T1. Introducción al análisis no lineal...¾ El coste de un análisis no lineal es entre 10 y 100...

T1. Introducción al análisis no lineal

1. Introducción 2. Tipos de no linealidades y ejemplos 3. Introducción al MEF 4. Planteamiento general del problema no lineal Métodos numéricos de solución 5. NSTAR: módulo de cálculo no lineal de Cosmos/m v.2.95 6. Ejemplos

Actualmente es posible abordar numéricamente casi cualquier problemano lineal.

La utilización de nuevos materiales con comportamiento claramente nolineal, y la exigencia de estructuras más ligeras y seguras provoca un mayor uso de los modelos no lineales.

El M.E.F es uno de los métodos numéricos más utilizados, en especial enel caso de problemas no lineales.

La clasificación “lineal” o “no lineal” es artificial. Todo tiene un ciertogrado de no linealidad, el problema es saber si la aproximación lineal esválida o catastrófica.

El coste de un análisis no lineal es entre 10 y 100 veces el de un análisislineal sobre el mismo modelo. Con la complejidad de la solución y delmétodo sucede algo similar, siendo en ocasiones “excesiva”.

Nunca usar una única estrategia de análisis. Antes de realizar un calculono lineal se debe haber realizado un estudio lineal.

Formulación de un problema estructural en desplazamientos:

RuK = Problema lineal ⇔ K, R independientes de u

Problema no lineal ⇔ K= K(u) y/o R= R(u)

T1. Introducción al análisis no lineal. 1.1 Introducción

Ejemplo: Estructura de un grado de libertad con no linealidad geométrica

αoα (u)

u

a

b b

P

Lo N = N (u)

Buscamos Ku = P

Ecuaciones: —Geometría: L(u) = a − u( )2 + b2

α(u) = arcsena − u

L(u)

No linealidad geométrica

—Compatibilidad (u-ε): o

o

LuLL )(−

=ε con Lo = a2 + b2

Pequeñas deformaciones

—Comportamiento (σ-ε): εσ EAN ==

Material lineal

—Equilibrio: 2N senα(u) = P


Ejemplo: Estructura de un grado de libertad con no linealidad geométrica

A) Solución lineal:

pequeños desplazamientos

oo senuLuL α−≈)(

ou αα ≈)( αo

αo

u

— Compatibilidad: o

o

o

o

Lsenu

LuLL αε ≈

−≈

)(

— Comportamiento: N = E Aε

— Equilibrio: 2N senαo = P

( ) 2322

22

22ba

aEAKPL

senuE Lo

o

+=⇒=∆

α

B) Grandes desplazamientos:

— Compatibilidad : ( )22

22

1)(ba

buaL

uLLo

o

++−

−=−

=ε

— Comportamiento : ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

−== 22

22

1ba

buaEAEAN ε

— Equilibrio : 2Na −u

L(u)= P

Se obtiene KNL (u) ⋅u = P

con KNL (u) = KL ⋅ 1−u

a⎛ ⎝

⎞ ⎠ 1−

u

2a⎛ ⎝

⎞ ⎠ ⋅

2Lo2

Lo + L u( )⋅

1

L(u)

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1 0 1 2 3u/a

P/EA

Grandesdesplazamientos

Pequeñosdesplazamientos

Relación carga generalizada (P/EA) - desplazamiento generalizado (u/a)

para αo = 15º, en teoría lineal y no lineal


— En general no se dispone de la solución analítica, luego es necesario resolverde forma iterativa un sistema de ecuaciones no lineales con la forma:

0(u) =ψ

— La solución obtenida dependerá de la aproximación inicial utilizada.

— Pueden existir múltiples soluciones incluso en problemas elásticos, engeneral la solución que buscamos depende de la historia ⇒ utilizar métodos increméntales de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

El análisis no lineal evita la aparición de puntos singularesen los que la solución tensional diverge

Estos problemas desaparecen utilizando el análisis no linealadecuado, aunque en muchos casos no es necesario aplicarlo.

