C2a Permutación y Combinatoria

Estadística II. A. AVILA Combinatoria 1

Estadística social II

Permutación y Combinatoria


El análisis combinatorio (incluyendo permutaciones) estudia básicamente la forma de contar grupos de elementos que se constituyen de acuerdo a ciertas normas.

Por ejemplo podemos saber las formas de llegada de 20 participantes a un encuentro o cuántos grupo distintos de 5 personas se pueden formar con los 20 asistentes.

En sociología nos podríamos preguntar ¿Cuántas muestras (grupos) distintas puedo formar con el mismo número de personas?

Elementos de Combinatoria

Estadística II. A. AVILA3

Permutaciones


Alguna consideraciones especiales:

i. Regla del producto:

Si un suceso o evento puede suceder de n maneras y otro suceso o evento puede ocurrir de m maneras, entonces ambos sucesos o evento pueden ocurrir de n m

ii. Regla de la suma:

Si un suceso o evento puede ocurrir de n maneras y otro puede ocurrir de m maneras, entonces hay m + n maneras de que ocurra uno y sólo uno de los sucesos


Alguna consideraciones especiales:

iii. Factorial de un Número:

Sea n un número natural mayor que 1. Se llama FACTORIAL DE n, denotado por n!, al producto de todos los números naturales desde n hasta 1.

Así, n! = n*(n-1)*(n-2)*......3*2 *1

Por tanto definiremos que:

i) 1! = 1

ii) 0! = 1

Estadística II. A. AVILACombinatoria6

Problema comprensivo

Para un seminario se espera que lleguen 20 participantes

¿De cuantas formas puede darse el orden de llegada de los participantes? (permutación)

Con las 20 personas se necesita que trabajen en grupos de 5 personas ¿Cuánto grupo distintos se pueden formar? (Combinatoria)

En sociología nos podríamos preguntar ¿Cuántas muestras (grupos) distintas puedo formar? (Combinatoria)


La forma de razonar para la primera pregunta es: ¿De cuantas formas pueden llegar los participantes? O ¿De cuantas formas puede darse el orden de llegada?

Todas las personas pueden ubicarse en cualquier lugar de llegada.

Por tanto:

• El primero en llegar tiene 20 posibilidades de llegada

• El segundo sólo tiene 19 posibilidades de llegada

• El tercero tiene 18

• El cuarto tiene 17

• El quinto tiene …. Por tanto el resultado se puede resumir en:

20 * 19 * 18 * 17 * 16* ….*1 = formas de ordenarse a la llegada. Eso es 20!

2.432.902.008.176.640.000 formas


Este problema es un ejemplo de lo que se denomina PERMUTACIÓN O VARIACIONES SIN REPITICIÓN

La repetición nos indica si en mismo elemento puede participar nuevamente. En el caso de un sorteo, si puede participar otra vez.

Una PERMUTACIÓN de n elementos tomados k a k (k n) son los X grupos distintos que se pueden tomar con los n elementos, de manera que:

En cada grupo entren k elementos distintos

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos

Permutación


El número de VARIACIÓNES SIN REPETICION que se puede formar con n elementos tomados de a k, se encuentra por las expresión:

)!(

!

kn

nPn

k

Permutación


Ejemplo

Cuantos pares ordenados (mezclas importando el lugar) pueden conformarse con las letras A, B y C

O ¿Cuál es el número de VARIACIÓNES SIN REPETICION que se puede formar con n elementos tomados de a k?

Permutación

Por lógica: AB, BA, AC, CA, BC, CB = formas 6


Ejemplo

¿Cuantos pares ordenados (mezclas importando el lugar) pueden conformarse con las letras A, B y C?

)!(

!

kn

nPn

k

Permutación

)!23(

!33

2

P

)!1(

1*2*33

2 P 61

63

2 P


Forma de razonar para la primera pregunta ¿De cuantas formas pueden llegar los participantes? O ¿Cuántos grupos de 20 personas puedo formar? (Sin repetición)

Por tanto el resultado es igual a:

20 * 19 * 18 * 17 * 16* ….*1 = formas de ordenarse a la llegada. Eso es 20!

2.432.902.008.176.640.000 formas

)!(

!

kn

nPn

k

)!2020(

!202020

P

)!0(

!20n

kP1

!20n

kP !20nkP


Una PERMUTACION SIN REPETICION de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:

En cada grupo están los n elementos,

un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por Pn.

Obs.: Una permutación ordinaria o sin repetición de n elementos son las variaciones de n elemento tomados de n a n.. Su valor es n

kn PP

Estadística II. A. AVILA14

Combinatorias


Forma de razonar para la segunda pregunta: Con las 20 personas se necesita que trabajen en grupos de 5

personas ¿Cuánto grupo distintos se pueden formar?

El primer seleccionado puede ocupa un lugar cualquiera, ya no importa si es el primero o el último, interesa el conjunto de resultado no se repita o que la conformación del grupo cambie.

