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Tablas de pertenencia

Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado

TABLAS DE PERTENENCIA


Una técnica para probar igualdades entre conjuntos es la

tabla de pertenencia. Se observa que para los conjuntos

A y B ⊆ U , un elemento x ∈ U cumple exactamente una de

la cuatro situaciones siguientes:

a) x ∉ A, x ∉ B; b) x ∉ A, x ∈ B; c) x ∈ A, x ∉ B;

d) x ∈ A, x ∈ B.

Asignando el valor de verdad 1 (verdadero) si x ∈ A y 0

(falso) si x ∉ A quedan determinadas cuatro regiones en el

Universal de acuerdo con la siguiente tabla:

REGIONES DEL UNIVERSAL

x A x B Región

0 0 (1)

0 1 (2)

1 0 (3)

1 1 (4)

A B

(1)

(3) (4) (2)

U


¿Cuántas operaciones tenemos para dos conjuntos?

Como son dos conjuntos tenemos 4 entradas posibles por lo que la cantidad de operaciones que se pueden definir son:

24 = 16

La tabla siguiente nos muestra las 16 operaciones posibles


Operaciones entre dos conjuntos:

A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

(A B)A BA B A B ABA-B B-A A B (A B)(B-A) )(A-B UA

A B

B

Conjunto vacíoIntersección

AB: Región (4)

Identidad

Conjunto A: Regiones (3) (4)

Unión AB : Regiones (2) (3) (4)Complemento de la Unión

Región (1)

Complemento de laIntersección

Regiones (1) (2) (3)

UniversalRegiones (1) (2) (3) (4)

Complemento

: Regiones (1) (2)A

A BA BA BA BA B

U


(3) (4) (2)

(1)

Complemento de la Diferencia Simétrica

Regiones (1) (4)A B

Complemento de la Diferencia:

: Regiones (1) (2) (4)(A-B)

Diferencia Simétrica Regiones (2) (3)

DiferenciaA-B Región (3)

Complemento

: Regiones (1) (3)B

Diferencia

B-A Región (2)

Identidad

Conjunto B: Regiones (2) (4)

Complemento de la Diferencia:

: Regiones (1) (3) (4)(B-A)

R

E

G

I

O

N

1

2

3

4

Unión Intersección y Complemento

A B AB AB

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

A A

0 1

1 0


Las tablas de pertenencia nos permiten verificar propiedades del álgebra de conjuntos:

Por ejemplo:

A (BC) = (AB) (AC)(Propiedad Distributiva de la intersección respecto de la unión)


A (BC)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

La tabla de pertenencia nos queda:

Se verifica la propiedad

(AB) (AC)

0 0 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 1 0

1 1 1 1

A (BC)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 1 0

1 1 1 1

0

0

0

0

0

1

1

1

(AB) (AC)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 0 1 1

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1

(AB) (AC)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 1

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

(AB) (AC)

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

?=


Aplicación: Representación de conjuntos en un computador Existen varias formas de representar conjuntos en una computadora. Una

forma sería almacenar los elementos del conjunto de manera

desordenada.

Sin embargo si se hace de esta manera las operaciones para calcular la

unión, intersección o diferencia serían demasiado costos en tiempo y

recursos. Un método que simplificaría el cálculo es el siguiente:

Consideremos un conjunto (arbitrariamente ordenado)

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el conjunto A={ 1,3,5,6,7,9} incluido en él.

Utilizando el concepto de pertenencia se podría sustituir el conjunto A

por una cadena de bits de longitud igual al cardinal del Universal, de tal

manera que si el elemento pertenece al conjunto A lo indicamos con 1 y

si no pertenece con 0.

Así el conjunto A quedaría representado mediante la cadena de bits con

respecto al Universal: 10 1011 1010 al universal le correspondería 11

1111 1111 y al conjunto vacío la cadena 00 0000 0000.Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado

En un computador, las operaciones con bits se corresponden con los

conectivos lógicos. Por ejemplo, los conectivos lógicos , ,son las operaciones AND, OR, XOR. Las operaciones están bien

definidas para cadenas de bits de la misma longitud, que usualmente, se

separan de a cuatro para “leerlas” mejor.

Sean las cadenas de bits 0100 1010 1110 y 1101 1010 0010 aplicando

las operaciones con bits AND, OR y XOR nos resulta:

0100 1010 1110 0100 1010 1110 0100 1010 1110

AND 1101 1010 0010 OR 1101 1010 0010 XOR 1101 1010 0010

0100 1010 0010 1101 1010 1110 1001 0000 1100

Operaciones con cadenas de bits:


Operaciones entre conjuntos utilizando cadena de bits:

Volviendo al ejemplo anterior sean los conjuntos:

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A={ 1,3,5,6,7,9} y B{1,2,5,6,8,10}

Hallar mediante cadenas de bits: AB , AB, A, B, A-B y BA

Las cadenas que representan cada conjunto son:

U: 11 1111 1111 A: 10 1011 1010 B: 11 0011 0101

AB = (10 1011 1010 11 0011 0101) = 10 0011 0000

10 1011 1010AND 11 0011 0101 O sea que AB ={1,5,6} como era de esperarse.

10 0011 0000

AB= (10 1011 1010 11 0011 0101)= 11 1011 1111

10 1011 1010

OR 11 0011 0101 O sea que AB ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

11 1011 1111 Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A={ 1,3,5,6,7,9} y B{1,2,5,6,8,10}

Los complementos los obtenemos negando las cadenas de bits respectivas:

A = (10 1011 1010 ) = 01 0100 0101 O sea A ={2,4,8,10}

B =not (11 0011 0101) = 00 1100 1010 O sea B ={3,4,7,9}

A-B = (10 1011 1010 - 11 0011 0101) = 00 1000 1010

10 1011 1010

- 11 0011 0101 O sea que A-B ={3,7,9}

00 1000 1010

AB= (10 1011 1010 ∨ 11 0011 0101) = 01 1000 1111

10 1011 1010XOR 11 0011 0101 O sea que AB ={2,3,7,8,9,10}

01 1000 1111



T/D: Realizar los ejercicios

1, 2 y 4 del Práctico 2 de

Introducción a la Computación

utilizando cadenas de bits.

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