UNIVERSIDAD DE NARIODepartamento de Matemticas y Estadstica

Variable Compleja

Programa: Licenciatura en Matemticas

Profesor:Miller Cern Gmez

Taller No 2

1. Calcule las Integralesxdz y

ydz, si es:

a) : es el segmento rectoque une el origen con 2 + i

b) : es la semicircunferencia|z| = 1, 0 arg z pi

c) : es la circunferencia |za| = r

2. Calcule la integral |z|dz si es:

a) : es el segmento recto que une el origen con 2 i

b) : es la semicircunferencia |z| = 1, 0 arg z pi

c) : es la semicircunferencia |z| = 1, pi/2 arg z pi/2, (el camino se inicia en el punto z = i)

d) : es la circunferencia |z| = r

3. Calcule la integral

z

zdz donde es la frontera del simianillo representado en la siguiente figura

1 2 3123

1

2

4. Calcule la Integral |z| z dz si es una curva cerrada compuesta por la semicircunferencia superior

|z| = 1 y por el segmento 1 x 1, y = 0

5. Evaluar

a)(z 2)1 dz , donde : |z 2| = 3

b)Imz dz , donde : |z| = r

c)|z| dz , donde : une los puntos i hasta i de la siguiente forma:

1) El segmento rectilneo que une los puntos.

2) el crculo unitario en el semiplano izquierdo.

3) el crculo unitario en el semiplano derecho.

6. Evaluar f(z) dz, donde

a) f(z) = 4z 3 , donde : es el segmento rectilneo que va de i hasta 1 + i

b) f(z) = z5 + z3 , donde : es el arco superior del crculo unitario de 1 hasta 1

c) f(z) = z5 + z3 , donde : es el arco inferior del crculo unitario de 1 hasta 1

7. Evaluar las siguientes integrales aplicando el teorema fundamental

a) 1+i0

z2 dz

b) 3i2i(z + 4)2 dz

c) pii0

ez dz

d) 3piipii

e2z dz

e) i1zez

2

dz

f ) ii

sen z dz

8. Calcule la integral

dz

z2 + 9donde:

a) el punto 3i se encuentra dentro de y el punto 3i fuera de l

b) el punto 3i se encuentra dentro de y el punto 3i fuera de l

c) los puntos 3i se encuentran dentro de .

9. Calcule la integral

dz

z(z2 1)para diferentes posiciones de la curva . Se supone que la curva no

pasa por ninguno de los puntos 0, 1 y 1.

10. Calcule|z|=1

ekzn

zdz con n entero positivo. Ahora, muestre que

2pi0

ek cosn cos(k senn)d = 2pi

11. Calcule la integral|za|=a

zdz

z4 1, a > 1

12. Calcule la integral

ezdz

z(1 z)3si:

a) el punto 0 se encuentra dentro de y el punto 1 fuera de l

b) el punto 1 se encuentra dentro de y el punto 0 fuera de l

c) los puntos 0 y 1 se encuentran dentro de .

13. Encontrar el valor de la integral de la funcin dada en torno al crculo unitario, en sentido contrarioal del movimiento de las manecillas del reloj, e indicar si se puede aplicar el teorema de Cauchy.

a) f(z) = |z|

b) f(z) = ez5

c) f(z) =1

(2z 5)

d) f(z) =1

z

e) f(z) =1

(z2 + 2)

f ) f(z) = z

14. Evaluar las siguientes integrales

a)

sen z

z + 3idz donde : |z 2 + 3i| = 1

b)

2z + 1

z2 + zdz donde : es a) |z| =

1

4, b) |z

1

2| =

1

4, c) |z| = 2

c)

z2 1

3z3 z

dz donde : |z 1

2| = 1

15. Pruebe que pi/20

ea cos t cos(t+ a sen t)dt =sen a

a, con a > 0, si integra ez a lo largo de la curva de Jordan

en el primer cuadrante, compuesta del cuarto de crculo |z| = a y de los segmentos de recta de ia a0 y de 0 a a.

16. Calcule la integral

|z|=3

2

e3z

(3z i)2dz

17. Qu cantidad de diferentes valores puede tener la integral

dz

w(z)donde w(z) = (z z1)(z z2)(z z3) y la curva no pasa por ninguno de los puntos z1, z2, z3? Calculeestas integrales

18. Integrar1

z4 1en sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor del crculo

a) |z + 1| = 1 b) |z + 3| = 1 c) |z i| = 1 d) |z 1| = 1

19. Integrar la siguientes funciones, alrededor del crculo unitario

a) cos z/z

b)(z + 2)

(z 2)

c)ez

z

d)(ez 1)

z

e)z3

(2z i)

f ) tanhz

20. Integrar la siguientes funciones, alrededor del crculo |z| = 2

a) cos z/z3

b)z2

(z i)2

c)epiz

z2

d)(ez

3

)

z3

e)z3

(z + 1)3

f )zn

(z + 1)n+1