COMBINATORIA. PROBABILIDAD

1.- INTRODUCCIÓN A LA COMBINATORIA

1) Alberto lleva en su maleta tres jerséis (uno azul, uno rojo y otro blanco), dos pantalones (unos vaqueros y unos chinos) y tres pares de calzado (unas deportivas, unos zapatos y unas botas). ¿De cuántas maneras puede combinar su ropa?Sol: 18

2) ¿De cuántas maneras puedes colorear las tres bandas de una bandera con los colores azul, rojo, verde y negro?Sol: 64

3) ¿Cuántos coches se pueden matricular en España si en cada matrícula aparecen cuatro números y tres letras de las 20 posibles?Sol: 80.000.000

4) Lanzamos al aire 3 monedas: una de 2 euros, otra de 1 euro y otra de 0,5 euros. ¿De cuántas formas diferentes se pueden obtener 1, 2 o 3 caras?Sol: 7

5) Lanzamos tres dados al aire, ¿cuántos resultados diferentes podemos obtener?Sol: 216

6) Cuatro amigos deciden ir al cine, pero sólo tienen dinero para dos entradas. ¿Cómo pueden repartirse las entradas?Sol: 6 formas

2.- VARIACIONES

7) ¿Cuántos números de tres cifras, todas distintas, se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5?.Sol: 100

8) ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Sol: 9) ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas

del sistema decimal?

Sol: 10) ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir

utilizando sólo las letras a, b?

Sol: 11) Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

Sol: 12) En un instituto, las seis aulas de un pasillo están destinadas a los seis grupos de

primero de la ESO. ¿De cuántas formas se puede realizar la distribución de esos seis grupos en dicho pasillo?Sol: 720

13) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3,4,5, y 6?

Sol: 14) En una liga de fútbol en la que participan 18 equipos, el primer clasificado acude a

un campeonato europeo y el segundo tiene que ir a una eliminatoria previa. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ocupar estos dos puestos?.Sol:

15) ¿Cuántas apuestas habrá que rellenar para acertar seguro una quiniela de 14 partidos?Sol:

16) ¿Cuántos números naturales de seis cifras distintas hay?17) ¿Cuántas columnas rellena un quinielista que juega cinco triples? ¿Y uno que juega

siete dobles?

Sol: 18) ¿Cuántos capicúas de tres cifras se pueden escribir?

Sol: 19) Con las letras de la palabra AMIGO, ¿cuántas palabras distintas, tengan o no

significado, puedes formar?Sol: 120

20) ¿Cuántos números diferentes pueden formarse usando cuatro de las cifras 1,2,3,4,5 y 6 si las cifras no pueden repetirse?Sol: 360

21) Un grupo de cinco amigos, tres chicas y dos chicos, deciden ir al cine. Si van a ocupar cinco butacas contiguas, ¡de cuántas maneras se pueden sentar?¿Y si las chicas quieren esta juntas?Sol: 5!=120 HHHVV VHHHV VVHHH

22) Calcula cuantos números de siete cifras tienen la tres primeras cifras impares y las otras cuatro pares.Sol:

23) Se lanza una moneda cinco veces consecutivas. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener?Sol: 32

3.- COMBINACIONES

24) Por cada dos puntos del plano pasa una sola recta. ¿Cuántas rectas pasan por 5 puntos de los cuales tres no están alineados?¿Y por ocho puntos en los que no hay tres alineados?Sol: 10 y 28

25) ¿Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)Sol:

26) Calcula el número de formas en las que pueden quedar repartidos cuatro premios distintos, entre 22 estudiantes de un curso, de manera que ninguno pueda llevarse más de un premio.

Sol: 175.56027) ¿Cuántos elementos hay que combinar de dos en dos para que el número de

combinaciones sea 190?Sol:

28) ¿Cuántas fichas tiene un juego de dominó?Sol: 7 (dobles) +

29) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un heptágono regular’Sol:

30) Cada apuesta de la Lotería Primitiva consiste en elegir seis números del 1 al 49. ¿Cuál es el número total de apuestas que debes hacer para estar seguro de acertar los seis números?Sol: 13.983.816

Agrupaciones

Tipo

¿Importa orden?

¿Pueden repetirse?

Elementos por grupo

Elementos disponibles

En cada agrupación...

FÓRMULA

VARIACIONES

sin repetición

SI

NO

n m

n < m

con repetición

SI n < m, n > m

PERMUTACIONES

sin repetición

SI

NO

n = mcon repetición

SI

COMBINACIONES

sin repetición

NO

NO

con repetición

SI

4.- NÚMEROS COMBINATORIOS

31) Comprueba utilizando el binomio de Newton que 32) Comprueba que:

a)

b)

33) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

Sol: c) 11

34) ¿Por qué ?

