T2.1 No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y rotaciones.
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T2.1 No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y 2. A nálisisestático no lineal 2.1 N o linealidad geom étrica por grandesdesplazam ientosy rotaciones(I) 1.Introducción 2.Planteam iento delproblem a 3.A nálisissim plificado m ediantela m atrizde rigidezgeom étrica 3.1. Rigidización tensionaly pandeo 3.2. Pandeo reale ideal 3.3. Cálculo de K en estructurasde barras 3.3.1. V igaa flexión 3.3.2. Barra articulada 4.D STA R:M odulo de cálculo a pandeo de Cosm os/m v.2.5 STA R:Consideración de la rigidización tensional 5.Ejemplos
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T2.1 No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y rotaciones
2. Análisis estático no lineal
2.1 No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y rotaciones (I)
1. Introducción
2. Planteamiento del problema
3. Análisis simplificado mediante la matriz de rigidez geométrica
3.1. Rigidización tensional y pandeo
3.2. Pandeo real e ideal
3.3. Cálculo de K en estructuras de barras
3.3.1. Viga a flexión
3.3.2. Barra articulada
4. DSTAR: Modulo de cálculo a pandeo de Cosmos/m v.2.5
STAR: Consideración de la rigidización tensional
5. Ejemplos
Métodos de cálculo:
Simplificados: Cálculo a pandeo e inclusión de efectos de rigidización mediante la matriz de rigidez geométrica
“Exáctos”: Planteamiento no lineal iterativo general utilizando la matriz de rigidez tangente.
En el caso de un planteamiento general del problema es necesario alterar las definiciones de las deformaciones y trabajar con sus tensiones conjugadas.
Formulaciones:
TL = Lagrangiana total: la geometría de referencia para el cálculo de desplazamientos y deformaciones es la original
UL = Lagrangiana actualizada: la geometría de referencia para el cálculo de desplazamientos y deformaciones varía, actualizándose a configuraciones de equilibrio ya resueltas
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.1. Introducción
Con pequeñas deformaciones puede ser importante el efecto de la no linealidad geométrica:
Esfuerzos de membrana en placas, rigidizan la estructura incluso en pequeños desplazamientos
Efectos de flexibilización y pandeo en estructuras esbeltas
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.2. Planteamiento del problema
Las deformaciones y tensiones lineales no son invariantes ante rotaciones de sólido rígido
traslaciónt
rotación de matrizt
original posición
final posición
conttt
t
t
)(
)()()(),(
x
R
X
x
xXRXx
Y
X
sen
sen
y
x
cos
cosRXx
Y
X
sen
sen
v
u Luego
1cos
1cos
Xxu
0
1cos
1cos
xv
yu
yvxu
xy
y
x
zw
yw
zv
yv
zu
yu
yw
zv
zw
xw
zv
xv
zu
xu
xw
zu
yw
xw
yv
xv
yu
xu
xv
yu
zw
zv
zu
zw
yw
yv
yu
yv
xw
xv
xu
xu
yz
xz
xy
zz
yy
xx
222
222
222
21
21
21
Tensor de deformación de Green-Lagrange
El problema se resuelve utilizando el tensor de deformación de Green-Lagrange (invariante ante rotaciones de sólido rígido)
Se sigue cumpliendo la condición de equilibrio entre fuerzas externas R e internas F y el P.T.V.
R = F
El vector de fuerzas residuales se expresa de forma similar al caso lineal:
entosdesplazamigrandesdematrizla
linealndeformaciódematrizla
linealnondeformaciódematrizla
siendo
con
con
d
eG
e
e
eG
eeeee
T
B
B
B
εεD
BBBaB
aBB
0RB
0
~
~
~
)(
~~~~
)(~~
~
0
0
11
1
ittitt
iT
tt
aa aF
aK
11 ittttiiT
tt FRaK
dddddd TTT BBaK
~~
)(~~
)(~~~
~
aBBaBBB
aBDD
GG0 dd
ddd
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.2. Planteamiento del problema
La matriz de grandes desplazamientos eGB
~ contiene únicamente términos lineales y cuadráticos en a.