Divergencia de la solución con carga puntual

0

10

20

30

40

50

60

0 500 1000 1500 2000

GDL

Tensión de VMen punto 1


Material no lineal: relación no lineal entre tensiones y deformaciones

• Material no lineal • No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones • No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y deformaciones • No linealidad de contorno • Consideración del proceso constructivo

T1. Introducción al análisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Material no lineal: material elastoplastico

Dimensionamiento de un rigidizador transversal aligerado de acero

σ

ε

σ


Grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones

Teoría lineal: uymax = -5.28 cm, σVMmax = 1.076e6 KN/m2

Teoría no lineal: uymax = -2.68 cm, σVMmax = 6.32e5 KN/m2

Rigidización o flexibilización de la respuesta estructural

Placa a flexión:


Grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones: estructuras de edificación

desplazamientosCargas Parámetro de carga

Parámetro de desplazamiento

Límite elástico

Carga máxima

Respuestaelástica

λ

Efectos de segundo orden: P∆ y PδP

H

δ

∆

x

M(h) = Hh + PM(x) = Hx + P δ + P ∆ x / h

∆

PH

h

x

M(h) = HhM(x) = Hx

Displacement

Frame

LoadSway

• Efecto P∆: Efecto dominante debidos al movimiento relativo horizontal de las plantas• Efecto Pδ: Efecto debido a la flexión de las barras, sólo es significativo en elementos muy esbeltos


Grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones: Pandeo


Grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones: Pandeo

Arco parabólico articulado de 30 m. de luz y 5m. de altura, utilizando un único perfil IPE de acero S235. Se supone impedido el pandeo fuera del plano del arco.

• Se discretiza el arco mediante 50 elementos barra rectos, obteniéndose los esfuerzos de cálculo N y M en cada barra. A partir de estos esfuerzos y considerando β = 1 se obtiene un perfil mínimo IPE 160. • Sin embargo, es necesario comprobar el pandeo global mediante un análisis a pandeo o un cálculo que inluya la no linealidad geométrica, donde se obtiene:

Modo de pandeo 1: λcr1 = 0.289 Modo de pandeo 2: λcr1 = 0.66

El diseño con IPE160 es incorrecto y fallaría por pandeo global para una carga de 0.289 T/m


Grandes desplazamientos y grandes deformaciones

Contacto e impacto

ννσσ


Contacto

a) b)

Material lineal: Campo de movimientos verticales a) y horizontales b)

a) b)

Tensión equivalente de Von Mises a) en el caso lineal, y deformaciones plásticas equivalentes b) en

el caso de material elastoplastico


Proceso constructivo

Etapas del proceso en una sección transversal

!

"

Fase 1 Fase 2 Fase 3 Movimientos verticales en cada etapa de avance


Proceso constructivo

Deformación plástica equivalente en el terreno

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

X (m)

Uy (mm)

FrenteSalida escudoFinal


Tensores utilizados según el tipo de análisis

TIPO

DESCRIPCIÓN

FORMULACIÓN MEDIDAS DE TENSIÓN Y

DEFORMACIÓN

Material no lineal • Relación no lineal

• u, ε infinitesimal

Material no lineal solo

Tensiones y deformaciones

ingenieriles

Grandes desplazamientos y

rotaciones con pequeñas

deformaciones

• Las fibras tienen grandes movimientos y rotaciones, pero las extensiones y el cambio de ángulo entre fibras es pequeño

• Relación σ-ε no lineal o lineal

TL:Lagrangiana total

UL:Lagrangiana actualizada

TL: Tensión segunda de Piola-Kirchhoff. Deformación de Green-Lagrange

UL: Tensión de Cauchy

Deformación de Almansi

Grandes deformaciones,

desplazamientos y rotaciones

• Las fibras tienen grandes movimientos y rotaciones con grandes extensiones y cambio de ángulo entre fibras

• Relación σ-ε no lineal o lineal

TL:Lagrangiana total

UL:Lagrangiana actualizada

TL: Tensión segunda de Piola-Kirchhoff. Deformación de Green-Lagrange

UL: Tensión de Cauchy

Deformación logaritmica


Formulación fuerte

T1. Introducción al análisis no lineal. 1.3. Introducción al MEF

Dado un cuerpo 3D definido sobre el dominio Ω con un contorno superficial Γ, y referido a un sistema de coordenadas estacionario X, Y, Z. Sobre él actúan unas cargas por unidad de volumen rb, cargas por unidad de superficie rt en el área Γt ; y unos desplazamientos prescritos u en Γu. Se busca calcular el campo de desplazamientos u y los correspondientes estados de tensiones σ y deformaciones ε, que cumplen