5.- SUCESOS

35) Lanzamos un dado al aire y sumamos los puntos de las caras visibles:a) ¿Cuál es el espacio muestral?b) ¿Cuál es el suceso sacar múltiplo de 5?c) ¿Cuál es el suceso sacar número primo?

36) En una urna hay cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Extraemos una al azar y anotamos su número.a) Obtén su espacio muestral.b) ¿Qué elementos componen el suceso A=”obtener un número par”?c) ¿Cuántos sucesos diferentes se pueden formar en este experimento aleatorio?Sol: a) b) c) 16

37) Considera el lanzamiento de tres monedas, obtén el espacio muestral y los siguientes sucesos:a) A= Obtener 3 carasb) B= Obtener 2 carasc) C= Obtener 1 carad) D= Obtener 0 caras

38) Lanzamos un dado y cogemos una ficha de dominó, anotando el resultado de la cara superior del dado y la suma de los puntos de la ficha de dominó. Calcula el número de elementos del espacio muestral de esta experiencia aleatoria.Sol: 78

39) Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:a) Lanzar tres monedas.b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.c) Extraer dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

40) Considera el experimento de lanzar 2 dados y multiplicar los puntos obtenidos. Halla el espacio muestral y los siguientes sucesos:a) A= salir múltiplo de 3b) B= salir número compuestoc) C= salir número pard) D= salir número impar

6.- OPERACIONES CON SUCESOS. PROPIEDADES

41) Se lanza tres veces consecutivas una moneda y se consideran los sucesos A=”obtener al menos una cara” y B=”obtener más de una cruz”. Halla y

Sol: = =42) ¿Qué suceso es el suceso complementario del complementario del suceso A?

43) De la experiencia aleatoria “lanzar un dado” consideramos los sucesos A=”número par”, B=”múltiplo de 3”.a) Describe E, A, B, y

b) Justifica gráficamente la propiedad siguiente:

44) En una urna echamos 10 bolas numeradas del 1 al 10 y extraemos una al azar. Consideramos los sucesos A=”múltiplo de 3”, B=”mayor que 5”.a) Describe E, A, B,

b) Justifica la propiedad

45) Tenemos UNA urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos un experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos estos dos sucesos: A={salir un número primo} y B={salir un número cuadrado}. Responde a las cuestiones siguientes:a) Calcula los sucesos y .b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B

46) Consideramos el fenómeno aleatorio extraer una carta de una baraja de cuarenta y anotarla, y los sucesos a={sacar oro}, B={sacar rey}, C={sacar el rey de bastos}. Determina los siguientes sucesos:a)b)c)d)

47) De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.a) ¿Cuál es el espacio muestral?b) Describe los sucesos:

A = "Mayor que 6" B = "No obtener 6" C = "Menor que 6"escribiendo todos sus elementos.c) Halla los sucesos A B , A B y .

Solución:

a E { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

b A { 7, 8, 9 } B { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

C { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

BABAB

ABABBA

pues

'} 6 {'' } 98,7, {

} 98,7,5,4,3,2,1,0, { c)

48) En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene.a) Describe los sucesos: A="Obtener par" B="Obtener impar" C="Obtener primo" D="Obtener impar menor que 9" escribiendo todos sus elementos.b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?c) ¿Cuál es el suceso A B? ¿y C D?

Sol:a)A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} B={3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C ={2, 3, 5, 7, 11, 13} D={3, 5, 7}

b) B =A'; D C

c) A B=E ; C D=D

49) ¿Cuál es la intersección de los sucesos ?Sol:

50) Siendo A={3,6,9,12} y B={2,3,5,7,11}, dibuja y comprueba que:a)b)c)d)

7.- PROBABILIDAD

51) ¿Cuáles de las siguientes funciones definen una probabilidad en E={A,B,C}a) P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2b) P(A)=2/3, P(B)=-1/3, P(C)=2/3c) P(A)=1/6, P(B)=1/3, P(C)=1/2d) P(A)=0, P(B)=1/3, P(C)=2/3Sol: c y d

52) Sea P una probabilidad definida en E={A,B,C}. Encuentra P(A) en los casos:a) P(B)=1/3 y P(C)=1/4b) P(A)=2P(B) y P(C)=1/4c) P(C)=2P(B) y P(B)=3P(A)Sol: a) 5/12 b) ½ c) 1/10

53) Sea P una probabilidad definida en E={A,B,C,D}. Si se cumple

y ; calcula el valor de P(C).