Método de solución: cálculo de la matriz de rigidez tangente TK y planteamiento incremental en la hipótesis de que las fuerzas externas son independientes de los desplazamientos.
se obtiene:
0
0
d d
desarrollando las expresiones:
d
d
matriz de rigidez geométrica o de tensión inicial
d matriz de rigidez lineal
d
T TT
T
TG
T
TG
d d d d
d d
con
G
G
0 0
0 G
K a B B DB a
B K a
B DB K K
K
K B DB
K B DB
d d matriz de rigidez de grandes desplazamientosT T
G 0 G GB DB B DB
La matriz de rigidez tangente total en teoría de grandes desplazamientos es:
GT KKKK 0
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.2. Planteamiento del problema
Obteniéndose como ensamblaje de las matrices elementales: e
eTT KK
La solución se obtiene de forma iterativa partiendo normalmente de una aproximación inicial lineal de los desplazamientos.
Análisis simplificado en el que se considera sólo la matriz de rigidez geométrica Permite simular los problemas de rigidización tensional y pandeo
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Se denominan esfuerzos de membrana (Fm) a los esfuerzos que actúan en dirección tangente al plano medio de un elemento, (axiles en el caso de estructuras de barras)
La rigidez a flexión depende de los esfuerzos de membrana de una estructura.
El pandeo se produce cuando en una estructura se transforma la energía de deformación de membrana en energía de deformación a flexión sin variación de las fuerzas exteriores.
Normalmente en elementos esbeltos la rigidez a axil es varios órdenes de magnitud superior a la rigidez a
flexión (en el caso de barras 3LEI
LEA ), por lo que pequeñas deformaciones de membrana acumulan
una gran energía, si esta energía se transforma en deformaciones de flexión se producen grandes desplazamientos laterales y grandes rotaciones.
Desde otro punto de vista, el pandeo se produce cuando las fuerzas de membrana de una estructura anulan la rigidez a flexión de la misma.
El efecto de las fuerzas de membrana se recoge de forma aproximada mediante la matriz K o de rigidez
geométrica
La ecuación K a = R se transforma en (K + K ) a = R donde la matriz de rigidez geométrica global depende únicamente de la geometría, y las tensiones ó desplazamientos de la estructura.
Rigidización tensional y pandeo
La viga de la figura está sometida a la acción de una carga transversal q y tiene una pretensión P debida a un enfriamiento térmico inicial. Suponemos pequeños desplazamientos.
)2/( Lxwwc
1. Cálculo de la carga de pandeo: )0(22 q
LEI
Pcr
— Energía de deformación por flexión:
dxxw
EIUL
oF 2
2
21
con viga la de curvatura la xw2
2
Considerando la deformación de un dx de viga (ds > dx al estar fijos los dos apoyos):
dxx
wdx
x
wds
22
2
111
suponiendo que las rotaciones son pequeñas: 12
xw
— Energía de deformación por membrana (axil): (Al ser pequeño el desplazamiento lateral w(x) se supone P constante)
LL
m dxxw
PdxPUxw
dxdxds
mm0
2
0
2
21
21
Asumiendo una deformación de tipo senoidal: w(x) = wc sen(x/L), exacta en el caso de la fórmula de pandeo de Euler.
2 4
32
22 2
2
1
2 2 01
2 2
cF
F M
cM
wU EI
EIL U U P PcrLw
U PL
Obteniéndose un valor de la carga de pandeo independiente de wc
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Rigidización tensional y pandeo
)2/( Lxwwc
2. Resolución considerando la aplicación de P y q:
Suponemos q = qcsen(x/L), esto produce una variación de la energía potencial al crecer w(x):
cc
L
ow
Lqqwdx
2
La energía potencial del sistema es:
cccc
FMp wLq
Lw
EIL
wPUU
2221
221
3
4222
Aplicando la condición de equilibrio:
2
2
20
2220
2
3
4
3
42
LP
K
LEI
Kcon
LqwKK
LqL
EIwL
Pww
p cc
ccc
c
Casos:
— Si EILq
wKP cc 4
4
00 solución exacta
— Si cwP 0 rigidización tensional.
— Si cwP 0 flexibilización tensional.
— Pandeo: Si ccr wykkLEI
PP 02
2
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Consideración de la rigidización tensional:
La resolución de la ecuación (K + K ) a = R es un proceso en dos etapas:
1º Cálculo de 00 , MFaRaK
2º Cálculo de K en función de la geometría a y de los esfuerzos de membrana
MF y resolución de (K + K ) a = R .
El proceso anterior es válido si los desplazamientos y esfuerzos de membrana de la primera etapa no están acoplados con los desplazamientos del segundo análisis.
Si están acoplados el proceso debe ser iterativo.