)(

0

0

0

0 Ien

rzyx

rzyx

rzyx

en

bzzyzxz

byyzyxy

bxxzxyx

Ω

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

⇔Ω=+

σττ

τστ

ττσ

brdivσ

)(IIen

rnnn

rnnn

rnnn

en t

tzzzyyzxxz

tyzyzyyxxy

txzxzyxyxx

t Γ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

⇔Γ=

σττ

τστ

ττσ

trnσ

)(IIIen uΓ= uu

Siendo [ ]zyxT nnn ,,=n un vector unitario normal Γt, y las tensiones y deformaciones:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇=zu

xw

yw

zv

xv

yu

zw

yv

xuTT ,,,,,)( uε σ = D ε

Formulación débil


• Aplicando el PTV, denominando δu al campo virtual y δε al campo de deformaciones virtuales asociado, la expresión resultante es

∫∫∫ΓΩΩ

Γ+Ω=Ωt

ddd tT

bTT ruru δδδ σε

• Métodos variacionales:

Se parte de un funcional ∏ y se le aplica la condición de primera variación sea nula, es decir que sea estacionario: 0)( =Πδ u .

El funcional es una expresión integral que de forma implícita contiene las E.D. que rigen el problema, en estructuras el funcional más habitual es la energía potencial ∏p, y la condición de primera variación nula equivale al principio de energía potencial estacionaria: “entre todas lasconfiguraciones admisibles de un sistema conservativo, la que satisface las condiciones de equilibrio hace la energía potencial del sistema estacionaria para pequeñas variaciones admisiblesde los desplazamientos”.

Para el caso de elasticidad, la expresión general de la energía potencial es:

∫∫∫ΓΩΩ

Γ−Ω−Ω=Πt

tTTT

p ddd tb ruruσε21

Formulación débil


En el caso de un sistema de un grado de libertad (GDL) como el muelle de la figura, la aplicación de la condición de variación nula permite encontrar la configuración de equilibriodel sistema, en la que la energía potencial es mínima.

0Pku0

Puku21U)u(

p

2p

=−⇒=Πδ

−=Ω+=Π

En sistemas con múltiples GDL, puesto que las variaciones de cada uno de los GDL son

independientes y arbitrarias, la condición de variación nula de la energía potencial permite establecer

un sistema de ecuaciones de equilibrio:

0u

u

uu

=∂

Π∂⇔==

∂

Π∂⇒=δ

∂

Π∂++δ

∂

Π∂⇒=Πδ

Π=Π=

p

i

pn

n

p1

1

pp

ppn1

n,...,1i0u

0uu

...uu

0)(

)(yu,...,u

Formulación de elementos finitos


Discretizando el dominio por un conjunto de elementos interconectados por sus nudos es posibleinterpolar el campo de movimientos u en un punto interior de un elemento a partir de los movimientosnodales ae del elemento.

∑=

=≈n

i

eeei

eiN

1aNau

Siendo n el número de nudos del elemento, ae el vector de desplazamientos nodales elemental y Ne la matriz de funciones de forma del elemento.

Considerando elementos isoparamétricos:

( )∑=

=n

iii ,N

1, xx ζηξ

Las deformaciones se interpolan a partir de los desplazamientos nodales como:

eee aB=ε

[ ] ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==

yN

xN

zN

zN

xN

yN

zN

yN

xN

iii

iii

iii

Tein

e

000

000

000

;...,,1 BBBB en 3D

donde Be es la matriz de deformación del elemento.

Formulación de elementos finitos


Aplicando las expresiones anteriores a la expresión integral del PTV:

∑ ∫∑ ∫∑ ∫ΓΩΩ

Γ+Ω=Ωet

ee

ddd tT

bT

e

T ruru δδδ σε

δuT = δaT NT ; δεT = δaT BT

Luego:

⎥⎥⎦

⎤Γ

⎢⎢⎣

⎡+Ω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω ∑ ∫∑ ∫∑ ∫

ΓΩΩ et

T

eb

TT

e

TT

et

ee

ddd rNrNaaBDBa δδ

La expresión anterior se reduce a K a = R

Siendo K la matriz de rigidez global de la estructura y R el vector de fuerzas nodales equivalentes.