Sol: 6/15

54) Sean los sucesos A y B que cumplen P(A)=0,6; P(B)=0,7 y . ¿Podemos afirmar que los sucesos son incompatibles?

Sol: Sí55) Con un dado incorrecto se tienen las siguientes probabilidades

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0,15. Calcula las probabilidades de 5 y 6 sabiendo que coinciden.Sol: 0,2

56) Sean A, B y C tres sucesos que forman un sistema completo de sucesos, y donde . Calcula P(C).

Sol: 0,657) Sean A y B dos sucesos, tales que P(A)=0,5 P(B)=0,4 y . Halla:

a)b)c)d)e)f)Sol: a) 0,7 b) 0,3 c) 0,2 d) 0,3 e) 0,8 f) 0,5

58) Sabiendo que , calcula P(A).Sol: 0,5

59) Sean A y B los sucesos tales que: . Calcula y

Solución:

Calculamos en primer lugar P[B]:

P[B] P[A' B] P[A B] 0,4 0,1 0,5

P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,4 0,5 0,1 0,8

60) Sean A y B dos sucesos que cumplen .

Calcula el valor de .Sol: 3/8

61) Sabiendo que P[A B] = 0,2 P[B'] = 0,7 P[A B'] = 0,5. Calcula P[A B] y P[A].

Solución:

P[A] P[A B'] P[A B] 0,5 0,2 0,7

P[B] 1 P[B'] 1 0,7 0,3

P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,7 0,3 0,2 0,862) Por una encuesta realizada entre los estudiantes de Bachillerato de un instituto se

sabe que el 40% lee el periódico y el 30% lee alguna revista de información general. Además, el 20% lee periódicos y revistas. Con estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, lea el periódico o revitas?Sol: 0,5

8.- REGLA DE LAPLACE

63) En una urna hay tres bolas blancas, dos negras y una roja. Se extrae una de ellas al azar. Calcula la probabilidad de:a) Extraer una bola blanca.b) Extraer una bola que no sea roja.c) Extraer una bola roja.Sol: a) ½ b) 5/6 c) 1/6

64) En una bolsa hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Consideramos el siguiente experimento aleatorio: sacamos una bola y anotamos su número, sin devolverla a la bolsa sacamos otra bola y anotamos su número y sin devolver esta a la bolsa sacamos la tercera bola y anotamos su número. Calcula la probabilidad de sacar los números en orden creciente o decreciente.Sol: 1/3

65) Se lanzan dos dados, Halla:a) La probabilidad de obtener suma 8 en las caras superiores.b) La probabilidad de que los valores obtenidos difieran en tres unidades.Sol: a) 5/36 b) 1/6

66) En el experimento aleatorio de estudiar las familias de tres hijos por el sexo de dichos hijos consideramos los siguientes sucesos: A={el hijo mayor es varón}, B={los tres hijos tienen igual sexo} y C={ningún hijo es varón}. Encuentra los elementos de los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: E, A, B, C, ,

y .Sol: 1, ½, ¼, 1/8, 1/8, 0 y 3/4

67) Una empresa que fabrica teléfonos móviles tiene comprobado que cada 300 teléfonos que fabrica, 7 tienen algún defecto. Si una persona se compra un teléfono de esa compañía, calcula las probabilidades de que sea defectuoso y de que no lo sea.Sol: 7/300 y 293/300

68) Se lanza dos veces un dado, calcula:

a) La probabilidad de obtener algún 6.b) La probabilidad de no obtener ningún 6.Sol: a) 11/36 b) 25/36

69) Una experiencia aleatoria consiste en lazar tres monedas al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:a) A=”obtener tres caras”b) B=”obtener dos caras y una cruz”c) C=”obtener una cara y dos cruces”Sol: a) 1/8 b) 3/8 c) 3/8

70) Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:a) Obtener suma igual a 3.b) Obtener suma mayor o igual que 9.c) Obtener suma menor o igual que 5.Sol: a) 1/18 b) 5/18 c) 5/18

71) Dos personas escriben al azar una vocal, cada una en un papel.a) Obtén la probabilidad de que ambas escriban la misma vocal.b) ¿Cuál sería la probabilidad de que tres personas escribiesen, al azar, cada uno la

misma vocal en un papel?72) En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60 % de los alumnos juega

al fútbol o al baloncesto y el 10 % practica ambos deportes. Además hay un 60 % que no juega al futbol. Escogido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:a) Juegue sólo al fútbol.b) Juegue sólo al baloncesto.c) Practique uno solo de los deportes.d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.Sol: a) 0,3 b) 0,2 c) 0,5 d) 0,4

73) Se lanzan al aire tres monedas. Determina la probabilidad de que se obtengan al menos dos cruces.Sol: 1/2

74) Se extrae una carta de una baraja española. ¿Qué es más probable?a) Que salga la sota de bastos o el rey de espadas.b) Que salga un oro o una figura.c) Que salga un oro o un no oro.d) Que salga una figura o que no salga una figura.

