Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y...
Transcript of Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y...
![Page 1: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/1.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ALBERTO JAIME nombre JAIME
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = 2x4 + 2x2 − 1 y f = −4x2 + 4y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 2: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/2.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − y2, f2 = x4 + 5x2 − 4 y f = −x2 + 5y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − y2 y g = −2x2y + 2y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 3: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/3.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ANDRADES RODRIGUEZ nombre MARIA JOSE
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 4x2 − 2 y f = −5x2 + 5y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −2x2y + y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 4: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/4.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ANGULO FABERO nombre ALVARO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 2y2, f2 = x4 + 3x2 − 2 y f = −2x2 + 5y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 2y2 y g = −5x2y + 2y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 5: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/5.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ANTON DIAZ nombre ANDREA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 5 y f = −4x2 + y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 6: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/6.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos BELLIDO BELLIDO nombre TERESA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − y2, f2 = x4 + 4x2 − 5 y f = −4x2 + 3y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −3x2y + 3y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 7: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/7.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos BENITEZ GARRIDO nombre MARIA ISABEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 4y2, f2 = 2x4 + 2x2 − 4 y f = −2x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 4y2 y g = −2x2y + 5y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 8: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/8.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos BLANCO CARMONA nombre MARIA MERCEDES
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 5y2, f2 = x4 + 4x2 − 2 y f = −2x2 + 3y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 5y2 y g = −3x2y + 2y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 9: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/9.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos BLANCO GUILLEN nombre MARIA MONTAÑA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 5x2 − 3 y f = −3x2 + 4y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 2y2 y g = −3x2y + 3y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 10: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/10.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CARABALLO ROMERO nombre VERONICA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = x4 + x2 − 3 y f = −3x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −2x2y + 5y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 11: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/11.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CARRASCO CARRASCO nombre MARIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 4x4 + 2x2 − 1 y f = −2x2 + 5y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −2x2y + 3y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 12: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/12.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CARRION GARCIA nombre MARIA CRISTINA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + 4x2 − 1 y f = −3x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 5y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 13: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/13.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CARVAJAL LABRADOR nombre MARIA DEL ROSARIO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = x4 + 3x2 − 5 y f = −x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 5y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 14: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/14.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CASADO ULGAR nombre ALEJANDRO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 1 y f = −5x2 + 5y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 15: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/15.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CHICARDI AUGUSTO nombre ANA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 2y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 2 y f = −x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 2y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 16: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/16.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CRESCENTINI nombre MAGDA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − y2, f2 = 4x4 + 3x2 − 2 y f = −5x2 + 2y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −3x2y + 5y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 17: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/17.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CUADRI CRESPO nombre SOCRATES
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 5y2, f2 = 4x4 + 3x2 − 5 y f = −4x2 + y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 2y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 18: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/18.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos CURQUEJO OTERO nombre LUIS FRANCISCO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − y2, f2 = x4 + 4x2 − 1 y f = −4x2 + 4y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −2x2y + 5y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 19: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/19.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos DEL VALLE BENAVIDES nombre ANA ROCIO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 2x2 − 5 y f = −4x2 + 4y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 20: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/20.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos DURAN TEJONERO nombre MARIA OLIVA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = 4x4 + x2 − 5 y f = −4x2 + 5y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = x2(−y) + 5y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 21: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/21.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos FERNANDEZ GOMEZ nombre TRINIDAD
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + 5x2 − 5 y f = −2x2 + y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = x2(−y) + y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 22: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/22.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos FERNANDEZ ANTUNEZ nombre FATIMA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + 5x2 − 3 y f = −4x2 + 2y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 2y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 23: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/23.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos FRANCO GALVIN nombre FRANCISCO JAVIER
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 4y2, f2 = x4 + 2x2 − 4 y f = −4x2 + 4y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 4y2 y g = −3x2y + 3y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 24: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/24.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos FUENTES LORCA nombre VICTORIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − y2, f2 = 3x4 + 2x2 − 4 y f = −3x2 + 4y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − y2 y g = −5x2y + 2y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 25: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/25.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos GALLARDO GOMEZ nombre ROCIO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = x4 + x2 − 5 y f = −2x2 + y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −5x2y + y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 26: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/26.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos GIL RODRIGUEZ nombre NEREA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 2y2, f2 = 5x4 + x2 − 5 y f = −2x2 + y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −5x2y + 3y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 27: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/27.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos GIL SANCHEZ nombre CARMEN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + 2x2 − 3 y f = −3x2 + y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −2x2y + 2y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 28: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/28.