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Cálculo de cargas de pandeo:
Método clásico: Se trata de resolver un problema de autovalores en la forma:
refcrcr
refref
refref
RRR
a
RK
KK0aKK
cr
cr
crcr
:pandeo de crítica carga
pandeo de malinfinitesi entodesplazami
inicial carga la a asociada geométricamatriz
carga de escalar dormultiplica
con
0
El proceso se inicia aplicando a la estructura la carga inicial o de referencia Rref . Se resuelve el sistema lineal y se calculan los esfuerzos de membrana y Kref.
Para otro nivel de carga R = Rref se cumple que: K= Kref , en la hipótesis de que la aplicación de nuevas carga no altera la distribución tensional de la estructura.
Puesto que las cargas externas no se alteran durante los desplazamientos que se producen en el momento del pandeo:
0( aKKa)aKKaKK refrefref crcrcr
Los autovectores asociados a cada valor de la carga de pandeo definen la forma del modo de pandeo.
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Cálculo de cargas de pandeo:
Método no lineal: En el planteamiento anterior se evalúan todas las matrices sobre la configuración no deformada, lo que lineariza el problema.
La idea es evaluar Ky K en la configuración previa al pandeo, realizando el análisis previo en teoría no lineal:
Se aplica una carga inicial Rbase y se resuelve en teoría no lineal, obteniéndose la matriz KTy la configuración deformada. Sobre esa configuración se aplica un R
pequeño y se calculan los desplazamientos en base a KTyR, a partir de ellos se evalúan los esfuerzos de membrana y Krefy se resuelve el problema lineal de autovalores:
RRR0aKK refT crbasecrcr
Este método mejora la precisión del inicial, aunque sigue siendo aproximado.
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Pandeo real e ideal
Cuando se habla de pandeo a nivel teórico se supone un sistema perfecto formado por elementos rectos, propiedades uniformes, fuerzas axiles perfectamente centradas….
En la práctica se cumple siempre que e ≠ 0, siendo e la excentricidad ó error que recoge pequeñas variaciones de todos los parámetros anteriores.
Considerando el ejemplo de la viga anterior sin carga transversal:
El pandeo ideal asume la existencia de puntos de bifurcación (1), en los que cambia de forma brusca el comportamiento de una estructura.
En la realidad los comportamientos no alcanzan esas líneas límite, lo que provoca que las cargas de pandeo sean un límite “no seguro”, salvo que se introduzcan deformaciones iniciales en las estructuras.
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Cálculo de K en estructuras de barras
• Viga a flexión
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Se asume una deformación lateral, se supone P conocida y se plantea el problema en ejes locales
Se plantea primero como recordatorio la formulación lineal por elementos finitos de un elemento viga bidimensional de dos nudos
— Axil
LxN
LxNconNN
u
uu AA /
/1,;
1
121
2
1 NN
11
11
1,
1
0 LEA
Adx
LLdxd
con
AA
L TAA
AAAA
BDBK
NBaB
Cálculo de K en estructuras de barras
• Viga a flexión
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
— Flector )rotaciones (pequeñasdxdw
conw
w
w F
2
2
1
1
N
4321 ,,, NNNNF N con Ni funciones hermíticas (interpolación cúbica)
22
22
3
2322322
2
4626
612612
2646
612612
62,
126,
64,
126
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIdx
L
x
LL
x
LL
x
LL
x
Ldx
dcon
F
L
o
TFF
FFFF
DBBK
NBaBε
Cálculo de K en estructuras de barras: Viga a flexión
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
— Cálculo de K
Energía de deformación de la barra:
dEU x2
21
2
2
2
21
xw
z
xw
xu
con
Fx
mx
Fxmxx
donde z es la distancia de la fibra considerada al centroide de la sección
dxd
zzbbu x
'''
Considerando que:
AAAAPdA
xu
EIdAzAdAzdA ;;;0 2
se obtiene:
dxxwEI
dxxwP
dxxuEA
UL
o
L
o
L
o
2
2
222
222
con P > 0 en tracción
Cálculo de K en estructuras de barras: Viga a flexión
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Desarrollando cada uno de los términos anteriores:
aKaKKa
aKaaBBa A
AAAA
TA
TA
LT
A
L
o
TA
L
oA
U derivar al Nota.
dxEAdxEAdxxuEA
U
)(21
21
21
21
2
T
0
2
aKa FTL
oF dxxwEI
U21
2
2
2
2
aKa TL
o
T
p dxx
wP
x
wU
2
1
2
1
Como:
2
2
1
1
4321 ,,,
w
w
xN
x
N
xN
xN
xxw F a
N luego
22
22
433
336336
343
336336
30
LLLL
LL
LLLL
LL
L
Pdx
xxP
L
o
F
T
F NNK
En el caso de la flexión el campo de desplazamientos w no tiene porque ser cúbico si actuan cargas combinadas de flexión y
axil, esto hace que la formulación sea aproximada, y que se mejoren los resultados incrementando el número de barras de la
discretización.