75) De los sucesos A y B se sabe que p(A) = 0,4; p(B) = 0,5 y . Halla y .

Sol: 0,7 y 0,2

76) En un dado trucado, la probabilidad de que aparezca cara par es doble de que aparezca cara impar. Calcula:a) Probabilidad de que salga cara 1b) Probabilidad de que salga cara 2c) Probabilidad de que salga cara pard) Probabilidad de que salga cara imparSol: a) 1/9 b) 2/9 c) 6/9 d) 3/9

77) Si una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00,01,02,…,99 y se saca una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos dígitos que aparecen en la bola sean impares?

Sol: 0,2578) Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en la segunda tirada

resulte un número mayor que en la primera?Sol: 5/12

79) Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que sean dos reyes.Sol: 1/130

80) Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de la que se extraen dos bolas. Halla la probabilidad de que ambas sean negras.a) Con devolución a la bolsa de la 1ª bola extraídab) Sin devolución.Sol: : 9/64; 1/8

81) En un sorteo hay 20 papeletas y 5 están premiadas. Si se compran dos papeletas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tengan premio?Sol: 1/19

82) Halla la probabilidad de un suceso A sabiendo que la suma de su cuadrado y del cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es 5/9.Sol: 2/3 o 1/3

83) En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eligen tres enfermos al azar.a) Halla la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad

Solución:

a) La probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad es lo mismo que calcular la probabilidad de que los tres sean neuróticos o los tres sean psicópatas o los tres sean esquizofrénicos. Esta última no es posible puesto que sólo hay dos, por tanto,

84) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?

1,010

1

100

10P

Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será:

9,010

9

10

11

85) ¿Cuál es la probabilidad de no coger ningún doble al seleccionar al azar 3 fichas de un dominó?Solución:El dominó tiene 28 fichas, de las cuales 7 son dobles, por tanto,

Los casos favorables son:

Los casos posibles son:

Si llamamos A al suceso “no coger ningún doble”, resulta:

86) Lanzamos tres monedas al aire, calcula la probabilidad de que:a) Salgan tres caras.b) Salga como máximo una cara.c) Salgan al menos dos cruces.d) No salga ninguna cara.

87) En un examen de Física, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar dos temas extraídos al azar del total de temas del cuestionario. Halla la probabilidad de que el alumno sepa los dos temas que le han tocado.Solución: 0,35

9.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS. DIAGRAMAS DE ÁRBOL

88) Dos personas A y B, organizan el siguiente juego: tiran un dado tres veces; si sale algún 1, gana A; si no sale ningún 1, gana B. ¿Cuál de las dos personas tiene más probabilidades de ganar?Sol: B (0,4213<0,5787)

89) Una casa tiene dos escaleras. La escalera A tiene 10 pisos, y cuatro de ellos tienen alarma; en la escalera B, cinco pisos tienen alarma y cinco no. Una persona despistada entra en una de las escaleras y luego intenta entrar en uno de los pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que intente entrar en un piso con alarma?Sol: 0,45

90) Una urna, A, contiene 5 bolas rojas y 3 bolas blancas. Otra urna, B, contiene 2 bolas blancas y 6 rojas. Si se saca una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que sean de igual color?

Sol:

91) La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcula razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos.a) Si se extraen las cartas con reemplazamiento.b) Si se extraen las cartas sin reemplazamiento. Sol: a) 7/16 b) 73/160

92) En una casa hay tres llaveros A, B y C, el primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que solo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero.a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abre?

Sol: a) 0,1560 b) 0,2916 93) En un centro de secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, Matemáticas

aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban Lengua. Elegido un alumno matriculado en esas asignaturas en ese centro, calcula la probabilidad de que suspenda sólo una de ellas.Sol: 34/75

94) En una clase hay 12 alumnos y 16 alumnas. El profesor saca consecutivamente a 4, diferentes, a la pizarra. Calcula la probabilidad de que sean dos alumnos y dos alumnas.Sol: 176/455

95) Marta y José escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos. Calcula la probabilidad de que no escriban la misma vocal.Sol: 4/5

96) En un experimento de percepción auditiva se presentan aleatoriamente uno de los dos estímulos utilizados, A y B. Si ambos estímulos son equiprobables y en cada sesión se presentan 5 estímulos aleatoriamente.a) ¿Cuál es la probabilidad de que en las 5 ocasiones se presente el estímulo A?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estímulo B se presente una sola vez?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten A y B y no se presente el estímulo

