 2 2) 0gb R I V R I R I+ − − =

4 4 5 5 6 6 3) 0gc R I R I R I V− + + − =

3 ecc. indep


24

1.9 Asociación de Elem. Pasivos

Conexión Serie

• Cuando circula por ellos la misma corriente

+

-

+ -

vT(t)

v2+ +

+

- -

--

+vT(t)

vn

Z2

v1

Zeq

Z1 Zn

i(t)i(t)

1 2 1 22ª ... ...T i n nLK v v v v v iZ iZ iZ→ = = + + + = + + +∑( )1 2· ... ·T n eqv i Z Z Z i Z= + + + =

eq iZ Z= ∑

Divisor de tensión (en ramas):i

i Teq

Zv v

Z=

• Resistencias

eq iR R= ∑• Inductancias

eq iL L= ∑• Condensadores

1 1

eq iC C= ∑


25


Conexión Paralelo

• Cuando están sometidos a la misma tensión

1 2 1 21ª ... ...T i n T T T nLK i i i i i v Y v Y v Y→ = = + + + = + + +∑( )1 2· ... ·T T n T eqi v Y Y Y v Y= + + + =

1 1

eq iZ Z= ∑

Divisor de corriente (entre 2 nudos):i

i Teq

Yi i

Y=

• Resistencias1 1

eq iR R= ∑

• Inductancias

eq iC C= ∑• Condensadores

1 1

eq iL L= ∑

+

-

vT(t)+

--

+vT(t) Yeqi(t)

+

-

Y1

+

-

Y2

+

-

YN

i1 i2 iNiT

eq iY Y= ∑


26


Conexión Estrella y Triángulo

• Conexión entre tres terminales externos que se unen en un nudo común; y que se unen formando una malla común (respectivamente)

ESTRELLA TRIÁNGULO

3

Z1

Z3

2

1

ZB ZC

ZA 23

1

Z2

• Equivalencias:

C A B1 2

A B C

Z ·(Z Z )Z Z

Z Z Z

++ =

+ +

A B C2 3

A B C

Z ·(Z Z )Z Z

Z Z Z

++ =

+ +

B C A3 1

A B C

Z ·(Z Z )Z Z

Z Z Z

++ =

+ +

impedancia 1-2

impedancia 2-3

impedancia 1-3


27




ESTRELLA TRIÁNGULO

3

Z1

Z3

2

1

ZB ZC

ZA 23

1

Z2

• Conversión:

CBA

BA3

CBA

AC2

CBA

CB1 ZZZ

·ZZ Z;

ZZZ

·ZZ Z;

ZZZ

·ZZZ

++=

++=

++=

triángulodel simpedancia treslas de suma

i nudo al conectadas triángulodel simpedancia dos las de productoZi =


28




ESTRELLA TRIÁNGULO

3

Z1

Z3

2

1

ZB ZC

ZA 23

1

Z2

• Conversión:

1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1A B C

1 2 3

Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·ZZ ; Z ; Z

Z Z Z

+ + + + + += = =

ii Za opuesto nudo al conectada estrella la de impedancia

estrella la de simpedancia las todasde binarios productos los de sumaZ =


29

1.10 Conv. y Transf. de Fuentes

F. de Tensión Ideales en Serie+- +- +- +- +-

v2v1 v3 vn veq = ∑ vi

eq iv v= ∑

F. de Corriente Ideales en Paralelo

eq ii i= ∑i1 i2 i3 in

ieq =∑ii

F. de Tensión Ideal en Paralelo con un Elemento

vg(t)vg(t)

+

--

+

-

i1(t) i(t)+

ig

B

A

vg(t)

+A

-B

+

-

i1(t ) i(t)+ +

--

Z

iZ

B

Ai(t)