∫∑Ω

Ω==e

deeTe

e

e BDBKKK ;

∑∑ +=e

et

e

eb RRR con ∫

Ω

Ω=e

dbeTe

b RNR , ∫Γ

Γ=et

dteTe

t RNR

Si en el vector tensión se incluyen las posibles deformaciones y tensiones iniciales:

( ) eI

eI

eee σεσ +−= aBD

Se añaden al vector de fuerzas nodales los términos:

∫Ω

Ω=e

IdI

eTe εBRε y ∫Ω

Ω−=e

IdI

eTe σBRσ

T1. Introducción al análisis no lineal. 1.4. Planteamiento no lineal y métodos numéricos

En la formulación lineal del M.E.F. se obtiene un sistema de ecuaciones de equilibrio en la forma

K a = R

Definiendo el vector de fuerzas nodales internas F, producido por el estado tensional alcanzado enel equilibrio, como

( )∑∫∫ΩΩ

Ω=Ω=e

eTeT dd σσ BBF

es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como una igualdad entre las fuerzas externasaplicadas y las fuerzas internas desarrolladas por el sistema

R – F = 0

La resolución de un problema no lineal mediante el M.E.F. se basa en un planteamiento incremental del mismo, en el que en cada paso o incremento se resuelven de forma iterativa aproximacioneslineales del problema.

FRaK tttt −=∆ ∆+

Siendo t una variable de paso que indica el nivel de carga o de desplazamientos en que se encuentrael sistema.

El problema que se plantea es encontrar la solución en t+∆t caracterizada por: t+∆tR – t+∆tF = 0, conocida la solución en t: tR – tF = 0 y el incremento de carga asociado al paso.

La obtención de ∆a no es inmediata puesto que las variables del problema dependen delestado de desplazamientos. Para resolverlo se utilizan un conjunto de técnicas numéricas quese pueden agrupar en tres grandes bloques:

Ecuación de equilibrio K a = R( )TT e e

e

d dF B BΩ Ω

= Ω = Ω∑∫ ∫σ σ R – F = 0

t t t tK a R F+∆∆ = −Planteamiento incremental iterativo

control en fuerzas

control en desplazamientos

control de longitud de arco

Elementos del algoritmo de solución: método de control, esquema iterativo, controlador de convergencia

• Métodos de control: Conducen el proceso de solución incremental a lo largo del camino no lineal. Si la cargaexterna está prescrita, el más habitual es el control en fuerzas, introduciéndose en cada paso un incremento de carga

• Métodos iterativos: Dentro de cada paso resuelven de forma iterativa la ecuación hasta alcanzar la solución

• Esquemas de control de convergencia:Indican cuando debe concluir el proceso iterativo


• Esquema iterativo


Reescribiendo el sistema de ecuaciones t+∆tR – t+∆tF = 0 como Ψ(t+∆ta) = 0, y aproximando la función mediante su desarrollo en serie de Taylor de primer orden, en torno a la solución se obtiene

( ) 0111

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

+Ψ≈Ψ −∆+∆+−∆+∆+

−∆+

ittittittittitt

aaa

)a()a(a

donde el índice i indica la aproximación i-ésima del vector de desplazamientos buscado.

Si las fuerzas externas son independientes de la deformación, se define la matriz jacobiana o derigidez tangente en la iteración i–1 como

11

1

−∆+−∆+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

=−∆+

ittitt

iT

tt

aa aF

aK

Definiendo el incremento de movimientos de la iteración i como:

∆ai = t+∆tai – t+∆tai–1 La ecuación se transforma en:

11 −∆+∆+−∆+ −=∆ ittttii

Ttt FRaK

El término derecho de la ecuación anterior se denomina vector de fuerzas residuales t+∆tΨi e indica el desequilibrio entre las cargas externas totales y las fuerzas internas desarrolladas.

La ecuación anterior con las condiciones iniciales siguientes constituye el método iterativo deNewton-Raphson (N.R.)

aaRRKK 0 ttttttT

tT

tt y; === ∆+∆+∆+ 00

Representación gráfica del método de N.R. con control en fuerzas Representación gráfica del método de NRM. con control en fuerzas

En el caso del método de Newton-Raphson modificado (N.M.R.) únicamente se actualiza la matriz de rigidez tangente al principio de cada paso, manteniéndose constante durantelas iteraciones del paso.


