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Instituto de Mecnica Estructuraly Riesgo Ssmico

HORMIGN IUnidad 3:

COMPORTAMIENTO, RESISTENCIA Y

DEFORMACIN DE ELEMENTOS DE HORMIGNARMADO SOMETIDOS A FLEXIN.Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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CONTENIDO.3.1 INTRODUCCIN.3.2 RELACIN MOMENTO vs. CURVATURA.

3.3 SUPOSICIONES BSICAS PARA EL COMPORTAMIENTO EN FLEXIN.3.4 BLOQUE DE TENSIONE RECTANGULAR EQUIVALENTE.3.5 MAXIMA DEFORMACIN DEL HORMIGN EN COMPRESIN.3.6 REAS COMPRIMIDAS NO RECTANGULARES.3.7. RESUMEN DE LAS SUPOSICIONES Y RECOMENDACIONES PARA DETERMINAR

LAS RESISTENCIAS DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIN. DIFERENCIASENTRE LAS NORMAS.

3.8 RESISTENCIA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXIN SIMPLE. VIGAS.GENERALIZACIN DEL PROBLEMA.

3.9 DISEO A FLEXIN CON FRMULA APROXIMADA.3.10. RESPUESTA DCTIL. CONCEPTO DE FALLA BALANCEADA.3.11 CUANTAS MXIMAS Y MNIMAS DE FLEXIN. REDISTRIBUCIN DE

ESFUERZOS.3.12 REQUISITOS ADICIONALES PARA DISEO SISMO RESISTENTE.3.13 DISTRIBUCIN DE LA ARMADURA DE TRACCIN EN VIGAS Y LOSAS.3.14 SECCIONES CON FORMA DE I, L y T.

3.14.1. RESISTENCIA A FLEXIN.3.14.2. ANCHO EFECTIVO EN VIGAS T.

3.14.2.1. ANCHO EFECTIVO EN COMPRESIN.3.14.2.2. ANCHO EFECTIVO EN TRACCIN.

3.15 RESPUESTA DE VIGAS A FLEXIN CON ARMADURA DISTRIBUIDAVERTICALMENTE.

3.16 LIMITACIONES A LAS DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOSESTRUCTURALES.

3.17 REFERENCIAS.3.18. Apndice A: Puntos del Diagrama Momento Curvaturas.

Momentos de Fisuracin Positivos y Negativos en Vigas T.3.19. Apndice C: Ejemplos de Anlisis Seccional. Momentos vs. Curvaturas.3.20 Apndice D: Tablas con frmulas tiles para clculo de reas y baricentros.

FilenameEmisin

0

Revisin1

Revisin2

Revisin3

Revisin4 Observaciones

T3-vigas.DOCAGO

2001

AGO

2002

ABR

2006

DIC

2008

ABR

2009Pginas 68 52 62 67 80

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3.1. INTRODUCCIN.

En este captulo se introduce al lector en los conceptos fundamentales que

rigen el comportamiento a flexin de los elementos de hormign armado, lashiptesis de diseo y anlisis, y las prescripciones reglamentarias que se debensatisfacer. Salvo otra indicacin, nos referiremos a vigas y losas de hormignarmado, para diferenciarlo en esta introduccin de los elementos sometidos aflexo-compresin, tpicamente columnas y tabiques.

La Fig. 3.1 muestra parte de la armadura de una futura viga de hormignarmado que pertenece a un edificio construido en la ciudad de Mendoza. En ellatambin se observa la prolongacin desde el nivel inferior de las barras de lacolumna donde apoya la viga, la viga transversal, el nudo correspondiente y elfondo de encofrados de madera de la futura losa de hormign armado. Lo

importante que se quiere expresar con esta figura es que la viga forma parte de unsistema estructural, y cuando se la disee y analice se entienda que NO se tratade un elemento aislado.

Fig. 3.1 Unin de Losa, Vigas yColumnas a la espera del Hormigonado.

La Ref.[1] indica en su seccin 10.2.1 que para el diseo de elementoscomo los mostrados se deben satisfacer las condiciones de equilibrio ycompatibilidad de deformaciones. Para aplicar las hiptesis y ecuaciones que se

necesite resolver, es conveniente antes poder comprender el fenmeno fsico quese estudia y adems analizar en qu contexto dicho elemento deber servir suspropsitos: en particular para nuestra zona, la respuesta ante accionescombinadas con el sismo toma preponderancia fundamental.

Slo al efecto de comprender la respuesta del elemento a flexin y parafacilitar algunas definiciones bsicas, se tomar a un elemento viga aislado. Talcual se muestra en la Fig. 3.2, la misma se encuentra sometida a una accingravitatoria, y se grafica de algn modo su respuesta desde carga cero hasta elincremento progresivo de la misma que provoca la falla total de la pieza. En lafigura se comparan dos tipos posibles de falla, dctil y frgil. La viga que se

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estudia se supone con una relacin elevada luz/altura de seccin, con ciertadistribucin de barras de acero en la parte superior, en la parte media y en la parteinferior. Al respecto se hacen las siguientes observaciones:

Fig. 3.2.Respuesta de un Elemento sometido a Flexin.

(i) Se mencion en el captulo 1 de la importancia de la respuesta dctilen elementos crticos de sistemas sismorresistentes. La respuestafrgil no debe ocurrir. Ante eventos extremos donde la estructura ensu conjunto es obligada a sobrellevar grandes deformaciones, ciertoselementos deberan responder de forma tal que, una vezdesarrollada su resistencia mxima, sean capaces de soportargrandes desplazamientos sin degradacin de la capacidadresistente.

(ii) En el captulo 1 tambin se enfatiz sobre las incertidumbres quehay para obtener las verdaderas demandas cuando la accin quecontrola es la que proviene del movimiento del suelo que generan losterremotos. Si a esto se suman las aproximaciones que se debenrealizar para modelar un edificio con su estructura y materiales, y siadems se trata de hormign armado, es razonable pensar que eldiseador no debera confiar demasiado en los resultados de suanlisis estructural elstico, por ms sofisticado que haya sido. Elmensaje ac es que INDEFECTIBLEMENTE va a ocurrir unadesviacin con relacin a las resistencias requeridas del anlisiselstico, por lo que se deber estimar, predecir y confiar en elcomportamiento inelstico. Esto implica una redistribucin deesfuerzos entre los elementos estructurales, para lo cual esnecesario un aceptable comportamiento ms all del rgimen lineal yelstico. Se necesita del comportamiento dctil, lo cual implicautilizar al mximo posible las capacidades de resistencia y ductilidadde los materiales disponibles. Ciertos cdigos como el ACI-318, ref.1

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y el NZS-3101, ref. 4, aceptan ciertos porcentajes de redistribucin.Como se ver ms adelante, uno de los beneficios directos deaceptar la relocalizacin de esfuerzos es la de reducir la congestin

de armaduras en los soportes o extremos de miembros, al reducir lospicos extremos de momentos. Estos conceptos son pilares de lo quese conoce como diseo por capacidad.

(iii) Se debe distinguir siempre entre comportamiento global y local, yestablecer las necesarias relaciones entre ellos. Por ejemplo, en laFig. 3.2 la curva de respuesta carga-deformacin puede interpretarsecomo representativa de la respuesta global. A su vez, para que seaposible un comportamiento dctil, dado que es una estructuraisosttica, en su nica seccin crtica su comportamiento localdeber ser tambin dctil. La curva global dice que una vez

alcanzada la carga que produce el mximo momento en la mitad dela viga, sta es capaz de sobrellevar grandes deformaciones y anms incrementar la capacidad de carga levemente, y sin reduccinms all de una ductilidad global ya superior a 4. Para esteconcepto, referirse a la ecuacin (1.2) del captulo 1, seccin 1.4.2.3.La pregunta clave es cmo debe ser la respuesta local para permitireste muy aceptable comportamiento global. Para esto entonces esnecesario que se estudie una curva de respuesta que exprese elcomportamiento de la seccin crtica, ubicada en la mitad de la viga,y que contenga los tres parmetros de comportamiento: rigidez,resistencia y ductilidad.

3.2. RELACIN MOMENTO-CURVATURA.

Ya se ha expresado que para establecer una curva de respuesta, sea stalocal o global, se necesita de condiciones de equilibrio, es decir esttica, decondiciones cinemticas, es decir de compatibilidad de deformaciones y de algunarelacin que vincule el equilibrio con la cinemtica, es decir de relacionesconstitutivas. En resistencia de materiales se ha visto que para una seccin decualquier material en flexin la variable esttica es el momento flector, M, y lavariable cinemtica la curvatura, . La relacin entre ellos est dada por el factorEI, llamado factor de rigidez a flexin, donde E es el mdulo de elasticidad del

material e Ies el momento de inercia de la seccin. Estos conceptos se han vistohasta ahora en materiales homogneos e istropos: hay que ver cmo seextienden al hormign armado.