A después de que se haya presentado el estímulo B?Sol:

a)b) Hay 5 formas de que esto ocurra, BAAAA, ABAAA, AABAA, AAABA,

AAAAB, todas ellas con la misma probabilidad. c) Hay 4 casos posibles, ABBBB, AABBB, AAABB, AAAAB, todos ellos con la

misma probabilidad de suceder ya que , con lo cual la probabilidad de que ocurra alguno de estos 4 casos es

10.- PROBABILIDAD CONDICIONADA

97) Prueba que si P(A)=1/2, P(B)=3/5 y , entonces A y B son

independientes.98) A y B son dos sucesos independientes tales que P(A)=0,6 y P( )=0,9. Calcula

la probabilidad de B.Sol: 0,75

99) P(A)=0,5, P(B)=0,4 y P(A/B)=0,75. Halla P(B/A) y P( ). ¿Son A y B independientes?Sol: 0,6 y 0,6. No.

100) Para un dado, calcula la probabilidad de que salga 2, si se sabe que salió un número primo.Sol: 1/3

101) Se lanzan dos dados y se suman los resultados obtenidos. Si la suma es número primo, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados se haya obtenido un 5?.Sol: 4/15

102) Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con p(A) = 0,7, p(B) = 0,6 y . Estudia si son independientes A y B. Indicación: Aplica la propiedad Sol: Sí

103) En un gimnasio hay 200 personas, clasificados en tres niveles. Seleccionamos una persona escogida al azar.a) Calcula P(V), P(I), P( ), P(V/II) y P(II/V)b) Di si los sucesos V y II son independientes o no.

I II IIIVarones (V) 36 24 20Mujeres (M) 64 36 20

Sol: 0,4 0,5 0,18 0,4 0,3 Sí104) Se lanzan dos dados al aire:

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los

dados haya salido un tres?Sol: a) 6/36=1/6 b) 1/3

105) Los resultados de cierto curso muestran que la probabilidad de aprobar la asignatura de Matemáticas es 0,8 y Dibujo 0,7. Además, la probabilidad de aprobar ambas es 0,6. Se elige un alumno al azar y se sabe que ha aprobado Matemáticas, calcula la probabilidad de que haya aprobado Dibujo.Sol: 0,75

106) En una universidad española el 30% de los estudiantes son extranjeros y, de éstos, el 15% están becados. De los estudiantes españoles, sólo el 8% tienen beca. Si se elige, al azar un alumno de esa universidad:a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca?b) Calcula la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que

tiene beca.107) Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Las

probabilidades de que lleguen a los 70 años son 0,76 para el hombre y 0,82 para la mujer. Se pregunta cuál es la probabilidad de que a los 70 años:a) Ambos estén vivosb) No viva ningunoc) Viva solamente la mujerd) Viva al menos uno de los dosSol: 0,6232; 0,0432; 0,1968; 0,9568

108) Un avión tiene 5 bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco bombas?Sol: 0,67232

109) Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de la que se extraen dos bolas. Halla la probabilidad de que ambas sean negras.a) Con devolución a la bolsa de la 1ª bola extraída.b) Sin devolución.Sol: 9/64; 1/8

110) En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999.a) Calcula la probabilidad de que el número premiado acabe en 5.

b) Calcula la probabilidad de que el número premiado acabe en 55.c) Sabiendo que ayer salió un número acabado en 5, calcula la probabilidad de que

el número de hoy acabe en 5.Sol: a) 1/10 b) 1/10 c) 1/10

111) En la siguiente tabla se muestra los alumnos matriculados en un determinado curso, en tres facultades desglosadas por sexo.

Filología Psicología EconómicasVarones 983 2820 6151 9954Mujeres 2384 2288 1728 6400

3367 5108 7879 16534Elegido un alumno al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de filología?b) ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es mujer no sea de psicología?c) ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es de económicas, sea mujer?

Sol: a)

b)

c)

112) En una determinada facultad hay 400 alumnos cuyo número de asignaturas matriculadas oscila entre 1 y 5. Al final de curso el nº de alumnos que han aprobado un determinado nº de asignaturas en relación con las asignaturas matriculadas aparece recogido en la siguiente tabla:

Asignaturas aprobadas

AsignaturasMatriculadas

0 1 2 3 4 51 5 20 252 5 40 5 503 2 5 60 8 754 10 15 50 100 25 2005 1 2 3 4 30 10 50

23 82 118 112 55 10 400

Con estos datos, llamando M al nº de asignaturas matriculadas y A al nº de asignaturas aprobadas:a) Elegido un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que se haya matriculado

de 3 asignaturas o menos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que se ha matriculado en 3

asignaturas apruebe al menos 2?c) Elegido un alumno al azar resultó que había aprobado 2 asignaturas ¿Cuál es la

probabilidad de que se matriculase exactamente en dos asignaturas?

