Matemàtiques 2n batxillerat

FULL5. PROBLEMES OPTIMITZACIÓ T2. APLICACIONS DERIVADES

1. Amb una corda de 100cm... a) Calcula les dimensions del rectangle d’àrea més gran que pots formar. b) Calcula les dimensions del triangle isòsceles d’àrea més gran que pots formar.

2. Trobeu dos nombres que sumin 25 i tals que el doble del quadrat del primer més el triple del

quadrat del segon sigui mínim.

3. A la paret triangular de l’àtic d’un xalet, un fuster hi ha de fer una prestatgeria rectangular; ha de tocar a terra i els cantons superiors han d’arribar a les parets inclinades. Quines dimensions haurà de donar a la prestatgeria, si vol que la superfície sigui com més gran millor?

4. Un venedor de gelats ha comprovat que, a 1€ cada gelat, en ven una mitjana de 200 cada dia. Per

cada 5 cèntims que apuja el preu, en ven 4 menys cada dia. Si el cost per unitat és de 30 cèntims, a quin preu de venda és màxim el benefici total que s’obté?

5. Quina és l’equació de la recta que, passant pel punt (1,2), determina amb els semieixos positius de

coordenades un triangle d’àrea mínima? 6. Una placa de vidre de forma rectangular mesura 15 cm de llargada i 10 cm d’amplada.

Malauradament, però, en una cantonada s’ha trencat un fragment triangular fent disminuir la llargada en 5 cm i l’amplada en 3 cm. Amb la part restant es vol formar una altra placa rectangular d’àrea màxima. Quines dimensions tindrà aquesta placa?

7. Donada una làmina quadrada d’un metre de costat, calculeu la longitud del costat del quadrat que

s’ha de tallar a les quatre cantonades per construir una caixa oberta de volum màxim. 8. Trobeu l’alçada i el radi de la base del con de generatriu de 10 cm que té volum màxim. 9. Un agricultor ha recollit 10 tones de fruita que, emmagatzemades es deterioren a raó de 50 Kg/dia.

El seu preu actual de mercat és de 200 € /kg, però el preu de la fruita augmenta 2 €/kg cada dia. Quants dies ha d’esperar abans de vendre-la per obtenir el benefici màxim?

10. Les vendes d’un article són funció del preu d’aquest, de manera que:

( )2100

000.000.2)(

xxy

+= x >0

On x és el preu en €/kg i y el nombre de quilograms venuts: a) Dibuixeu el gràfic d’aquesta funció. b) Calculeu el preu a què s’ha de vendre si es vol obtenir el benefici màxim i quin serà aquest.

11. Suposem que, després de la ingestió d’una beguda alcohòlica (a l’instant t=0), la concentració

d’alcohol a la sang respon a la funció següent:

ttetf −= 1)( grams/litre on t s’expressa en hores. Calculeu l’instant en que la concentració d’alcohol serà màxima i el valor que tindrà.

SOLUCIONS

1- a) quadrat de costat 25 cm. b) triangle equilàter de 33,33 cm de costat. 2- 15 i 10. 3- x = 3m i h = 2m 4- 1,9 € 5- 2 4y x= − + 6- x = 13,33 cm i y = 8 cm.

7- x = 1

6 m

8- h = 5,77 cm i r = 8,17 cm 9-50 dies 10-100 €/kg 11- t = 1 h i 1gr/l.