Equivalente a efectos ‘externos’ del circuito

No se estaría considerando la potencia disipada en Z o

en la fuente ig


30

1.10 Conv. y Transf. de Fuentes

F. de Corriente Ideal en Serie con un Elemento

Equivalente F. Tensión Real- F. Corriente Real

No se estaría incluyendo la potencia disipada en Z

-B

v(t)

+A

B

+

A

Z

v(t)vg

-

ig(t)

+

-

ig(t)

ig(t)

+

-

++

--

Z1i1(t)

+ i(t)

A

B

AZ

v(t)

-

vg(t)

+

- B

v(t)

i(t)

A’

IZ Z= ·g gv Z i=


31

1.10 Conv. y Transf. de FuentesEjemplo de aplicación

2Ω

2Ω

1Ω3Ω

4 V

3 V6 V

1 A+

+

+

-

-

-

a

b

Sustituir la siguiente red por un generador real de tensión o de corriente

15/4 V

+

-

7/4Ω

7/4 Ω

15/7 A

a a

b b

Solución


32

1.11 Método de las Mallas

Formulación General

1ai i=

• Sustituir (en lo posible) generadores de corriente por generadores de tensión

• Se tendrán ‘m’ mallas →’m’ ecuaciones independientes: m=r-n+1

• Definir (y dibujar) una corriente por cada malla circulando en sentido horario

• Las corrientes en cada rama quedarán definidas como:

1 2ci i i= −

2bi i=

a) La intensidad en ramas externas será igual a ± la intensidad de la malla a que pertenece (‘+’ si coinciden la polaridad de las intensidades de rama y malla y ‘-’ en caso contrario)

b) La intensidad en ramas internas será la diferencia entre las corrientes de dichas mallas, el resultado vendrá afectado de signo + o - según que su referencia de polaridad coincida o no con la de rama.

+

-

vg2

Z1

+ - -

-

+

+

Z2

i1 i2Z3

ia ib+

-

vg1 ic


33



• Aplicar la 2ª LK a cada malla y expresar las ecuaciones en función de las corrientes de malla, dejando las fuentes de tensión al otro lado de la igualdad

1 1 3g a cv i Z i Z− + + → ( )1 1 1 1 2 3gv i Z i i Z= + −

3 2 2 0c b gi Z i Z v− + + = → ( )2 2 2 1 2 3gv i Z i i Z− = − −• Agrupar los términos asociados a cada corriente de malla

( )1 1 3 1 3 2·gv Z Z i Z i= + −

( )2 3 1 2 3 2·gv Z i Z Z i− = − + +

+

-

vg2

Z1

+ - -

-

+

+

Z2

i1 i2Z3

ia ib+

-

vg1 ic

1ai i=1 2ci i i= −

2bi i=


34



• Reformular las ecuaciones:

+

-

vg2

Z1

+ - -

-

+

+

Z2

i1 i2Z3

ia ib+

-

vg1 ic

sumatorio fuentes de tensión en la malla ‘i’

( ) 1 1 2 2· · ... · ... ·g i i ii i im miv Z i Z i Z i Z i= + + + +∑

Impedancia mutua.-Z común entre malla

‘i’ y cada una del resto

autoimpedancia de la malla ‘i’. Z total de dicha malla

[ ] [ ]

g 1 11 12 1m 1

g 2 21 22 2m 2g

m1 2 mm mg m

(v ) Z Z ... Z i

(v ) Z Z ... Z iv · Z · i

... ... ......

Z ... Z i(v ) mZ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∑

∑Matriz simétrica (si no hay fuentes depend.) y de diagonal +iva.