El resultado es el número posible de permutaciones dividido por el número de grupos y las combinaciones

Es una combinatoria

Combinación


Ejemplo

Cuantos pares distintos se ( NO importando el lugar) pueden conformarse con las letras A, B y C

O ¿Cuál es el número de combinaciones que se puede formar con n elementos tomados k a k?

Combinatoria

Por lógica: AB, BA, AC, CA, BC, CB

= formas 3


Una combinación ordinaria sin repetición de n elementos tomados k a k (n k) son los distintos grupos que se pueden formar con los k elementos, de manera que:

En cada grupo entren, k ,elementos todos distintos.

Dos grupos son diferentes si se diferencian en algún elemento, sin considerar el orden de ubicación o colocación. Es decir, los grupos con los mismos integrantes son iguales, sin importar la ubicación.

El número de combinaciones de n elementos tomados k a k se representa por n

kC


Números combinatorios:

La expresión definida por se llama también Número Combinatorio, se representa por:

y se lee “n sobre k”, y su valor es:

nkC

k

n

)!(!

!

knk

nC n

k

Es una combinación ordinaria o sin repetición de k elementos tomados n a n (k n) son los distintos grupos que se pueden formar con los k elementos


Ejemplo: Cuantos pares distintos se ( NO importando el lugar) pueden conformarse con las letras A, B y C

O ¿Cuál es el número de combinaciones que se puede formar con n elementos tomados k a k?

Combinatoria

Por lógica: AB, BA, AC, CA, BC, CB = formas 3

)!(!

!

knk

nC n

k

)!23(!2

!33

2

C

)!1(!2

1*2*33

2 C2

6

)1(*1*2

1*2*33

2 C 33

2 C


Observación:

Supongamos que se tienen los colores A, B, C. Si mezclamos dos colores, podemos hacer solo 3 combinaciones, esto es, combinatoria

AB; AC; BC.

A diferencia de las posibles permutaciones o variaciones, esto es:

AB; BA; AC; CA; BC; CB.


Aplicación:

i. Tengo una población de 12 individuos ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar?

Observando que el orden no influye, se trata de una Combinación de 12 elementos tomados 3 a 3. Por lo tanto:


220)!312(!3

!12123

C

)!312(!3

!12123

C)!9!*(3

!12123 C

)!(!

!

knk

nC

n

k

)!9!*(3

!9*10*11*12123 C

!3

10*11*12123 C

6

1320123 C

1*2*3

10*11*12123 C 22012

3 C


Números combinatorios:

Algunas demostraciones:

i. Demostrar que :

demostración:

11!

!

!0)!0(

!

0

10

m

m

m

mm

m


Propiedades de los Números combinatorios:

i.

ii.

10

n1

n

n

k

n

kn

n

Estadística II. A. AVILA

Combi

natoria26

Ejemplos


Aplicación 1:

Si en una sala de espera de hospital hay 4 sillas y llegan 10 pacientes ¿de cuántas formas distintas pueden sentarse los pacientes?

Permutación

)!(

!

kn

nPn

k

)!410(

!10

n

kP

)!6(

!6*7*8*9*10

n

kP 040.57*8*9*10 n

kP


Aplicación 2:

Si en una sala de espera de hospital llegan 10 pacientes y sólo hay un médico ¿Cuántas formas tiene el médico de atenderlos a todos, de uno en uno?

Permutación

)!(

!

kn

nPn

k

)!1010(

!10

n

kP

)!0(

!10

n

kP!10

n

kP

800.628.310

10 P


Aplicación 3:

Si quiero realizar conjuntos de trabajo de 4 alumnos con un curso de 30 alumnos de sociología ¿Cuántos grupos puedo formar?

Combinatoria

)!(!

!

knk

nC

n

k

)!430(!4

!30

n

kC

405.2730

4 C


Combinatoria y teoría de muestreo

El nivel de significación de las pruebas estadísticas (alfa) tiene relación con la probabilidad de cometer error tipo 1. Es decir, la probabilidad que los resultados de una investigación (de la muestra) no sean iguales a la población.

Esto se debe a que la muestra extraída para la investigación corresponda a las muestras erradas o sesgadas de la población. Por tanto, el nivel de significación (ejemplo 0,05) nos indica que sólo 5 de cada 100 muestras arrojaran resultados erróneos. O dicho de otro modo, que el 95% de las muestras posibles de extraer arrojaran los mismo resultado (0,95 nivel de confianza).


Para una investigación se ha especificado un tamaño muestral de 200 casos para representar a una población de 1.000 personas.

Por tanto se quiere conocer cuantas son las muestras (grupos de individuos) posibles de ser sorteadas en una población de 1.000 con un n=200.

)!2001000(!200

!1000

n

kC213

10*2,616.6n

kC

)!20150(!20

!150

n

kC

Un ejemplo más comprensible: n=20 y N=150

175.1120

150 C

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