La Fig. 3.3 muestra una porcin de un elemento sometido a flexin, quebien podra ser el que corresponde a la seccin crtica de la viga de la Fig. 3.1. siadmitimos que el esfuerzo axial Pes insignificante o nulo, y que la porcin de vigaseleccionada es suficientemente pequea como para admitir que el momento Mesprcticamente igual en ambos extremos del elemento. El radio de curvatura R, laprofundidad de eje neutro que en este caso se designa con kd, la deformacin de

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compresin del hormign en la fibra extrema cy la del acero en traccin s, varana lo largo de toda la viga. Para el elemento analizado de longitud dx la rotacin entre sus extremos, se puede calcular como:

( )kd

d

kd

d

R

d xsxcx

===

1

Por lo que, para un elemento donde dx= 1.0, resulta:

( )kds

kd

c

R ==

1

1

Por otro lado, 1/R, o sea la inversa del radio de curvatura, es la curvatura

del elemento , es decir la rotacin por unidad de longitud dx

, que resulta ser:

( )

( )

dkd

s

kd

c

R

sc

+=

===

1

1(3.1)

lo cual demuestra que la curvatura no es otra cosa que el gradiente delperfil de deformaciones del elemento en la seccin considerada (o mejor dicho enel tramo de longitud considerado). Claramente se ve que la ecuacin anterior esuna relacin cinemtica, es pura geometra y compatibilidad de deformaciones.

Fig. 3.3. Deformaciones de un Segmento de un Elemento Sometido a Flexin.

dx

/2 /2

s dx . 1

(d-kd) 2

c dx

2

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De resistencia de materiales se conoce adems que las relacionesestticas deben plantearse a partir del equilibrio del elemento analizado. Esteequilibrio debe corresponder a las fuerzas exteriores entre s (acciones y vnculos),

acciones interiores entre s (esfuerzos internos) y de acciones exteriores conesfuerzos internos. Para el equilibrio de estructuras en el plano, la esttica imponelas siguientes condiciones:

Fx= 0 Fy= 0 Mxy=0 (3.2)

De estas dos ecuaciones, la primera y la tercera son las de aplicacincuando se disee y analicen secciones de hormign armado sometidas a flexin.Es importante volver sobre estos principios bsicos pues muchas veces el uso detablas y bacos para el diseo hacen perder la percepcin de los conceptosfundamentales. Segn la primera de las ecuaciones 3.2, en una seccin

determinada, los esfuerzos internos de traccin y compresin inducidos, si no hayaccin externa, debern ser iguales y de sentido contrario,

==

===

A

max

Amax

Ax AydAy

kd

fdAf

kd

ydAf0F (3.3.a)

Esto significa que el eje neutro debe pasar por el centroide o baricentrogeomtrico de la seccin homognea.

Sin embargo, por tratarse de flexin, las resultantes de los esfuerzos

axiales por encima y por debajo del eje neutro no tendrn la misma recta deaccin: en consecuencia entra a jugar la tercera de las ecuaciones de equilibrio, elequilibrio de momentos, que indica que el momento externo actuante en estaseccin debe ser equilibrado por la cupla interna. En definitiva las ecuacionesestticas seran:

C = T (3.3.b)

es decir esfuerzos de compresin, C, iguales a los de traccin, T, y:

C . jd= T . jd= M (3.3.c)

f

-f

fmax

c

-y

y

dA

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cupla interna igual a momento flector actuante, siendojd la distancia entre Cy T.

La relacin constitutiva en flexin se obtiene cuando se introducen lasrelaciones constitutivas de los materiales, aparece el mdulo de Young, E, por seresfuerzos axiales los inducidos por flexin y entonces a partir de la ecuacin deequilibrio de momentos:

=

==

A

2max

Amax dAy

kd

fydAf

kd

y0M (3.4.a)

Por lo tanto:

I

kd

fM

max= (3.4.b)

y la tensin mxima est relacionada con la deformacin mxima (es lineal en elrango elstico, y proporcional a E por la ley de Hooke), por lo cual se puedeescribir:

IE.IEkd

Mmax

== (3.4.c)

de donde entonces la Rigidez a Flexin, o factor de rigidez a flexin, se obtienecomo:

MEI = (3.5)

En definitiva, el problema de obtener una curva representativa delcomportamiento local sera posible si a partir de la ecuacin (3.1) se pudieraobtener la curvatura en la seccin crtica y de evaluar las cargas que actan sobrela viga se puede calcular, por simple esttica, el momento flector en dicha secciny en cada instante cuando la carga exterior crece desde 0 hasta provocar la fallacompleta de la viga.

Si las deformaciones especficas, c y s, se miden alrededor de la seccincrtica de la viga de la Fig. 3.2 sobre una longitud suficientemente corta, es posibleencontrar la variable cinemtica asociada a cada paso o incremento de carga.Note que conceptualmente hablando NO es posible encontrar la curvatura en unaseccin pues sta se obtiene a partir de medir las deformaciones especficas enuna distancia finita. Por ello lo que se obtiene son deformaciones especficaspromedio, y por lo tanto, valores promedios de curvaturas asociadas.

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Fig. 3.4. Respuesta Local: Relaciones Momento vs. Curvaturas para VigasSimplemente Armadas.(a) Respuesta Dctil. (b) Respuesta Frgil.

La Fig. 3.4 muestra la relacin Momento-curvatura para la seccin crtica deuna viga como la de Fig. 3.2. Se pretende que en forma intuitiva el lector pueda

justificar los dos tipos de comportamiento local representados por sendas curvas,y que a su vez, para cada tipo de respuesta local se prevea la posible respuestaglobal. Por ahora basta con aceptar que la viga es de hormign armado, y que porlo tanto, para hacer frente a las solicitaciones de flexin, que es positiva en estecaso, es decir con traccin en la cara inferior, va a movilizar los siguientes

mecanismos de resistencia:

(a) En la parte superior la seccin est comprimida, por lo cual de estararmada como en la foto Fig. 3.1, ambos acero y hormign van a podertrabajar en forma solidaria.

(b) En la parte inferior, dado que existen deformaciones inducidas detraccin por flexin, slo a muy bajos valores de tensin ambosmateriales trabajarn juntos.

(c) A partir de cierto instante, solamente el acero ubicado bajo el eje neutro

podr equilibrar al momento actuante.

De las observaciones anteriores, es claro que el primer hito importante en larespuesta de la seccin crtica va a ser el agotamiento de la fibra extrema inferiordel hormign en traccin, first crack en la Fig 3.4(a) y (b).

Con el aumento de la carga, las fisuras de traccin se propagan haciaarriba, y van progresivamente dejando fuera de combate al hormign en traccina cierta distancia del eje neutro. Por obvias razones, conviene entonces ignorar,para este caso, los mecanismos de resistencia a traccin del hormign.

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Para comprender los subsiguientes posibles estados lmites que seproducirn con el aumento de la carga externa, convengamos que quedanentonces como mecanismos de resistencia para compresin el hormign y las

barras de acero superiores, y para traccin las barras inferiores. Recordando lasleyes constitutivas de los materiales, la falla del hormign es por compresin(aplastamiento) cuando alcance su deformacin mxima, ver Figs. 2.5 y 2.6. Noteque alrededor de una deformacin del 0.2 % (0.002) se alcanzara la tensinmxima, y cerca del doble de sta, 0.4 % (0.004, para hormign sin confinar) serompera por compresin. Por inspeccin de la Fig. 2.28, el acero podra entrar enfluencia cerca de una deformacin del 0.2 %(por ejemplo para acero ADN-420 yEs = 200 000 MPa) pero recin fallara totalmente (rotura por traccin) a unadeformacin mayor del 10 %, es decir por lo menos 50veces ms all del lmite defluencia. Por esta razn y porque el hormign no puede acompaar grandesdeformaciones, el prximo estado lmite se podra producir o bien por rotura del

hormign por compresin o bien por fluencia del acero en traccin.

Es claro que hay una gran diferencia entre estos dos tipos de fallas: si elhormign llega antes a la mxima deformacin por compresin que el acero alcomienzo de fluencia, significa que, a menos que el hormign en compresin estconfinado por estribos a poca separacin entre ellos, ac termina la historia de laviga, pues se produce su falla completa. Su representacin M- sera del tipo deFig. 3.4(b), como respuesta global, e inducira una respuesta global del tipo brittlebehaviour, ver Fig. 3.2. Si en cambio, se le da la oportunidad al acero para queentre en fluencia por traccin antes de que el hormign alcance su lmite dedeformacin de compresin, la seccin crtica de la viga habr alcanzado un

estado lmite que llamaremos de fluencia del acero en traccin, y que realmenteno implica una falla sino ms bien un logro. Se alcanza el punto first yielding ofsteel en la Fig. 3.4(a) y a partir de este estado, cualquier intento de incremento decargas se traducir en deformaciones plsticas importantes Esto puede o noimplicar importantes variaciones de la resistencia por encima del valor de fluencia,lo que depender fundamentalmente de las caractersticas mecnicas del aceroen traccin ubicado en el nivel inferior, y de si existen otras capas de acero porencima de aquel. Se ve segn Fig. 3.4(a) que la respuesta local es bastante dctil(del orden de 8 en la grfica), y esto va a inducir una respuesta global tambindctil, sealada como ductile behaviour en la Fig. 3.2. En teora, para ciertascondiciones del diseo de la seccin de la viga de hormign armado podra ocurrir

que en forma simultanea se alcance la deformacin mxima del hormign encompresin y la de fluencia del acero en traccin. Este estado se llama de fallabalanceada, y correspondera a una ductilidad de curvaturas igual a la unidad, yaque:

y

u

= (3.6)

donde:=ductilidad de curvaturas.u=curvatura ltimay=curvatura de fluencia

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y como para el estado de falla balanceado ambas curvaturas son iguales, el factorde ductilidad es unitario (atencin, no es cero).