En el caso de los métodos de tipo Cuasi-Newton como el B.F.G.S, se utilizanmatrices con aproximación secante entre dos iteraciones.

Métodos secantes con control en fuerzas

Entre todos los métodos iterativos, el único con convergencia cuadrática es el de N.R.,sin embargo, si la matriz de rigidez es grande, el coste computacional para actualizarlaen cada iteración puede hacer más eficiente el método de N.R.M. o el B.F.G.S, aunque el número de iteraciones necesario para alcanzar la convergencia sea superior.


La matriz de rigidez tangente se calcula en función del tipo de no linealidad presenteen el problema. Por ejemplo, en el caso de elasticidad no lineal en pequeñosdesplazamientos y deformaciones, la relación entre tensiones y deformaciones seráde la forma σ = σ(ε) y la matriz de rigidez tangente se expresa en función de la matriz elástica tangente DT como:

εσε

εσ

∂∂=Ω=Ω

∂∂

∂∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂= ∫∫

ΩΩTT

TTT dd DBDB

aB

aFK con

Los criterios de convergencia, se basan en normas de las variaciones del incrementode desplazamientos iterativo, de las fuerzas residuales o de la energía, obligando aque sus valores sean inferiores a una cierta tolerancia prescrita. En el caso de utilizaruna norma euclídea de las fuerzas residuales el criterio de terminación sería de laforma

( ) Rε≤ΨΨ≡Ψ21T

siendo Ψ el vector de fuerzas residuales final del paso t, R el vector de cargas externas del paso, y ε una tolerancia prescrita con unos valores típicos entre 10–3 y 10–5 en función del grado de precisión de la máquina utilizada.


T1. Introducción al análisis no lineal. 1.5. NSTAR. Análisis no linel Cosmosm v.2.8.

El análisis no lineal se ejecuta siempre sobre el caso de carga LC = 1.

La elección del tipo de no linealidad se realiza en las opciones del tipo de elemento (EGROUP):

Op5: Tipo de material: 0 = LE = elástico lineal 1 = VMI = Von Mises Isotrópico (elastoplastico) 2 = VMK = Von Mises Cinemático (elastoplastico) 3 = MR = Mooney-Rivlin (Hiperelástico incompresible)

4 = NLE = No lineal elástico (curva σ-ε definida por el usuario mediante el comando Material Curve) 5 = DP = Drucker-Prager (elastoplastico para suelos granulares) 6 = OH = Ogden (Hiperelástico incompresible) 8 = VEM = Viscoelasticidad 9 = B-K = Blatz-Ko (Hiperelástico compresible) 11 = CT = Hormigón 12 = TRI = Tresca-Saint Venant Isotrópico 13 = TRK = Tresca-Saint Venant Cinemático -1...-50 = Materiales programados por el usuario

Op6: Formulación de desplazamientos: 0 = Small = pequeños desplazamientos 1 = UL = Lagrangiana actualizada 2 = TL = Lagrangiana total

Op7: Fluencia: -1...n = Ley de fluencia programada por el usuario 0 = No , 1 = Si

Op8: Pequeñas o grandes deformaciones: 0 = Small 1 = Large


En función del tipo de material elegido se introducen sus parámetros mediante las propiedades del material(MPROP) o mediante la definición por puntos de curvas tensión-deformación (Comando Material Curve de LoadsBC > Function Curve).

Cuando se definen curvas de material, quedan asociadas al material activo en ese momento. En el caso de elementos lámina composite, el material no lineal disponible es el criterio de rotura de Tsai-Wu.

El análisis no lineal se basa en una solución incremental del problema, para ello se utiliza una variabletiempo, que puede ser real si el problema es dinámico, o ficticia si es estático.

En el caso de que se utilize el método de control en fuerzas todas las cargas van asociadas a curvas temporales para su aplicación incremental, si el control es en desplazamientos se asocia la curva temporal aun grado de libertad del problema.

El programa calcula la carga aplicada o el desplazamiento de control en un instante t, como el producto del valor definido de la carga por su curva temporal asociada.

Al definir una carga, esta queda asociada a la curva temporal activa. En la tabla STATUS1 es posibleidenticar la curva temporal (TC) activa, por defecto la última definida.

