ROTACIONES ORTOGONALES

Y ROTACIONES OBLICUAS

MANUALES

Xaymara Pérez Rubén Quiñones

INTRODUCCIÓN

En capítulos anteriores se ha señalado que la

matriz extraída no proporciona una solución

adecuada. Para facilitar la interpretación se

realizan lo que se denominan serie de

rotaciones factoriales:

Rotaciones ortogonales manuales

Rotaciones oblicuas manuales

Las rotaciones pretenden seleccionar la

solución mas sencilla e interpretable.

ROTACIONES

ORTOGONALES

MANUALES

Las rotaciones ortogonales manuales

mueven los ejes factoriales para

acercar los puntos a estos de forma

que mantengan su ortogonalidad.

Esto permite la interpretación de los

pesos factoriales de una variable con

respecto a los factores ortogonales

como si fueran coeficientes de

correlación.

MÚLTIPLE POSITIVO

Es el intento de reducir o eliminar pesos

negativos.

Los factores finales rotados deben ser pesos

positivos para las variables de todos los

factores.

La idea principal para el múltiplo positivo es

que todas las variables de datos de una

matriz tengan intercorrelaciones que sean

cero o positivas.

ESTRUCTURA SIMPLE

Desarrollado por Thurtone (1947).

Su propósito era guiar al investigador a

realizar las rotaciones de los ejes factoriales

a posiciones de mayor importancia.

ESTRUCTURA SIMPLE

La matriz factorial rotada en estructura

simple tendría las siguientes características:

Cualquier columna de la matriz factorial debe tener

en su mayor parte valores pequeños, bien cerca de

cero.

Entradas distintas de cero en pocas columnas, esto

para encontrar la solución esperada.

Cualesquiera dos columnas factoriales mostrarán un

patrón diferente de pesos altos y bajos.

ROTACIÓN ORTOGONAL DEL PROBLEMA DE LAS 12 VARIABLES

Primer conjunt

o de trazado

s

Primera rotación

Segunda rotación

EJECUCIÓN ALGEBRAICA DE LA PRIMERA ROTACIÓN

La ejecución real de la rotación se lleva a

cabo mejor algebraicamente que

gráficamente, porque se generan resultados:

más exactos

proporciona un mejor testimonio matemático de

lo que se realizó.

PRIMERA ROTACIÓN ORTOGONAL DEL PROBLEMA DE DOCE VARIABLES

Matriz no rotada de pesos factoriales

Matriz Ortogonal Matriz de

pesos rotados

A * Λ1 = V1

La matriz ortogonal es determinada por la rotación que se va a ejecutar.

Si el factor j va a ser rotado con el factor k, los elementos en la matriz ortogonal serán determinados como: λ jj = λ kk = cos Φ, Φ es el ángulo a ser rotado.

λ jk = sen Φ, cuando el factor con número inferior es rotado alejándose del factor con número superior.

- sen Φ, cuando el factor con número inferior es rotado hacia el factor del número superior.

λ kj = - sen Φ, cuando λ jk = sen Φ

λ kj = sen Φ, cuando λ jk = -sen Φ

Las otras entradas diagonales de la matriz ortogonal son iguales a 1.

Todas las restantes entradas son 0.

representa la rotación de θ grados del plano en sentido contrario a las manecillas del reloj.

cosθ senθ

-senθ cosθ

Ejemplo:

SEGUNDA ROTACIÓN ORTOGONAL

Matriz de pesos factoriales rotados después de una vez

Matriz de transformación ortogonal para la segunda rotación

Matriz de pesos factoriales rotados después de dos rotaciones.

V1 * Λ2 = V2

SEGUNDA ROTACIÓN

Consiste de la rotación del factor II hacia el

factor III por medio de un ángulo de 15º . El

factor III fue rotado alejándose de factor II

por medio del mismo ángulo y al mismo

tiempo.

Por ende:

λ 22 = λ 33 = cos(15º) = .963

λ 23 = -sen (15º)= -.270

λ 33 = sen (15º)= .270

Segundo

conjunto de

trazados

Tercera rotación

TERCERA ROTACIÓN ORTOGONAL

Tercer conjunto

de trazados.

En resumen Λ= Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5…

Λn es el producto de todas las

matrices Λi de una rotación y la

matriz final se obtiene como: V =

AΛ.

La matriz final V es el resultado

final de la larga serie de

rotaciones, modificando la matriz

de pesos rotados por medio de

una rotación a la vez.

ROTACIONES OBLICUAS MANUALES

EJES FACTORIALES OBLICUOS

Este tipo de rotación permite que grupos de factores

puedan llevarse a hiperplanos más cercanos a cada uno

de ellos, a diferencia de la rotación ortogonal, en donde

los factores debían de mantenerse en ángulo recto

entre si.