Cálculo de K en estructuras de barras
• Barra articulada
11
110 L
Pxx
PT
L
NN
K
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.3. Análisis simplificado con K
Las rotaciones de la barra son independientes de x.
LxN
LxNconNN
w
ww
/
/1,;
2
121
2
1 NN
2
1
2
1
21
,21
w
w
w
w
xxw N
DSTAR: Modulo de cálculo a pandeo
STAR: Consideración de la rigidización tensional
El cálculo lineal considerando el efecto de rigidización tensional se activa mediante la bandera Inplane effect del comando Analysis > Static > Static Analysis Options.
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.4. DSTAR/STAR
BUCKLING: Análisis a pandeo
El cálculo de modos de pandeo y multiplicadores de carga se ejecuta mediante el submenu Frequency/Buckling Análisis del menú Analysis.
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.4. DSTAR/STAR
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.5. Ejemplos
1. Rigidización tensional de placas
Calcular la respuesta lineal y no lineal de una placa rectangular de 2 x 2 m. y con un espesor de 0.02 m., empotrada en el contorno y sometida a una carga de presión vertical P = 400 KN/m2.
Las propiedades del material son: E = 2.1e8 KN/m2, = 0.3.
En el fichero placa.gfm esta disponible el modelo de ¼ de placa con elementos Shell4, y las condiciones de simetría ya aplicadas, listo para el análisis lineal.
Resultados teoría lineal: uymax = -5.28 cm, VMmax = 1.076e6 KN/m2
Resultados teoría no lineal: uymax = -2.68 cm, VMmax = 6.32e5 KN/m2
Modelo
Análisis no lineal: Flecha central / carga
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.5. Ejemplos
Tensión de Von Mises (Kpa) por flexión (análisis lineal) Tensión de Von Mises (Kpa) de membrana (análisis no lineal)
Tensión de Von Mises (Kpa) de flexión (análisis no lineal)
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.5. Ejemplos
2. Pandeo de barras I. Estructura de nudos articulados plana.
La viga articulada, simplemente apoyada de la figura esta sometida a la acción de unas cargas de compresión horizontal.
La carga teórica de pandeo (Timoshenko) es Pcr = 2.1 e7 lbs.
Calcular la carga de pandeo mediante el modulo de pandeo y mediante un análisis no lineal.
El modelo esta disponible en el fichero ej6_2.gfm, con un valor de las cargas horizontales de 3 e7 lbs.
Resultados: Modulo de pandeo: Pcr = 0.7 x 3e7 = 2.1 e7 lbs.
Modulo no lineal: Pcr = 0.7 x 3e7 = 2.1 e7 lbs.
Modelo
Análisis no lineal: Flecha / carga
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.5. Ejemplos
3. Pandeo de barras II. Estructura de nudos articulados espacial
La estructura de la figura esta sometida a la acción de una carga vertical central (nudo 1) de valor Pz = -220 lbs.
Calcular la respuesta lineal y no lineal de la estructura, y la carga de pandeo.
El modelo esta disponible en el fichero ej6_3.gfm
Resultados: Calculo lineal: uz1 = -0.206 in, 1 = -0.297e5 psi
Cálculo a pandeo: = 3.208 , Pcr = 707 lbs.
Cálculo no lineal: = 0.7 , Pcr = 154 lbs.
Modelo
T2.1 No linealidad geométrica (I) 2.1.5. Ejemplos
4. Pandeo de barras III. Pórtico traslacional
El pórtico articulado de la figura esta sometido a la acción de dos cargas verticales de valor 3e6 lbs.
Las propiedades del material y las secciones son: E = 2.9 e6 psi, A = 100 in2, I = 800 in4, L = H = 144 in.
El modelo esta disponible en el fichero portico.gfm.
Resultados: Carga de pandeo teórica (Timoshenko) Pcr = 8.24e5 lbs.
Carga de pandeo en teoría no lineal Pcr = 8.24e5 lbs.
Modelo
Análisis no lineal: desplazamiento lateral / carga