[ ] [ ] 1

gm mxm mi Z v

− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦

• Resolver


35




( ) 11 1 12 21· ·gv Z i Z i= +∑

( ) 21 1 22 22· ·gv Z i Z i= +∑

g 1 11 12 1

g 2 21 22 2

(v ) Z Z i·

(v ) Z Z i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∑

11 1 3Z Z Z= +

12 21 3Z Z Z= = −

22 2 3Z Z Z= +

+

-

vg2

Z1

+ - -

-

+

+

Z2

i1 i2Z3

ia ib+

-

vg1 ic

1ai i=1 2ci i i= −

2bi i=

( )1 1 3 1 3 2·gv Z Z i Z i= + −

( )2 3 1 2 3 2·gv Z i Z Z i− = − + +

• Resolver

1

2

i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦


36

1.11 Método de las MallasEjemplos de aplicación

Solución

1) D.d.p entre los nudos A y C2) Potencia en la resistencia de 3Ω

1) VAC=-2V2) P3Ω=108W

4 Ω

1 Ω 3 Ω

+

-

7V

10 A

A B

2 Ω2 Ω

C

3 Ω

9 Ω 5 Ω

+

-

55 V

0,5·v1

1 Ω

+

-

v1

1) Potencia en la resistencia de 9Ω

Solución

1) P9Ω=260.11W


37


Con f.d. corriente ideales

• Se considera un vg (desconocida) en bornes de la f.d. corriente

( )1 3 228 1 · 0gV i i v− + Ω − + =

i3

i2i1 3 Ω

1 Ω 2 Ω+ +

+

- -

-

vg128V

vg2

vg3

1 A

5 A

A B

G F

C

E

• Se obtienen las ecuaciones de malla

( ) ( )3 3 2 3 12 · 1 · 0gv i i i i+ Ω − + Ω − =( )2 2 3 22 · 3 · 0gv i i i− + Ω − + Ω =

• Se relaciona las corrientes de malla con las de las f.d. corriente

3 5i A= −

1 2 1i i A− = −

3 ecc., 5 incóg

5 ecc., 5 incóg

Se pueden plantear ecuaciones de lazo evitando los generadores de

corriente para resolver las corrientes de malla (evitando las vg incógnita)

( ) ( )1 3 2 3 228 1 2 3 · 0V i i i i i− + Ω − + Ω − + Ω =


38

1.11 Método de las MallasEjemplos de aplicación

Solución

1) Corriente por resistencia de 20Ω

1) i20Ω=1A

1) Corriente en la resistencia de 4Ω2) D.d.p. en bornes de la resistencia de 2Ω

Solución

1) i4Ω=-1.151 A2) VMN=-3.042V

1 Ω

1 Ω

2 Ω+

-

16V

5 A

A

B

GF

C

E

20 Ω

DH

4 A

6 Ω 3 Ω

+

-

10 V

3 A

4 Ω 2 Ω

5 Ω

M

NIa

100 Ω


39

1.12 Método de los Nudos


• Sustituir los generadores de tensión reales por generadores de corriente equival.

• Se elige un nudo como referencia (masa o tierra), y quedarán n-1 nudos indep.

13 1 3 1v v v v= − =ig2Y1

Y2

Y3ig1

1 2

3

v1

2v13v23

i12

i13i23

++ +

- -

-

12 1 2v v v= −23 2 3 2v v v v= − =

No sería necesario dibujar las tensiones. La notación queda clara.

• Se aplica 1ª LK sobre los nudos independientes.

g1 12 13Nudo 1: i - i - i = 0

12 23 g2Nudo 2: i - i - i = 0

• Se aplica la ley de Ohm en cada rama y se sustituyen las ’iij’ por su relación con ‘vij’

12 2 1 2i = Y ·(v - v )

23 3 2i = Y ·v13 1 1i = Y ·v

g1 2 1 2 1 1Nudo 1: i =Y ·(v - v )+Y ·v

g2 2 1 2 3 2Nudo 2: i =-Y ·(v - v ) +Y ·v−


40




sumatorio fuentes de corriente en el nudo ‘i’

( ) 1 1 2 2 1 1· · ... · ... ·g i i ii i in nii Y v Y v Y v Y v− −= + + + +∑

Admitancia mutua.-Y común entre nudo

‘i’ y cada una del resto

autoadmitancia del nudo ‘i’. Y suma de las ramas conectadas

[ ] [ ]

g 1 1(n-1)11 12 1

2(n-1)g 2 21 22 2g

(n-1)(n-1) n-1n-1,1 1,2g n-1

(i ) ... YY Y v... Y(i ) Y Y v

· Y · v... .........