Conceptualmente, es obvio que, para dimensiones y caractersticas de losmateriales determinadas, el resultado de obtener una falla frgil o dctil estarasociada a la cantidad de armadura en traccin. Ms adelante se vern cuales sonlas condiciones para un comportamiento dctil, pero por el momento se acude alhecho fsico de que si la viga tiene mucha armadura en traccin, ser muy difcilllevarla a la fluencia, por lo que el hormign fallara antes por compresin. En laliteratura se conoce este fenmeno como falla primaria por compresin, implicaductilidad menor que 1.0 (es decir NO tiene ductilidad), y este diseo debeevitarse si se necesita que la viga sea uno de los elementos que debe disiparenerga durante un sismo. Por el contrario, si la viga tiene una armadura

relativamente pequea, digamos por ahora entre el 0.2% y 1.5 %, el acero conseguridad podr fluir y la viga entrar en un comportamiento francamente plsticohasta que ocurra la falla por aplastamiento del hormign. Este tipo de falla sellama falla primaria por traccin, e implica una ductilidad mayor que 1.0.Obviamente, el umbral lo marca la falla balanceada, para lo cual existe unacuanta de acero balanceada, y el objetivo del diseador debe ser entonces estarbastante por debajo (digamos por ahora menos de la mitad) de la cantidad dearmadura que corresponde a ductilidad unitaria. Ms adelante, cuando se vea enprofundidad el comportamiento en flexin y se deduzcan las ecuaciones que logobiernan, se analizarn cuales son los contenidos mnimos, mximos e idealesde armaduras en traccin. Por ahora se trata de llamar la atencin sobre el

comportamiento fsico.

Fig. 3.5. DiferentesIdealizaciones de RelacionesMomento vs. Curvaturas paraSecciones con falla primaria por

traccin.

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En la prctica, la relacin momento-curvatura para una seccin conductilidad, si bien es una funcin continua, se puede idealizar por medio de una

relacin tri-lineal como la indicada en la Fig. 3.5(a). El primer punto corresponde ala fisuracin del hormign por traccin, el segundo a la fluencia del acero entraccin y el tercero a la mxima deformacin del hormign en compresin. En lamayora de los casos es suficiente con aproximar la curva real a una relacin bi-lineal como las indicadas en las Figs. 3.5(b) y (c). El hecho real es que una vezque hayan ocurrido las fisuras, que es el caso ms frecuente en las vigas bajocargas de servicio, la relacin M- es casi lineal desde carga cero hasta el iniciode fluencia. En consecuencia, las Figs. 3.5(b) y (c) representan en forma muyaceptable diagramas M- para vigas de comportamiento global dctil pero que yatenan una fisuracin inicial.

En definitiva, como aplicaciones tiles de los diagramas M-se puede sealarque muestran en forma muy clara los diferentes niveles de resistencia asociados alos estados de comportamiento analizado, y la ductilidad local de la seccin. Otraaplicacin que no debe dejar de aprovecharse es la que corresponde a laverificacin de la rigidez del elemento estructural. La ecuacin (3.5) esgeneralmente aplicada a comportamiento lineal. Sin embargo, se podra ampliar atodo el rango de respuesta de la seccin y en consecuencia hablar de tres valoresdiferentes de mdulo de rigidez a flexin:

(a) uno que corresponde a la seccin sin fisurar, EIcrk:

( )crk

crkcrk

MEI

= (3.7a)

(b) otro (el de ms aplicacin tal vez) el que corresponde a valores de fluencia, ynormalmente conocido como mdulo de rigidez efectivo:

( )y

yefec

MEI

= (3.7b)

(c) el tercero, para el comportamiento de post-fluencia o plstico, dado por:

( )yu

yup

MMEI

= (3.7c)

Dado que conviene en todos los casos considerar el mdulo de elasticidadE como el del hormign, Ec, de las ecuaciones (3.7) se pueden obtener losmomentos de inercia para utilizar segn los diferentes estados que se analice. Sise toma como referencia el valor de Ig, es decir momento de inercia bruto (gross)de la seccin de hormign armado, para el caso del estado no fisurado, el valor deIser un poco mayor que Ig debido a que resultar de evaluar lo que se llama

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en cualquier punto de una seccin transversal son proporcionales a su distancia aleje neutro. Existe ya una gran evidencia experimental de que esta suposicin esvlida para todos los estados de carga en secciones de hormign armado hasta la

falla por flexin, siempre y cuando exista buena adherencia entre el hormign y elacero. Por cierto entonces esto es bastante exacto en la zona de compresin delhormign. La aparicin de fisuras en la zona de traccin indica que algndeslizamiento ha ocurrido entre las barras de acero y el hormign que las rodea,por lo cual la suposicin enunciada no es de estricta aplicacin en la vecindad deuna fisura. Sin embargo, si la deformacin del hormign se mide en una longitudque abarque varias fisuras, se encuentra que el principio de Bernoulli es aplicablea la deformacin de traccin promedio.

La Fig. 3.6, tomada de ref.[2], muestra las distribuciones de deformacionesmedidas a travs de secciones transversales de columnas de hormign armado

cerca de las zonas de fallas y para varios estados de incrementos de carga. Estassecciones de columnas eran o bien cuadradas de 25 cmde lado, o bien circularesde 30 cmde dimetro. Las deformaciones en el acero fueron medidas a travs deuna longitud de 25 mm, mientras que, por lo dicho antes, en el hormign lalongitud de deformacin (gage length) para la medicin fue de 150 mm. Porsupuesto que se debe esperar cierta desviacin de la linealidad o proporcionalidadentre deformacin y distancia al eje neutro, producto principalmente de lasinexactitudes de las mediciones individuales y ubicacin de las lneas de medicin.

Es evidente por inspeccin de la figura que el perfil de las deformacionesobtenidas en forma experimental es razonablemente lineal. Esta suposicin no es

vlida en zonas donde aparecen fisuras diagonales debidas a elevadas tensionesde corte o bien en vigas de gran altura. As por ejemplo, la norma ACI-318, ref.[1],en su seccin 10.2.2. establece que no puede tomarse como aplicable estahiptesis para vigas de gran altura y en estos casos debe considerarse la nolinealidad de las deformaciones, ver seccin 10.7 de la norma, o utilizar el modelode bielas, ver seccin 11.8.

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que ocurra un incremento en las tensiones por endurecimiento que pueda conducira una situacin desfavorable, por ejemplo falla frgil por corte o por adherencia, eldiseador puede y debera tomar en cuenta el posible incremento de resistencia.

Esta es una de las causas que se consideran en la sobre-resistencia a la que serefiri en el captulo 1.

La tercera suposicin no merece prcticamente discusin: cualquier tensinde traccin que exista por debajo del eje neutro es menor, y por otro lado suresultante posee un brazo elstico muy pequeo, por lo que de existir algunacontribucin en la resistencia a flexin, no se comete error apreciable al ignorarla.

Fig. 3.7. Distribucin de deformaciones y tensiones en la zona comprimida de unaseccin a medida que el momento aumenta. (a) Elemento de viga y perfil de

deformaciones; (b) distribucin de tensiones de los perfiles segn (a).

La cuarta de las suposiciones es necesaria para poder establecer el

comportamiento real de la seccin ante diferentes niveles de carga. Debido a quelas tensiones son proporcionales a la distancia al eje neutro, y suponiendo unarelacin tensin-deformacin para el hormign como la indicada en la Fig. 2.6 delcaptulo 2, la Fig. 3.7 muestra cmo va cambiando la forma del bloque detensiones comprimido de hormign a medida que el momento flector actuante seincrementa. La seccin alcanza su resistencia a flexin mxima cuando la fuerzatotal de compresin en el hormign Cmultiplicada por el brazo elstico jd es unvalor mximo. Tal cual se muestra en la Fig. 3.8(a), las propiedades del bloque detensiones de compresin del hormign en la seccin de mximo momento puedenquedar definidas por los parmetros k1, k2 y k3. Para una seccin rectangular deancho by altura efectiva o til d, la fuerza total de compresin en el hormign est

dada por:C = k1 k3 fcb c = b.(k1.c).(k3.fc) (3.8)

y el brazo elstico es (dk2.c), donde con c se designa la profundidad del ejeneutro. Extensos estudios se han llevado a cabo para determinar la magnitud deestos parmetros, que corresponden a hormign sin confinar. Los ms conocidosson los llevados a cabo por E. Hognestad en el PCA (Portland CementAssociation) en la dcada de 1950-1960, y por H. Rsh en Berln tambin en esa

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poca. En la tabla 3.1 se muestran los valores que se encontraron en el PCA, loscuales se encontraron igualando las fuerzas y momentos internos y externos.

Fig. 3.7c. Tipo de ensayos que se efectuaron en la Cement Prtland Association (PCA).

La Fig. 3.7c muestra los especimenes que se ensayaron en la PCA, dondese someta a los elementos a compresin excntrica, y se hacan variar P1 y P2.Se mantena con deformacin nula la cara inferior.

Tabla 3.1. Parmetros del bloque de tensiones al momento del desarrollo de la resistenciaa flexin de secciones rectangulares encontrados por el PCA a travs de ensayos dehormign no confinado.

Algunas reflexiones que se pueden hacer:

(i) Tal cual se ve en la tabla, y qued manifestado en las curvas de la Fig. 2.5del captulo 2, la deformacin c es funcin de fc y disminuye a medida queaumenta la resistencia del hormign.

(ii) Para los hormigones de ms resistencia, la mxima tensin que se alcanzen los especmenes en el momento de desarrollo de mxima resistenciadado por k3 fc, result levemente menor que la resistencia cilndrica fc.