Sol:a)

b)

c)

113) Sean A y B dos sucesos tales que P( )=0,60 , P(B)=0,25 y a) Razona si A y B son independientes.b) Calcula .Sol: Sí y 0,9

114) Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que

a) ¿Son independientes A y B?

b) Calcula

Sol:

a P[A' B'] P[A B '] 1 P[A B] 0,9 P[A B] 0,1

P[A'] 1 P[A] 0,6 P[A] 0,4

BPAPBAP

BAP

BPAP

1,0

12,03,04,0

Por tanto, A y B no son independientes.

b Como:

BP

BAPBAP

'/'

necesitamos calcular P[A' B]:

P[A' B] P[B] P[A B] 0,3 0,1 0,2

Por tanto:

67,0

3,0

2,0'/'

BP

BAPBAP

115) En cierto barrio hay dos panaderías. El 40 % de la población compra en la panadería A, el 25 % en la B, y el 15 % en ambas. Se escoge una persona al azar:a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona compre en A y no

compre en B?b) Si esta persona es cliente de A, ¿cuál es la probabilidad de que

también sea cliente de B?c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea cliente de A ni de B?d) ¿Son independientes los sucesos “ser clientes de A” y “ser

cliente de B”?116) De una bolsa con 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 negra, Julia extrae una bola. Sin

devolver la bola extraída, extrae una segunda bola. Si la bola extraída en primer lugar es verde, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea de los siguientes colores?a) Rojab) Verdec) NegraSol: a) 3/5 b) 1/5 c) 1/5

117) Si la bola extraída en el ejercicio anterior en primer lugar es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea de los siguientes colores?a) Rojab) Verdec) NegraSol: a) 3/5 b) 2/5 c) 0

118) En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.Escogemos uno de los viajeros al azar.

a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución:

Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:

Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francés".

a Tenemos que hallar P[I F]:

6,0

5

3

120

72

120

123648

FIPFPIPFIP

25,04

1

48

12b) IF/P

2,05

1

120

24 no c) IFP

119) Una caja contiene 10 bolas blancas, 5 negras y 5 rojas. Se extraen dos bolas consecutivamente de la caja. Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas si:a) Antes de extraer la segunda bola se vuelve a introducir la primera en la cajab) La segunda bola se extrae sin haber introducido la primera en la cajaSol: a) 0,25 b) 9/38=0,237

120) Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=1/2 y P(B)=3/5. Calcula razonadamente, para qué valor de los sucesos A y B son independientes.Sol: 0,8

10.- PROBABILIDAD TOTAL

121) Pedro tiene 3 bolsas A,B y C, que contienen bolas rojas y negras en las siguientes cantidades: A: 2 bolas rojas y 3 bolas negras

B: 3 bolas rojas y 7 bolas negras C: 4 bolas rojas y 4 bolas negras Saca una bola al azar de una de las bolsas, ¿cuál es la probabilidad de obtener bola negra?

Sol: 0,6

122) En un concesionario hay 40 coches de gasolina y 30 diésel. De los 40 coches de gasolina, 25 son nuevos y 15, de segunda mano.De los 30 coches diésel, 22 son nuevos y 8, de segunda mano. Se elige un coche al azar, calcula la probabilidad de que sea nuevo.Sol: 47/70

123) Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60 % de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30 % cubre la segunda y el 10 % cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1% respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.Sol: 0,025

124) Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: A, B, C y D. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10 %, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?Sol: 0,028

125) Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y, si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra?

Sol: 0,5126) Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna

I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?Sol: 13/20

127) En un centro escolar hay tres grupos de 2º de Bachillerato. En el grupo A hay 24 alumnos y han suspendido el 25 %; en el grupo B hay 40 alumnos y han suspendido el 20 %, y en el grupo C hay 30 alumnos y han suspendido el el 30 %. Halla la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya aprobado.Sol: 0,755

128) Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras, la segunda 3 rojas y 1 negra y la tercera 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra.Sol: 17/36=0,472

129) En la Universidad del Desarrollo, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian Ingeniería Civil Industrial, el 35% Ingeniería Comercial y el 45% arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.Solución:

p(T) = p(T y A1) + p(T y A2) + (T y A3) = 0,133

11.- TEOREMA DE BAYES

130) En un edificio se usan dos ascensores, el primero lo usan el 45 % de los inquilinos y el resto de inquilinos utilizan el segundo. El porcentaje de fallos del primero es del 5%, mientras que el del segundo es del 8 %. Si un cierto día un inquilino queda atrapado en el ascensor, calcula la probabilidad de que haya sido en el primero.Sol: 0,338