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos GILABERT FRANCO nombre JOSE JOAQUIN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 2x4 + 4x2 − 2 y f = −3x2 + y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 29: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/29.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos GOMEZ SERVAN nombre CARMEN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 2x2 − 1 y f = −2x2 + 4y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −3x2y + y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 30: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/30.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos GUTIERREZ VICTORIO nombre Ma CARMEN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 3y2, f2 = x4 + 3x2 − 3 y f = −3x2 + 5y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 2y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 31: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/31.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos HOLGUIN VALDERRAMA nombre MANUEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + x2 − 5 y f = −3x2 + 4y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −5x2y + 4y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 32: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/32.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos JIMENEZ JIMENEZ nombre MIGUEL ANGEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 4y2, f2 = 3x4 + 3x2 − 4 y f = −3x2 + 2y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 4y2 y g = −3x2y + 4y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 33: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/33.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos KLEIN nombre EILEEN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 2y2, f2 = 5x4 + 5x2 − 3 y f = −2x2 + 2y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 2y2 y g = x2(−y) + 4y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 34: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/34.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos LAO ROMERO nombre MARIA DOLORES
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 1 y f = −4x2 + 3y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −4x2y + 4y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 35: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/35.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos LOBATO LOPEZ nombre MARTA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + 3x2 − 1 y f = −4x2 + 5y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 4y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 36: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/36.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos LOPEZ REYES nombre DANAE
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = x4 + 3x2 − 2 y f = −4x2 + 2y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 4y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 37: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/37.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos LUCEÑO BORRERO nombre LAURA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 2y2, f2 = x4 + 5x2 − 1 y f = −x2 + 5y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 2y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 38: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/38.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos LUQUE TEBA nombre ANTONIO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 2 y f = −2x2 + 5y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 4y2 y g = −5x2y + 4y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 39: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/39.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MACIAS BORRERO nombre GONZALO SEBASTIAN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 5y2, f2 = 4x4 + 5x2 − 1 y f = −5x2 + 2y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 4y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 40: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/40.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MANZORRO CASTRILLON nombre LUCIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 1 y f = −3x2 + y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −4x2y + 2y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 41: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/41.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MARQUEZ ESCUDERO nombre JUAN MANUEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 3y2, f2 = 4x4 + 2x2 − 3 y f = −2x2 + 2y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 3y2 y g = −3x2y + 2y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 42: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/42.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MARQUEZ BERNAL nombre MANUEL ALEJANDRO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = x4 + 5x2 − 1 y f = −5x2 + y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −4x2y + 5y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 43: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/43.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MARTIN DELGADO nombre JOSE
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 2 y f = −x2 + 4y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = −5x2y + 3y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 44: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/44.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MARTINEZ MARTIN nombre MARIA INMACULADA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + x2 − 3 y f = −2x2 + 5y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 4y2 y g = −4x2y + 3y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 45: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/45.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MAZUELOS JIMENEZ nombre ELISA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 5 y f = −2x2 + 5y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 4y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 46: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/46.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MENDEZ RUFO nombre ULISES
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 4y2, f2 = 2x4 + 2x2 − 1 y f = −x2 + y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 4y2 y g = −2x2y + y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 47: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/47.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MESA MARQUEZ nombre MARIA DEL CARMEN
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 2y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 2 y f = −x2 + 4y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −5x2y + 3y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 48: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/48.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MINUESA ABRIL nombre MARIA JOSE
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − y2, f2 = 4x4 + 3x2 − 5 y f = −4x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −3x2y + y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 49: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/49.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MOLERO DEL RIO nombre MARIA CRISTINA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 3x4 + 4x2 − 2 y f = −2x2 + 4y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −3x2y + 2y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 50: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/50.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MORA MORA nombre MANUEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + x2 − 3 y f = −3x2 + 4y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 2y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 51: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/51.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos MUÑOZ NOGUERA nombre JUAN MANUEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 2y2, f2 = x4 + 4x2 − 3 y f = −5x2 + 3y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 2y2 y g = −3x2y + y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 52: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/52.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos NUÑEZ DE ARCO VALENZUELA nombre LAURA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − y2, f2 = 3x4 + 2x2 − 1 y f = −5x2 + y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −4x2y + 3y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 53: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/53.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos OLIVARES GIL nombre MARIA DOLORES