(iii) Los parmetros kvariaron en funcin de fc(decrecen con la resistencia).

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3.4. BLOQUE DE TENSIONES RECTANGULAR EQUIVALENTE.

Varios investigadores, entre ellos S. C. Whitney, sugirieron el reemplazo dedel bloque de tensiones real de compresin del hormign por uno rectangularequivalente como una simplificacin que se muestra en la Fig. 3.8(b). Para obtenerla resistencia a flexin, slo se necesita de la magnitud (k1k3) y de la posicin,asociada a k2, de la fuerza de compresin del hormign. El bloque rectangularequivalente facilita grandemente los clculos. Esta es la prctica aceptada pelACI-318, y por otras normas como el NZS:3101, ref.[4], y el cdigo ingls CP110,ref.[5]. El ACI en su seccin 10.2.7.1 establece que el rectngulo equivalente tieneuna tensin media de compresin igual a 0.85fc, y una profundidad a, donde larelacin a/c =1 debe tomarse igual a 0.85 para resistencias del hormign fchasta 30 MPa, y para valores superiores responde a esta expresin:

7

)30(05.085.0

'

1

MPafc = (3.9)

pero nunca menor de 0.65(es decir que a partir de fc = 58 MPa, 1 debe tomarseigual a 0.65). La reduccin en el valor de 1para hormigones de alta resistencia esdebida a la forma menos favorable de la curva tensin-deformacin que se vio enFig. 2.5 del captulo2.

Fig. 3.8. Distribucin de tensiones de compresin para seccin rectangular.(a) Distribucin real. (b) Rectangular equivalente.

Estudios llevados a cabo en la Universidad de Canterbury por R. Park yotros, sugirieron que en vez de tomar un valor de tensin de compresin constantede 0.85fc, se debera ajustar con un coeficiente 1, de forma que la tensin mediadebe tomarse como (1 fc), y donde:

1 = 0.85 para fc 55MPa (3.10a)

1=0.850.004 (fc 55) para fc> 55MPa (3.10b)

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De todas maneras impone como lmite inferior el valor de 1=0.75.

Para el reemplazo por el bloque simplificado a rectangular se debe cumplirque su resultante debe ser igual a la que corresponde al diagrama real, y ademsdicha fuerza debe estar ubicada a la misma distancia del eje neutro que cuando setrabaja con el diagrama de compresin real. Por ello se deben cumplir lassiguientes condiciones:

C = k1 k3 fcb c = 0.85 fcb a

Por lo que entonces:k1 k3 = 0.85 a / c = 0.851 (3.11)

y adems:k2c = 0.50 a k2= 0.5 a/c = 0.51 (3.12)

En la Fig. 3.9 se comparan los valores de k1k3 y de k2 dados por lasecuaciones 3.11 y 3.12, substituyendo los valores de 1 sugeridos por el ACI, conlos que corresponden a los ensayos de especmenes de hormign sin confinarensayados en el PCA y por Rsch. Se observa que existe buena correlacin. Ladispersin de resultados muestra adems que el uso de valores ms complicadospara los parmetros del bloque rectangular no garantiza mejores resultados, yadems, no existe necesidad de mejores aproximaciones que las ya logradas. Nose tienen adems muchos datos experimentales para hormigones con resistenciasuperior a los 55 MPa.

3.5. MXIMA DEFORMACIN DEL HORMIGN.

El ACI-318, en su seccin 10.2.3 especifica que la mxima deformacinutilizable en la fibra extrema del hormign sometido a compresin debe tomarseigual a 0.003. Los valores de la deformacin c correspondientes a la mximaresistencia a flexin han sido medidos por varios investigadores.

La Fig. 3.10 muestra los valores obtenidos por el PCA y por Rusch enhormign no confinado. Esta indica que el valor de 0.003 es razonablementeconservativo. Para este valor de deformacin el hormign en compresin no va amostrar como visible fisuras ni desintegracin (por el efecto de Poisson), aunqueese valor de csea bastante mayor al que corresponde a la mxima tensin.

Cilindros de hormign cargados axialmente se van a fisurar bastantecuando la deformacin excede la que corresponde al mximo valor de fc pero enlos ensayos en flexin las fisuras no son visibles hasta que se alcanzan valores dedeformacin grandes, lo cual es atribuido a la presencia de material con menoresesfuerzos por estar ms cercano al eje neutro.

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Fig. 3.9Propiedades de ladistribucin de tensionesde compresin delhormign al desarrollarla resistencia a flexinde una seccinrectangular:comparacin de losparmetros que adopta

el ACI con los resultadosde los ensayos.

Fig. 3.10Deformacin de la fibraextrema del hormign encompresin al desarrollarla resistencia a flexin.Comparacin del valoresdel ACI con los ensayos.

Lo importante de reconocer es que la resistencia a flexin en una viga dehormign armado es bastante insensible al valor que se suponga comodeformacin mxima del hormign en compresin.

La Fig. 3.11 muestra esta aseveracin en forma muy clara, para una vigade hormign simplemente armada (slo con armadura inferior) y con dos cuantasde acero bien diferenciadas. Se grafica la relacin entre el momento resistenteevaluado a partir de una relacin fc-c y el momento evaluado de acuerdo a la

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norma ACI-318 versus la deformacin que en cada caso se toma para ladeformacin del hormign en la fibra extrema en compresin. La ref. 2 explica laforma de evaluar los momentos. Lo importante de notar es que tomando una

deformacin mxima de 0.007para el caso de cuanta =0.005 la disminucin deresistencia fue de apenas el 1%y para =0.025menor del 6%.

Fig. 3.11

Curvas Momento vs.

deformacin para vigasde hormign armadosimplemente armadascon resistencia obtenidasa partir de ensayos sobreprobetas cilndricas.

En consecuencia, la eleccin del valor mximo de c tiene muy poca

influencia en la determinacin de la resistencia a flexin en vigas dentro de unamplio margen. Sin embargo, para columnas sometidas a flexo-compresin quepuedan fallar en compresin, los cambios en los valores de los parmetros delbloque equivalente, que se producen cuando la deformacin de la fibra extremaaumenta, causarn variaciones de consideracin en la resistencia a flexin.

En contraste, es evidente que la curvatura de una seccin depende muchodel valor que se adopte para la fibra extrema. En definitiva, para calcular lacurvatura ltima se podra tomar un valor un poco mayor, y algunos autores, verref. 2, aconsejan tomar como deformacin extrema 0.004para la evaluacin de lacurvatura ltima en secciones de hormign armado no confinado. En el captulo 5,

cuando se trate el tema de columnas, se ver que los valores de la deformacinmxima del hormign pueden ser mucho mayores cuando ste est confinado.

3.6. AREAS COMPRIMIDAS NO RECTANGULARES.

Para miembros en los cuales el rea de hormign comprimido de la seccinno es rectangular, como en el caso de secciones T y L en los cuales el eje neutroest ubicado en el alma, o para elementos estructurales sometidos a flexinbiaxial, no son estrictamente aplicables los parmetros recomendados para elbloque de tensiones equivalentes de hormign. Esto es debido a que serndiferentes tanto la tensin media como la altura del bloque de tensiones para

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3.7. RESUMEN DE LAS SUPOSICIONES Y RECOMENDACIONES PARADETERMINAR LA RESISTENCIA DE SECCIONES SOMETIDAS A

FLEXIN Y CARGA AXIAL. DIFERENCIAS ENTRE NORMAS.(i) Las secciones planas antes de la flexin permanecen planas despus

de aplicada aquella.(ii) Para la distribucin de tensiones de compresin en el hormign se

pueden aplicar los parmetros del bloque equivalente.(iii) La resistencia a traccin de hormign puede ignorarse.(iv) la deformacin del hormign en su fibra extrema en compresin puede

tomarse igual a 0.003.(v) La tensin del acero antes de su fluencia se puede tomar como igual a

la deformacin multiplicada por el mdulo de elasticidad, 2x105 MPa, ypara mayor deformacin mantener el valor de tensin de fluencia.

(vi) Para vigas con secciones comprimidas no rectangulares podranaplicarse los parmetros del bloque equivalente; para columnas consecciones comprimidas no rectangulares debera usarse una curva msrealista.

(vii) El efecto de duracin de carga puede ser ignorado (para msinformacin referirse a ref. 2).

La distribucin de tensiones de compresin en el hormign puede en generaltomarse con cualquier forma siempre y cuando lleve a una prediccin de laresistencia a flexin que sea confiable. As lo indica el ACI-318 en su seccin10.2.6. Por ejemplo, algunas alternativas que se utilizan son las que recomiendael CEB-FIP, o las de las normas DIN-1045 que han sido adoptadas por el CIRSOC201, 1982, tomo II, seccin 17.2.1, ref.10. Las principales diferencias que sepueden mencionar, slo en el aspecto de hiptesis para evaluar resistencias aflexo-compresin, entre el ACI-318 y las normas Europeas (excepto el CP110 delReino Unido) son las siguientes:

(i) Se adopta una parbola de segundo grado hasta una deformacin de0.002 y luego una rama horizontal (tensin constante) hasta 0.0035.Esta norma no da opciones para las relaciones Tensin-Deformacin delhormign ni del acero. La Fig. 3.13 muestra la relacin citada.

Fig. 3.13.Curva de comportamiento delhormign en compresin segnDIN 1045.

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Fig. 3.14. Deformaciones del acero en traccin para determinar cuando la seccin

est controlada por compresin o por traccin. Variacin del factor.