131) El 70 % de los clientes de una compañía de seguros de automóviles tiene más de 25 años. Un 5 % de los clientes de ese grupo tiene algún accidente a lo largo del año. En el caso de los clientes menores de 25 años, este porcentaje es del 20 %.a) Si escogemos un asegurado al azar, calcula la probabilidad de que tenga algún

accidente este año.b) Si una persona tuvo algún accidente, calcula la probabilidad de que sea menor de

25 años.Sol: a) 0,095 b) 0,632

132) Tres máquinas M, N y P, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la máquina N.c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?Sol: a) 0,038 b) 0,316 c) M

133) Tenemos tres urnas: U con 3 bolas rojas y 5 negras, V con 2 bolas rojas y 1 negra y T con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna U?Sol: 0,260

134) Tenemos dos bolsas de caramelos. La primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón y la segunda 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo.a) Halla la probabilidad de que el caramelo sea de naranja.b) Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido

extraído de la segunda bolsa? Sol: a) 0,5222 b) 0,581

135) Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar, se observa su color, se descarta y se introducen dos bolas del otro color en la urna. Luego se extrae otra bola al azar. Sabiendo que la segunda bola extraída ha sido blanca, calcula la probabilidad de que la primera haya sido negra.Sol: 0,51

136) El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 % son economistas. El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?Sol: 0,405

137) Se tienen 3 recipientes A,B y C. El recipiente A contiene 3 galletas de vainilla y 2 de chocolate, el B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla, y el C contiene 2 de chocolate y 1 de vainilla. Se elige un recipiente al azar y se coge una galleta también al azar.a) ¿cuál es la probabilidad de que sea de chocolate?b) Si la galleta escogida es de chocolate, ¿cuál es la probabilidad de que provenga

de A?¿Y de B?¿Y de C?Sol: 5/9,6/25, 9/25 y 2/5

138) En una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tiene

estudios superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tiene estudios superiores.a) Calcula la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios

superiores.b) Halla la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el

citado programa.Sol: a) 0,24 b) 0,363636…

139) Una empresa tiene dos fábricas, en la primera son mujeres el 60 % de los trabajadores y en la segunda son hombres el 55 % de los trabajadores. Se elige al azar, un trabajador de cada fábrica para pertenecer al comité de empresa.a) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

i) A= Ambos son hombres.ii) Sólo uno es mujer.iii) Ambos son mujeres.

b) Razona si el suceso contrario del suceso C es el A, el B, el , el o algún otro suceso y calcula su probabilidad.

140) En un cierto país, los ascensos de barrendero a jefe de escoba son muy disputados. Se puede acceder por tres conductos: por oposición, por concurso de méritos o por enchufe con el ministro de Limpieza Pública. La probabilidad de que un opositor alcance la plaza es de 0,2. La probabilidad de que se obtenga la plaza si se concurso es 0,8. Todos los enchufados del ministro de Limpieza Pública consiguen puesto. Sabiendo que los aspirantes a jefes de escoba se reparten del siguiente modo: 70 % son opositores; 25 % concursan; 5 % consiguen el enchufe, calcular:a) ¿Cuántos de los 2730 jefes de escoba del país consiguieron el ascenso por

enchufe?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cierto jefe de escoba alcance la plaza por

oposición?Sol: 350; 0,358

141) La probabilidad de que un hombre fume es 0,6 y la de que una mujer sea fumadora es 0,3. En una fábrica hay un 75 % de hombre y un 25 % de mujeres. Tomamos una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que fume? Una persona desconocida ha dejado un cigarrillo encendido y se ha producido un pequeño incendio. ¿Cuál es la probabilidad de que el causante fuera un hombre?.Sol. 0,525; 0,857

142) Un ratón huye de un gato. Puede escapar por los callejones A, B y C. La probabilidad de que el ratón huya por el callejón A es 0,3 que lo haga por el B 0,5 y por el C 0,2. Si huye por A la probabilidad de ser alcanzado por el gato es 0,4. Si lo hace por B hay una probabilidad de ser cazado de 0,6. Finalmente, si huye por el callejón C la probabilidad es 0,1. Calcula la probabilidad de que el gato alcance al ratón. Supongamos que el ratón ha sido cazado por el gato. Calcula la probabilidad de que haya huido por el callejón B.Sol: 0,44; 0,68

143) La fábrica de enlatados DHL S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso. ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿Y de la B?