Con el comando ACTSET (Control > Active) es posible cambiar la curva temporal activa. Al listar las cargaso desplazamientos se indica cual es su curva asociada.

Comando relacionados con el análisis no lineal



• Time Parameters: Definición del tiempo de inicio, tiempo final e incremento temporal.

• Initial Cond: Condiciones iniciales de desplazamientos, velocidades y aceleraciones en análisis dinámico.

• Time/Temp Curve: Definición por puntos o fichero externo de curvas temporales de carga y de curvas temporales de temperatura.

• Material Curve: Definición por puntos o por fichero de una curva de material no lineal.

• Material Curve Type: Tipo de curva de material (elástica, plástica...).



• Initialize: Inicializa las gráficas con los parámetros por defecto.

• Activate Pre-Proc: Inicia el proceso de dibujo de una gráfica de preproceso, como una curva temporal o del material.

• Activate Post-Proc: Inicia el proceso de dibujo de una gráfica de postproceso, como una curva de movimientos o tensiones enel “tiempo”. Para dibujar estas gráficas es preciso indicar antes de lanzar el análisis los nudos y elementos en los que se deseanalmacenar resultados para la elaboración de gráficas.

• Activate User-Plot: Inicia el proceso de dibujo de una gráfica con datos del usuario en ficheros externos.

• Set Plot Parameter: Parámetros de las gráficas.

• Set Plot Range: Límites numéricos de los ejes de gráficas.

• Set Reference Line: Dibujo de líneas de referencia en las gráficas.

• Identify Point: Identificación de puntos de gráficas mediante ratón.

• Plot Curves: Dibujo de las gráficas ya activadas.



• Solution Control: Selección del método de control (fuerza, desplazamiento olongitud de arco), y del método iterativo de solución (NR, NRM, o BFGS).

• Integration Options: Selección del método de integración temporal (Newmark,Wilson-Theta o diferencias centrales) y de sus parámetros, en el caso de análisis dinámico no lineal.

• AutoStep Options: Parámetros máximos mínimos del paso temporal, dejandoque el programa determine el paso óptimo de forma automática (line search).

• Base Motion Parameters: Asociación de las curvas sísmicas de excitación de la base a las direcciones espaciales y definición de sus multiplicadores.

• Damping Coefficient: Definición de los parámetros del amortiguamiento deRayleigh, en análisis dinámico no lineal.

• Print Options: Selección del tipo de resultados a imprimir en el fichero *.out.

• Plot Options: Selección de los pasos temporales en los que se almacenanresultados para dibujo en pantalla.

• Response Options: Selección de los nudos en los que se quiere guardar lainformación para la posterior realización de gráficas de postproceso.



• NonL Analysis Options (A_NONLINEAR): Parámetros del análisis no lineal.



• Contact: Menú para la definición de las zonas de contacto.

T1. Introducción al análisis no lineal. 1.6. Ejemplos

Ejemplo 1: No linealidad geométrica. Arandela Cónica

La arandela cónica de la figura esta sometida a la carga P y puede deslizar horizontalmente sobre el plano en el que se apoya.

h = 0.4 cm d1 = 1.6 cm d2 = 5 cm t = 0.24 cm E = 2.1 ⋅108 Kpa ν = 0.3

El modelo axisimétrico de la arandela esta disponible en el fichero aran.gfm.

1. Calcular el desplazamiento vertical δ de la arandela para una carga unitaria y deducir el valor de la carga de colapso (δ = h) suponiendo el problema lineal.

2. La curva carga-desplazamiento (p-δ) de la arandela es no lineal, debido a que la rigidez de la arandela depende de la geometría. Para obtener de forma aproximada la curva p- δ se puede proceder de forma incremental, se aplica un incremento de carga ∆p y se calcula el incremento de desplazamientos ∆u producido: K(x) ∆u = ∆p; con los desplazamientos calculados se actualizan las coordenadas de los nudos del modelo y se calcula una nueva K(x + ∆x) que se utiliza en la siguiente iteración.

Aplicando el método anterior calcular la curva p-δ de la arandela y la carga de colapso.