Como se ve, las diferencias de criterios entre las normas del CEB-FIP y lasDIN, y por ende las actuales CIRSOC 201, 1982, ref.10, con respecto a las delACI-318, que son las del CIRSOC 201-2005, no son triviales. Existen an msdiferencias en los criterios de adopcin de factores de carga para solicitacionesltimas (referir a Captulos 1 y 2), y en los criterios de armado, en particularcuantas mnimas y mximas de acero, a los que nos referiremos ms adelante.

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la posicin del eje neutro, o sea se cambia cy se repiten los pasos anterioreshasta verificar la ecuacin anterior. Para aplicar esta ecuacin se debe adoptaruna convencin de signos, por ejemplo traccin negativa y compresin

positiva.

(v) Evaluacin del momento resistente:

El momento resistente, que en este caso debe tenerse muy en cuentasegn lo que se expres en el captulo I (seccin 1.6) es el momento nominal,se puede tomar con respecto a cualquier punto de la seccin. Por ejemplo, sise toma respecto del baricentro de la armadura traccionada resultar:

Mn= Cc(d-a/2) + Cs(d-d) (3.21a)

Sin embargo, si se ha designado con d1, d2,....di, ....dna las profundidadesde las ncapas de armaduras, distancias medidas desde el borde comprimido,lo comn es encontrar el momento nominal como:

2/aCdCdTM cc

isi

t

isin = (3.22b)

siendo dti las distancias di de las barras traccionadas y dci las distancias de lasbarras comprimidas, Ts las fuerzas de traccin de las armaduras y Cs las decompresin, y Ccla resultante de compresin del hormign.

(vi) Si se debe disear la seccin de hormign armado contra undeterminado valor de demanda, Momento Requerido Mr o Momentoltimo, Mu, entonces se debe cumplir que:

Md=Mn Mr = Mu (3.23)

Si esta condicin no se cumple, se deber aumentar la resistencia de laseccin, por ejemplo, aumentando la cantidad de armadura, o bien la seccinde hormign, o bien ambas.

La importancia de seguir este procedimiento iterativo se resume en que:

(a) Es independiente de la cantidad de capas de acero, sean encompresin o en traccin, que se dispongan en la seccin.(b) Es independiente de la forma de la seccin de hormign:

pueden ser secciones rectangulares, en L, en T, o de cualquierforma. Slo debe verificarse, en funcin de la profundidad deleje neutro, la forma correcta de evaluar Cc.

(c) Va a ser fcilmente generalizada para flexo-compresin, con elslo agregado de la fuerza axial actuante P, por lo que laecuacin 3.20 toma esta forma:

Cc+ Cs+ T = P (3.20b)

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(d) Permite la evaluacin de la curvatura para el estado ltimo poraplicacin de la ecuacin (3.1), es decir:

( )

d

scuu

+= (3.24)

(e) Es un procedimiento fcilmente programable, que puederesolver la casi todos los casos prcticos de flexo-compresin,sin necesidad de usar tablas y bacos que adolecen de la faltade generalidad ac planteada.

(f) Permite la generalizacin para cualquier estado dedeformacin: baste con fijar la deformacin de referencia yaplicar los pasos en consecuencia. Por ejemplo, para elestado en que el acero en traccin comienza a fluir, se imponeen esa capa que s =y y en este caso se deja libre ladeformacin por compresin del hormign que resultar de lasnecesarias iteraciones hasta lograr el equilibrio. Se obtiene eneste caso My.

(g) Si se evala para el estado de primer fluencia en traccin,tambin se puede obtener la curvatura de fluencia, y, como larelacin entre la deformacin del hormign resultante en sufibra extrema dividida por la profundidad de eje neutro.

(h) En definitiva permite entonces obtener la ductilidad decurvaturas, por aplicacin de la ecuacin 3.6.

(i) Al incluir diferentes valores de carga axial P se puedenobtener los diagramas de interaccin para flexo-compresin.

(j) Permite transformar un procedimiento de diseo rpidamenteen uno de anlisis, sin necesidad de resolver ecuaciones salvolas de equilibrio bsico.

(k) Por ltimo, y no menos importante, permite al diseadorcontrolar lo que est haciendo sin perder de vista el conceptofsico. Las tablas muchas veces tienen coeficientes deseguridad incluidos que a veces no son percibidos por eldiseador. Adems, y ocurre en muchos casos en particularen flexo-compresin, la combinacin M-N puede no sercontemplada por la tabla disponible.

3.9 DISEO A FLEXIN CON FRMULA APROXIMADA.

Tal cual se expres anteriormente, la resistencia a flexin cuando no existeesfuerzo axial, para una seccin de hormign armado determinada, depende casiexclusivamente de la cantidad de armadura que est en traccin, es decir de lacomponente Ts. Por otro lado, cuando la seccin alcanza su estado de resistencianominal, es decir el hormign estalla por compresin, la profundidad del eje

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situacin que en la realidad casi nunca se da pues toda viga tiene al menos doscapas de armaduras, una inferior y otra superior.

La Fig. 3.16 muestra los esquemas necesarios que antes se explicaronpara analizar la viga en el estado lmite ltimo, es decir seccin transversal condimensiones y armaduras, distribucin de deformaciones, distribucin detensiones y ubicacin de fuerzas axiales resultantes.

La condicin de falla balanceada se alcanza cuando simultneamente elacero fluye en traccin, es decir s=y, y en su borde ms comprimido el hormignalcanza su mxima deformacin, es decir c= 0.003. La ecuacin decompatibilidad, para el caso de una viga simplemente armada como la de Fig.3.15, est dada por:

b

bsyy

c

cdEf ==

003.0

/

003.0

donde cbes la profundidad del eje neutro para el estado de falla balanceada, por loque entonces:

dfE

Ec

ys

sb

+=

003.0

003.0(3.27)

La altura adel bloque de tensiones equivalente es:

dfE

Ea

ys

sb 1

003.0

003.0

+= (3.28)

donde ab es la profundidad del bloque de tensiones equivalentes para el caso defalla balanceada. La condicin de equilibrio indica que C = T, es decir:

0.85 fc abb = As . fy=b . b . d . fy

b= As/bd representa la cuanta de armadura en traccin que provoca la falla

balanceada. En consecuencia, para que ocurra este tipo de falla se debe cumplirque:

df

a'

f.

y

bcb

850= (3.29a)

Sustituyendo la ecuacin 3.28 en 3.29a, resulta:

ys

s

y

bcb

fE

E

df

a'

f.

+=

003.0

003.0850 (3.29b)

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Substituyendo el valor de Espor el estipulado por el ACI-318 para el acero eigual a 200000MPa, resulta:

yy

cb

ff

'

f.+

=600

600850 1 (3.30)

Se ve entonces que la cuanta balanceada depende de las caractersticasmecnicas de los materiales hormign y acero. Para el caso particular de nuestrosaceros, ADN-420, con fy = 420 MPa, y para hormigones con fc55MPa, para loscuales 1 = 0.85, y viga simplemente armada, resulta:

b= 0.001 fc (3.31)

lo cual implica que, por ejemplo, para un hormign de fc= 20 MPa la cuantabalanceada es del orden del 2 %. As entonces, si la viga fuera de b=20 cmconaltura til de d=50 cm, la cantidad de armadura de traccin para falla balanceadasera de 20 cm2(aproximadamente cuatro barras de 25 mmde dimetro).

Fig. 3.17

Perfiles de distribucin dedeformaciones de unaseccin al desarrollo de laresistencia a flexin enfuncin de la cantidad dearmadura en traccin.

En definitiva, el tipo de falla va a depender de si la cuanta est por debajoo por encima del valor de b. La Fig. 3.17 muestra los perfiles de deformacin deuna seccin cuando se alcanza la resistencia a flexin para tres contenidos deacero en traccin. Estos tienen asociados diferentes profundidades de eje neutro.Las tres condiciones son:

(i) Si y, por lo que fs= fyy correspondea una falla primaria por traccin (fluencia del acero antes que rotura porcompresin del hormign). La ductilidad de curvaturas, ecuacin 3.6, es > 1.0.

(ii) Si >b, entonces es c > cb, es decir s

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En la regin donde la falla primaria es por compresin el incremento delmomento de resistencia al aumentar el rea de acero es extremadamente

pequeo porque tanto las tensiones en el acero como el brazo elstico disminuyencon el incremento de acero.

Fig. 3.19

Resistencia a laFlexin de la seccinde una vigasimplemente armadacon distintoscontenidos dearmadura detraccin.

3.11 CUANTAS MXIMAS Y MNIMAS DE FLEXIN. REDISTRIBUCINDE ESFUERZOS.

En base a lo tratado en el punto anterior, es claro que si se deseacomportamiento dctil, lo cual as debera ser an para cargas verticales, lacantidad mxima de acero en traccin debera ser bastante menor que la quecorresponde a la falla balanceada. Es por ello que el ACI-318-95, seccin 10.3.3deca que en elementos sometidos a flexin o a flexin con poco esfuerzo decompresin (se aclarar ms adelante este lmite de axial) la cuanta de armadura

proporcionada no debera exceder el 50 %de la que producira falla balanceadaen la seccin sometida a flexin sin axial. La nueva versin ACI-318-2005,especifica que en general la cuanta no debe superar el 75 %de la balanceada,pero si se disea con redistribucin de esfuerzos el lmite vuelve a ser el del 50 %.Esto queda expresado en la tabla 3.2 y la Fig. 3.20.