... Y vY(i ) n

i

Y −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∑

∑

Matriz simétrica (si no hay fuentes indepen.)

y de diagonal +iva.

[ ] [ ] 1

1 1 1 1gn n xn nv Y i

−

− − − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

• Resolver

ig2Y1

Y2

Y3ig1

1 2

3

v1

2v13v23

i12

i13i23

++ +

- -

-


41




ig2Y1

Y2

Y3ig1

1 2

3

v1

2v13v23

i12

i13i23

++ +

- -

-

( ) 11 1 12 21· ·gi Y v Y v= +∑

( ) 21 1 22 22· ·gi Y v Y v= +∑

g 1 11 12 1

g 2 21 22 2

(i ) Y Y v·

(i ) Y Y v

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∑

11 1 2Y Y Y= +

12 21 2Y Y Y= = −

22 2 3Y Y Y= +

• Resolver

1

2

v

v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )g1 1 2 1 2 2i = Y Y ·v -Y ·v+( )g2 2 1 2 3 2i =-Y ·v + Y +Y ·v−

13 1 3 1v v v v= − =

12 1 2v v v= −23 2 3 2v v v v= − =


42


[ ] [ ]1 1 11g n xn nni Y v

− − −−⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Analogía Método de las Mallas vs Nudos

[ ] [ ]g mxm mmv Z i⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Malla ⇔ Nudo

Generador de tensión ⇔ Generador de corriente

Impedancia ⇔ Admitancia

Tensión ⇔ Corriente

Corriente malla ⇔ Tensión de nudo

Met. MALLAS Met. NUDOS


43

1) D.d.p entre los nudos A y C2) Potencia en la resistencia de 3Ω

1.12 Método de los NudosEjemplos de aplicación


4 Ω

1 Ω

3 Ω

+

-

7V

10 A

A B

2 Ω2 Ω

C

1) VAC=-2V2) P3Ω=108W

Solución

1) P5Ω=80W

Solución

5Ω10A

B

2Ω 9A

A

C

2Ω

Ib

2,5·Ib


44


Con f. de tensión ideales

• Se considera un ig (desconocida) circulando por la f.d. tensión

• Se obtienen las ecuaciones de nudos

4Ω

2Ω

6V

+

-

10V

ig2

6A

10A

12

+-

5Ω

2Ω

3

4

ig1

v2 v3v1

g1 1 2 3

1 1 1 1N1: i 10 ·v ·v ·v

2 5 2 5⎛ ⎞− = + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

g2 1 2

1 1 1N2: 6 i ·v ·v

2 2 2⎛ ⎞− = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

g2 1 3

1 1 1N3: 10 i ·v ·v

5 4 5⎛ ⎞+ = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

• Se relaciona las tensiones de nudo con las de las f.d. tensión

3 ecc., 5 incóg

5 ecc., 5 incóg

Se pueden plantear ecuaciones suma de distintos nudos lazo

evitando las ig incógnita

1v 10V=

3 2v 6v V− =

P.ej. N2+N3

1 2 3v 10 ; 14 ; 20V v V v V= = =


45


1.12 Método de los NudosEjemplo de aplicación

VA=-28V; VB=-18V; VC=2V

• P6Ω=54W

Solución

1Ω

2 Ω

+

-

28 V

4 V

6 Ω

5 Ω+ -

4 Ω6 Α

VA

AVB

BVC

C

D


46

1.13 Principio de Superposición

La respuesta de un circuito lineal, a varias fuentes de excitación actuando simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtendrían cuando actuase cada una de ellas por separado.

Cuando se tiene una red excitada con generadores de diferentes frecuencias, constituye el único procedimiento válido para determinar la respuesta del circuito.