En la tabla de pesos factoriales ortogonales, los pesos de 1, 2 y 3 no eran grandes, pero no eran cero en el factor II. Lo mismo ocurre con las variables 4,5 y 6 respecto al factor I

En la tabla de pesos factoriales oblicuos, las variables 1,2 y 3 tendrán esencialmente valores iguales a cero en el factor II. Lo mismo ocurre con las variables 4,5 y 6 respecto al factor I

COORDENADAS Y PROYECCIONES

Las distancias desde el origen a las líneas

perpendiculares al eje factorial oblicuo, que

pasan por los puntos de datos son conocidas

como Proyecciones. Éstas son iguales a las

correlaciones de estos vectores de datos con el

vector factorial oblicuo.

Los pesos factoriales son las coordenadas de

los vectores de los datos respecto al eje

factorial oblicuo.

La afirmación de que las coordenadas del vector de datos P1 son (.7, .5) respecto de los vectores factoriales F1 y F2 significa que:

oF1 y F2 pueden expresarse como combinaciones lineales de los mismos vectores base.

oTanto F1’ como F2’ pueden expresarse como combinaciones lineales de los vectores base ortogonales F1 y F2.

oEl vector P1 puede expresarse como una combinación lineal de vectores factoriales, oblicuos F1’ y F2’.

oAl realizar el cálculo anterior, se obtuvo las X e Y como coordenadas desconocidas, entonces: Esto da dos ecuaciones con dos incógnitas. Se obtiene que X= .592 e Y=.400

Hay que trazar perpendiculares a los ejes factoriales y hay que medir la distancia desde el origen de estos puntos para poder obtener las coordenadas de un vector de datos respecto a dos vectores oblicuos. El cálculo del producto escalar P1 Y f1 da: Al trazar una línea perpendicular desde el punto P1 al vector F1’ se obtiene la correlación entre el vector de datos P1 y el vector factorial F1’. A partir de la relación:

se obtiene que X es la proyección perpendicular del vector de datos P1 sobre el vector factorial F1.

o Para obtener las coordenadas de un vector P1

respecto a dos ejes factoriales F1 ´ y F2´, oblicuos

entre si, se trazan líneas paralelas a F1 ´ y F2´,

respectivamente, a travez de un punto terminal de

P1.

o Al trazar una línea perpendicular desde el punto

P1 al vector F1´se obtiene la correlación entre el

vector de datos P1 y el vector factorial F1´.

Entonces se sigue la siguiente relación

r12 =h1h2cosφ .

o Donde r12 es la correlación entre los vectores 1

y 2, h1 y h2 son las longitudes de los vectores 1 y

2 y cos φ es el coseno del ángulo entre los

vectores.

COORDENADAS Y PESOS FACTORIALES

Se le conocen como pesos factoriales a las

coordenadas de un vector de datos respecto a

unos ejes factoriales .

Con factores ortogonales, se permite la

interpretación de los pesos factoriales de una

variable respecto a los factores ortogonales como

si fueran coeficientes de correlación. Solo de esta

manera los elementos de la matriz estructura

pueden interpretarse como correlaciones. No es

así con factores oblicuos.

ESTRUCTURA DEL VECTOR REFERENCIA

La estructura del vector de referencia es conveniente cuando

las rotaciones oblicuas se llevan a cabo por medio de la

inspección de los trazados de los factores de dos en dos.

Este proceso viabiliza la obtención de las matrices de la

solución final: la matriz patrón P, la matriz estructura S y la

matriz de correlaciones entre los factores.

Consiste en las proyecciones perpendiculares de los vectores

de variables.

Realizar una rotación oblicua de un vector de referencia implica

cambiar una columna de la matriz de transformación.

oSe presenta cómo un trazado de los factores ortogonales I y II’, el vector I sería el hiperplano para el factor II’, y II’ sería el hiperplano para el factor I.

oEl factor II está bien colocado, ya que su hiperplano está situado a lo largo de la línea de máxima densidad de puntos.

oEl factor I estaría mal colocado porque su hiperplano no está situado a lo largo de la línea de máxima densidad de puntos.

Este procedimiento resultaría

conveniente si se quisieran rotar las

posiciones ortogonales de los factores I y

II’ de la figura anterior a las posiciones

ortogonales I’ y II.

ROTACIÓN DEL VECTOR REFERENCIA

Este proceso permite cambiar una

columna de la matriz A para rotar un

vector de referencia que es

equivalente a la multiplicación de A

por una matriz identidad excepto para

la columna que se va a cambiar.

BIBLIOGRAFÍA Andrew L. Comrey (1985) Manual de Análisis Factorial