En diseo ssmico es importante tener la posibilidad de redistribuiresfuerzos. En estos casos el requerimiento de ductilidad es imprescindible y debeasegurarse en forma total. Por ello, la misma norma ACI-318, en su seccin 8.4.3especifica que la redistribucin de los momentos negativos debe hacerse slocuando la seccin en la que se reduce el momento se disee de forma tal que o

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(- ) no sean mayor que (0.5b). La cuanta balanceada est dada por laexpresin 3.28 y siendo la cuanta de la armadura en compresin.

Fig. 3.20.Modelo decomportamientoen flexin para elestado de roturapermitido por elACI-318.

Tabla 3.2 Comparacin de criterios de cuanta mxima del ACI-318 versin 1999 vs. 2005.

Versin anterior Versin 2005

cuanta c/d t observaciones=b 0.6 0.002 Falla Balanceada

= 0.75b 0.4440.00375, peroadopta 0.004

Limitacin engeneral

= 0.50b 0.286 0.0075Limitacin para

aceptarredistribucin

La Fig. 3.21 muestra congestin de armaduras longitudinales en una unin

viga-columna y deficiencia, a la vez que escasez, en el detalle de los estribos. Eneste caso la cuanta de armadura longitudinal superior es del orden del 2%.

El requerimiento de imponer un lmite mximo a la cuanta de acero entraccin es necesario adems en vigas de prticos dctiles, que deben serdiseadas por capacidad, si tienen niveles excesivos de armaduras de flexin, nosolamente pueden llegar a provocar congestiones de armaduras en las unionescon las columnas (ver Fig. 3.21) sino que tambin los requerimientos dearmaduras de corte resultantes impondrn cantidades de armaduras transversalque en la prctica resultarn difciles de ubicar y de detallar para que trabajen enforma correcta (la deficiente ejecucin de los estribos es un tpico en obras).

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Fig. 3.21 Congestin de armaduras enuna unin viga-columna de hormign armado.Note que an faltan colocar los hierros de la

viga transversal que tambin debe atravesar alnudo. Observar que los extremos de los estribosno estn doblados con ganchos a 135 hacia elinterior del ncleo de hormign por lo que nopodrn impedir el pandeo de las barraslongitudinales si stas son sometidas a fuertescompresiones.

En definitiva, los lmites de cuanta mxima, para acero ADN-420, y enreferencia a la expresin 3.31, son los siguientes:

(i) sin redistribucin de esfuerzos:

0.00075 fc + (3.32)

(ii) con redistribucin de esfuerzos:

0.0005 fc + (3.33)

Similares lmites y bajo los mismos fundamentos impone la normaNZS:3101 en su seccin 8.4.2 (ver norma y comentarios). Note que de la tabla 3.2se deduce que slo es posible redistribucin de esfuerzos si la relacin c/d escercana a 0.30o si la deformacin de traccin del acero ms lejano supera el valorde 0.75 %. Note las diferencias con las normas DIN.

El ACI-318, en su seccin 8.4.1 permite que, excepto cuando losmomentos han sido obtenidos por mtodos aproximados (tablas, por ejemplo), losmomentos en los apoyos continuos solicitados a flexin obtenidos a partir de lateora elstica sean incrementados o disminuidos en no ms de (1000t) en (%),para cualquier distribucin de cargas, con un valor mximo del 20 %. Por ejemplo,si t= 0.01 (1%), los momentos no podrn variarse en ms del 90 %. Si t= 0.025(2.5%), los momentos no podrn variarse en ms del 80 %, pero si t= 0.006(apenas 0.6%), los momentos no podrn ser redistribuidos en ninguna proporcin.

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La misma norma especifica en su seccin 10.5.3 que, siempre y cuando elelemento estructural no est controlado por condicin de ductilidad, los requisitos

de cuanta mnima no necesitan ser aplicados si en cada seccin la armadurasuministrada es al menos 1/3superior a la requerida por anlisis.

Para secciones T, en estructuras isostticas, con ala en traccin el ACI-318,seccin 10.5.2 toma otros lmites mnimos que se analizarn a continuacin. Parael caso de vigas L y T, estticamente determinadas dice el CIRSOC201 y el NZSen 8.4.3.2, con el ala en traccin se debe reemplazar a bw por (2bw), lo cual enforma efectiva quiere decir que la cuanta debe ser mayor que:

y

c

f

f 1

2

(3.36a)

yf

8.2 (3.36b)

Estos incrementos para vigas con ala en traccin se hacen porque el momentode fisuracin en esos casos ser substancialmente mayor que para la seccinrectangular o bien la misma seccin bajo momento positivo. En estos casos, claroest, el contiene las armaduras de traccin que estn en las alas. Serecomienda al lector que analice esta situacin de vigas T para poder comprender

el porqu de las ecuaciones (3.36a) y (3.36b). Ver Apndice A de este apunte.

3.12 REQUISITOS ADICIONALES PARA DISEO SISMO RESISTENTE.

(i) Para el caso de combinacin con sismo, el proyecto INPRES CIRSOC-103, ref.11, establece, al igual que el NZS, ref.4, que en zonaspotenciales de rtula plstica:

y

c

f

f

6

10 + (3.37a)

025.0 (3.37b)

En el caso de fc= 21 MPa= 0.21 ton/cm2 y fy= 420 MPa= 4.20 ton/cm2 lacuanta mxima no debe superar 0.0123, es decir el 1.23 %. Note que si se aplicael concepto para una viga simplemente armada, es decir slo con armadura detraccin (irreal pero sirve como referencia), tal cual se vio en la ref.[2] en ecuacin(3.27), hubiera resultado:

001.0 cf =0.001x21= 0.021

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traccin. Por ejemplo, si fuera cc= 30mm y fy= 420 MPa, por lo que fs= 252 MPa, laprimera de las ecuaciones dara que s302 mm, por lo que se adopta 300 mm.Esta limitacin no es vlida para ambientes muy agresivos.

(b) Para vigas L y T con ala en traccin, parte de la armadura de traccin porflexin se debe disponer dentro del ancho efectivo be segn se determincomo ancho efectivo en compresin, o en un ancho 1/10de la luz, el quesea menor. La Fig. 3.22 muestra el requerimiento. Si be>l/10 se debedisponer alguna armadura longitudinal en las zonas externas del ala. Elreglamento NZS hace la misma consideracin, pero en vez de tomar comosegundo ancho de control l/10toma el que resulta de la Fig. 3.23.

Fig. 3.22Distribucin de Armadura en Alas para Momentos Negativos en Vigas L y T.

Fig. 3.23Seccin efectiva de las vigas: ancho de losa a considerar.

Sin embargo, en forma clara la NZS, en seccin C.8.3.2.4, y el IC-103-05,aclararan que el 75 %de Asdebe pasar por el ncleo de la columna.

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Fig. 3.25.Seccin en T de una viga de hormign armado al alcanzarSu resistencia a flexin.

Pueden presentarse los dos casos que se ilustran en la Fig. 3.25. En elprimero, el ms comn, el eje neutro c< hf y el clculo es idntico al de la seccinrectangular, con el ancho de la zona comprimida igual a b, ancho del ala. En elsegundo caso, si c>hf, la resultante de las fuerzas de compresin acta en elcentroide del rea comprimida con forma de T. Pero los principios fundamentalesno cambian y se sigue usando el bloque de tensiones equivalentes. Para laevaluacin de las resultantes de compresin parciales, por ejemplo, se puededividir el rea comprimida en un rectngulo de ancho bwy altura a, y un rectngulocon ancho (b-bw) y altura hf.

Una de las decisiones a tomar tanto en el diseo como en el anlisis de

secciones en L y T es el que corresponde al valor del ancho efectivo b. Adems sedebe tener en cuenta la muy diferente situacin de tener a la seccin T bajomomento positivo que cuando est con la traccin en el ala por momento negativo.

Se distinguen adems los casos en que se quiera evaluar la resistencia o larigidez del elemento estructural en estudio. Note que casi nunca la distribucin demomentos es constante a lo largo del elemento, por lo que las caractersticascambian seccin a seccin.

A esto se refieren las secciones siguientes.

3.14.2 ANCHO EFECTIVO EN VIGAS T.

3.14.2.1 Ancho efectivo en compresin.

Cuando una losa de hormign armado y sus vigas soportes son construidasen forma monoltica, lo cual es prctica comn y se mostr en la Fig. 3.1, estoselementos van a trabajar en conjunto. La Fig. 3.26 muestra un esquema delsistema losa, viga y columnas, que es lo que el diseador debe contemplarsiempre, es decir, la concepcin en 3D del problema a resolver.

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Fig. 3.26

Esquema tri-dimensional de launin viga-losa-columna en unaConstruccin monoltica.

Cuando la viga est sometida a momento positivo, tal cual se vio en laseccin anterior, parte de la losa va a trabajar como el ala de la viga para resistir lacompresin longitudinal que equilibre las fuerzas de traccin que se generan enlas armaduras de traccin ubicadas en el alma de la viga.

La Fig. 3.27 muestra un esquema, ref.[2], de losas y vigas bajo momentopositivo, con cierta cantidad de armadura de traccin en la zona inferior. Si ladistancia entre las vigas es grande es evidente que la teora de flexin simple noes aplicable en forma estricta ya que, tal cual se esquematiza en la figura, lastensiones longitudinales de compresin en el ala cambian con la distancia desde elalma de la viga. Se ve cmo las tensiones son mayores en las zonas cercanas alalma y disminuyen hacia el plano paralelo a los nervios y ubicado entre ellos. Estareduccin es debida a las deformaciones de corte en el ala.