3. Resolver el problema considerando la no linealidad geométrica y comparar los resultados con los anteriores.



Resultados

1. Cálculo lineal: uy1 = -0.000399 m ⇒ Pcr = 10.02 KN

Fichero sesión:

• File > New > Localización y nombre del nuevo modelo • File > Load > aran.gfm; • Display > Display_Option > Scale; • Display > View_parameter > View

VIEW, 0, 0, 1, 0 • Analysis > Static > Run Static Analysis • Results > Plot > Deformed Shape; • Results > Plot > Displacement

ACTDIS/DISPLOT, 1, Uy, 0, Contour Plot; • Results > Plot > Identify Result (picar en el nudo 1)

2. Utilizando incrementos de carga de 1 KN, y con la opción Update Coordinate Flag del comando Static Análisis Options activa (1).

El co lapso se produce entre el paso 5 y 6 con: Pcr = 5.5 KN


Ejemplo 1: No linealidad geométrica. Arandela Cónica3. Utilizando control en fuerzas: Pcr = 2.65 KN

Fichero sesión:

• Propsets > Element Group EGROUP, 1,PLANE2D,0,1,1,0,0,2,0,0 (Grandes movimientos con TL)

• LoadsBC > Load_Options > Time Parameters TIMES > 0,1,0.025 (40 pasos)

• LoadsBC > Function Curve > Time/Temp Curve CURDEF > time,1,1,0,0,1,10 (Carga lineal entre 0 y 10 KN, en 1 s)

• Analysis > Nonlinear > Solution Control NL_CONTROL > 0,1 (Control en fuerzas y NR)

• Analysis > Nonlinear > Plot Options NL_PLOT > 1,100,1,0

• Analysis > Nonlinear > Response Options NL_NRESP > 1,1 (Generación de gráficas del nudo 1)

• Analysis > Nonlinear > Run Nonlinear Analysis

---------------------------- Se corta el análisis en el paso 11, t = 0.275 s

• Results > Plot > Deformed Shape (paso 10, y poner escala 1:1) • Edit > Plot > Curves

CRPLOT; • Results > Plot > Identify Result (picar en el nudo 1) • Display > XY_Plots > Activate Post_proc

ACTXYPOST, 1, time, Uy, 1; • Display > XY_Plots > Plot Curves



En la gráfica siguiente aparece la variación en el tiempo del desplazamiento vertical del nudo 1, observándose la bifurcación al inicio de la matriz de rigidez tangente negativa.

Para conseguir pasar la zona de rigidez negativa se ha utilizado el método de paso temporal automático con unpaso mínimo de 0.001 s, y máximo de 0.02 s.

Otra forma es modificar el paso temporal, reduciéndolo, y aplicar el comando RESTART del menú Analysis.



Modificando directamente el modelo anterior:

Fichero sesión:

• Analysis > Nonlinear > Autostep Options

NL_AUTOSTEP > 1, 0.001, 0.02, 5 • Analysis > Nonlinear > Run Nonlinear Analysis ------------- • Results > Plot > Deformed Shape (poner escala 1:1) • Results > Plot > Animate

Probar a utilizar el comando ACTXYPRE para dibujar la curva temporal, y el comandoACTXYPOST para la grafica de desplazamientos. Al utilizar los comandos DEFPLOT yANIMATE trabajar con escalas unitarias.



4. Utilizando control en desplazamientos: Pcr = 2.72 KN

Por el tipo de no linealidad, la convergencia es mejor en este caso que en el anterior.

En la gráfica adjunta aparece la variación en el tiempo del factor de carga (LFACT), quemultiplicado por la carga unitaria definida indica la carga real en cada instante temporal.



Fichero sesión (se supone que se parte de un modelo nuevo, es decir, recién cargado el.GFM):

• Propsets > Element Group EGROUP, 1,PLANE2D,0,1,1,0,0,2,0,0 (Grandes movimientos con TL)

• LoadsBC > Load_Options > Time Parameters TIMES > 0,1,0.01 (100 pasos)

• LoadsBC > Function Curve > Time/Temp Curve CURDEF > time,1,1,0,0,1,-0.01 (Desplazamiento vertical nudo 1 linealentre 0 y –0.01 m, en 1 s)

• Analysis > Nonlinear > Solution Control NL_CONTROL > 1,1,1,Uy (Control en movimientos verticales del nudo 1 y NR)

• Analysis > Nonlinear > Plot Options NL_PLOT > 1,100,1,0

• Analysis > Nonlinear > Response Options NL_NRESP > 1,1 (Generación de gráficas del nudo 1)