Aplicando el teorema anterior resulta:

p(D) = p(A y D) + p(B y D) = p(A) × p(D/A) + p(B) × p(D/B) = 0,028

144) En un centro de Bachillerato, los alumnos de 1º son el 60% del total, y los de 2º el 40% restante. De todos ellos, el 46% posee móvil y el 18% son de 1º y tienen móvil. Calcula la probabilidad de que un alumno de 1º, elegido al azar, posea móvil. Elegido un alumno al azar, resulta que tiene móvil, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?

145) Se sabe que el 10% de la población padece algún tipo de psicopatía a lo largo de su vida. El test TCP detecta este tipo de trastorno en el 90% de los casos en que se padece y produce un 20% de falsas alarmas (diagnóstica el trastorno cuando verdaderamente no existe). Aplicado el test a una determinada persona:a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diagnosticada como psicópata?b) ¿Cuál es la probabilidad de que esté realmente trastornada si el test ha dado

positivo?c) ¿Cuál es la probabilidad de esta persona no padezca el trastorno aunque el test

haya sido positivo?

a)

b)

c)

o bien

146) La probabilidad de que un hombre fume es 0,6 y la de que una mujer sea fumadora es 0,3. En una fábrica hay un 75 % de hombre y un 25 % de mujeres. Tomamos una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que fume?. Una persona desconocida ha dejado un cigarrillo encendido y se ha producido un pequeño incendio. ¿Cuál es la probabilidad de que el causante fuera un hombre?.Sol: 0,525; 0,857

147) Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.

a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?b Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

Solución:

Hacemos un diagrama en árbol:

70

29

5

1

14

3P a) AR P

29

15

7029

143

P

P y P / b)

AR

ARAR

P

APAP

148) Laura y Javier se reparten los ejercicios que les ha propuesto su profesora. Laura se queda con el 45 % y Javier con el resto. Por otro lado, sabemos que Laura resuelve incorrectamente un 10 % de los ejercicios que intenta y Javier, un 8 %.a) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar, esté mal

resuelto.b) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar, halla sido

hecho por Javier, sabiendo que está mal resuelto.Solución: a) 0,089 b) 0,4944

149) Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae una carta, que resulta ser el dos de oros. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada?.Sol: 0,2439

150) Un alumno se enfrenta a un examen de tipo test en el que todas las preguntas son de la misma dificultad, y tienen cuatro alternativas de las que sólo una es correcta. El alumno decide contestar a todas las preguntas, y dado su nivel de conocimientos, la probabilidad de que sepa la solución correcta de una pregunta elegida al azar, P(S), es 0'8. Si el alumno sabe la pregunta, entonces la acierta, es decir, P(A/S)=1. Si no sabe la solución correcta marca una de las alternativas aleatoriamente, de tal forma que P(A/NS)=0,25. Con estos datos:a) ¿Cuál es la probabilidad de que nuestro alumno acierte una pregunta cualquiera?b) Sabiendo que el alumno ha acertado una pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de

que sepa cuál es la solución correcta?Solución:

a) La probabilidad de acertar es igual a la "probabilidad de saber la pregunta y acertarla más la probabilidad de no saberla y acertarla", es decir:

b) Aplicando en teorema de Bayes:

151) En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?. ¿Y azul?

Solución:

En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

152) En las elecciones primarias de un importante partido político, el 45% de los militantes votan al candidato A, de los cuales un 54% provienen del sur de España. Del 55% de los militantes que votaron al candidato ganador, B, el 60% son del norte.a) Elegido un votante al azar, calcular la probabilidad de que sea del norte de

España.b) Elegido un votante al azar, calcular la probabilidad de que haya optado por el

candidato A y sea del norte de España.Solución:

a)

b)

153) Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?Solución:

Llamamos R = "sacar bola roja" y N = "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

154) En una ciudad, el 60 % de los niños usa zapatillas deportivas, el 50 % usa ropa deportiva y el 20 % usa ambas prendas.a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un niño, elegido al azar, no use

ninguna de las dos prendas?b) [1 punto] Si un niño usa zapatillas deportivas, ¿cuál es la probabilidad de que

no use ropa deportiva.

155) Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosab) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la máquina Bc) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?Solución:

Sea D = "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) == 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

156) A un alumno le lleva un amigo en coche a la facultad el 80 % de los días. Cuando lo lleva en coche llega tarde el 20 % de los días. Cuando el amigo no lo lleva, llega puntual a clase el 10 % de los días. Determina:a) La probabilidad de que llegue puntual a clase y le haya llevado su amigo.b) La probabilidad de que llegue tarde a clase.c) Si ha llegado puntual a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no le haya llevado

su compañero?Sol: a) 0,64 b) 0,34 c) 0,030303

157)