Fig. 3.27Ancho efectivo de una viga T para momento positivo.

La distribucin real de las tensiones de compresin en las alas de la viga enel rango elstico puede ser evaluada utilizando la teora de la elasticidad, y elladepender de las dimensiones relativas de la seccin transversal y la luz y del tipode carga. Cuando se est por alcanzar la resistencia a flexin, la distribucin detensiones de compresin a travs del ala ser ms uniforme que el que se obtiene

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de la teora elstica. Esto es debido a que cerca de la tensin mxima decompresin la curva f- del hormign muestra una variacin de la tensin con ladeformacin que es menor que en el rango desde 0 a fcmx..

La losa generalmente va a estar flexionada transversalmente debido a lascargas que debe transferir a las vigas. Esto causar fisuracin en la cara superiordel ala en secciones paralelas y sobre la unin alma con ala. Sin embargo, laarmadura transversal en la losa y la friccin por corte a lo largo de las fisuraspermitirn la transferencia de esfuerzos desde el nervio hacia las alas.

A los efectos del diseo, para tener en cuenta la variacin de las tensionesde compresin en el ala, es conveniente el uso de lo que se llama un anchoefectivo que puede ser menor que el ancho real pero sobre el que se consideraque acta una tensin longitudinal de compresin constante.

El cdigo ACI-318, en su seccin 8.10.2, estipula que el ancho efectivodebe ser el menor entre los siguientes tres valores:

(i) b < l/4 (3.40a)(ii) b < bw+ 16hs (3.40b)(iii) b < bw + lny (3.40c)

siendo:

l = luz de la viga.bw= ancho del nervio de la viga.hs= altura de la losa.lny= distancia libre al siguiente ala.

Para el caso de que las vigas tengan losa de un solo lado, seccin 8.10.3del ACI, las restricciones son:

(iv) b < bw + l/12 (3.41a)(v) b < bw+ 6hs (3.41b)(vi) b < bw + lny/2 (3.41c)

En la Fig. 3.28 se muestra un resumen de los anchos efectivos para ala encompresin que son sugeridos en la ref. [3] y que son los adoptados por la normaNZS:3101, ref.[4]. Se ve que el criterio es idntico al del ACI, y adems seagregan los anchos efectivos que dichas referencias sugieren tomar para lacontribucin de las losas en la evaluacin de la rigidez de las vigas. Estos ltimosson necesarios para llevar a cabo la modelacin de la estructura y de all obtenerlas demandas de esfuerzos.

Se ve que para la contribucin a la rigidez en vigas T y L se tomaprcticamente un 50 %de los valores que se toman para resistencia. Esto es para

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tener en cuenta la reversin de momentos que ocurren en las uniones viga-columna y a la menor contribucin de las alas en traccin a la rigidez a flexin.

Por ello se recomienda que para acciones que incluyen el sismo, el anchoefectivo de contribucin de ala para la rigidez sea del 50 %del que normalmentese adopta para diseo por resistencia para cargas gravitatorias.

Fig. 3.28.Resumen de anchos Efectivos de las en compresin (M+) sugeridos por ref.[3]para resistencia y rigidez

3.14.2.2 Ancho efectivo en traccin.

En el diseo para cargas gravitatorias, la contribucin para la resistencia enflexin de la armadura de la losa adyacente y paralela a las barras traccionadasubicadas en la parte superior del nervio de la viga (momento negativo) ha sidotradicionalmente ignorada. Este criterio, para cargas verticales no afecta laseguridad de la estructura. Sin embargo, en diseo sismorresistente la historia

puede ser diferente. El hecho es que parte de la armadura que pertenece a unalosa construida ntegramente in situ con la viga, va a participar en la resistencia delos momentos negativos en los apoyos. Es importante establecer en forma real lacontribucin de la armadura efectiva de traccin que debe ser considerada en laresistencia con el objeto de:

(i) Hacer economa sobre la cantidad de acero que se coloca sobre el nerviode la viga.

(ii) Evitar congestiones de acero como las que se mostr en la Fig. 3.21.

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(iii) Estimar de la forma ms aproximada posible la verdadera resistencia de lasvigas a flexin a los efectos de proteger la misma viga en forma efectivacontra esfuerzos de corte y contra la potencial rotulacin de las columnas

que aportica.

La participacin de las armaduras de las losas en la resistencia a flexin delas vigas ha sido observada por varios autores a travs de muchos experimentos.Sin embargo, es difcil estimar la cantidad efectiva de armadura de losa que puedeparticipar en la resistencia. Son varias las razones que alimentan estaincertidumbre. En primer lugar, la extensin de acero de losa movilizado serfuncin de la magnitud de las deformaciones inelsticas inducidas por el sismo.

Cuanto mayor sea la rotacin plstica impuesta en las zonas adyacentes alas uniones viga-columnas, mayor es el ancho efectivo en traccin movilizado. En

segundo lugar, las fuerzas de traccin de las barras de la losa deben sertransferidas a travs de las vigas a la unin de stas con las columnas. Por lotanto la contribucin va a depender de cmo se den las condiciones de anclaje.Por ejemplo, la efectividad de barras cortas colocadas en la cara superior de lalosa para resistir momentos negativos debidos a cargas gravitatorias inducidossobre una viga transversal decrece rpidamente con la distancia desde el nudo.En tercer lugar, la efectividad de las barras de las losas dependen de la presenciao ausencia de vigas transversales.

Para ser consistente con la filosofa de diseo por capacidad, la resistenciaa flexin de las vigas debera evaluarse con dos niveles de participacin de las

losas. Para evaluar la resistencia nominal, que da origen a la resistencia de diseoo confiable, deliberadamente se debera subestimar la participacin del anchotributario de losa en traccin (esto dara un lmite inferior). Por el contrario, paraevaluar la sobre resistencia de la seccin crtica de una zona potencial plstica, sedebera considerar el mximo probable ancho efectivo. Sin embargo, la ref. [3]manifiesta que debido a las incertidumbres involucradas, una sofisticacin paradiferenciar anchos efectivos en traccin para resistencia confiable y sobreresistencia no garantiza mejor precisin en los resultados.

En consecuencia, sugiere tomar un ancho de compromiso que sea elmismo para ambos niveles de resistencia. Los factores de reduccin de capacidad

(1) harn la diferencia para el diseo y/o anlisis.

La norma NZS:3101, en su seccin 8.5.3.3, y el IC-103-2005, especificanque el ancho efectivo en traccin ser funcin de:

(i) Condiciones de borde de la losa.

(ii) Nivel de ductilidad estructural impuesto.

(iii) Condiciones de anclaje de las barras dentro del ancho potencial entraccin.

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La citada norma adems especifica que se permite incluir las barrasdentro del ancho efectivo en traccin para evaluar la resistencia de diseo, pero

obliga a incluirlas cuando se requiere cuantificar la sobre resistencia.

Fig. 3.29Anchos efectivos de alas traccionadas de vigas con momentos negativos parasistemas de entrepisos monolticos. Norma NZS:3101.

La Fig. 3.29 ilustra la forma de interpretar los criterios que define la normaNZS:3101 para determinar el ancho efectivo en traccin, designado como be, quedebe ser el menor entre los siguientes casos:

(a) Un cuarto de la luz de la viga bajo consideracin, extendindose donde existalosa a cada lado del centro de la seccin de la viga.

(b) Mitad de la luz de una losa, transversal a la viga en consideracin,extendindose donde exista losa a cada lado del centro de la seccin de laviga.

(c) Cuando la viga es perpendicular al borde de la losa y se aportica a unacolumna exterior, y en la unin est presente una viga transversal, se toma uncuarto de la luz de la viga transversal hacia cada lado desde el centro de laviga.

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(d) Idem caso anterior pero no existe la viga transversal de borde de losa, unancho de columna hacia cada lado del centro de la viga.

La citada norma a su vez especifica que tanto las barras de la losa ubicadas encara superior e inferior, paralelas al nervio de la viga, pueden ser consideradascomo efectivas si estn dentro del menor de los lmites antes descriptos y a su vezestn correctamente ancladas. Para esto exige que las barras tienen quedesarrollar su resistencia a traccin, tal cual se ilustra en la Fig. 3.30, dentro deuna zona de la losa que se llama de anclaje efectivo. Esta zona se determina atravs de una lnea que se inicia en el centro de apoyo de la columna y seextiende con ngulos de 45 hacia ambos lados del eje longitudinal de la viga. Elextremo de la barra debe quedar dentro de dicha zona, y a su vez la longitud deanclaje se debe contar a partir de la lnea a 45antes descripta.

Fig. 3.30Determinacin del nmero de barras de las losas dentro del ancho efectivoen traccin que estn efectivamente ancladas y que pueden tomarse como activas en la

resistencia a momentos negativos. Norma NZS:3101.

El cdigo ACI-318 no contiene estas especificaciones para ancho efectivo en

traccin. En su seccin 10.6.6 solamente establece que cuando las alas de lavigas T estn sometidas a traccin, parte de la armadura de traccin por flexindebe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala, determinado segn se vio en laseccin anterior (ancho efectivo en compresin) o un ancho igual a 1/10de la luzde la viga, debiendo tomar el menor valor.