Las fuentes dependientes se mantienen intactas

20Ω

-

+

20 Ω32 V 4 A

30 Ω

64 V+-

20Ω

-

+

20 Ω32 V 4 A

30 Ω

64 V+-

20Ω

-

+

20 Ω32 V

4 A

30 Ω

20Ω

30 Ω

20 Ω

ia 20Ω

30 Ω

20 Ω

ib

+-64 V

ic

+ +20Ω

-

+

20 Ω32 V

4 A

30 Ω

20Ω

30 Ω

20 Ω

ia 20Ω

30 Ω

20 Ω

ib

+-64 V

ic

+ +

En términos de tensiones y corrientes. No para potencias!Anular f.d. tensión → V=0 → cortocircuito

Anular f.d. corriente → I=0 → circuito abierto


47


1.13 Principio de SuperposiciónEjemplo de aplicación

i3Ω1=2A; i3Ω2=3A

• P6Ω=75W

Solución

12V

+-

1Ω3Ω

+

-2·i

i

6 A

12V

+-

1Ω3Ω

+

-2·i1

i1

1Ω3Ω

+

-2·i2

i2

6 A+i2+6


48

1.14 Teoremas Thevenin y Norton

Teorema de Thevenin

• Cualquier red lineal, compuesta de elementos pasivos y activos (independientes o dependientes) puede sustituirse (desde el punto de vista de sus terminales externos AB) por un generador de tensión vTh denominado generador de Thévenin, más una impedancia en serie ZTh.

+

-

A

B

A+

- B

+

-

Red Lineal

v

i i

vZL ZL

ZTh

vTh

Th .v c abiertov= .ThZ c abierto

corto

v

i=

circ. abierto ↔ ZL=∞cortocircuito ↔ ZL=0

No se puede obtener el equivalente de Thevenin, si el circuito tiene fuentes dependientes de la i o v en la carga


49

1.14 Teoremas Thevenin y Norton

Teorema de Norton

• Cualquier red lineal, compuesta de elementos pasivos y activos (independientes o dependientes) puede sustituirse (desde el punto de vista de sus terminales externos AB) por un generador de corriente iN denominado generador de Norton, más una impedancia en paralelo ZN.

ThN

vcorto

Th

i iZ

= =Th=ZNZ

circ. abierto ↔ ZL=∞cortocircuito ↔ ZL=0

+

-

A

B

ZLv

iA

i+

- B

v ZLZN

iN

RedLineal

No se puede obtener el equivalente de Norton, si el circuito tiene fuentes

dependientes de la i o v en la carga


50

1) Obtener el equivalente de Thevenin del circuito

1.14 Teoremas Thevenin y NortonEjemplo de aplicación

Solución

8A

10V+-

2Ω

4Ω4Ω

RiR

A

B16V

10V+-

2Ω

4Ω4Ω

RiR

A

B+-

4Ω

RiR

+

--11V

A

B

mediante transformaciones

8A

10V+-

2Ω

4Ω4Ω

A

B

C

D

E F

2Ω

4Ω4Ω

A

B

ZTh

( )110 4 4 0V i− + + =

1 1.25i A=

14 8·2 11ABv i V= − = −

4 4 2ThZ = Ω Ω+ Ω4·4

2 44 4ThZ = + = Ω+


51

1) Corriente ‘i’ por T. Thevenin

1.14 Teoremas Thevenin y NortonEjemplos de aplicación

1) Corriente iR por a) met. mallas y b) T. Thevenin

1) i=2.2A

Solución

20Ω

-

+

20 Ω32 V 4 A

30 Ω

64 V+-

A

B

10Ω

30Ωi

+

-88V

A

B

i

R6A

B

1Ω

A

iR

3·i1

+-i1

-2Ω

RiR

+

--12V

A

B

12

2R

Vi

R

−=

−

Solución

T1 Introd Teo Circ CL

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