• Analysis > Nonlinear > Run Nonlinear Analysis


Ejemplo 2: No linealidad del material. Rigidizador transversal aligerado

y

x L1 = 2 mL2 = 3 mL3 =1.3 mL4 = 0.7 mL5 = 0.4 m

R1 = 0.5 mR2 = 0.4 mr = 0.1 m

L6 = 0.9 mL7 = 2 mL8 = 0.65 mL9 = 0.1 mL10 = 1.6 m

L1

P

L2

L3

R1 R2

r

r

L4 L5 L6L7

L8

L9

L10

1

2

E1 = 2.1.108 KN/m2 E2 = 5.106 KN/m2

ν1 = 0.3 ν2 = 0.3α = 1.10-5 ºC-1 K = 1 KN/sºCK1 = 1 KN/sºC espesor t2 = 0.4 mσe = 2600 Kg/cm2

espesor t

Realizar un análisis lineal y con material no lineal elastoplástico perfecto de un rigidizador transversal de un tablero, cuyas dimensiones y cargas se indican en la Figura siguiente.

La carga considerada es la reacción máxima del apoyo, que se introduce como carga de presión en la zonasuperior del rigidizador: P = Rmax/(2L1t), siendo t el espesor del rigidizador y Rmax = 5500 KN.

El modelo del rigidizador transversal para análisis lineal está disponible en el fichero rigi.gfm, con un espesor de0.04 m, y una presión P = Rmax/(2L1t) = 34375 Kpa.

Utilizando un material elastoplastico perfecto del tipo Von Mises Isotrópico con tensión de fluencia σy = 2.6e5

KPa, y modulo de elasticidad tangente Et = 0, calcular:

1. Distribución de tensiones en análisis lineal para un espesor t = 4 cm

2. Distribución de tensiones lineal y no lineal para un espesor t = 2.5 cm.


Ejemplo 2: No linealidad del material. Rigidizador transversal aligeradoSolución

1. Cálculo lineal, t = 0.04 m: Tensión máxima de Von Misses = 2.263 e5 KPa

Comandos:

• File > New > Localización y nombre del nuevo modelo • File > Load > rigi.gfm; • Display > Display_Option > Scale; • Display > View_parameter > View

VIEW, 0, 0, 1, 0 • Analysis > Static > Run Static Analysis • Results > Plot > Deformed Shape; • Results > Plot > Stress

ACTSTR, 1, Von;

2A Cálculo lineal, t = 0.025 m: Tensión máxima de Von Misses = 3.621 e5 KPa

Comandos: • Propsets > Real Constant

RCONST, 1,1,1,1,0.025; (Cambio de espesor a 2.5 cm) • Loads_bc > Structural > Presssure > Define by Curves

PCR, 24,-55000,24,1,-55000,2; (P = -55000 en dirección Y) • Analysis > Static > Run Static Analysis • Results > Plot > Stress

ACTSTR, 1, Von;


Ejemplo 2: No linealidad del material. Rigidizador transversal aligerado

2B Cálculo no lineal, t = 0.025 m: Tensión máxima de Von Misses = 2.5983 e5 KPa

Comandos: • Propsets > Element Group

EGROUP, 1,TRIANG,0,1,0,0,1; (Material no lineal tipo Von Misses Isotrópico) • Propsets > Material Properties

MPROP, 1,SIGYLD,2.6e5,ETAN,0; (Propiedades elastoplasticas) • LoadsBC > Load_Options > Time Parameters

TIMES > 0,1,0.1 (10 pasos) • LoadsBC > Function Curve > Time/Temp Curve

CURDEF > time,1,1,0,0,1,1 (Carga lineal entre 0 y 1, en 1 s) • Analysis > Nonlinear > Solution Control

NL_CONTROL > 0,1 (Control en fuerzas y NR) • Analysis > Nonlinear > Plot Options

NL_PLOT > 1,10,1,0 • Analysis > Nonlinear > Run Nonlinear Analysis • Results > Plot > Deformed Shape • Results > Plot > Stress

ACTSTR, 10, Von; (tensiones en el paso 10) • Results > Plot > Animate;

T1. Introducción al análisis no lineal...¾ El coste de un análisis no lineal es entre 10 y 100...

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