Segn figura en sus comentarios, el espritu de esta prescripcin no es elmismo que el de la norma NZS. En el ACI se hace mencin al necesario controldel agrietamiento que se puede dar si el espaciamiento de las barras en las alases excesivo. Adems, en su seccin 8.10.5 el ACI especifica que se debe disponer

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de armadura perpendicular a la longitudinal, que dicha armadura debe resistir lacarga mayorada y actuando el ala en voladizo, y que la separacin de la armaduratransversal no debe exceder 5veces el espesor de la losa ni 500 mm.

Fig. 3.31. Estudios de Leonhardt sobre incidencia de la colocacin de las armadurasen las alas en la fisuracin para cargas gravitatorias.

El texto de F. Leonhardt, ref. [6], tomo III, seccin 9.4, muestra claramente, verFig. 3.31, las ventajas de colocar gran parte de la armadura de traccin biendistribuida en las alas. Este texto recomienda incluso colocar entre un 40 a 80 %de la armadura necesaria para momento negativo dentro de las alas de la losa. Eltexto menciona que las normas DIN 1045 sugiere la distribucin en forma uniformede dicha armadura dentro del 50 %del ancho efectivo, segn se ilustra en Fig.3.32.

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que son frecuentemente similares o casi iguales. Esto es particularmente cierto si,a los efectos de mejorar la eficiencia del diseo, se ha resuelto llevar a cabo unaredistribucin de los momentos que fueran derivados de la suposicin en el

anlisis estructural por un comportamiento puramente elstico del prtico.

Fig. 3.34. Efecto de la distribucin de la armadura longitudinal en la resistencia aflexin.

Cuando la resistencia a momento positivo y negativo es la misma, hay pocadiferencia en la capacidad a flexin dada por secciones de vigas que estnarmadas sea por la configuracin tradicional o la que ac se propone distribuidaverticalmente en las caras laterales. Esto se puede corroborar por inspeccin de laFig. 3.34a que muestra una viga con armadura longitudinal total Ast y tensin defluencia fy. Para casos tpicos de contenidos o cuantas de armadura longitudinalde traccin, t=Ast/bh, cuando se alcanza la resistencia a flexin, el eje neutro yacemuy cerca de la cara superior comprimida del hormign y por lo tanto casi todo elacero distribuido verticalmente en la Fig. 3.34b tiene la posibilidad de entrar enfluencia por traccin. En consecuencia, y como se muestra en la Fig. 3.31, las

fuerzas resultantes para el caso de armadura distribuida, con un brazo de palancacasi mitad, son aproximadamente el doble que en el caso de armado tradicional.Por lo tanto, las resistencias a flexin deberan ser muy similares en ambos casos.

Los estudios analticos y experimentales que se llevaron a cabo, se puedenconsultar con ms detalle en la referencia citada. La Fig. 3.35 muestra unarepresentacin de la resistencia a flexin expresada adimensionalmente paravigas con armadura concentrada y distribuida en funcin de los contenidos dearmadura y caractersticas de los materiales. En este caso se trabaj con fc27.5MPa, y una deformacin ltima del hormign de 0.003.

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3. Para el caso de vigas T y L, en las cuales las alas se construyen ntegramentecon el alma, las limitaciones de las ecuaciones 3.39a y 3.40a se pueden

ampliar hasta en un 50 % (o sea hasta 37.5 y 22.5respectivamente), pero lasecuaciones 3.39b y 3.40b no se modifican. Se tiene en cuenta en este caso larestriccin que al pandeo impone el ala. Las limitaciones se ilustran en laFig.3.39.

Fig. 3.39. Limitaciones Dimensionales de los Elementos Estructurales s/NZS:3101.

4. El ancho de la cara en compresin de un miembro de seccin rectangular, T oL no debe ser menor de 200 mm. La ref. [3] no est de acuerdo en estalimitacin y aclara que es mejor relacionar a los elementos con sucomportamiento. Por ejemplo, la divisin de designacin entre columnas ytabiques suele ser tema de conflicto. Tal vez, aclara, lo mejor es establecerlimitaciones en funcin del nivel de tensiones de corte inducidos durante elterremoto.

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3.19 APNDICE C.EJEMPLOS DE ANLISIS SECCIONAL DE VIGAS. MOMENTO vs.CURVATURAS.

Datosde Vigas:(i) Dimensiones:

Ancho de viga: 20 cmAltura total de viga: 40 cmRecubrimiento a estribo: 2 cm.

(ii) Caracterstica de Materiales.Hormign H27 MPafc 27

= Resistencia a compresin

MPafr 60.3277.0 == Mdulo de ruptura a flexin.

MPaEc 24400274700 == Mdulo de Elasticidad.

Acero ADN420Caractersticas segn Cdigo

MPafy 420= Tensin de fluencia especificada.

MPaEs 200000= Mdulo de Young.

Caractersticas Reales:Ver Apunte Hormign I, Unidad 2, Curva de aceros.

MPafy 500= Tensin de fluencia medida.

0025.0=y Deformacin de Fluencia.

0075.030025.0 == xsh Deformacin al inicio de endurecimiento.

MPaEs 200000= Mdulo de Young.

MPaEsh 10000= Mdulo de Elasticidad al inicio de endurecimiento (5%de Es).

MPafmx 800= Tensin Mxima.

%1414.0 ==mx Deformacin para la Tensin Mxima.

Resultados del Anlisis Seccional. Unidades en ton y cm.1. Dimetro 12 mm.

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(a) Acero Especificado segn Cdigo.concrete

FR FIC B1 E0 ECR EC

.0360 .2700 .8500 .0022 .0030 244.00

steelYYS SY SESH ES ESH EUS FU4.20 .002100 .010 2000.00 100.00 .200 4.20

section dimensionsB H

20.00 40.00

steel layers

N D A1 3.5000 2.26002 36.5000 2.2600

"UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS"EFFECTIVE AREA = 800.00TRANSFORMED AREA = 832.53CENTROID CENT = 20.00MOMENT OF INERTIA = 115522.70

TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN

-.00015 .00015

layer steel STRAINS steel STRESSES1 .00012 .2432 -.00012 -.243

CRACKING MOMENT = 207.94CRACKING CURVATURE = .0000074

" ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING "

MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO.0004537 .099 .37

layer number steel STRAINS steel STRESSES1 .00021 .4182 -.00210 -4.200

FIRST YIELDING STAGE RESULTSMOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS-320.88 .0000700 6.48

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1. Dimetro 16 mm.(a) Acero Especificado segn Cdigo.


steel layersN D A1 3.5000 4.00002 36.5000 4.0000

"UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS"EFFECTIVE AREA = 800.00TRANSFORMED AREA = 857.57

CENTROID CENT = 20.00MOMENT OF INERTIA = 122341.10

TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN-.00015 .00015


CRACKING MOMENT = 220.21

CRACKING CURVATURE = .0000074

" ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING "MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO

.0006088 .128 .47


FIRST YIELDING STAGE RESULTS

MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS-557.45 .0000742 8.20

"ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS"TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%)

.50 .50

steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES1 .00024 .4862 -.02575 -4.201

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NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTIONmoment moment factor-582.49 -524.24 0.90

NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE3.81 .000788

"MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS"===========================================limit moment curvature momentstate increase

---------------------------------------------------------uncraked 220.21 .000007 -yield 557.45 .000074 2.53

nominal 582.49 .000788 1.04===========================================

CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 10.61

(b) Acero 16 mm con Curva Real.


steel layersN D A

1 3.5000 4.00002 36.5000 4.0000






.0007359 .150 .55

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.50 .50

steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES1 .00077 1.539

2 -.02026 -6.120



"MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS"=============================================

limit moment curvature momentstate increase

---------------------------------------------------------uncraked 220.21 .000007 -yield 663.07 .000089 3.01nominal 835.30 .000637 1.26

=============================================CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 7.19

1. Dimetro 20 mm.

(a) Acero Especificado segn Cdigo.steel

YYS SY SESH ES ESH EUS FU4.20 .002100 .010 2000.00 100.00 .200 4.20

steel layersN D A1 4.0000 6.28002 36.0000 6.2800

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"UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS"EFFECTIVE AREA = 800.00TRANSFORMED AREA = 890.39

CENTROID CENT = 20.00MOMENT OF INERTIA = 129806.70



CRACKING MOMENT = 233.65

CRACKING CURVATURE = .0000074


.0007839 .157 .58


FIRST YIELDING STAGE RESULTS

MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS-845.88 .0000801 9.79


.79 .79

steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES1 .00057 1.1332 -.01890 -4.201



"MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS"====================================limit moment curvature momentstate increase

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steel layersN D A1 4.0000 9.8200

2 36.0000 9.8200






.0012066 .214 .79

layer number steel STRAINS steel STRESSES1 .00079 1.5892 -.00250 -5.000



1.23 1.23

steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES1 .00131 2.6242 -.01219 -5.448

NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTIONmoment moment factor

-1738.92 -1565.03 0.90

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"MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS"==============================================limit moment curvature momentstate increase

---------------------------------------------------------uncraked 257.13 .000007 -yield 1548.32 .000103 6.02ultimate 1738.92 .000422 1.12

==============================================CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 4.10

Diagramas Momento vs. Curvaturas para todos los casos analizados.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 200 400 600 800 1000 1200

curvaturas 1/cm x(10)-6

Mom

entosTcm

D12-420

D12-REAL

D16-420

D16-REAL

D20-420

D20-REAL

D25-420

D25-REAL

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3.20 APNDICE D.Tablas con frmulas tiles para clculo de reas y baricentros.

(fuente: Mechanics of materials. E.P. Popov. Prentice-Hall. 1957)

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