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + x2 − 5 y f = −x2 + 5y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 5y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 54: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/54.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ORTEGA CARRASCO nombre RAQUEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 3 y f = −5x2 + 5y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 5y2 y g = −2x2y + 2y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 55: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/55.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ORTEGA VALLADARES nombre MARIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 5x2 − 2 y f = −2x2 + 3y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 2y2 y g = −4x2y + y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 56: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/56.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PARIENTE AGUILAR nombre RAFAEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 1 y f = −x2 + 3y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −5x2y + 4y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 57: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/57.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PAVON DIAZ nombre ALVARO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 3 y f = −4x2 + 4y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 3y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 58: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/58.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PEÑA GALLARDO nombre MIGUEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 5x2 − 5 y f = −4x2 + 4y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = −2x2y + y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 59: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/59.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PEREZ MORENO nombre ANA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − y2, f2 = 3x4 + 4x2 − 5 y f = −3x2 + 5y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −3x2y + y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 60: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/60.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PIEDRA DE LA CUADRA nombre RAMON
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − y2, f2 = 2x4 + 4x2 − 5 y f = −x2 + 3y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − y2 y g = −2x2y + 4y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 61: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/61.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PORRAS NARANJO nombre MIGUEL ANGEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 5y2, f2 = x4 + x2 − 5 y f = −2x2 + 4y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 5y2 y g = −2x2y + 4y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 62: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/62.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos PRADOS GOMEZ nombre ISABEL MARIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 1 y f = −5x2 + 2y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = x2(−y) + 4y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 63: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/63.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos RAMOS LUCENA nombre ISABEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 3 y f = −x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 4y2 y g = −5x2y + 4y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 64: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/64.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos RIVERA BUSTOS nombre ANA ALICIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 2 y f = −3x2 + y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 5y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 65: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/65.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos RODRIGUEZ CHAVARRIA nombre DANIEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = x4 + x2 − 3 y f = −4x2 + 5y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 5y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 66: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/66.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos RODRIGUEZ HUERTAS nombre ROCIO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 3y2, f2 = x4 + 5x2 − 3 y f = −2x2 + 4y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 2y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 67: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/67.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos RODRIGUEZ JIMENEZ nombre JOSE ANTONIO
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 2 y f = −3x2 + 4y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = −4x2y + y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 68: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/68.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ROGG nombre NATHALIE
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 2y2, f2 = 3x4 + 2x2 − 5 y f = −3x2 + 3y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −4x2y + 5y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 69: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/69.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ROMERO MARQUEZ nombre VICTORIA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 1 y f = −x2 + 3y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −5x2y + 5y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 70: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/70.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ROMERO VIDAL nombre MIRIAM
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 5xy2 − 4y2, f2 = 2x4 + x2 − 5 y f = −4x2 + y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 4y2 y g = −5x2y + 3y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 71: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/71.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos ROSALES TRISTANCHO nombre ABEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − y2, f2 = 4x4 + 4x2 − 4 y f = −x2 + 4y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −4x2y + y2 + 5y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 72: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/72.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos RUBIO MORENO nombre BEATRIZ
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + 5x2 − 3 y f = −3x2 + 4y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 4y2 y g = −2x2y + 3y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 73: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/73.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos SAADI HADDACH nombre YOUNESS
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 5 y f = −5x2 + 5y + 4.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 4y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 74: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/74.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos SANCHEZ DOMINGUEZ nombre MARINA
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − 5y2, f2 = x4 + 3x2 − 2 y f = −5x2 + y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 5y2 y g = x2(−y) + 4y2 + y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 75: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/75.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos VALERO MORENO nombre ANA ISABEL
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 3xy2 − y2, f2 = x4 + 3x2 − 5 y f = −4x2 + 2y + 2.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −4x2y + 3y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 76: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/76.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos VALVERDE MARTIN nombre CARLOS
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 5 y f = −5x2 + 2y + 1.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −5x2y + 2y2 + 2y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 77: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/77.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos VELASCO DE ARMAS nombre JAVIER
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = xy2 − 2y2, f2 = x4 + x2 − 2 y f = −3x2 + 3y + 5.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −3x2y + 5y2 + 4y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.
![Page 78: Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 ... · Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016 apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA Pertenencia al](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042912/5f4619295769e95a926c4bbf/html5/thumbnails/78.jpg)
Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016
apellidos VENTURA VARELA nombre JOSE CARLOS
Pertenencia al radical de un ideal
Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈
√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].
Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios
f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 2 y f = −5x2 + 2y + 3.
Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.
Teoría de eliminación e intersección de ideales
Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces
I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].
Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces
〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.
Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene
〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.
Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = −5x2y + 4y2 + 3y.
Enviar a [email protected] la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.